【文档说明】山东省淄博市2023届高三上学期第一次模拟考试数学试题 word版含解析.docx，共(26)页，1.360 MB，由小赞的店铺上传

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淄博市2022-2023学年度高三模拟考试数学注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡.上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案

标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求

的.1.若集合2560Axxx=−−，()ln214Bxyx==−，则()RAB=ð（）A.(1,7−B.(1,6−C.()7,+D.()6,+【答案】C【解析】【分析】求出集合A,B中元素的范围，然后求()ABR

ð即可.【详解】256016Axxxxx=−−=−,()ln21421407Bxyxxxxx==−=−=,()()R,16,A=−−+ð,()()R7,AB+=ð.故选：C.2.设复数1i4i1iz−=++，则z=（）

A0B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】求出复数z的代数形式，进而可求模.【详解】()()()()1i1i1i4i=4i=i4i3i1i1i1iz−−−=++−+=++−，.3z=.故选：D.3.函数()()0πsi

n3fxAx=+的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为π3，得到函数()cosgxAx=的图象，只需将()fx的图象（）A.向左平移π12个单位B.向右平移π12个单位C.向左平移π18个单位D.向右平移π18个单位【答案】C【解

析】【分析】先根据条件求出周期，即可得到，再利用平移的规则即可得到答案、.【详解】函数()()0πsin3fxAx=+的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为π3，则π2π2π233T===，3=，()πππsin3c

os3cos3πcos3332618πfxAxAxAxAx=+=+−=−=−，只需将()fx的图象向左平移π18个单位即可得到函数()cosgxAx=的图象.故选：C.4.如图，某几何体的形状类似

胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径都为2，若该几何体的表面积为20，则其体积为（）A.44π3B.15πC.28π3D.16π3【答案】A【解析】【分析】由图可知：该几何体是有一个圆柱和两个半球拼接而成

，根据表面积公式求出圆柱的高，利用体积计算公式即可求解.【详解】由题意可知：设该几何体中间部分圆柱的高为h，圆柱的半径为r，则该几何体的表面积为24π2π20πrrh+=，因为2r=，所以1h=，所以该几何体的体积32444πππ33Vrrh=+=，故选：A.5.某公园有如图所示A

至H共8个座位，现有2个男孩2个女孩要坐下休息，要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列，则不同的坐法总数为（）ABCDEFGHA.168B.336C.338D.84【答案】B【解析】【分析】根据题意，先排男生再排女

生，由分步计数原理计算可得答案.【详解】第一步：排男生，第一个男生在第一行选一个位置有四个位置可选，第二个男生在第二行有三个位置可选，由于两名男生可以互换，故男生的排法有43224=种，第二步：排女生，若男生选AF，则女生有,,,,,,BEBGBHCECHDEDG共7种选择

，由于女生可以互换，故女生的排法有2714=种，根据分步计数原理，共有2414336=种，故选：B6.已知ABO中，1OA=，2OB=，1OAOB=−，过点O作OD垂直AB于点D，则（）A.5277ODOAOB=+B.3477ODOAOB=+C.2577ODOAOB=+D.43

77ODOAOB=+【答案】A【解析】【分析】根据1OAOB=−求得120AOB=，再用余弦定理求得7AB=，利用等面积法求得217OD=，勾股定理求得277AD=，从而27ADAB=，最后分解为已知

向量即可.详解】cos2cos1,OAOBOAOBAOBAOB===−即1cos2AOB=−，又因为0180AOB，所以120AOB=.在AOB中，根据余弦定理可得：2222cos1207ABO

AOBOAOB=+−=，即7AB=，根据三角形面积公式11sin12022AOBSABODOAOB==，解得217OD=，22277ADOAOD=−=，27ADAB=，()22527777ODOAADOAAB

OAOBOAOAOB=+++−===+.故选：A7.直线220xy-+=经过椭圆()222210xyabab+=的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于M点，若3FMAM=，则该椭圆的离心率为（）A.1758+

B.1754−C.1752−D.1759+【答案】C【解析】【分析】由直线220xy-+=与坐标轴的交点，得到()2,0F−，()0,1M，则2c=，由3FMAM=，得A点坐标，点A又在椭圆上，由定义求得2a，可求椭圆的离

心率.【详解】对直线220xy-+=，令0y=，解得2x=−，令0x=，解得1y=，【故()2,0F−，()0,1M，则(2,1)FM=，设()00,Axy，则()00,1AMxy=−−，而3FMAM=，则()002313(1)xy=−=−，解得002323xy=−

=，则22,33A−，点A又在椭圆上，左焦点()2,0F−，右焦点()2,0F，由()22222517222222233333aAFAF+=+=−+++−−+=，则573a+=，椭圆的离心率21

7525173cea−===+.故选：C8.已知0.3e1a=−，ln1.3b=，tan0.3c=.其中e2.71828=为自然对数的底数，则（）A.cabB.acbC.bacD.abc【答案】B【

解析】【分析】根据已知条件构造函数()πe1tan,04xfxxx=−−，()()πln1,02gxxxx=+−，()πtan,02mxxxx=−，再利用导数法研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即

可求解.【详解】由0.3e1tan0.3ab−−=−，令()ecoscossinπe1tan,0cos4xxxxxfxxxx−−=−−=，令()ecoscossinxgxxxx=−−，则()()()e1cossinxgxxx=−−，当π04x时，()0gx，所以()gx在π0,4

上单调递增，又()00ecos0cos0sin0110g=−−=−=，所以()0gx，又cos0x，所以()0fx，在π0,4成立，所以()0.30f，即()0.30.3e1tan0.30f=−−，所以0.3e1tan0.3−，即ac，令()()ln1,hx

xx=+−π0,2x，所以()1111xhxxx−=−=++，因为π0,2x，所以01xx−+，即()0hx，所以()hx在π0,2上单调递减，所以()()00hx

h=，即()ln1,xx+令()tanmxxx=−，π0,2x所以()211cosmxx=−，因为π0,2x，所以2110cosx−，即()0mx，所以()mx在π0,2上单调递减，所以()()00mxm=，即

tanxx，所以()ln1tanxxx+，在π0,2成立，令0.3x=，则上式变为()ln10.30.3tan0.3+，所以0.3bc，即bc，综上，acb.故选：B.【点睛】解决此题的

关键是构造函数()πe1tan,04xfxxx=−−，()()πln1,02gxxxx=+−，()πtan,02mxxxx=−，然后利用导函数研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可.二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给

出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.某学校为普及安全知识，对本校1500名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动(满分为100分).现从中随机抽取100名学生的得分进行统计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图

，则根据该直方图，下列结论正确的是（）A.图中x的值为0.016B.估计该校高一大约有77%的学生竞赛得分介于60至90之间C.该校高一学生竞赛得分不小于90的人数估计为195人D.该校高一学生竞赛得分的第75百

分位数估计大于80【答案】BCD【解析】【分析】根据频率分布直方图性质可得0.017x=，判断A错误；计算出得分介于60至90之间的频率，判断B正确；利用1500乘以得分不小于90频率，判断C正确；计算得分介于50至80之间的频率判断D正确.【详解】由频率分布直方图性质可得：0.0

10.0130.0280.032101x++++=（），解得0.017x=，故A错误；得分介于60至90之间的频率为(0.0280.0320.017)100.77++=，故B正确；得分不小于90的

人数估计为15000.01310195=，故C正确；得分介于50至80之间的频率为0.01100.028100.032100.70.75++=，故D正确.故选：BCD.10.已知函数()()1tfxxxt=+−R，则（）A.当1t=−时，()fx在()0,+有

最小值1B.当3t=时，()fx图象关于点()0,1中心对称C.当2t=时，()lnfxx对任意0x恒成立D.()fx至少有一个零点的充要条件是0t【答案】AC【解析】【分析】利用基本不等式判断选项A；利用函数的对称性即可判断选项B；利用导数判断函数的单调性

即可判断选项C；举例说明即可判断选项D.【详解】对于A，当1t=−时，()11xfxx=+−，当0t时，则()111211fxxxxx=+−−=当且仅当1xx=，即1x=时去等号，所以函数()fx在()0,+有最小值1，故选项A正确；对于B，当3t=时，则()31fxxx=+−，因为(

)()33112fxfxxxxx−+=−−−++−=−，所以此时函数()fx图象不关于点()0,1中心对称，故选项B错误；对于C，当2t=时，则()21fxxx=+−，令2()1ln(0)gxxxxx=+−−，则1(21)(1)()21xxgxxxx−+=+−=，当1

02x时，()0gx；当12x时，()0gx，所以函数()gx在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+上单调递增，所以1111()()1ln2ln202424gxg=+−+=−，所以()0gx，则

当2t=时，()lnfxx对任意0x恒成立，故选项C正确；对于D，因为2t=−时，函数()21()10fxxxx=+-?，1(1)10,()02ff-=-<->，函数在11,2−−上有一个零点，所以选项D错误，故选：AC.11.已知曲线C的方程为2214xym+=（4

m且0m)，A，B分别为C与x轴的左、右交点，P为C上任意一点(不与A，B重合)，则（）A.若1m=−，则C为双曲线，且渐近线方程为2yx=B.若P点坐标为()1,n，则C为焦点在x轴上的椭圆C.若点F的坐标为()4,0m−，线段PF与x轴垂直，则2mPF=D.若直线PA，

PB的斜率分别为1k，2k，则124mkk=−【答案】BD【解析】【分析】根据方程的特征和椭圆与双曲线的性质逐项进行分析即可判断.【详解】对于A，若1m=−，则C为双曲线，其双曲线的渐近线方程为：12yx=，故选项A

错误；对于B，因为点P()1,n在曲线C上，所以234nm=，所以0m，则曲线C为椭圆，又因为4m，所以C为焦点在x轴上的椭圆，故选项B正确；对于C，因为点F的坐标为()4,0m−，所以过点F与x轴垂直的直线方程为4xm=−，代入曲线方程可得：2my=，若0m，则有2mPF=，若0m

，则有2mPF=−，故选项C错误；对于D，由题意可知：(2,0)A−，(2,0)B，设点000(,)(2)Pxyx，则0102PAykkx==+，0202PBykkx==−，所以2012204ykkx=−，又因

为点000(,)(2)Pxyx在曲线2214xym+=上，所以22004mymx=−，所以22001222004444mmxymkkxx−===−−−，故选项D正确，故选：BD.12.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，2AB=，P是正方形ABCD内部(含边界)的一

个动点，则（）A.存在唯一点P，使得11DPBC⊥B.存在唯一点P，使得直线1DP与平面ABCD所成的角取到最小值C.若12DPDB=，则三棱锥1PBBC−外接球的表面积为8D.若异面直线1DP与1AB所成的角为4，则动点P的轨迹是

抛物线的一部分【答案】BCD【解析】【分析】由线面垂直得线线垂直来确定点P位置，判断选项A；几何法找线面角，当角最小时确定点P位置，判断选项B；P为DB中点时，求三棱锥1PBBC−外接球的半径，计算外接球的表面积，判断选项C；利用向

量法解决异面直线所成角的问题，求出动点P的轨迹，判断选项D.【详解】对于A选项：正方形11BCCB中，有11BCBC⊥，正方体中有AB⊥平面11BCCB，1BC平面11BCCB，1ABBC⊥，又1BCABB=，1,BCAB

平面11ABCD，1BC⊥平面11ABCD，只要1DP平面11ABCD，就有11DPBC⊥，P在线段AB上，有无数个点，A选项错误；对于B选项：1DD⊥平面ABCD，直线1DP与平面ABCD所成的角为1DPD，12DD=，1DPD取到最小值时，PD最大，此时点P与点B重合

，B选项正确；对于C选项：若12DPDB=，则P为DB中点，PBC为等腰直角三角形，外接圆半径为112BC=，三棱锥1PBBC−外接球的球心到平面PBC的距离为1112BB=，则外接球的半径为2，所以三棱锥1PBBC−外接球的表面积为8π，C选项正确；对于D选项：以D

为原点，1,,DADCDD的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()10,0,2D，()12,0,2A，()2,2,0B，设()(),,002,02Pxyxy，则有()1,,2DPxy=-，()10,2,2AB=−，有1111221124π2co

s,cos4248DPAByDPABDPABxy+====++，化简得24xy=，P是正方形ABCD内部(含边界)的一个动点，所以P的轨迹是抛物线的一部分，D选项正确.故选：BCD三、填空题:本题共4小题，每小题5分，

共20分13.在二项式912xx−的展开式中，常数项是______.【答案】2116−【解析】【分析】由题意首先结合通项公式写出通项，然后结合展开式的性质整理计算即可求得最终结果.【详解】展开式的通项公式为：()9993219

911C1C22rrrrrrrrxTxx−−−+=−=−，令9302r−=可得：3r=，则展开式的常数项为：()633911C22116−=−.故答案为：2116−14.若1sin63π+=

，()0,π，则cos=______.【答案】1266−【解析】【分析】先通过1sin63π+=以及()0,π确定π6+的范围，进而可得cos6π+，再利用两角差的余弦公式展开πcoscos66π=+−计算即可.【详解】

()0,π,ππ7π,666+，又1sin63π+=，若πππ,662+，则21sinπ6πsin6+=，与1sin63π+=矛盾，ππ,π62+，2cos1si

n663ππ22+=−−+=−，coscoscosπciπossinsn66666π6πππ=+−=+++2231112632326−=−+=.故答案为：1266−.15.在平面直角

坐标系xOy中，已知点()3,1P，直线ykxb=+与圆2210xy+=交于M，N两点，若PMN为正三角形，则实数b=______.【答案】5−【解析】【分析】结合作图，可求得直线的斜率，以及原点到直线的距离，利用

点到直线的距离公式，求得答案.【详解】由题意可知()3,1P在圆上，如图：设MN中点为H，连接PH，因为PMN为正三角形，则PH过点O,且PHMN⊥，则直线MN的斜率为：13OPkk=−=−，故ykxb=+即为3yxb=−+，因为PMN为正三角形，则

O点为PMN的中心，由中心及重心性质知，1022OPOH==，故||10219b=+，解得5b=，结合()3,1P在圆上，PMN是圆的内接正三角形，可知0b，即5b=−.故答案为：5−，16.已知函数21,0()ln,0xxfxxx++=，若

存在实数abc，满足()()()fafbfc==，则()()()afabfbcfc++的最大值是______．【答案】33e12−【解析】【分析】作出()fx的函数图象，得出4ab+=−，3(e,e]c，将()()()afabfbcfc+

+化简为(4)lncc−，构造函数()(4)lngxxx=−，3(e,e]x，由()0gx得出()gx单调递增，求出()gx的最大值，即可求得答案．【详解】解：作出()fx的函数图象如图所示：∵存在实数abc，满足()()()fafbfc=

=，4ab+=−，()()()()()(4)()(4)lnafabfbcfcabcfccfccc++=++=−=−，由图可知，1()3fc，3eec，设()(4)lngxxx=−，其中3(

e,e]x，4()ln1gxxx=+−，显然()gx在3(e,e]x单调递增，4()20ege=−，3(e,e]x，()0gx，()gx在3(e,e]x单调递增，()gx在3(e,e]x的最大值为333(e)3(e4)3e12g=−=−，(4)()cfc−的最大

值为33e12−，故答案为：33e12−．四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列na中，11a=，()11232nnnaan−+=+N.（1）判断数列2nna

是否为等差数列，并说明理由；（2）求数列na的前n项和nS【答案】（1）是等差数列，理由见解析（2）()12342nnSn−=+−【解析】【分析】(1)根据数列的递推公式即可求解；(2)结合（1）的结论得出()()2312nnann−=−N，然后利用错

位相减法即可求解.【小问1详解】因为1111232322224nnnnnnnnnaaaa−++++−=−=，所以数列2nna是以12为首项，以34为公差的等差数列；【小问2详解】由（1）知：数列2nna的通项公

式为：()()1311312244nnann=+−=−，则()()2312nnann−=−N，()()10132225282342312nnnSnn−−−=++++−+−①，()()01221222

5282342312nnnSnn−−=++++−+−②，①−②得：()()012113222312nnnSn−−−=++++−−()11121331212nnn−−−=+−−−()12432nn−=−+−，则()12342nnSn−=+−.18.在ABC中，角

A，B，C的对边分别是a，b，c，满足()()abcabcab+++−=（1）求角C；（2）若角C的平分线交AB于点D，且2CD=，求2ab+的最小值.【答案】（1）23（2）642+【解析】【分析】(1)结合已知条件，利用余弦定理即可

求解；(2)利用正弦定理得到sin21sinAaB=+，sin21sinBbA=+，然后利用基本不等式即可求解.【小问1详解】由()()abcabcab+++−=可得：222abcab+−=−，由余弦定理知，2221c

os222abcabCabab+==−=−−，又()0,πC因此2π3C=.【小问2详解】在ACD中，由πsinsin3CDADA=，得3sinADA=，在BCD△中，由πsinsin3CDBDB=，可得3sinBDB=，所以33sinsincA

DBDAB=+=+；在ABC中，由sinsinsinabcABC==，得33sinsinsinsin32abABAB+==，解得sin21sinAaB=+，sin21sinBbA=+，所以2sins

in223sinsinABabBA+=++，因为sin0A，sin0B，所以()2sinsin22322322642sinsinABabBA++=+=+，当且仅当2

22sinsinAB=时取等号，因此2ab+的最小值为642+.19.某电商平台统计了近七年小家电的年度广告费支出ix(万元)与年度销售量iy(万台)的数据，如表所示:年份2016201720182019202020212022广告费支出x1246111319销售量y

1.93.2404.45.25.35.4其中71279.4iiixy==，721708iix==（1）若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的线性回归方程；（2）若用ycdx=+模型拟合得到的回归方程为1.630.99yx=+，经计算线性回归模型及该

模型的2R分别为0.75和0.88，请根据2R的数值选择更好的回归模型拟合y与x的关系，进而计算出年度广告费x为何值时，利润200zyx=−的预报值最大？参考公式：()()()1122211nniiiiiinniiiixynxyxxyybxnxxx====−−−==−−，aybx=−$$；

.【答案】（1）0.172.84yx=+（2）选用回归方程1.630.99yx=+更好，9801x=时，利润的预报值最大【解析】【分析】(1)根据数据，利用公式即可求出线性回归方程；（2）2R越大拟合效果越好，选用回归方程1.630.99yx=+更好，从而计算出结果.【小问1详解】由题意可得

：124611131987x++++++==1.93.24.04.45.25.35.44.27y++++++==所以71722217279.4784.20.17708787iiiiixyxybxx==−−

===−−，4.20.1782.84aybx=−=−=，y关于x的线性回归方程：0.172.84yx=+.【小问2详解】因为0.750.88，2R越大拟合效果越好，选用回归方程1.630.99yx=+更好，()2001.630.99198326zx

xxx=+−=−++()29910127zx=−−+，即当99x=时，9801x=时，利润的预报值.20.已知多面体ABCDEF中，////ADBCEF，且4ADCDDE===，2BCEF==，π3BCDFED==（1）证明:ADBF⊥；（2）若26BF=，求直线

CD与平面ABF所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析;（2）3322【解析】【分析】（1）通过证明BDAD⊥，DFAD⊥得AD⊥平面BDF，从而证明ADBF⊥；（2）由条件证得BDFD⊥，以DA所在直线为x轴，以DB所在直线为y轴，以DF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系

求解.【小问1详解】连接BD,DF，在BCD△中，4DC=，2BC=，π3BCD=，222π2cos123BDBCDCBCDC=+−=，可得2DBC=，即BDBC⊥，同时//ADBC，可得BDAD⊥，同

理可得DFAD⊥，因为BDAD⊥，DFAD⊥，且BD平面BDF，DF平面BDF，BDDFD=I，所以AD⊥平面BDF；又因为BF平面BDF，所以ADBF⊥.【小问2详解】在BDFV中，易得23BDFD==，且26BF=，所以BDFD⊥，同时BDAD⊥，DFAD⊥

，以DA所在直线为x轴，以DB所在直线为y轴，以DF所在直线为z轴，如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz−.其中()4,0,0A，()0,23,0B，()0,0,23F，()2,23,0C−，()4,0,23AF=−，()4,23,0AB=−，设向量(),,nxy

z=为平面ABF的法向量，满足0423004230nABxynAFxz=−+==−+=，不妨取()3,2,2n=，()2,23,0DC=−，直线CD与平面ABF所成角的正弦值为：

()()()222222333cos,22223322DCnDCnDCn===−+++.21.已知抛物线C：()220ypxp=上一点()2,Pt到其焦点F的距离为3，A，B为抛物线C上异于原点的两点.延长AF，

BF分别交抛物线C于点M，N，直线AN，BM相交于点Q.（1）若AFBF⊥，求四边形ABMN面积最小值；（2）证明:点Q在定直线上.【答案】（1）32（2）证明见解析的【解析】【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式求得抛物线方程，设()11,Axy，(

)22,Mxy，直线AM的方程()10xmym=+，联立方程，利用韦达定理求得12yy+，12yy，再根据弦长公式求得,AMBN，再结合基本不等式即可得解；（2）设()33,Bxy，()44,Nxy，(),QQQxy，根据A，N，Q三点共线和B，M，Q三点共线，求得Qx，再结合（1）即可得出

结论.【小问1详解】由抛物线定义可知，232p+=，解得2p=，即抛物线C方程为24yx=，由题意，设()11,Axy，()22,Mxy，直线AM的方程()10xmym=+，由214xmyyx=+=，消去x得2440ymy−−

=，216160m=+恒成立，由韦达定理可知：124yym+=，124yy=−，故()()21212441AMxxpmyym=++=++=+，因为AFBF⊥，所以直线BN的方程为11xym=−+，于2141BNm=+

，则()222211114141823222ABMNSAMBNmmmm==++=++当且仅当221mm=，即1m=时等号成立，所以四边形ABMN面积的最小值为32；【小问2详解】设()33,Bxy，()44,Nxy，(),QQQxy，因

为A，B，M，N都在C上，是所以，()21,2,3,44iiyxi==，因为A，N，Q三点共线，所以有141411QQyyyyxxxx−−=−−，即141222411444QQyyyyyyyx−−=−−，

整理得：14144QQyyxyyy+=+，同理，因为B，M，Q三点共线，可得23234QQyyxyyy+=+，即1423142344QQyyxyyxyyyy++=++，解得：12323412413423144Qyyyyyyyyyyyyxyyyy+−−=+

−−，由（1）可知，12344yyyy==−，代入上式可得：()32412314444Qyyyyxyyyy−+−−==−+−−，得1Qx=−，即点Q在定直线=1x−上.【点睛】本题考查了抛物线的焦半径公式及抛物线与直线位置关

系的应用，考查了抛物线中四边形的面积的最值问题，及抛物线中的定直线问题，考查了逻辑推理和数据分析能力，有一定的难度.22.已知函数()lnfxxx=和()()()0gxbxxb=−有相同的最小值.（1）求b的值；（2）设

()()()hxfxgx=+，方程()hxm=有两个不相等的实根1x，2x，求证:12212exx+【答案】（1）4eb=（2）证明见解析【解析】【分析】(1)由二次函数的性质可得()min4bgx=−，利用导数可得()()11mineefxf−−==−，再根据两函数的最小值相同，求解即可

；(2)令()()Hxhx=，利用导数确定()Hx即()hx在()0,+上单调递增，由零点存在定理可得0211,eex，使()00hx=，由题意可设10201xxx，()

()()()0020Gxhxhxxxx=−−，利用导数可得()Gx是减函数，即可得()()1012hxhxx−，再由()hx在()0,x+上的单调性即可得证.【小问1详解】解：()()211244

bgxbxxbx=−=−−−，所以()min144bgxg==−；函数()fx的定义域为()0,+，()ln1fxx=+，令()0fx，解得10ex−，()0fx¢>解得1ex−，所以(

)fx在()10,e−上单调递减，在()1e,−+上单调递增.所以()()11mineefxf−−==−因为函数()lnfxxx=和()()()0gxbxxb=−有相同的最小值，所以1e4b−−=−即4eb=

；【小问2详解】证明：()()4lnehxxxxx=+−，()41ln11e2hxxx=++−，令()()Hxhx=，则()32110eHxxx−=+，所以()Hx即()hx在()0,+上单调递增，因为14e10ee2h=−

，21430eeh=−所以0211,eex，使()00hx=，于是()hx在()00,x上单调递减，在()0,x+上单调递增.又()10h=，当x趋于0时，()hx趋于0，则当()0,1x时，()0hx方程()hxm=有两个不相等的实根根1x，2x

，不妨设10201xxx.设()()()()0020Gxhxhxxxx=−−，则()()()()00041412ln11ln211ee222Gxhxhxxxxxxxx=+−=++−+−+

+−−，()200002118228ln22ln2eeee22xxxxxxxxxx=−−+++−++−−002282ln2eexx−++，由()00hx=即0041ln110e2xx++−=，得002

4ln1eexx=−−，并代入上式，得()00242282120eeeeGxxx−−−++=所以()Gx是减函数，()()()()1000020GxGxhxhxx=−−=，即()()1012hxhxx−，又由题意()()12hxhx=，得

()()2012hxhxx−，而0102xxx−，且()hx在()0,x+上单调递增，所以2012xxx−，即1202xxx+，又021ex，故12212exx+.【点睛】方法点睛：有关函数的单调性的问题，借助于导数进行确定；关于不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题进行解答.获

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