【文档说明】浙江省宁波市九校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题 含解析.docx，共(27)页，2.631 MB，由小赞的店铺上传

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宁波市2022学年第二学期期末九校联考高一数学试题选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数13i12iz+=−，则z的共轭复数的虚部为（）A.1B.iC.i−D.1−【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运

算化简z，再由共轭复数的定义即可得z，进而可得虚部.【详解】()()()()13i12i13i55i1i12i12i12i5z+++−+====−+−−+，所以1iz=−−，所以z的虚部为1−.故选：D.2.在平面直角坐标系xOy中，若角以x轴的非负

半轴为始边，且终边过点()4,3−，则2πcos−的值为（）A.35-B.35C.45−D.45【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式可得πcossin2−=，再利用三角函数的定义即可求解.【详解】角的终边经过点(4,3),4,3xy−==−，225r

xy=+=，则π3cossin25yr−===−.故选：A.3.设l是一条直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若l∥，l，则∥B.若⊥，l∥，则l⊥C.若l⊥，l⊥，则∥D.若∥，l∥，则l【答案】C【解析】【

分析】根据空间中点线面的位置关系逐一判断即可.【详解】若l∥，l，则∥或、相交，故A错误；若⊥，l∥，则l与的位置关系都有可能，故B错误；若l⊥，l⊥，则∥，故C正确；若∥，l∥，则l或l，故D错误；故选：C.4.在《九

章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑ABCD−中，AB⊥平面BCD，BCCD⊥，且1ABBCCD===，则其内切球表面积为（）A.3πB.3πC.()322π−D.()21π−【答案】C【解析】【分析】

设四面体ABCD内切球的球心为O，半径为r，则()13ABCDOABCOABDOACDOBCDABCABDACDBCDVVVVVrSSSS−−−−=+++=+++，求得12ABCDABCABDACDB

CDSSSSS=+++=+△△△△，111111326ABCDV==，从而求得212r−=，根据球的表面积公式即可求解.【详解】因为四面体ABCD四个面都为直角三角形，AB⊥平面,BCDBCCD⊥，所以,,ABBDABBCBCCD⊥⊥

⊥，ACCD⊥，设四面体ABCD内切球的球心为O，半径为r，则()13ABCDOABCOABDOACDOBCDABCABDACDBCDVVVVVrSSSS−−−−=+++=+++所以3ABCDVrS=，因为四面体ABCD的表面积为12A

BCDABCABDACDBCDSSSSS=+++=+△△△△，又因为四面体ABCD的体积111111326ABCDV==，所以3212VrS−==，所以内切球表面积24π(322)πSr==−.故选：C

.5.已知等比数列na的前n项积．为nT，若798TTT，则（）A.0qB.10aC.15161TTD.16171TT【答案】D【解析】【分析】设等比数列{}na的公比为q，利用反证法说明0q，从而得到828810Taq=，即可得到1

0a，从而得到91a，801a，8901aa，再根据等比数列的性质判断即可.【详解】设等比数列{}na的公比为q，当1q=，则1naa=，所以771Ta=，991Ta=，881Ta=，若10a，则7710Ta=

，9910Ta=，8810Ta=，不符合题意；若10a，则1na单调（或为常数1），此时不满足798TTT，故不符合题意，所以1q；当0q，10a，此时na奇数项为负，偶数项为正，则70T，90T，80T，不符合题意，当0q，10a，此时

na奇数项为正，偶数项为负，则70T，90T，80T，不符合题意，所以0q，故A错误，又7721771241aaaTaaq===，9936991251aaaTaaq===，()4828

88451120Taaaaqaa===又798TTT，所以7980TTT，所以10a，故对任意的nN，110nnaaq−=，则对任意的nN，0nT，故B错误；又9981TaT=，88701TaT=，所以981aqa=，98

9701TaaT=，所以115815124151Taaaaa==，16121213141516889()1Taaaaaaaaa==，12121314151617171791Taaaaaaaaa==

，所以16171TT，故D正确，C错误．故选：D．6.如图，在棱长均为2的直三棱柱111ABCABC-中，D是11AB的中点，过B、C、D三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点1B所在部分的体积为（）A.233B.536C.3D.736【答案】B【解析】【

分析】设平面BCD交11AC于点E，连接DE、CE，推导出点E为11AC的中点，用三棱柱111ABCABC-的体积减去三棱台1ADEABC−的体积即可得解.【详解】设平面BCD交11AC于点E，连接DE、CE，在三棱柱111ABCABC-中，平面//ABC平面111ABC，平面BCD平面ABC

BC=，平面BCD平面111ABCDE=，所以，//DEBC，又因为11//BBCC且11BBCC=，故四边形11BBCC为平行四边形，所以，11//BCBC，所以，11//DEBC，因为D为11AB的中点，所以，E为11AC的中点，且111

12DEBC==，因为直三棱柱111ABCABC-的每条棱长都为2，则11121322234ABCABCABCVSAA−===△，易知1ADE△是边长为1的等边三角形，则1233144ADES==△，()111113ADEABCADEABCADEABCVSSSSAA−=++

三棱台13373323426=++=，因此，顶点1B所在部分的体积为111173532366ABCABCADEABCVV−−−=−=三棱台.故选：B.7.在ABC中，0P是边AB的中点，且对于边AB上任意一点P，恒有00PBPCPBPC，则ABC一定是

（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】A【解析】【分析】根据基底法转化数量积，将向量关系转化为数量关系进而求解.【详解】如下图所示，取BC的中点D，显然，22222222PBPCPBPCPBPCPDDCP

DDC+−=−=−=−，同理，22000PBPCPDDC=−，因为00PBPCPBPC，所以22220PDDCPDDC−−，即2200,PDPDPDPD，所以0PDBC⊥，因为0,DP是,BCAB的中

点，所以0//ACPD,所以ACBC⊥，所以ABC一定是直角三角形.故选：A8.十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于1

20时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点，已知在ABC中，已知2π3C=，1AC=，2BC

=，且点M在AB线段上，且满足CMBM=，若点P为AMC的费马点，则PAPMPMPCPAPC++=（）A.1−B.45−C.35-D.25−【答案】C【解析】【分析】由余弦定理求出AB，再由正弦定理求出sinB，

即可求出cosB，设CMBMx==，由余弦定理求出x，即可求出AMCS△，根据定义可知P为三角形的正等角中心，由等面积法求出PAPMPMPCPAPC++，最后根据数量积的定义计算可得.【详解】因为2π3C=，1AC=，2BC=，由余弦定理可得2

22cos7ABACCBACCBC=+−=，由正弦定理sinsinACABBC=，即17sin32B=，所以21sin14B=，显然B为锐角，所以21si57co1ns4BB==−，设CMBMx==，则2222cosCMCBBMCBBMC=

+−，即22210727xxx=+−，解得275x=，即25BMAB=，所以33755AMAB==，所以33133312552210AMCABCSS===，又222cos02AMCMACAMCAMCM+−=，即AMC

为锐角，所以AMC的三个内角均小于120，则P为三角形的正等角中心，所以12π12π12πsinsinsin232323AMCSPAPMPMPCPAPC=++()333410PAPMPMPCPAPC=++=，所以65PAPMPMPCPAPC++=，因

为PAPMPMPCPAPC++2π2π2πcoscoscos333PAPMPMPCPAPC=++()12PAPMPMPCPAPC=−++163255=−=−.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分

，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若//abrr，//bc，则//acrrB.()abcabcC.若()acb⊥−，则abac=rrrrD

.()()2abbab=【答案】BC【解析】【分析】根据共线向量和零向量的定义判断A，根据数量积的定义及运算律判断B、C、D.【详解】对于A：当0b=且a与c不共线时，满足//abrr，//bc，但是a与c不共线，故

A错误；对于B：设,ab=，则cosabab=，则()cosabcabcabc=，故B正确；对于C：因为()acb⊥−，则()0abc−=，则0abac−=rrrr，所以abac

=rrrr，故C正确；对于D：设,ab=，则cosabab=，则()cosabbabb=表示与b共线的向量，而()22abab=表示与a共线的向量，故D错误；故选：BC10.下列说法正确的是（）A.若()πsin2cos3fxxx=++()0的最小

正周期为π，则2=B.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，则“AB＞”是“ab＞”的充要条件C.三个不全相等的实数a，b，c依次成等差数列，则2a，2b，2c可能成等差数列D.ABC的斜

二测直观图是边长为2的正三角形，则ABC的面积为26【答案】ABD【解析】【分析】对于A，根据余弦和角公式和辅助角公式化简函数，再结合正弦函数周期公式求解；对于B，根据条件直接判断；对于C，根据等差数列的性质列式，引出矛盾从而判断；对于D，先

还原图形，再直接求面积.【详解】对于A，()πππsin2cossin2coscossinsin333fxxxxxx=++=+−()()cos13sin523sinxxx=+−=−+，131tan213+==−−，则()fx()0的最小正周

期2ππ=，则2=，故A正确；对于B，在ABC中，根据“大角对大边，大边对大角”可知，“AB＞”是“ab＞”的充要条件，故B正确；对于C，a，b，c依次成等差数列，则2acb+=，如果2a，2b，2c成等差数列，则2222abc+=，代入2acb+=得2222

2caca+=+，平方得()22224222222aacacacc++=+=++，则()2222220222aaaccc+−+=−=，所以022,caacb−===，与题意矛盾，故C错误；对于D，过点A作//AFy交x轴于

点F，因为ABC的斜二测直观图是边长为2的正三角形，所以ABC的高3AE=，所以326AF==，所以原图中，26,2AFBC==，所以ABC的面积为112622262AFBC==.故D正确.故选：ABD11.《几何原本》是古希腊数学家欧几里

得的数学著作，其中第十一卷称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，AB，CD是直角圆锥SO底面圆的两条不同的直径，下列说法正确的是（）A.存在某条直径CD，使得ADSD⊥B.若2AB=，则三棱锥SAOD−体积的最大

值为16C.对于任意直径CD，直线AD与直线SB互为异面直线D.若π6ABD=，则异面直线SA与CD所成角的余弦值是24【答案】BCD【解析】【分析】对于A，由CD是直径得90DAC=，从而可知不存在直径CD，使得ADCD⊥，从而可判断；对于B，由题意可得当AOOD⊥时，三棱锥

SAOD−体积最大，求解即可判断；对于C，根据异面直线的判定方法即可判断；对于D，取SB的中点E，取OB的中点F，连接,,,OECECFEF，可得COE（或及其补角）为异面直线SA与CD所成角的平面角，根据余弦定理即可求解，从而可判断.【详解】对于A，连接,SDAC，因为SO⊥平面ABD，AD

平面ABD，所以SOAD⊥，若ADSD⊥，只需ADCD⊥，因为CD是直径，所以90DAC=，所以不存在直径CD，使得ADCD⊥，所以不存在某条直径CD，使得ADSD⊥，A错误；对于B，若2AB=，则1SOOAOD===，所以三棱锥SAOD−的体积为1

1111sin1sin326AODAOD=，所以当AOOD⊥时，三棱锥SAOD−体积的最大值为16，B正确；对于C，AB，CD是直角圆锥SO底面圆的两条不同的直径，所以AD与SB没有交点，而SB平面ADBCB=，AD平面ADBC，所以直线AD与直线SB互为异面直线

，C正确；对于D，取SB的中点E，取OB的中点F，连接,,,OECECFEF，则//OESA，所以COE（或及其补角）为异面直线SA与CD所成角的平面角.令2AB=，则1SOOBOC===，所以12111,,22222OESAOFEFSO

=====，因为π6ABD=，所以π3AODBOC==，则32CF=，所以221CEEFCF=+=，所以22211122cos242212OCOECECOEOCOE+−+−===，D正确.故选：BCD12.已知数列na中各项都小于2，221143nnnna

aaa++−=−，记数列na的前n项和为nS，则以下结论正确的是（）A.任意1a与正整数m，使得10mmaa+B.存在1a与正整数m，使得134mmaa+C.任意非零实数1a与正整数m，都有1mmaa+D.若11a=，则()2022

1.5,4S【答案】AD【解析】【分析】由递推公式得到()21134nnnnnaaaaa++−=−即可判断A，记()24fxxx=−，依题意可得()134nnfafa+，结合函数的单调性，即可得到对于任意正整数n

，134nnaa+，从而判断B，分10a=、102a、10a三种情况讨论，即可判断C，结合A、C即可判断D.【详解】对于A：因为221143nnnnaaaa++−=−，所以()()1143nnnnaaaa++−=

−，所以()1134nnnnaaaa++−=−，则()211304nnnnnaaaaa++−=−，故A正确；对于B：记()24fxxx=−，由22211333444444nnnnnnaaaaaa++−=−−，可得()134nnfafa+

，因为()fx在(),2−上单调递减，所以对于任意正整数n，134nnaa+，故B错误；对于C：由A可知所有na同号，①当10a=时，易得对于任意正整数n，0na=，②当102a时02na，22211434nnnnnnaaaaaa+

+−=−−，即()()1nnfafa+，因为()fx在(),2−上单调递减，所以对于任意正整数n，1nnaa+，③当10a时0na，22211434nnnnnnaaaaaa++−=−−，即()()1nnfafa+，

因为()fx在(),2−上单调递减，所以对于任意正整数n，1nnaa+，故C错误；对于D：由B可知对于任意正整数n，134nnaa+，当11a=时134nna−，所以2022120222

022202213133441434414kkS−=−==−−，由C中②知当11a=时，01na，又222420aa−+=，解得21222a=−，所以2022232SS，所以()20221.5,4S，故D正

确；故选：AD非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.杭州第19届亚运会会徽“潮涌”的主题图形融合了扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网及太阳六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴.在中国历史上，历代

书画家都喜欢在扇面上绘画或书写以抒情达意.一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为30和12的两个同心圆上的弧（长度单位为cm），侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为2π3

.若某空间几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为______.【答案】122【解析】【分析】计算出侧面展开图分别为30和12，圆心角为2π3的扇形的两个圆锥的高，相减即可得解.【详解】一个圆锥的侧面展开图是半径为30，圆心角为2π3的扇形，设该

圆锥的底面半径为r，高为h，所以2π2π303r=，可得10r=，因此，该圆锥的高为223010202h=−=，侧面展开图是半径为12，圆心角为2π3的扇形，设该圆锥的底面半径为1r，高为1h，所以12π2π123r=，可得14r=，因此，该圆

锥的高为22112482h=−=，因此，若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为20282122−=.故答案：122.14.已知等差数列na，88a=，9π83a=+，则576coscoscosaaa+=______.【答案】1【解析】【分析】

记等差数列na的公差为d，则98π3daa=−=，由7575757557,2222aaaaaaaaaa+−+−=−=+，7562aaa+=，结合和差角余弦公式可得757557757562coscoscoscos222coscos2cos2aaa

aaaaaaaa+−+−==+，从而可求解.【详解】记等差数列na的公差为d，则98π3daa=−=，因为7575757557,2222aaaaaaaaaa+−+−=−=+，7562aaa+=，所以7575757557cosc

oscoscossinsin2222aaaaaaaaaa+−+−+=+为757575757575coscossinsin2coscos222222aaaaaaaaaaaa+−+−+−+−=，所以75755775756

2coscoscoscosπ222cos2cos2cos1cos23cos2aaaaaaaadaaa+−+−=====+.故答案为：115.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，13BCCC==，4AC=，ACBC⊥，动点P在111ABC△内（包括边界

上），且始终满足1BPAB⊥，则动点P的轨迹长度是______.【答案】125【解析】【分析】推导出11BCAB⊥，在平面111ABC内，过点1C作111CHAB⊥，垂足为点H，证明出11ABCH⊥，可得出1AB⊥平面1BCH，分析可知点P的轨迹为线段1CH，利用等面积法求出线段1CH的长，即为

所求.【详解】在直三棱柱111ABCABC-中，1BB⊥平面ABC，因为AC平面ABC，所以，1ACBB⊥，又因为ACBC⊥，1BCBBB=，BC、1BB平面11BBCC，所以，AC⊥平面11BBCC，因为1BC平面11BBC

C，所以，1BCAC^，因为11//BBCC，11BBCCBC==，则四边形11BBCC为菱形，所以，11BCBC⊥，又因为1ACBCC=，AC、1BC平面1ABC，所以，1BC⊥平面1ABC，因为1AB平面1ABC，所以

，11BCAB⊥.在平面111ABC内，过点1C作111CHAB⊥，垂足为点H，因为1BB⊥平面111ABC，1CH平面111ABC，则11CHBB⊥，因为111CHAB⊥，1111BBABB=，1BB、11AB平面11AABB，所

以，1CH⊥平面11AABB，因为1AB平面11AABB，则11ABCH⊥，因为111BCCHC=，1BC、1CH平面1BCH，所以，1AB⊥平面1BCH，由于动点P又在111ABC△内，所以动点P在平面111

ABC与平面1BCH的交线1CH上，因为114ACAC==，113BCBC==，1111ACBC⊥，所以，2222111111435ABACBC=+=+=，由等面积法可得1111111431255ACBCCHAB===，因此，动点

P的轨迹长度是125.故答案为：125.16.已知向量a，b的夹角为π3，且3ab=，向量c满足()()101cab=+−，且acbc=，记caxa=，cbyb=，则22xxyy+−的最大值为______.【答案】278

【解析】【分析】设,,OAaOBbOCc===,由共线定理可知点C在线段AB上，设AOC=，则π3BOC=−，根据投影的计算方法，结合三角恒等变换公式，推出2223||4xyxyc−+=，可将原问题转化为求||c的最大值，再利

用等面积法，进一步将问题转化为求AB的最小值，然后结合余弦定理和基本不等式，得解.【详解】设,,OAaOBbOCc===，则π3AOB=，由3=ab，知π||||cos33ab=，即||||6ab=，所以1π1333|||

|sin623222OABSab===，因为(1)(01)cab=+−，所以点C在线段AB上，设AOC=，则π3BOC=−，所以222222||cos||cosxyxycc+=+−π||cos||cos3

cc−−π3−222213||cos||cossin22cc=++13||cos||cossin22cc−+22213||coscossincos42c=++22313sincossincos422

+−−23||4c=故原问题转化为求||c的最大值，在OAB中，由余弦定理知，22222π||||||2||||cos||||||||3ABabababab−−=+=+26ababab−

==，当且仅当6ab==时，等号成立，故AB的最小值为6，因为··acbc=，所以()0abc−=，即ABOC⊥，所以133||||22OABSABOC==，即33333226OCAB==，即322c，所以222327||48xyxyc+−=.故答案为：278

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.定义一种运算：(),cabacbdd=+.（1）已知z复数，且()3,73i4zz=−，求z；（2）已知x、y为实数，()()2sinisin2,21,sin23ix

yxxy+−也是实数，将y表示为x的函数并求该函数的单调递增区间.【答案】（1）10（2）π2sin233yx=−++，增区间为()π7ππ,π1212kkk++Z【解析】【分析】（1）()i,zabab=+R，由()3,73i4zz=

−结合复数相等可求出a、b的值，再利用复数的模长公式可求得z的值；（2）利用题中运算结合复数的概念可得出2sin223sin0yxx+−=，利用三角恒等变换化简可得出y关于x的函数表达式，再利用正弦型函数的单调性可求得该函数的单调递增区间.【

小问1详解】解：设()i,zabab=+R，因为()()()3,343i4i7i73i4zzzzababab=+=++−=−=−，为所以，773ab==，即13ab==，则13iz=+，因

此，221310z=+=.【小问2详解】解：()()()()22sinisin2,21,sin2sinsin223sini23ixyxxyxyxxy+−=−++−为实数，则2s

in223sin0yxx+−=，所以，()21cos2sin223sinsin223sin23cos232xyxxxxx−=−+=−+=−++π2sin233x=−++，由()ππ3π2π2

2π232kxkk+++Z可得()π7πππ1212kxkk++Z，因此，函数π2sin233yx=−++的单调递增区间为()π7ππ,π1212kkk++Z.18.今年9月，象山将承办第19届杭州

亚运会帆船与沙滩排球项目比赛，届时大量的游客来象打卡“北纬30度最美海岸线”.其中亚帆中心所在地——松兰山旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化.现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函

数()()40cos4fxAxk=++来刻画.其中正整数x表示月份且1,12x，例如1x=时表示1月份，A和k是正整数，0.统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；②从事旅游服务工

作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人；③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多.（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的()yfx=的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160人时，该地区就进入了一年中

的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由.【答案】（1）()()π402cos436fxx=++，1,12x（2）第7,8,9月是该地区的旅游旺季，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意首先求出A，再根据周期求出

，最后根据()240f=求出k，即可得到函数解析式；（2）令()160fx，结合余弦函数的性质计算可得，注意x为正整数.【小问1详解】因为A和k是正整数，由②可知()()4040160AkAk+−−+=，解得2A=；由③可得：826

2T=−=，则2π12T==，且0，解得π6=；所以()()π402cos46fxxk=++，又()()π2402cos24406fk=++=，即()40240k−=，解得3k=；所以()()π402cos436fxx=++

，1,12x.【小问2详解】令()()π402cos431606fxx=++，则()π1cos462x+，因为1,12x，则(),π8345ππ66x+，可得()5ππ7π4363x+，解得610x，且

*Nx，则7,8,9x=，所以第7,8,9月是该地区的旅游旺季.19.已知数列na的前n项和为nS，且243nSnn=+−.（1）求na的通项公式；（2）记125nnnnbSS++=，数列nb的前n项和为nT，求nT.【答案】（1）2

,123,2nnann==+（2）211262nTnn=−++【解析】【分析】（1）由11,1,2nnnSnaSSn−==−可求得数列na的通项公式；（2）计算得出111nnnbSS

+=−，利用裂项法可求得nT.【小问1详解】解：当1n=时，111432aS==+−=，当2n且Nn时，()()()22143141323nnnaSSnnnnn−=−=+−−−+−−=+，12a=不满足23nan=+，综上所述，2,123,2nnann==+.【小问

2详解】解：因为()()()22114134325nnSSnnnnn+−=+++−−+−=+，所以，11112511nnnnnnnnnSSnbSSSSSS++++−+===−，因此，()()212231111111111111214

13nnnnTSSSSSSSSnn++=−+−++−=−=−+++−211262nn=−++.20.在ABC中，内角A，B都是锐角.（1）若π3C=，2c=，求ABC周长的取值

范围；（2）若222sinsinsinABC+，求证：22sinsin1AB+.【答案】（1）(232,6+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据正弦定理可得()43sinsin3abAB+=+，然后可得ab+=π4sin6A+

，然后结合A的范围求出ab+的范围可得答案；（2）由条件可得C为锐角，然后由π2AB+可得sincosAB，即可证明.【小问1详解】因为π3C=，2c=，所以243sinsinsin332abcABC====，所以()43sin

sin3abAB+=+，因为π13sinsinsinsinsinsincos322ABAAAAA+=++=++33πsincos3sin226AAA=+=+所以ab+=π4sin6A

+，因为内角A，B都是锐角，π3C=，所以π022ππ032ABA=−，即ππ62A，所以π3sin,162A+，所以(23,4ab+，所以ABC周长的取值范围

为(232,6+，【小问2详解】若222sinsinsinABC+，则222abc+，所以C为锐角，所以π2AB+，所以π2AB−，因为内角A，B都是锐角，所以ππ,0,22AB−，所以πsinsincos2ABB−=，所以2222sin

sincossin1ABBB++=.21.已知边长为6的菱形ABCD，π3ABC=，把ABC沿着AC翻折至1ABCV的位置，构成三棱锥1BACD−，且112DEDB=，13CFCD=，372FE=.（1）证明：1ACBD⊥；（2）求二面角1BACD−−大小；（3）求

EF与平面1ABC所成角的正弦值.【答案】（1）证明过程见解析（2）2π3（3）33774【解析】【分析】（1）根据几何关系证明线面垂直从而得到线线垂直即可；（2）根据几何关系11162FECDCB=+，平方后得到11cos8BCD=−∠，得到19BD=，根据余弦定理求解其平面角即可；（

3）根据平行关系将所求角转化为CG与平面1ABC所成角，再根据垂直关系找到具体的角进而求解其正弦值.【小问1详解】取AC中点O，连接1,OBOD，因为菱形ABCD，1π3ABC=，所以1,ACBACD△△为等边三角形，所以1,OBACODAC⊥⊥，又因为1,OB

OD面1OBD，1OBODO=，所以AC⊥面1OBD，因为1BD面1OBD，的所以1ACBD⊥【小问2详解】因为112DEDB=，13CFCD=，所以()11111111111123262FEFBBECBCFBDCBCDCDCBCDCB=+=−+=−+−=+，

平方得，2222111111111cos623664FECDCBCDCDCBBCDCB=+=++∠，即1371113666cos3643664BCD=++∠，解得11cos8BCD=−∠，在1BCD△中，由余弦定理得，222111112cos

3636266818BDCBCDCBCDBCD=+−=+−−=∠，所以19BD=，由（1）可知，1DOB是二面角1BACD−−的平面角，在等边1ABCV中，11sin6033BOBC==，同

理33OD=，在1BOD!中，由余弦定理，22211112727811cos22272BODOBDBODBODO+−+−===−∠，因为1πBOD0＜∠＜，所以12π3BOD=∠，即二面角1BACD−−的大小为2π3.

小问3详解】取1BE中点G，连接CG，则E是GD靠近G的三等分点，则//EFCG，所以CG与平面1ABC所成角即为所成角，【在平面1DOB中，作1GKBO⊥，因AC⊥面1OBD，GK面1OBD，所以ACGK⊥，又因为1,ACBO面1ABC，1ACBOO=，所以GK⊥面1ABC，所以GCK

∠是CG与平面1ABC所成角，在1DOB△中，11π6OBDODB==∠∠，111944BGBD==，所以11928GKBG==，在1DCB中，由DEFDGC，得23EFDECGDG==，3373372

24CG==，所以93378sin743374GKGCKCG===∠，所以EF与平面1ABC所成角的正弦值为33774.22.已知数列na中，11a=，当2n时，其前n项和nS满足：()21nnnSaS=−，且0nS，数列nb满足：对任意*nN有()11212122

nnnbbbnSSS++++=−+.（1）求证：数列1nS是等差数列；为（2）求数列nb的通项公式；（3）设nT是数列122nnnbb−−的前n项和，求证：32nT.【答案】（1）证明见解析；（2）2nnb=

；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）把1(2)nnnaSSn−=−代入()21nnnSaS=−得11nnnnSSSS−−=−，即1111nnSS−−=，从而得证；（2）利用和与项的关系即可求解得2nnb=；（3）利用放缩法，得

()()()111121122222112221212212121nnnnnnnnnnnnnnbb−−−−−−===−−−−−−−−，再结合裂项相消求和法即可证明.【小问1详解】()21nnnSaS=−，1(2)nnnaSSn−=−，()()2

11nnnnSSSS−=−−，即11nnnnSSSS−−=−①由题意10nnSS−，将①式两边同除以1nnSS−，得1111nnSS−−=，数列1nS是首项为11111Sa==，公差为1的等差数列.【小问2详解】由（1）可知111(1),.nnnnSSn=+−=

=当1n=时，112bS=，即12b=，当2n时，()11212122nnnbbbnSSS++++=−+②，则()112121222nnnbbbnSSS−−+++=−+③，②−③，()()112222nnnnnbnnnS+=−−−=，即2nnb=，因为12

b=满足2nnb=，所以2nnb=.【小问3详解】由（2）可知，()1112222222221nnnnnnnnnbb−−−==−−−当1n=时，11322T=，当2n时，()()()111121122222112221212212121nnnnnnnnnnnnnnbb−−−−

−−===−−−−−−−−，所以1223111111112212121212121nnnT−+−+−++−−−−−−−11312212n=+−−.所以32nT.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com