【文档说明】广东省佛山市顺德区普通高中2024-2025学年高三上学期教学质量检测数学试题一 Word版含解析.docx，共(18)页，1011.114 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-353222f1d799655330ea2a0e71c7f63a.html

以下为本文档部分文字说明：

2024学年顺德区普通高中高三教学质量检测（一）数学试题2024.11本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字

笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.第I卷（选择题共58分）一、单项选择题：

本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足3i13iz−=+，则z=（）A.2B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】依题意可得3i13iz−=+，

再根据复数代数形式的除法运算化简，最后再计算其模.【详解】因为3i13iz−=+，所以()()()()3i13i3ii13i13i13iz−−−===−++−，所以1z=.故选：B2.已知集合Z|13Axx=−，03Bxx=∣，则AB=（）A.0,1,2,3B

.1,0,1,2−C.03xx∣D.{24}xx−∣【答案】A【解析】【分析】首先解绝对值不等式求出集合A，再根据交集的定义计算可得.【详解】由13x−，即313x−−，解得24−x，所以Z|13Z|241,0,1,

2,3Axxxx=−=−=−，又03Bxx=∣，所以0,1,2,3AB=.故选：A3.“21a，2log1b”是“24ab+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C充要条件D.既不充分也不必要条件【

答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义及指数函数、对数函数的性质判断即可.【详解】由21a可得0a，由2log1b可得2b，由24ab+可得2ab+，所以由“21a，2log1b”推得出“24ab+”，故充分性成立；由“24ab+”推不出“21a，2l

og1b”，如0a=，3b=，满足24ab+，但是21a=，故必要性不成立；所以“21a，2log1b”是“24ab+”的充分不必要条件.故选：A4.已知单位向量a，b满足1ab+=，则下列说法正确的是（）A.,150ab=B

.3ab−=C.向量ab+在向量a上的投影向量为32aD.12bab⊥+.【答案】D【解析】【分析】根据数量积的运算律求出ab，即可求出,ab，从而判断A，再根据()2abab−=−判断B，根据投影向量的定义判断C，计算12bab+，即可判断D.【详解】单位向量a，b

满足1ab+=，则()22221abaabb++==+，所以12ab=−rr，所以1cos,2ababab==−，又0,180ab，所以,120ab=，故A错误；()222221212132ababaab

b−=−=−+=−−+=，故B错误；因为()2211122abaaba+=+=+−=，所以向量ab+在向量a上的投影向量为()212aabaaa+=，故C错误；因为221111102222babba

b+=+=−+=，所以12bab⊥+，故D正确.故选：D5.函数()cos2cosfxxx=−是（）A.偶函数，且最小值为－2B.偶函数，且最大值为2C.周期函数，且在π0,2

上单调递增D.非周期函数，且在π,π2上单调递减【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性判定方式以及函数的最值判断A，B；根据周期性判断，结合复合函数的单调性判断C，D.【详解】()cos2cosfxxx=−定义域为R，关于原点对称，()()()()

cos2coscos2cosfxxxxxfx−=−−−=−=，所以()fx为偶函数，又()2cos2cos2coscos1fxxxxx=−=−−，令cosxt=，11t−，()221fttt=−−，当14t=时，即1cos4x=，()fx

有最小值，最小值为98−，当1t=−时，即cos1x=−时，()fx有最大值，最大值为2，故A错误，故B正确；因为()()()()2πcos22πcos2πcos2cosfxxxxxfx+=+−+=−=，所以()fx为周期函数，因为cosyx

=在π0,2上单调递减，在π,π2上单调递减，当π0,2x，()22coscos1fxxx=−−，令cosxt=，01t，()221fttt=−−，()ft在10,4单调递减，在1,14

单调递增，当π,π2x，()22coscos1fxxx=−−，令cosxt=，10t−，()221fttt=−−，()ft在()1,0−单调递减，由复合函数的单调性知，()fx在π0,2

上先减后增，在π,π2上单调递增；故C，D错误，故选：B.6.印度数学家卡普列加在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边写有3025的一块牌子被劈成了两半，一半上写着30，另一半上写着25.这时，他发现302555+=，2553025=，即将劈成两半的数加起来，再

平方，正好是原来的数字.数学家将3025等符合上述规律的数字称之为雷劈数（或卡普列加数）.则在下列数组：92，81，52，40，21，14中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数的概率是（）A.815B.35C.13D.0【答案】C【解析】【分析】找出这6个数中的雷劈数，结合组

合数公式求相应的概率.【详解】因为()2281981+==，所以81是雷劈数.其余的不是雷劈数.记：“从6个数中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数”为事件A，则()1526C51C153PA===.故选：C7.已知函数()()21,1,axxafxxxa−+=−的值域为R，则

实数a的取值范围是（）A.(),0−B.(,1−−C.1,1−D.)1,0−【答案】D【解析】【分析】分段求函数值域，根据原函数值域为R，求实数a的取值范围.【详解】若0a，在(),a−上，函数1yax=−+单调递增，所以()2,1ya−−；此时，函数()21yx=−在,1

a上单调递减，在()1,+上单调递增，无最大值，所以)0,y+；因为函数()fx的值域为R，所以210a−，结合0a得10a−.若0a=，则()()21,01,0xfxxx=−的值域为)0,+；若01a，在(),

a−上，函数1yax=−+单调递减，所以()21,ya−+（210a−）；在,1a上，函数()21yx=−单调递减，在()1,+上单调递增，无最大值，所以)0,y+；所以函数()fx的值域不可能为R；若1a，则函数在(),a−上，函数1yax=−+单调递减，

所以()21,ya−+（210a−）；在),a+上，函数()21yx=−单调递增，())21,ya−+，此时函数()fx的值域不可能为R.综上可知：当10a−时，函数()fx的值域为R.故选：

D8.记正项数列na的前n项积为nT，已知()12nnnaTa−=，若10011000na，则n的最小值是（）A.999B.1000C.1001D.1002【答案】C【解析】【分析】由数列的前项积满足()12nnnaTa−=，可求得nT是等差数列，并求得nT的通项，进而

得到na的通项，再由10011000na，即可求得正整数n的最小值.【详解】∵nT为正项数列na的前n项积，()12nnnaTa−=，∴当1n=时，()11112TTT−=，113aT==2n时，1nnnTaT−=，又()12nnnaTa−=，∴1

1122211nnnnnnnnnnTTTTaTaTTT−−−−−=−==，即12nnTT−−=，∴nT是首项为3，公差为2的等差数列，且32(1)21nTnn=+−=+.由()2nnnTaT−=，得2

1221nnnTnaTn+==−−若10011000na，则211001211000nn+−，∴2001,2n所以，正整数n的最小值为1001.故选：C.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全

部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.现有甲、乙两组数据，甲组数据为：1216,,,xxx；乙组数据为：121639,39,,39xxx−−−，若甲组数据的平均数为m，标准差为n，极差为a，第60百分位数为b，则下列说法一定正确的是（）A.乙

组数据的平均数为39m−B.乙组数据的极差为3aC.乙组数据的第60百分位数为39b−D.乙组数据的标准差为n【答案】ABC【解析】【分析】根据平均数、极差、标准差的性质及百分位数的定义判断即可.【详解】不妨设甲组数据从

小到大排列为：1216,,,xxx，则乙组数据从小到大排列为：121639,39,,39xxx−−−，因为甲组数据的平均数为m，标准差为n，极差为a，第60百分位数为b，则161axx=−，又1660%9.6=，所以10bx=，所以乙

组数据的平均数为39m−，故A正确；乙组数据的极差为()()161161393933axxxx−−−−==，故B正确；乙组数据的第60百分位数为109393bx−=−，故C正确；乙组数据的标准差为3n，故D错误.故选：A

BC10.在三棱台111ABCABC−中，侧面11ACCA是等腰梯形且与底面垂直，111AC=，12AA=，3ACBC==，32AB=，则下列说法正确的是（）A.1AABC⊥B.11119AABCBABCVV−−=C.1112AABCBACCVV−−=D.三棱台11

1ABCABC−的体积为136【答案】ABD【解析】【分析】根据面面垂直证明线面垂直，再证线线垂直，可判断A的真假；根据两个同高的三棱锥的体积之比等于它们的底面积之比，可判断BC的真假；根据台体的体积公式求出台体

体积，判断D的真假.【详解】如图：对于A：在ABCV中，3ACBC==,32AB=，所以90ACB=，即ACBC⊥.由平面11ACCA⊥平面ABC，平面11ACCA平面ABCAC=，BC平面ABC，所以

⊥BC平面11ACCA，又1AA平面11ACCA，所以1BCAA⊥，故A正确；对于B：因为111AC=，3AC=，且111ABC△∽ABCV，所以11119ABCABCSS=.又三棱锥1AABC−和111BABC−的高相同，所以111

19AABCBABCVV−−=，故B正确；对于C：因为113ACAC=，所以1113AACACCSS=，所以1113BAACBACCVV−−=，即1113AABCBACCVV−−=，故C错误；对于D：因为三棱台的高为1，所以三棱台111ABC

ABC−的体积为：1191913322226V=++=，故D正确.故选：ABD11.已知函数()fx及其导函数()fx的定义域均为R，记()()gxfx=，若()()22fxfx+−=，()1gx−为偶函数，则下列说法一定正确

的是（）A()()()0123fff++=B.()()4gxgx+=C.()()4fxfx+=D.1322gg=【答案】ABD【解析】【分析】根据奇函数和偶函数的定义，结合函数的周期性和对称性，即可判断.【详解】对A：令1x=，则()()112ff+=()11f=；令

0x=，则()()022ff+=.所以()()()0123fff++=，故A正确；对B：因为()()22fxfx+−=，两边求导，得()()20gxgx−−=即()()2gxgx=−；因数()1gx−为偶函数，所以()()11gxgx−+=−−()()2

4gxgx−=−+，所以()()4gxgx=−+，故()()4gxgx+=成立，故B正确；对C：因为()()4gxgx+=，所以()()124fxcfxc++=+()()4fxfxc+=+，c未必0，故C错误；对D：因为()()2gxgx=−，令12x=，则1322gg

=，故D正确.故选：ABD【点睛】结论点睛：若()fx，()gx的定义域均为R，且()()gxfx=，则：.为（1）若()fx为奇函数，则()gx为偶函数；若()fx为偶函数，则()gx为奇函数.反之也成立.（2）若()f

x为周期函数，则()gx也是周期函数，且周期相同，反之未必成立.第II卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若3cos4sin5+=，则tan=_____________．【答案】43【解析】【分析】由已知条件结合

同角三角函数间的平方关系，求得sincos，，进而可得解.【详解】联立223cos4sin5cossin1+=+=，得4sin53cos5==，因此sin4tancos3==．故答案为：4313.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的左、右

焦点分别为1F、2F，过2F且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，若1AFB为等边三角形，则椭圆C的离心率为_________.【答案】33【解析】【分析】由已知及1AFB是等边三角形即可求得：2233AFc=,1433AFc=，利用椭圆定义列方程可得：214323

233AFAFcca+=+=，整理得：3ca=，问题得解．【详解】如图，依据题意作出图形，由题可得：122FFc=，又1AFB为等边三角形，由椭圆的对称性可得：126AFF=，又12ABFF⊥计算可得：2233AFc=,1433AFc=由椭

圆定义可得：214323233AFAFcca+=+=整理得：3ca=所以33cea==【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，还考查了三角形中的边、角计算，还考查了椭圆的定义应用，考查方程思想及计算能力，属于中档题．14.现有

甲、乙、丙等7位同学，各自写了一封信，然后都投到同一个邮箱里.若甲、乙、丙3位同学分别从邮箱里随机抽取一封信，则这3位同学抽到的都不是自己写的信的不同取法种数是__________（用数字作答）.【答案】134【解析】【分析】设甲

、乙、丙3位同学的信件分别为A、B、C，对A、B、C取到的个数分四种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得.【详解】设甲、乙、丙3位同学的信件分别为A、B、C，若A、B、C都没有取到，则有34A24=种不同的取法；若A、B、C取到一个，则有1123

24CAA72=种不同的取法；若A、B、C取到两个，则有()21113244CAAC36+=种不同的取法；若A、B、C取到三个，则有12C2=种不同的取法；综上可得一共有2472362134+++=种不同的取法.故答案为：134四、解答题：本大题共5小题，满分77分．解答应写出文字

说明、证明过程或演算步骤.15.在ABCV中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinsinsinBCA=，2a=.（1）求ABCV的面积S；（2）若2212bc+=，求A.【答案】（1）2（2）π4【解析】【分析】（1）利用正弦定理得到sin2bCa==，从而得到2sinCb=，再由

面积公式计算可得；（2）由余弦定理得到cos4bcA=，从而得到2cosbcAa=，再由正弦定理将边化角，即可求出tanA，从而得解.【小问1详解】因为sinsinsinBCA=，2a=，由正弦定理可得sin2bCa==，所以2sinCb=，所以112sin

2222ABCSabCbb===；小问2详解】因为2222cosabcbcA=+−，又2212bc+=，2a=，所以4122cosbcA=−，所以cos4bcA=，则2cosbcAa=，由正弦定理可得2sinsincossinA

BCA=，又sinsinsinBCA=，所以2sincossinAAA=，显然sin0A，所以cossinAA=，则tan1A=，又()0,πA，所以π4A=.【16.如图，四棱锥PABCD−底面是正方形，且2AB=

，PAPB⊥.四棱锥PABCD−的体积为43.（1）证明：平面PAB⊥平面ABCD；（2）求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）取AB的中点O，连接OP，即可得

到1PO=，设P到平面ABCD的距离为h，根据锥体的体积公式求出1h=，即可得到⊥PO平面ABCD，从而得证；（2）取CD的中点，连接OE，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】取AB的中点O，连接OP，因为2AB=，PAPB⊥，所以112PO

AB==，又四棱锥PABCD−的底面是正方形，所以224ABCDS==，设P到平面ABCD的距离为h，则1144333ABPABCDCDVhSh−===，所以1h=，所以POh=，即⊥PO平面ABCD，又PO平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABCD；【小问2详解】取CD的中点，连接OE，则/

/OEBC，即OEAB⊥，如图建立空间直角坐标系，则𝑃(0,0,1)，()1,2,0C，()1,2,0D−，所以()2,0,0DC=，()1,2,1PC=−，设平面PCD的法向量为(),,nxyz=，则2020nDCxnPCxyz===

+−=，取()0,1,2n=，的又平面PAB的一个法向量为()0,1,0m=，设平面PAB与平面PCD夹角为，则15cos515mnmn===，所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为55.17.已知函数()()()2e21e2210xxfxa

axaa=−++++.（1）求函数()fx在0x=处的切线方程；（2）讨论函数()fx的单调性；（3）若函数()fx存在两个零点1x，2x，且120xx+，求实数a的取值范围.【答案】（1）0y=（2）答案见解析（3）()1,+【解析】【分析】（1）求

出()0f，再求出导函数，即可得到切线的斜率，从而求出切线方程；（2）由（1）可得()()()12eexxfxa=−−，再分1a=、1a、01a三种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（3）由()00f=，可得()fx必有

一个零点为0，再结合（2）讨论可得.【小问1详解】因为()()()2e21e2210xxfxaaxaa=−++++，所以()00f=，()()22e21e2xxfxaa=−++，则()00f=，所以函数()fx在0x=处的切线方

程为0y=；【小问2详解】函数()()()2e21e2210xxfxaaxaa=−++++的定义域为R，且()()()()22e21e22ee1xxxxfxaaa=−−+=−+，当1a=时，()()22e10xfx=−恒成立，

所以()fx在R上单调递增；当1a时，则当lnxa或0x时()0fx，当0lnxa时()0fx，所以()fx在(),0−，()ln,a+上单调递增，在()0,lna上单调递减；当01a时，则当0x或lnxa时()0fx

，当ln0ax时()0fx，所以()fx在(),lna−，()0,+上单调递增，在()ln,0a上单调递减；综上可得，当1a=时，()fx在R上单调递增；当1a时，()fx在(),0−，(

)ln,a+上单调递增，在()0,lna上单调递减；当01a时，()fx在(),lna−，()0,+上单调递增，在()ln,0a上单调递减.【小问3详解】因为()00f=，()fx必有一个零点为0

，由（1）可得，当1a=时()fx只有一个零点，不符合题意；当1a时，()fx在(),0−，()ln,a+上单调递增，在()0,lna上单调递减，显然()()ln00faf=，当()ln21xa+时()e21xa+，则()e210

xa−+，e0x，20ax，所以()()()2e21e221e21e2210xxxxfxaaxaaaxa=−++++=−++++，所以()fx在()ln,a+上存在一个零点，此时()fx有两个零点1x，2x（不妨令12xx

），且10x=，()2ln,xa+，即20x，满足120xx+；当01a时，()fx在(),lna−，()0,+上单调递增，在()ln,0a上单调递减，所以()fx在()0,+不存在零点，且一个零点

为0，则另一零点不可能大于0，此时不满足120xx+，故舍去；综上可得实数a的取值范围为()1,+.18.密室逃脱是当下非常流行的解压放松游戏，现有含甲在内的7名成员参加密室逃脱游戏，其中3名资深玩家，4名新手玩家，甲为新手玩家.（1）在某个游戏环节中，需随机选择两名

玩家进行对抗，若是同级的玩家对抗，双方获胜的概率均为12；若是资深玩家与新手玩家对抗，新手玩家获胜的概率为13，求在该游戏环节中，获胜者为甲的概率；（2）甲作为上一轮的获胜者参加新一轮游戏：如图，有两间相连的密室，设两间密室的编号分别为①和②.密室①有2个门，

密室②有3个门（每个门都可以双向开），甲在每个密室随机选择1个门出去，若走出密室则挑战成功.若甲的初始位置为密室①，设其挑战成功所出的密室号为()1,2XX=，求X的分布列.【答案】（1）542（2）分布列见解析【解析】【分析】（1）先求出7人中随机选择2人的情况数

和包含甲的情况数，分析得到6种情况中，甲和资深玩家对抗的情况有3种，和同级的玩家对抗情况有3种，分两种情况，求出甲获胜的概率，相加即可；（2）设1P为甲在密室①，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，2P为甲在密室

②，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，分析得到两个方程，求出135P=，从而得到()315PX==和()225PX==，得到分布列.【小问1详解】7人中随机选择2人，共有27C21=种情况，其中含甲的情况有16C6=种，6种情况中，甲和资深玩家对抗的情

况有3种，和同级的玩家对抗情况有3种，则甲和资深玩家对抗并获胜的概率为31121321=，和同级的玩家对抗并获胜的概率为31321242=，故在该游戏环节中，获胜者为甲的概率为135214242+=；【小问2详解】设1P为甲在密室①，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，2P为甲在密室②，

且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，考虑1P，需考虑甲直接从a号门走出密室或者进入密室②且最终从密室①走出密室，故121122PP=+①，考虑2P，则甲从b号门进行密室①，且从密室①走出密室，故2113PP=②，联立①②，可得135P=，所以()1315PXP===，故()322155P

X==−=，故分布列如下：X12P352519.已知数列na的前n项和为nS，且23nnSan=+−.（1）求数列na的通项公式；（2）设11,12,11knnkkknabbkana−+=−=+−−，*Nk（

i）当2k，11kna+=−时，求证：()11nknbab−−；（ii）求1nSniib−=.【答案】（1）121nna−=+（2）（i）证明见解析；（ii）114399nn−+【解析】【分析】（1）根据

数列的前n项和，可构造数列的递推公式，再构造等比数列，可求数列的通项公式.（2）先利用等差数列的前n项和公式求12121kkiib−−=+，因为1nSniib−=()11141nnkikik−===+−114nkkk−==，再利用错位相减法求和.【小

问1详解】当1n=时，11213=+−aa12a=.当2n时，23nnSan=+−，1124nnSan−−=+−，两式相减得：1221nnnaaa−=−+121nnaa−=−()1121nnaa−−=−.所以1n

a−是以111a−=为首项，以2为公比的等比数列，所以112nna−−=121nna−=+.当1n=时，上式也成立.所以数列na的通项公式为：121nna−=+【小问2详解】由题意：111,22,22knkknknbbkn−−−==+

，*Nk（i）当2k，11kna+=−时，1nbk=+，112kka−−=，()111221222kkknbkkkk−−−=+−−=−.因为()11nknbab−−−()112212kk

kkk−−=−−+()112kkk−=−−，因为2k，所以()()1122120kkkkkk−−−−−=−，所以：()11nknbab−−.（ii）因为()111222112nninniSnnn−=−=+=+=+−−，所以21nnSn−=−.()()()()1112112121

2221222kkkkkiibkkk−−−−−=+−−=−++()141kk−=−，所以1nSniib−=()11141nnkikik−===+−114nkkk−==设01211424344nnTn−=++++，则()12141

424144nnnTnn−=+++−+两式相减得：01134444nnnTn−−=+++−11433nn=−−，所以114399nnnT=−+.即1nSniib−=114399nn=−+.【点

睛】关键点点睛：（1）当122kkn−时，数列nb是首项为2kk+，公差为2k的等差数列，项数为：1122121kkk−−−−=−.（2）当数列是“等差等比”形式时，其前n项和用“错位相减法”求和.