【文档说明】广东省揭阳市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，1.092 MB，由小赞的店铺上传

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2024-2025学年度第一学期高三数学段考2试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合|1,|(1)(3)0AxxBxxx==+−，则()

AB=RIð（）A.()3,+B.()1,−+C.()1,3−D.(1,1−【答案】D【解析】【分析】根据条件，求出|13Bxx=−和|1Axx=Rð，再根据集合的运算，即可求出结果.【详解】由(1)(3)0x

x+−，得到13x−，所以|13Bxx=−，又|1Axx=，所以|1Axx=Rð，故()|11ABxx=−RIð，故选：D.2.若复数()13i3iz−=−（i为虚数单位），则zz−在复平面内对应的点位于（）A.

第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】求出z，化简复数zz−，利用复数的几何意义可得出结论.【详解】由题得()()3i13i3i34i13i1055z−+−===+−，∴|𝑧|=1，24i55zz−=−，其

对应的点24,55−位于第四象限.故选：D．3.双曲线2213yx−=的两条渐近线的夹角的大小等于（）A.6B.3C.23D.56【答案】B【解析】【分析】求得双曲线的两条渐近线方程，得到斜率和倾斜角，再求

出渐近线夹角的大小.【详解】双曲线2213yx−=的两条渐近线的方程为3yx=，由直线3yx=的斜率为3，可得倾斜角为3，3yx=−的斜率为3−，可得倾斜角为23，所以两条渐近线的夹角的大小为3，故选：B.4.在△ABC

中，D是BC上一点，满足3BDDC=uuuruuur，M是AD的中点，若BMBABC=+，则+=（）A.54B.1C.78D.58【答案】C【解析】【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可.

【详解】由题可知，11122222AMADBMBABDBABMBABD=−=−=+，()3334BDDCBCBDBDBC==−=,所以有11132228BMBABDBABC=+=+，所以13,28=

=，得78+=.故选：C5.若两个等比数列,nnab的公比相等，且1234,2baa==，则nb的前6项和为（）A.578B.638C.124D.252【答案】B【解析】【分析】运用等比数列定义和求和公式计算即可.【详解】由232aa=，得na的公比3212aqa==

，所以nb的公比为12，则nb的前6项和为61412631812−=−．故选：B.6.若函数()sin3cosfxxx=+(0)在区间[,]ab上是减函数，且()1fa=，()1fb=−，πba−=，则=

（）A.13B.23C.1D.2【答案】A【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数表达式，根据单调性与函数值，结合正弦函数的图象，确定π3a+与π3b+的值，两式相减，即可求出的值.详解】由题知()πsin3cos2si

n3fxxxx=+=+，因为()1fa=，()1fb=−，所以π1sin32a+=，π1sin32b+=−又因为()fx在区间[,]ab上是减函数，所以()π5π2π36akk+=+Z，()π7π2π36bkk+

=+Z两式相减，得()π3ba−=，因πba−=，所以13=.故选：A.7.已知点()1,0A−，()0,3B，点P是圆()2231xy−+=上任意一点，则PAB面积的最小值为（）A.6B.112C.92D.1062−【答案】D【解析】【分析】求出

直线AB的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点P到直线AB距离的最小值即可求得最小值.【详解】两点()1,0A−，𝐵(0,3)，则22||(1)310AB=−+=，直线AB方程为33yx=+，【为圆()2231xy−+=的圆心(3

,0)C，半径1r=，点C到直线:330ABxy−+=的距离221261053(1)d==+−，因此点P到直线AB距离的最小值为61015dr−=−，所以PAB面积的最小值是16101010(1)6252−=−.故选：D8.已知函

数𝑦=𝑓(𝑥)的定义域为𝑅，且𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)，若函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象与函数()2log22xxy−=+的图象有交点，且交点个数为奇数，则()0f=（）A.1−B.0C.1D.2【答案】C【解析】【分析】易证明()2log22xxy−=+为偶函数，根

据题意，两个函数的交点必定是原点，据此求解.【详解】令()()2log22xxygx−==+，其定义域为R，因为()()()2log22xxgxgx−−=+=，所以()gx为偶函数，由题易知()fx也为偶函数，因为两个函数图象的交点个数为奇数，所以两个函数的交点，必有一个是原点，故()()()

00200log221fg−==+=.故选：C.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.设A，B为随机事件，且()PA，()PB是A，B发生的概率.()PA，()()0,1PB，则下列说法正确的是（）A.若A，B互斥，则()()()PAB

PAPB=+B.若()()()PABPAPB=，则A，B相互独立C.若A，B互斥，则A，B相互独立D.若A，B独立，则()(|)PBAPB=【答案】ABD【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A选项；由相互独立事件的概念可判断B选项；由互斥事件和相互独立事

件的概念可判断C选项；由相互独立事件的概念，可判断D选项.【详解】对于选项A，若,AB互斥，根据互斥事件的概率公式，则()()()PABPAPB=+，所以选项A正确，对于选项B，由相互独立事件的概念知，若()()()PABPAPB=，则事件,AB是相互独立事件，所以选项B正

确，对于选项C，若,AB互斥，则,AB不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件A：“正面朝上”，事件B：“反面朝上”，事件A与事件B互斥，但()0PAB=，1()()2PAPB==，不满足相互独立事件的定义，所以选项C错误，对于选项D，由相互独立

事件的定义知，若A，B独立，则()(|)PBAPB=，所以选项D正确，故选：ABD.10.在ABCV中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若cosbcA=，内角A的平分线交BC于点D，1AD=，1cos8A=，以下结论正确的是（）A.34AC=B.8AB=C.18CDBD=D

.ABD△的面积为374【答案】ACD【解析】【分析】首先根据题意结合余弦定理可得π2C=，并根据二倍角公式得到3cos4CAD=，依次计算,ACAB的值，根据面积公式，分析判断选项C和D.【详解】在

ABCV中，∵cosbcA=，则2222bcabcbc+−=，整理得222bac+=，所以π2C=，由二倍角公式得21cos2cos18BACCAD=−=，解得3cos4CAD=，在RtACD△中，则3cos4ACADCAD==，故选项A正确；在RtABC△中，则3461cos

8ACABBAC===，故选项B错误；由题意可知：CADBAD=，即sinsinCADBAD=，由11sin2211sin22ACDADBCDACACADCADSSBDACABADBAD==，解得18C

DACBDAB==，故选项C正确；在ABD△中，∵3cos4BAD=，则27sin1cos4BADBAD=−=，∴11737sin162244ABDSADABBAD===△，故选项D正确.故选：ACD.11.设函数()()2(1)4fxxx=−−，则

（）A.1x=是()fx的极小值点B.()()224fxfx++−=−C.不等式()4210fx−−的解集为|12xxD.当π02x时，()()2sinsinfxfx【答案】BD【解析】【分析】对于A：求导，利用导数判断()fx的单调性和极值；对于B：根据解析

式代入运算即可；对于C：取特值检验即可；对于D：分析可得20sinsin1xx，结合()fx的单调性分析判断.【详解】对于选项A：因为()fx的定义域为R，且()()()()()()22141313fxxxxxx=−−+−=−−，当()1,3x时，𝑓′(𝑥)<0；当(),1x

−或()3,x+时，𝑓′(𝑥)>0；可知()fx在(),1−，()3,+上单调递增，在()1,3上单调递减，所以1x=是函数()fx的极大值点，故A错误；对于选项B：因为()()()()2222(1)2(1)24fxfxxxxx++−=+−+−−−=−，故B正确；对于选项C

：对于不等式()4210fx−−，因为()7254,028f=−−，即94x=为不等式()4210fx−−的解，但()91,24x=，所以不等式()4210fx−−的解集不为|12xx，故C错

误；对于选项D：因π02x，则0sin1x，且()2sinsinsin1sin0xxxx−=−，可得20sinsin1xx，因为函数()fx在(0,1)上单调递增，所以()()2sinsinfxfx，故D正确；故选：BD.三、填空题：

本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在△ABC中，若a＝2,b＋c＝7,1cos4B=−，则b=_________________【答案】4【解析】【详解】在△ABC中，利用余弦定理222cos2acbBac+−=，14()

()47()444cbcbcbcc++−+−−==，化简得：8c－7b＋4＝0，与题目条件7bc+=联立，可解得2,4,3abc===，【考点定位】本题考查的是解三角形，考查余弦定理的应用．利用题目所给的条件列出方程组求解为13.如果一个直角三角形的斜边长等

于22，则当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为________.【答案】2【解析】【分析】由题意画出图形，结合勾股定理并通过分析得知当2()82ACABABAC+=+最大值，这个直角三角形周长取最大

值，根据基本不等式的取等条件即可求解.【详解】如图所示：在RtABC△中，90,22ABC==，而直角三角形周长22lACABBCACAB=++=++，由勾股定理可知2228ACABBC+==，若要使l最大，只需ACAB+最大即可，即222()282ACA

BABACABACABAC+=++=+最大即可，又2228ACABABAC+=，当且仅当2ACAB==时等号成立，所以2()8216ACABABAC+=+，所以4ACAB+，422l+，当且仅当2ACAB==等号成立，此时，其面积为1122222SABA

C===.故答案为：2.14.已知函数()()0e23xfxfx=−++，点P为曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线l上的一点，点Q在曲线exxy=上，则PQ的最小值为____________．【答案】2【解析】【分析】对

()fx求导后，代入0x=可求得()0f，根据导数几何意义可求得切线l，则可将问题转化为与20xy−+=平行且与曲线exxy=相切的切点到直线20xy−+=的距离的求解，设切点,ettQt，由切线斜率为1可构造方程求得切点坐标，利用点到直线距离公式可求得结果.【详解】(

)()0e2xfxf=−+，()()002ff=−+，解得：()01f=，()e23xfxx=−++，则()02f=，切线l的方程为：2yx=+，即20xy−+=；若PQ最小，则Q为与20xy−+=平行且与曲线exxy=相切的切点，所求最小距离为Q到直线20xy−+=的

距离，设所求切点,ettQt，由exxy=，可得1exxy−=，所以11ett−=，即e10tt+−=，又e1tyt=+−单调递增，而0t=时e10tyt=+−=，所以0t=，即()0,0Q，min222PQ==.故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出

文字说明，证明过程或演算步骤.15.在ABCV中，角、、ABC所对的边分别为,4,9abccab==、、．（1）若2sin3C=，求sinsinAB的值；（2）求ABCV面积的最大值．【答案】（1）14（

2）25【解析】【分析】（1）根据正弦定理可得sin,sin66abAB==，从而可求sinsinAB的值；（2）利用基本不等式可得22218abab+=，再根据余弦定理可得cosC的范围，从而可得sinC的范围，结合三角形面积公式，即可得ABCV面积的最大

值．【小问1详解】由正弦定理6sinsinsincbaCBA===，可得sin,sin66abAB==，91sinsin66364abAB===【小问2详解】9ab=，22218abab+=，由余弦定理可得2222161cos2189ab

cabCab+−−==，1cos19C，()28001cos81C−，450sin9C，19sinsin2522SabCC==，当且仅当3ab==时，等号成立，此时ABC面积取得最大值2516.某商场举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于

1000元，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有4个，白球有2个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，每有1个红球，可立减80元；方案二：从抽奖箱中，有放回地每

次摸出1个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减80元．（1）设方案一摸出的红球个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；（2）设方案二摸出的红球个数为随机变量Y，求Y的分布列、数学期望和方差；（3）如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方

式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．【答案】（1）分布列见解析，()2EX=，()25DX=（2）分布列见解析，()2EY=，()23DY=．（3）应选择方案一的抽奖方式，理由见解析【解析】【分析】（1）由条件确定X的可能取值，求取各值得概率，可得分布列，结合公式求期

望和方差；（2）由条件确定Y的可能取值，判断23,3YB，结合二项分布的分布列求法确定其分布列，再由公式求期望和方差，（3）通过比较随机变量,XY期望和方差的大小，确定选择方案.【小问1详解】设方案一摸出的红球个

数为X，则X的所有可能取值为1,2,3，()124236CC11C5PX===，()214236CC32C5PX===，()3436C13C5PX===．X的分布列为：X123P153515所以()1311232

555EX=++=，()()()()22213112252523255DX=−+−−=+．【小问2详解】设方案二摸出的红球个数为Y，则Y的所有可能取值为0,1,2,3．则23,3YB，所以()03

032110C3327PY===，()12132121C339PY===，()21232142C339PY===，()30332183C3327PY===，所以随机变量Y的分布列为

：Y0123P1272949827所以()2323EY==，()22231333DY=−=．【小问3详解】因为()()EXEY=，()()DXDY，即两种方案抽取的红球个数的数学期望一样，但方案一更稳定，所以应选择方案一的抽

奖方式．17.如图，三棱柱111ABCABC−中，侧面11ABBA⊥底面ABC，12ABAAAC===，16022BCABB，==，点D是棱11AB的中点．（1）证明：ADBC⊥；（2）求面ABC与面1ABC夹角正切值

．【答案】（1）证明见解析（2）63【解析】【分析】（1）由侧面11ABBA⊥底面ABC得AD⊥底面ABC，进而可证；（2）向量法求面与面的夹角.【小问1详解】因为三棱柱111ABCABC−中1ABAA=，故四

边形11ABBA为菱形，又因160ABB=，点D是棱11AB的中点，故ADAB⊥，又侧面11ABBA⊥底面ABC，侧面11ABBA底面=ABCAB，AD侧面11ABBA，所以AD⊥底面ABC，又BC底面ABC，故ADBC⊥.【小问2详

解】因2ABAC==，22BC=，故ABCV为直角三角形，故ABAC⊥，如图分别以AB，AC，AD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则𝐴(0,0,0)，()2,0,0B，()0,2,0C，的由（1）可知

，11AD=，22113ADAAAD=-=，故()11,0,3A−，()0,0,3D，则()13,0,3BA=−，()11,2,3CA=−−由题意平面ABC的一个法向量为()0,0,3AD=设平面1ABC的一个法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则110

0nBAnCA==即330230xzxyz−+=−−+=，令1x=，则3z=，1y=，则()1,1,3n=，设面ABC与面1ABC夹角为，则33cos31135ADnADn===++，故2sin1cos6tancoscos3−=

==，面ABC与面1ABC夹角的正切值为63.18.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右焦点为()10F,，离心率为22，直线l经过点F，且与C相交于A，B两点，记l的倾斜角为.（1）求C的方程；（2）求弦AB的长（用表示

）；（3）若直线MN也经过点F，且倾斜角比l的倾斜角大π4，求四边形AMBN面积的最小值.【答案】（1）2212xy+=（2）答案见解析（3）223【解析】【分析】（1）根据条件，直接求出,ab，即可求解；（2）分π2=和π2，当π2=时，直接求出

2AB=，当π2时，设出直线l的方程为(1)ykx=−，联立椭圆方程，利用弦长公式，即可求解；（3）根据题设，先求出π2=和π4=时，四边形的面积，再求出π4时，22π22[tan()1]4π12tan()4MN++=++，从而得出222

2π22[tan()1]1π222(tan1)4sinπ24412tan12tan()4SMNAB+++==+++，再通过化简，得到82(3cos2)(3sin2)S=−+，令(3cos2)(3sin2)y=−+，通过求出y的最大值，

即可解决问题.【小问1详解】由题知1c=，又22ca=，得到2a=，所以222211bac=−=−=，故椭圆C的方程为2212xy+=.【小问2详解】设1122()AxyBxy,,(,)，因为直线l经过点F，且倾斜角为，当π2=时，直线:1lx=，由

22121xyx+==，解得1x=，22y=，此时2AB=，当π2，设直线l的方程为(1)ykx=−，其中tank=，由22(1)12ykxxy=−+=，消y得到2222)202142(−=+−+xkxkk，又4222164(12)(22)88kkkk=−+−

=+，所以222221228(1)22(1)111212kkABkxxkkk++=+−=+=++，即2222(tan1)12tanAB+=+，综上，当π2=时，2AB=；当π2时，2222(tan1)12tanAB+

=+.【小问3详解】直线MN也经过点F，且倾斜角比l的倾斜角大π4，所以3π0,4，当π4=时，易知2MN=，22π22(tan1)424π312tan4AB+==+，此时四边形AMBN面积为1π142222sin2242323SMNAB

===，当π4时，可设1:(1)MNykx=−，其中1πtan()4k=+，同理可得22π22[tan()1]4π12tan()4MN++=++，当π2=时，2AB=，223π22(tan1)4243π312tan4MN+==+，此时四边形AMBN面积为1π

142222sin2242323SMNAB===，当π4且π2时，四边形AMBN面积为2222π22[tan()1]1π222(tan1)4sinπ24412tan12tan()4SMNAB+++==+++①，又π1tantan()41tan++=−，代入①化简

得到222222222222sinsin1142(tan1)tan1coscos422sin3sin2sin12tan3tan2tan313coscoscosS++++==++++++，即2

4282(1sin)(3sin2)(3cos2)(3sin2)S==++−+，令(3cos2)(3sin2)93sin23cos2sin2cos2y=−+=+−−，令πsin2cos22sin(2)4t−=−=，则21si

n2cos22t−−=，所以21317222ytt=++，对称轴3t=−，又3π0,4，则ππ5π2,444−−当ππ242−=，即3π3π0,84=时，2t=，此时max13171932222222y+=++=

，所以四边形AMBN面积的最小值为8230429634319322S−==+，又223042963343−，所以四边形AMBN面积最小值223.【点睛】本题的关键在于第（3）问，分π4=和π4，分别求出|𝑀𝑁|，先求出π4=和π2=两种情况下的面

积，再根据题有，当π4和π2时，1πsin24SMNAB=，再求出S的最小值，跟特殊情况比较，即可求解.19.如果n项有穷数列na满足1naa=，21naa−=，…，1naa=，即()11,2,,iniaain−+==，则称有穷

数列na为“对称数列”.（1）设数列nb是项数为7的“对称数列”，其中1234,,,bbbb成等差数列，且253,5==bb，依次写出数列nb的每一项；（2）设数列nc是项数为21k−(k

N且2k)的“对称数列”，且满足12nncc+−=，记nS为数列nc的前n项和.①若1c，2c，…，kc构成单调递增数列，且2023kc=.当k为何值时，21kS−取得最大值?②若12024=c，且212024kS−=，求k的最小值.【答案】（1

）1，3，5，7，5，3，1（2）①1012；②2025【解析】的【分析】（1）根据新定义“对称数列”的定义和已知条件可求得公比，进而求得结果；（2）①根据对称数列的定义可得数列为等差数列，然后根据二次函数的性质来求解；②由条件得到数列相邻两项间的大小关系，并结合定义求得的取值

范围，然后结合已知条件确定出最后的结果【小问1详解】因为数列{𝑏𝑛}是项数为7的“对称数列”，所以535bb==，又因为1234,,,bbbb成等差数列，其公差322dbb−==，…所以数列{𝑏𝑛}的7项依次为1，3，5，7，5，3，1；【小问2

详解】①由1c，2c，…，kc是单调递增数列，数列nc是项数为21k−的“对称数列”且满足12nncc+−=，可知1c，2c，…，kc构成公差为2的等差数列，kc，1kc+，…，21kc−构成公差为2−的等差数列，故()211221121...2...kkkk

kkSccccccc−−−−=+++=+++−2(1)22023(2)20232404820232kkkkk−=+−−=−+−，所以当404810124=−=−k时，21kS−取得最大值；②因为12nncc+−=即12nncc+−=，

所以12nncc+−−即12nncc+−，于是121242(1)kkkcccck−−−−−−…，因为数列{}nc是“对称数列”，所以()211221121...2...kkkkSccccccc−−−=+++=++++21(21

)2(2)(1)2(1)240522026kckkkkk−−−−−−=−+−，因为212024kS−=，故22405220262024kk−+−，解得1k或2025k，所以2025k，当1c，2c，…，kc构成公差为2−的等差数列时，满足12024=c，且212024kS−=，

此时2025k=，所以k的最小值为2025.【点睛】关键点点睛：本题关键是理解对称数列的定义，第二问①关键是得到kc，1kc+，…，21kc−构成公差为2−的等差数列.