【文档说明】2023-2024学年高中数学人教A版2019 选择性必修第一册课后习题 章末测评卷 第二章测评 Word版含答案.docx，共(13)页，135.725 KB，由小赞的店铺上传

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第二章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021北京通州区校级月考)直线x+√3y+m=0(m∈R)的倾斜角为()A.30°B.60°C.150°D.120°2.已知直线l

1:ax+2y-1=0,直线l2:8x+ay+2-a=0,则“a=-4”是“l1∥l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2021广东广州期中)已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则BC边上的中线所在直线的方程为

()A.5x+3y-6=0B.3x-5y+15=0C.x+13y+5=0D.3x+8y+15=04.已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为3x+2y+1=0和3x+2y+4=0,另一组对边所在的直线方程分别为4x-6y+c1=0和4x-6y+c2=0,则|c1-c2|=()A.32

B.3√1313C.6√1313D.65.已知圆C经过两点A(0,2),B(4,6),且圆心C在直线l:2x-y-3=0上,则圆C的方程为()A.x2+y2-6y-16=0B.x2+y2-2x+2y-8=0C.x

2+y2-6x-6y+8=0D.x2+y2-2x+2y-56=06.(2021安徽宿州期中)若圆x2+(y-a)2=4上总存在两个点到坐标原点的距离为1,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.[1,3]C.(-3,-1)∪(1,3)D.[-3,-1]∪[1,3]7.两圆x2+y2=1

与x2+y2-2√𝑎x-2√𝑏y+a+b=4有且只有一条公切线,那么1𝑎+2𝑏的最小值为()A.1B.3+2√2C.5D.4√28.(2021山西太原模拟)已知圆M:(x-a)2+(y-b)2=3(a,b∈R)与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,

且|AB|=√3,则下列错误的结论是()A.𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗是定值B.四边形OAMB的面积是定值C.a+b的最小值为-√2D.a·b的最大值为2二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的

得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2021福建三明期中)已知直线5x-12y+a=0与圆(x-1)2+y2=1相切,则实数a的值可能为()A.-8B.8C.-18D.1810.已知直线l1:x-ay+2=0,l2:ax+y-2=

0,a∈R,以下结论正确的是()A.不论a为何值时,l1与l2都互相垂直B.当a变化时,l1与l2分别经过定点A(-2,0)和B(0,2)C.不论a为何值时,l1与l2都关于直线x+y=0对称D.设O为坐标原点,如果

l1与l2交于点M,则|MO|的最大值是2√211.(2021辽宁沈阳检测)已知实数x,y满足方程x2+y2-2x-4y+1=0,则下列说法正确的是()A.x2+y2的最大值为2+√5B.(x+2)2+(y+1)2的最大值为22+12√2C.x+y的最大

值为3+2√2D.4x-3y的最大值为812.已知圆C:(x-2)2+y2=1,点P是直线l:x+y=0上一动点,过点P作圆C的切线PA,PB,切点分别是A和B,下列说法正确的为()A.圆C上恰有一个点到直线l的距离为12B.切线长PA的最小

值为1C.四边形ACBP面积的最小值为2D.直线AB恒过定点32,-12三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.光线沿直线7x-y-3=0入射到直线2x-y+2=0后反射,则反射光线所在直线的方程为.14.当平面内一点P(3,2)到直线l:mx-y+1-2m=0的距

离最大时,m的值为.15.(2021安徽黄山期中)如图,菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合,边长为2,一边在x轴的正半轴上,∠BOD=60°,则菱形的内切圆方程为.16.(2021江苏南京期中)如图,点P是圆O:x2+y2=1上一动点,过点P的圆O的切线l与☉O1:(x-a)

2+(y-2)2=16始终交于A,B两点.(1)实数a的取值范围是;(2)若a=32,|O1P|=√392,则△O1AB的面积是.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1

7.(10分)(2021浙江温州期中)已知点A(2,1),直线l:(a-1)x+y+2+a=0(a∈R).不论a取何值,直线l过定点P.(1)求点P的坐标,及点A(2,1)到直线l距离的最大值;(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求a的值.18.(12分)求符合下

列条件圆的方程.(1)圆心为点(-1,2),面积为9π;(2)与圆x2+y2-2x-2y+1=0关于y轴对称.19.(12分)(2021江苏连云港期中)已知直线l经过两条直线2x+3y+8=0和x-y-1=0的交点,且,若直线m与直线l关于点(1,0)对称,求直线m的方程.(注:

试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中,完成解答,若选择多个条件分别解答,按照第一个解答计分.)①与直线3x+2y+8=0垂直;②在y轴上的截距为12.20.(12分)已知圆M:x2+y2-2ax+10ay-24=0,圆N:x2+y2+2x+2y-8=0,且圆M上任意一点关于直

线x+y+4=0的对称点都在圆M上.(1)求圆M的方程;(2)证明圆M和圆N相交,并求两圆公共弦的长度l.21.(12分)(2021江苏南通期中)已知方程x2+y2-2x+4y+4m=0.(1)若此方程表示圆,求实数m的取值范围;(2)若m的值为(1)中能取到的最大整数,则得到

的圆设为圆E,若圆E与圆F关于y轴对称,求圆F的一般方程.22.(12分)(2021安徽黄山期中)已知圆C:(x-1)2+(y-3)2=9,线段RQ的端点Q的坐标是(4,3),端点R在圆C上运动,且点T满足

线段𝑅𝑇⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑇𝑄⃗⃗⃗⃗⃗,记T点的轨迹为曲线Γ.(1)求曲线Γ的方程.(2)过点A(0,3)斜率为k的直线l与曲线Γ交于M,N两点,试探究:①设O为坐标原点,若𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=26,这样的直线l是否存在?若存在,求出|MN|;若不

存在,说明理由.②求线段MN的中点D的轨迹方程.第二章测评1.C直线x+√3y+m=0(m∈R)的斜率为-√33,直线倾斜角的范围是[0°,180°),所以所求直线倾斜角为150°.2.C直线l1:ax+2

y-1=0,直线l2:8x+ay+2-a=0,∵a=-4时,𝑎8=2𝑎≠-12-𝑎,∴l1∥l2,当l1∥l2时,𝑎8=2𝑎≠-12-𝑎,解得a=-4,∴“a=-4”是“l1∥l2”的充要

条件.3.C三角形三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),BC的中点坐标为32,-12,∴BC边上中线所在直线方程是𝑦𝑥+5=-1232+5,整理得x+13y+5=0.4.D正方形的一组对边所在的直线方程分别为3x+2y+

1=0和3x+2y+4=0,另一组对边所在的直线方程分别为4x-6y+c1=0和4x-6y+c2=0,根据正方形的两组对边间的距离相等,可得|1-4|√32+22=|𝑐1-𝑐2|√42+62,则|c1-c2|=6.5.C因为圆心C在直线l:2x-y-3=

0上,设圆心C(a,2a-3),又圆C经过两点A(0,2),B(4,6),所以|CA|=|CB|,故√𝑎2+(2𝑎-5)2=√(𝑎-4)2+(2𝑎-9)2,解得a=3,所以圆心C(3,3),半径r=|CA|=√32+12=√10,则圆的方

程为(x-3)2+(y-3)2=10,化为一般方程为x2+y2-6x-6y+8=0.6.C根据题意,到坐标原点的距离为1的点的轨迹方程为x2+y2=1,是圆心为(0,0),半径r=1的圆,若圆x2+(y-a)2=4上总存在两个点

到坐标原点的距离为1,则圆x2+(y-a)2=4与圆x2+y2=1相交,圆x2+(y-a)2=4,圆心为(0,a),半径R=2,则有2-1<|a|<2+1,即1<|a|<3,解可得-3<a<-1或1<a<3,即a的取

值范围为(-3,-1)∪(1,3).7.B根据题意,圆x2+y2=1,其圆心为(0,0),半径r=1,圆x2+y2-2√𝑎x-2√𝑏y+a+b=4,即(x-√𝑎)2+(y-√𝑏)2=4,其圆心为(√𝑎,√𝑏),半径为2,若两圆有且只有一条公切线,则两圆内切,则有√𝑎+𝑏=2-

1=1,变形可得a+b=1,则1𝑎+2𝑏=1𝑎+2𝑏(a+b)=3+𝑏𝑎+2𝑎𝑏,又a>0,b>0,则𝑏𝑎+2𝑎𝑏≥2√𝑏𝑎×2𝑎𝑏=2√2,当且仅当b=√2a时等号成立,故1𝑎+2𝑏

≥3+2√2,即1𝑎+2𝑏的最小值为3+2√2.8.C圆M的圆心M(a,b),半径r=√3,则△MAB为边长为√3的等边三角形,对于A,∵𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·|𝑀𝐵⃗⃗⃗

⃗⃗⃗|·cos60°=√3×√3×12=32,∴A正确;对于B,∵OA=OB=1,AB=√3,△OAB的高h=12,∴S△ABO=12×12×√3=√34,∵S△MAB=√34×(√3)2=3√34

,∴S四边形OAMB=√34+3√34=√3,∴B正确;对于C,由B知S四边形OAMB=12×OM×AB,∴OM=2√3√3=2,即√𝑎2+𝑏2=2,∴a2+b2=4,∵2(a2+b2)≥(a+b)2,∴(a+b)2≤8,∴-2√2

≤a+b≤2√2,当且仅当a=b时取等号,∴a+b的最小值为-2√2,∴C错误;对于D,由C得,∵a2+b2=4≥2ab,∴ab≤2,当且仅当a=b时取等号,∴ab的最大值为2,∴D正确.9.BC圆(x-1)2+y2=1的圆心为(1

,0),半径为1,∵直线5x-12y+a=0与圆(x-1)2+y2=1相切,∴|5×1-12×0+𝑎|√52+(-12)2=1,解得a=8或a=-18.故选BC.10.ABD直线l1:x-ay+2=

0,l2:ax+y-2=0,a∈R,对于A,∵1×a-a×1=0,∴不论a为何值时,l1与l2都互相垂直,故A正确;对于B,当a变化时,l1与l2分别经过定点A(-2,0)和B(0,2),故B正确;对于C,设直线l1:x-ay+2=0上任意一点P(x,y),则点P关于直线x+y=0的对

称点为P'(-y,-x),将点P'(-y,-x)代入直线l2:ax+y-2=0,可得x+ay+2=0,与不论a取何值时,点P恒在直线l1上矛盾,故C错误;对于D,联立方程组{𝑥-𝑎𝑦+2=0,𝑎𝑥+𝑦-2=0,

解得{𝑥=2𝑎-2𝑎2+1,𝑦=2𝑎+2𝑎2+1,故M2𝑎-2𝑎2+1,2𝑎+2𝑎2+1,则|MO|=√(2𝑎-2𝑎2+1)2+(2𝑎+2𝑎2+1)2=√8𝑎2+1≤2√2,所以|MO|的最大值是2√2,故D正确.故选ABD.11.BCD由x2+y2-2x-4y+1=

0,知(x-1)2+(y-2)2=4,表示圆心为M(1,2),半径为r=2的圆,对于A选项,x2+y2的几何意义为圆上的点与原点距离的平方和,其最大值为(|OM|+r)2=(2+√5)2,故A错误;对于B选项,(x+2)2+(y+1

)2的几何意义为圆上的点与点(-2,-1)距离的平方和,其最大值为(2+3√2)2=22+12√2,故B正确;对于C选项,设x+y=k,则直线x+y-k=0与圆有公共点,所以|1+2-𝑘|√2≤2,解得3-2√2≤k≤3+2√2,所以x+y的最大值为3+2√2,故C正确;对于D选项

,设4x-3y=t,则直线4x-3y-t=0与圆有公共点,所以|4-6-𝑡|√42+(-3)2=|𝑡+2|5≤2,解得-12≤t≤8.所以4x-3y的最大值为8,故D正确.故选BCD.12.BD对于A,∵圆C:(x-2)

2+y2=1,∴圆心C(2,0),半径r=1,∴圆心C到直线l:x+y=0的距离为|2|√2=√2,而√2-1<12<√2+1,故A错误;对于B,由圆的性质,切线长|PA|=√|𝑃𝐶|2-𝑟2=√|𝑃𝐶|2-1,当|PC|最小时,|PA|有最小值,又|PC|m

in=√2,则|PA|min=1,故B正确.对于C,四边形ACBP的面积为|PA||CA|=|PA|,故四边形ACBP的面积最小值为1,故C错误;对于D,设P(t,-t),由题意知A,B在以PC为直径的圆上,又C(2,0),∴(x-t)(x-2)+(y+t)(y

-0)=0,即x2+y2-(t+2)x+ty+2t=0,又圆C:(x-2)2+y2=1,即x2+y2-4x+3=0,故直线AB的方程为(2-t)x+ty-3+2t=0,即2x-3-t(x-y-2)=0,由{2𝑥-3=0,𝑥-𝑦-2=0,解得x=32,y=-12,即直线AB恒过定点32,

-12,故D正确.故选BD.13.x-y+3=0由{7𝑥-𝑦-3=0,2𝑥-𝑦+2=0,得{𝑥=1,𝑦=4,故入射光线与反射轴的交点为A(1,4),在入射光线上再取一点B(0,-3),则点B关于反射轴2x-y+2=0的对称点C(m,n)在反射光线上,{2·𝑚2-𝑛-32+

2=0,2·𝑛+3𝑚=-1,解得m=-4,n=-1,故C(-4,-1).根据A,C两点的坐标,求得反射光线的方程为y-4=4+11+4(x-1),即x-y+3=0.14.-1直线l:mx-y+1-2m=0可化为m(x-

2)+1-y=0,令{𝑥-2=0,1-𝑦=0,解得x=2,y=1.所以直线l过定点M(2,1).当PM⊥l时,点P(3,2)到直线l:mx-y+1-2m=0的距离最大,如图所示,所以kPM·kl=-1,即2-13-2·m=-1,解得m=-1.15.x-322+y-√3

22=34设对角线OC,BD的交点为M,菱形的对角线互相垂直,又∠BOD=60°,所以在Rt△OMB中,∠BOC=30°,OB=2,则OM=2×cos30°=√3,设点M(x,y),则y=OM×sin30°=√32,x=OM×cos30°=32,所以圆心

M32,√32,半径r=√32,所以菱形内切圆的方程为x-322+y-√322=34.16.(1)(-√5,√5)(2)45√716(1)根据题意,点P是圆O:x2+y2=1上一动点,过点P的圆O的切线l与圆O1:(x-a)2+(y-2)2=16始终

相交,则圆O必定在圆O1的内部,圆O:x2+y2=1,圆心为(0,0),半径为1,圆O1:(x-a)2+(y-2)2=16,圆心为(a,2),半径r=4,则有√𝑎2+4<4-1=3,解得-√5<a<√5,故a的取值范围为(-√5,√5).(2)根据题意,设P的坐标为(m,n),则

直线AB的方程为mx+ny=1,若a=32,则圆O1:x-322+(y-2)2=16,其圆心为32,2,半径r=4,又由|O1P|=√392,即32-m2+(2-n)2=394,变形可得m2+n2-3m-4n=72,即3m+4n=-52;圆心O1到直线AB的距离d=|3𝑚2

+2𝑛-1|√𝑚2+𝑛2=94,|AB|=2×√𝑟2-𝑑2=2√16-8116=5√72,故△O1AB的面积S=12|AB|×d=45√716.17.解(1)直线l:(a-1)x+y+2+a=0(a∈R),化为a(x+1)+(-x

+y+2)=0,由{𝑥+1=0,-𝑥+𝑦+2=0,解得{𝑥=-1,𝑦=-3.∴不论a取何值,直线l恒过定点P(-1,-3).分析易知点A(2,1)到直线l的距离的最大值|PA|=√9+16=5.(

2)令y=0,则x=-𝑎-2𝑎-1(a≠1),令x=0,则y=-a-2,由题意可知-𝑎-2𝑎-1=-a-2,解得a=±2.当a=1时,易知不满足条件,所以a=±218.解(1)圆心为点(-1,2),面积为9π,所以圆的半径为3,圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=9.

(2)圆x2+y2-2x-2y+1=0的圆心(1,1),半径为1,此圆关于y轴对称圆的圆心为(-1,1),半径为1.对称圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=1.19.解因为方程组{2𝑥+3𝑦+8=

0,𝑥-𝑦-1=0的解为{𝑥=-1,𝑦=-2,所以两条直线2x+3y+8=0和x-y-1=0的交点为(-1,-2).若选①,可设直线l的方程为2x-3y+c=0,将点(-1,-2)代入方程2x-3y+c=0,可得-2+6+c=0,解得c=-4,即有直线l的

方程为2x-3y-4=0.在直线l上取两点(-1,-2)和(2,0),点(-1,-2)关于点(1,0)对称的点坐标为(3,2),点(2,0)关于点(1,0)对称的点坐标为(0,0),所以直线m的方程为2x-3y=0.若选②,可得直线l的斜率为k=12-

(-2)0-(-1)=52,所以直线l的方程为y=52x+12.在直线l上取两点(1,3)和(-1,-2),点(-1,-2)关于点(1,0)对称的点坐标为(3,2),点(1,3)关于点(1,0)对称的点坐标为(1,-3),所以直线m的方程为5x-2y-11=0.20.

(1)解圆M:x2+y2-2ax+10ay-24=0的圆心M(a,-5a),因为圆M上任意一点关于直线x+y+4=0的对称点都在圆M上,所以直线x+y+4=0经过点M,可得a-5a+4=0,解得a=1,则圆M的方程为x2+y2-2x+10y-24=0.(2)证明因为圆M的圆心M(1

,-5),半径r1=5√2,圆N的圆心N(-1,-1),半径r2=√10,所以|MN|=√(1+1)2+(-5+1)2=2√5.因为5√2−√10<2√5<5√2+√10,所以圆M和圆N相交.由{𝑥2+𝑦2-2

𝑥+10𝑦-24=0,𝑥2+𝑦2+2𝑥+2𝑦-8=0,两式相减可得公共弦的直线方程为x-2y+4=0,M到直线的距离为d=|1+10+4|√5=3√5,所以𝑙22=𝑟12-d2=50-45=5,解得l=2√5,则两圆公共弦的长度l=2√5.21.解(1)若此方程表示圆

,则(-2)2+42-4×4m>0,m<54,即实数m的取值范围是-∞,54.(2)由(1)可知m=1,此时圆E:x2+y2-2x+4y+4=0,圆心坐标为E(1,-2),半径为1,因为圆F和圆E关于y轴对称,所以圆F圆心坐标是(-1,-2),半径是1,

故圆F方程为(x+1)2+(y+2)2=1,化为一般方程为x2+y2+2x+4y+4=0.22.解(1)设r(x0,y0),则(x0-1)2+(y0-3)2=9,设T(x,y),因为𝑅𝑇⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑇𝑄⃗⃗

⃗⃗⃗,所以{𝑥0=3𝑥-8,𝑦0=3𝑦-6,则(3x-8-1)2+(3y-6-3)2=9,即曲线Γ的方程为(x-3)2+(y-3)2=1.(2)设直线方程为y=kx+3,M(x1,y1),N(x2,y2),联立{𝑦=𝑘𝑥+3,(𝑥-3)2+(𝑦-

3)2=1,可得(1+k2)x2-6x+8=0,则Δ=36-32(1+k2)>0,解得k2<18,且有x1+x2=61+𝑘2,x1x2=81+𝑘2,所以y1y2=(kx1+3)(kx2+3)=k2x1x2+3k(x1+x

2)+9=17𝑘2+18𝑘+91+𝑘2,①𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=x1x2+y1y2=81+𝑘2+17𝑘2+18𝑘+91+𝑘2=17𝑘2+18𝑘+171+𝑘2=26,解得k=1,与k2<18不符,故不存在这样的直线l,使得

𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=26;②MN中点坐标为𝑥1+𝑥22,𝑦1+𝑦220<k2<18,则𝑥1+𝑥22=31+𝑘2,𝑦1+𝑦22=3𝑘1+𝑘2+3,即D点坐标为31+𝑘2,3𝑘1+𝑘2+3,