【文档说明】《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题07 第七章《锐角三角函数》中的圆问题培优训练（解析版）.docx，共(26)页，392.291 KB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1专题072020第七章《锐角三角函数》中的圆问题培优训练班级：___________姓名：___________得分：___________一、解答题1.如图，AB是⊙𝑂的直径，半径𝑂𝐶⊥𝐴𝐵，垂足

为O，直线l为⊙𝑂的切线，A是切点，D是OA上一点，CD的延长线交直线l于点E，F是OB上一点，CF的延长线交⊙𝑂于点G，连接AC，AG，已知⊙𝑂的半径为3，𝐶𝐸=√34，5𝐵𝐹−5𝐴𝐷=4．(𝐼)求AE的长；(2)求cos∠𝐶𝐴𝐺的值及CG的长．

【解析】(1)延长CO交⊙𝑂于T，过点E作𝐸𝐻⊥𝐶𝑇于𝐻.首先证明四边形AEHO是矩形，利用勾股定理求出CH，OH即可．(2)利用勾股定理求出CF，利用相似三角形的性质求出FG，证明∠𝐶𝐴𝐺

=∠𝐶𝑇𝐺，求出cos∠𝐶𝑇𝐺即可解决问题．本题考查切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．【答案】解：(1)延长CO交⊙𝑂于T，过点E作𝐸𝐻⊥𝐶𝑇于H．∵直线l是⊙𝑂

的切线，∴𝐴𝐸⊥𝑂𝐷，∵𝑂𝐶⊥𝐴𝐵，∴∠𝐸𝐴𝑂=∠𝐴𝑂𝐻=∠𝐸𝐻𝑂=90°，∴四边形AEHO是矩形，∴𝐸𝐻=𝑂𝐴=3，𝐴𝐸=𝑂𝐻，∵𝐶𝐻=√𝐸𝐶2−

𝐸𝐻2=√(√34)2−32=5，∴𝐴𝐸=𝑂𝐻=𝐶𝐻−𝐶𝑂=5−3=2．(2)∵𝐴𝐸//𝑂𝐶，2∴𝐴𝐸𝑂𝐶=𝐴𝐷𝐷𝑂=23，∴𝐴𝐷=25𝑂𝐴=65，∵5𝐵𝐹−5𝐴𝐷=4，∴𝐵𝐹=2，∴𝑂𝐹=𝑂𝐵−𝐵�

�=1，𝐴𝐹=𝐴𝑂+𝑂𝐹=4，𝐶𝐹=√𝑂𝐶2+𝑂𝐹2=√32+12=√10，∵∠𝐹𝐴𝐶=∠𝐹𝐺𝐵，∠𝐴𝐹𝐶=∠𝐺𝐹𝐵，∴△𝐴𝐹𝐶∽△𝐺𝐹𝐵，∴�

�𝐹𝐹𝐺=𝐶𝐹𝐵𝐹，∴4𝐹𝐺=√102，∴𝐹𝐺=4√105，∴𝐶𝐺=𝐹𝐺+𝐶𝐹=9√105，∵𝐶𝑇是直径，∴∠𝐶𝐺𝑇=90°，∴𝐺𝑇=√𝑇𝐶2−𝐶𝐺2=√62−(9√105)2=3√105，∴cos∠

𝐶𝑇𝐺=𝑇𝐺𝑇𝐶=3√1056=√1010，∵∠𝐶𝐴𝐺=∠𝐶𝑇𝐺，∴cos∠𝐶𝐴𝐺=√1010．2.如图，△𝐴𝐵𝐶中，AC为⊙𝑂的直径，点D在BC上，𝐴𝐶=𝐶𝐷，∠𝐴𝐶𝐵=2∠𝐵𝐴𝐷(1)求证：AB与⊙𝑂相切；(2)连接OD，若𝑡�

�𝑛𝐵=34，求tan∠𝐴𝐷𝑂．【解析】(1)设线段AD与⊙𝑂交于E，连接CE，根据圆周角定理得到𝐶𝐸⊥𝐴𝐷，求得∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐷𝐴𝐵，于是得到结论；3(2)根据切线的性质得到∠𝐶𝐴𝐵=90°，延长CE交AB于M，则CM为AD的垂直平

分线，连接DM，根据全等三角形的性质得到∠𝐶𝐷𝑀=∠𝐶𝐴𝐵=90°，设𝐴𝑀=𝑀𝐷=3𝑎，𝐷𝐵=4𝑎，𝑀𝐵=5𝑎，得到𝐴𝐵=8𝑎，𝐴𝐶=6𝑎，设𝐸𝑁=𝑘，得到𝐴𝐸=𝐷𝐸=2𝑘，𝐶𝐸=4𝑘，过O作𝑂�

�⊥𝐴𝐷于N，根据三角形的中位线定理得到𝑂𝑁=12𝐶𝐸=2𝑘，𝐴𝑁=12𝐴𝐸=𝑘，于是得到结论．本题考查了切线的判定和性质，三角函数的定义，线段垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解

题的关键．【答案】(1)证明：设线段AD与⊙𝑂交于E，连接CE，∵𝐴𝐶为⊙𝑂的直径，∴𝐶𝐸⊥𝐴𝐷，∵𝐴𝐶=𝐶𝐷，∴∠𝐴𝐶𝐷=2∠𝐴𝐶𝐸，∵∠𝐴𝐶𝐵=2∠𝐵𝐴𝐷，∴∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐷𝐴𝐵，∵∠𝐶

𝐴𝐸=90°，∴∠𝐶𝐴𝐸+∠𝐷𝐴𝐵=90，∴∠𝐶𝐴𝐵=90°，∴𝐴𝐵与⊙𝑂相切；(2)解：∵𝐴𝐵与⊙𝑂相切，∴∠𝐶𝐴𝐵=90°，延长CE交AB于M，则CM为AD的垂直平分线，连接DM，∴𝐷𝑀=𝐴𝑀，∵𝐴𝐶=𝐶𝐷，𝐶𝑀=𝐶𝑀，

∴△𝐴𝐶𝑀≌△𝐷𝐶𝑀(𝑆𝑆𝑆)，∴∠𝐶𝐷𝑀=∠𝐶𝐴𝐵=90°，∴∠𝐵𝐷𝑀=90°，∵𝑡𝑎𝑛𝐵=34，∴设𝐴𝑀=𝑀𝐷=3𝑎，𝐷𝐵=4𝑎，𝑀𝐵=5𝑎

，𝐴𝐵=8𝑎，𝐴𝐶=6𝑎，∴tan∠𝐴𝐶𝑀=tan∠𝐸𝐴𝑀=12，4∴𝐶𝐸=2𝐴𝐸，𝐴𝐸=2𝐸𝑀，设𝐸𝑁=𝑘，∴𝐴𝐸=𝐷𝐸=2𝑘，𝐶𝐸=4𝑘，过O作𝑂𝑁⊥𝐴𝐷于N，∴𝑂𝑁//𝐶𝐸，∴𝑂𝑁=12𝐶𝐸=2𝑘，�

�𝑁=12𝐴𝐸=𝑘，∴𝐷𝑁=3𝐴𝑁=3𝑘，∴tan∠𝐴𝐷𝑂=𝑂𝑁𝐷𝑁=23．3.定义：过三角形的一个顶点作该三角形的高线和角平分线，这两条线段所夹的角称为该三角形的珍珠角．(1)如图1，∠𝐷𝐴𝐸是▵𝐴𝐵𝐶的珍珠角，∠𝐵=𝛼，∠𝐶=�

�，𝛼>𝛽，请用𝛼和𝛽表示∠𝐷𝐴𝐸．(2)如图2，▵𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶>∠𝐵>∠𝐶，以AC为直径作⊙𝑂交BC于点D，点F在DĈ上，AF交DC于点E，∠𝐹𝐷𝐶=∠𝐵𝐴𝐸.求证：∠𝐷𝐴𝐸是▵𝐴𝐵𝐶的珍珠角．(3)在(2)的条件下

，如图3，连结OD交AE于点G，𝑂𝐺=12𝐷𝐶，cos∠𝐵𝐴𝐷=tan∠𝐶．①求证：𝑂𝐺=12𝐴𝐵；②若𝐵𝐶=8，𝐺𝐹=1，求tan∠𝐷𝐴𝐸的值．【解析】本题考查了新定义，圆周角定理，三角形综合题．(1)利用珍珠角的定义解答即

可；(2)利用圆周角定理，结合珍珠角的定义解答即可；(3)①利用锐角三角函数可得到𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐴𝐷𝐷𝐶，从而得到𝐴𝐵=𝐷𝐶，问题即可得证；②在DC上截取𝐷𝐻=𝐷𝐵，连结AH，OF，易证▵𝐴𝐷𝐵≌▵𝐴𝐷𝐻，进而得到𝑂𝐺=12𝐴𝐻，∠𝐻𝐴�

�=∠𝐴𝐻𝐵−∠𝐶=∠𝐵−∠𝐶，再证明▵𝑂𝐺𝐹∽▵𝐴𝐻𝐶，进而得到𝐷𝐶−𝐵𝐷=2，结合𝐷𝐶+𝐵𝐷=8，求出𝐷𝐶=5，𝐵𝐷=3，𝐴𝐵=5，利用勾股定理可得到𝐴𝐷=4，设𝐷

𝐸=5𝑥，则𝐴𝐸=𝐸𝐶=5−𝑥，在𝑅𝑡▵𝐴𝐷𝐸中，利用勾股定理可得到DE的值，问题即可得证．【答案】解：(1)∵𝐴𝐸是▵𝐴𝐵𝐶的角平分线，∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐸，即∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐷�

�𝐶−∠𝐷𝐴𝐸，∴2∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐶−∠𝐵𝐴𝐷，∵𝐴𝐷是▵𝐴𝐵𝐶的高，∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，，，∴2∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵−∠𝐶，∵∠𝐵=𝛼，∠𝐶=𝛽，∴2∠𝐷𝐴𝐸=𝛼−𝛽，∴∠𝐷𝐴𝐸=12𝛼−12

𝛽；(2)∵𝐴𝐶为⊙𝑂的直径，，∴𝐴𝐷是▵𝐴𝐵𝐶的高，∵∠𝐹𝐷𝐶=∠𝐵𝐴𝐸，∠𝐹𝐷𝐶=∠𝐸𝐴𝐶，∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐸𝐴𝐶，∴𝐴𝐸是▵𝐴𝐵𝐶的角平

分线，∴∠𝐷𝐴𝐸是▵𝐴𝐵𝐶的珍珠角；(3)①在𝑅𝑡▵𝐴𝐵𝐷中，cos∠𝐵𝐴𝐷=𝐴𝐷𝐴𝐵，在𝑅𝑡▵𝐴𝐷𝐶中，tan∠𝐶=𝐴𝐷𝐷𝐶，∵cos∠𝐵𝐴𝐷=tan∠𝐶，∴𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐴𝐷

𝐷𝐶，6∴𝐴𝐵=𝐷𝐶，∵𝑂𝐺=12𝐷𝐶，∴𝑂𝐺=12𝐴𝐵；②如图3，在DC上截取𝐷𝐻=𝐷𝐵，连结AH，OF．在▵𝐴𝐷𝐵和▵𝐴𝐷𝐻中，{𝐴𝐷=𝐴𝐷,∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐷𝐻,𝐷𝐵=𝐷𝐻,∴▵𝐴𝐷𝐵≌▵𝐴𝐷𝐻

(𝐴𝑆𝐴)，∴𝐴𝐵=𝐴𝐻，∠𝐵=∠𝐴𝐻𝐵，∴𝑂𝐺=12𝐴𝐻，∠𝐻𝐴𝐶=∠𝐴𝐻𝐵−∠𝐶=∠𝐵−∠𝐶，∵∠𝐷𝐴𝐸=12(∠𝐵−∠𝐶)，∴∠𝐻𝐴𝐶=2∠𝐷𝐴𝐸，∵∠𝐺𝑂𝐹=2∠𝐷𝐴𝐸，∴∠𝐺𝑂𝐹=∠𝐻𝐴𝐶．

∵𝑂𝐺=12𝐴𝐻，𝑂𝐹=12𝐴𝐶，∴𝑂𝐺𝐴𝐻=𝑂𝐹𝐴𝐶=12，7∴▵𝑂𝐺𝐹∽▵𝐴𝐻𝐶，∴𝐺𝐹𝐻𝐶=𝑂𝐹𝐴𝐶=12，∠𝑂𝐹𝐺=∠𝐶，∴𝐻𝐶=2𝐺𝐹=2，即𝐷𝐶−𝐵𝐷=

2，∵𝐵𝐶=8，∴𝐷𝐶+𝐵𝐷=8，∴𝐷𝐶=5，𝐵𝐷=3，∴𝐴𝐵=5，在𝑅𝑡▵𝐴𝐵𝐷中，由勾股定理得，𝐴𝐷=√𝐴𝐵2−𝐵𝐷2=4．∵𝑂𝐴=𝑂𝐹，∴∠𝑂𝐹𝐺

=∠𝐸𝐴𝐶，∵∠𝑂𝐹𝐺=∠𝐶，∴∠𝐸𝐴𝐶=∠𝐶，∴𝐴𝐸=𝐸𝐶，设𝐷𝐸=𝑥，则𝐴𝐸=𝐸𝐶=5−𝑥，在𝑅𝑡▵𝐴𝐷𝐸中，由勾股定理得，𝐴𝐷2+𝐷𝐸2=𝐴𝐸2，∴16+𝑥2=(5−𝑥)2，∴𝑥=910，∴𝐷𝐸=

910，∴tan∠𝐷𝐴𝐸=𝐷𝐸𝐴𝐷=940.84.如图，已知PB与⊙𝑂相切于点B，A是⊙𝑂上的一点，满足𝑃𝐴=𝑃𝐵，连接PO，交AB于E，交⊙𝑂于C，D两点，E在线段OD上，连接AD，OB．(1)求证：直线PA是⊙𝑂的切线；(2)①求证：点D是▵𝑃𝐴𝐵

的内心；②若𝑃𝐴=13，sin∠𝐴𝑃𝐸=513，求DE的长；(3)已知𝐶𝐷𝐴𝐸=4√33，求tan𝐶．【解析】本题考查圆的综合题，涉及到三角形的内心，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，以及圆周角定理，难度较大．(

1)连接OA，利用△𝑃𝐴𝑂≌△𝑃𝐵𝑂和切线的性质进行证明即可；(2)①利用全等三角形的性质和垂径定理得到∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐴𝐶𝐷，再根据相似三角形的性质得到AD平分∠𝑃𝐴𝐵即可；②利用三角形的内心和等面积法求出内切圆的半径

即可；(3)利用勾股定理和锐角三角函数进行计算即可．【答案】证明：如图，连接AO，9∵𝑃𝐵与⊙𝑂相切于点B，∴∠𝑃𝐵𝑂=90°，在△𝑃𝐴𝑂和△𝑃𝐵𝑂中，{𝐴𝑃=𝐵𝑃𝑃𝑂=𝑃𝑂𝐴𝑂=𝐵

𝑂,∴△𝑃𝐴𝑂≌△𝑃𝐵𝑂，∴∠𝑃𝐴𝑂=∠𝑃𝐵𝑂=90°，∵𝐴𝑂是⊙𝑂的半径，∴直线PA是⊙𝑂的切线；(2)①∵△𝑃𝐴𝑂≌△𝑃𝐵𝑂，∴∠𝐴𝑃𝑂=∠𝐵𝑃𝑂，∴𝑃𝐸平分∠𝐵𝑃𝐴，∵𝑃𝐴=𝑃𝐵

，∴𝐴𝐸=𝐵𝐸，∴𝐴𝐷⏜=𝐵𝐷⏜，∴∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐴𝐶𝐷，∵𝐴𝑃2=𝑃𝐷·𝑃𝐶，∴𝐴𝑃𝑃𝐶=𝑃𝐷𝐴𝑃，∵∠𝐴𝑃𝐷=∠𝐶𝑃𝐴，∴△𝐴𝑃𝐷∽△𝐶𝑃𝐴，10∴∠𝑃𝐴𝐷=∠𝐴𝐶𝐷，∴∠𝑃𝐴𝐷=∠𝐷𝐴𝐵

，∴𝐴𝐷平分∠𝑃𝐴𝐵，∴点D是△𝑃𝐴𝐵的内心；②由①得DE即为△𝑃𝐴𝐵内切圆的半径，由𝑅𝑡△𝐴𝑃𝐸中，𝑃𝐴=13，，∴𝐴𝐸=5，∴𝑃𝐸=√𝑃𝐴2−𝐴𝐸2=12，∴𝐴𝐵=10，∴𝐷𝐸=𝑟=2𝑆△𝑃𝐴�

�𝐶△𝑃𝐴𝐵=103；(3)∵𝐶𝐷𝐴𝐸=4√33，设𝐶𝐷=4√3，𝐴𝐸=3，∴𝑂𝐴=12𝐶𝐷=2√3，在𝑅𝑡△𝐴𝐸𝑂中，𝑂𝐸=√𝑂𝐴2−𝐴𝐸2=√3，∴𝐶𝐸=𝑂𝐸+𝑂𝐶=3√3，∴tan𝐶=𝐴𝐸𝐶𝐸=33√3=√33．

5.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点D，过点C作⊙𝑂与边AB相切于点E，交BC于点F，CE为⊙𝑂的直径．(1)求证：𝑂𝐷⊥𝐶𝐸；(2)若𝐷𝐹=1，𝐷𝐶=3，求AE的长．【解析】(1)

⊙𝑂与边AB相切于点E，且CE为⊙𝑂的直径，得到𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，由等腰三角形的性质三线合一得到𝐵𝐷=𝐷𝐶，根据三角形的中位线的性质得到结论；(2)连接EF，由CE为⊙𝑂的直径，且点F在⊙𝑂上，得到∠𝐸𝐹𝐶=90°，又因为𝐶𝐸

⊥𝐴𝐵，得到∠𝐵𝐸𝐹+∠𝐹𝐸𝐶=∠𝐹𝐸𝐶+∠𝐸𝐶𝐹=90°，推出∠𝐵𝐸𝐹=∠𝐸𝐶𝐹，于是得到tan∠𝐵𝐸𝐹=tan∠𝐸𝐶𝐹，得到等积式𝐵𝐹𝐸𝐹

=𝐸𝐹𝐹𝐶，求得𝐸𝐹=2√2，由勾股定理得BE，再根据平行线分线段成比例，列出比例式求解．本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角形函数，勾股定理，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．11【答案】解：(1)∵⊙𝑂与边AB相切于点E，且CE为⊙𝑂的直径，∴𝐶𝐸⊥

𝐴𝐵，∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∴𝐵𝐷=𝐷𝐶，又∵𝑂𝐸=𝑂𝐶，∴𝑂𝐷//𝐸𝐵，∴𝑂𝐷⊥𝐶𝐸；(2)连接EF，∵𝐶𝐸为⊙𝑂的直径，且点F在⊙𝑂上，∴∠𝐸𝐹𝐶=90°，∵𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，∴∠𝐵𝐸𝐶=90°．∴∠𝐵

𝐸𝐹+∠𝐹𝐸𝐶=∠𝐹𝐸𝐶+∠𝐸𝐶𝐹=90°，∴∠𝐵𝐸𝐹=∠𝐸𝐶𝐹，∴tan∠𝐵𝐸𝐹=tan∠𝐸𝐶𝐹∴𝐵𝐹𝐸𝐹=𝐸𝐹𝐹𝐶，又∵𝐷𝐹=1，𝐵𝐷=𝐷𝐶=3，∴𝐵�

�=2，𝐹𝐶=4，∴𝐸𝐹=2√2，∵∠𝐸𝐹𝐶=90°，∴∠𝐵𝐹𝐸=90°，由勾股定理，得𝐵𝐸=√𝐵𝐹2+𝐸𝐹2=2√3，∵𝐸𝐹//𝐴𝐷，∴𝐵𝐸𝐸𝐴=𝐵𝐹

𝐹𝐷=21，∴𝐴𝐸=√3．6.如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=90°，以AB为边在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶外部作等边△𝐴𝐵𝐷，AE为△𝐴𝐵𝐶的中线，连接DE交AB与点O，⊙𝑂与AE相切于点F．(1)求证：BC是⊙𝑂的切线；12

(2)若𝐴𝐶=12，𝑠𝑖𝑛𝐶=56，求⊙𝑂的半径．【解析】(1)连接OF，作𝑂𝐻⊥𝐵𝐶，根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质得出∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐵𝐸𝐷，进而利用切线的判定证明即可；(2)根据三角函数解答

即可．此题考查切线的性质，关键是根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质得出∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐵𝐸𝐷．【答案】(1)证明：连接OF，作𝑂𝐻⊥𝐵𝐶，H为垂足，∵∠𝐵𝐴𝐶=90°，AE为△𝐴𝐵𝐶的中线∴𝐸𝐴=𝐸𝐵=𝐸𝐶，又△𝐴𝐵𝐷为等边三角形∴𝐷𝐴

=𝐷𝐵，又𝐷𝐸=𝐷𝐸∴△𝐴𝐷𝐸≌△𝐵𝐷𝐸(𝑆𝑆𝑆)，∴∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐵𝐸𝐷，∵⊙𝑂与AE相切于点F∴𝑂𝐹⊥𝐴𝐸，∴𝑂𝐻=𝑂𝐹，∴𝐵𝐶是⊙𝑂的切线；(2)由(1)得∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐵𝐸𝐷，𝐸𝐴=

𝐸𝐵∴𝑂𝐴=𝑂𝐵又𝐸𝐵=𝐸𝐶∴𝑂𝐸=12𝐴𝐶=6，𝑂𝐸//𝐴𝐶，∴∠𝑂𝐸𝐻=∠𝐶∴sin∠𝑂𝐸𝐻=𝑠𝑖𝑛𝐶=56，∴𝑂𝐻𝑂𝐸=56，∴𝑂𝐻=6×56=5，即⊙𝑂的半径是5．7.如图，已知⊙𝑂是边长为6的等边△𝐴𝐵�

�的外接圆，点D，E分别是BC，AC上两点，且𝐵𝐷=𝐶𝐸，连接AD，BE相交于点P，延长线段BE交⊙𝑂于点F，连接CF．13(1)求证：𝐴𝐷//𝐹𝐶；(2)连接PC，当△𝑃𝐸𝐶为直角三角形时，求tan∠𝐴𝐶𝐹的值．【解析】此题主要考

查了三角形外接圆，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理和全等三角形的判定与性质，解直角三角形，分类讨论的思想方法．(1)先证△𝐴𝐵𝐷≌△𝐵𝐶𝐸，得出∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐵�

�，再证出∠𝐵𝑃𝐷=∠𝐵𝐹𝐶，即可解答；(2)当△𝑃𝐸𝐶为直角三角形时，可分为三种情况：∠𝑃𝐶𝐸=90°或∠𝐶𝐸𝑃=90°或∠𝐶𝑃𝐸=90°，分别解答，即可．【答案】解：(1)∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐴𝐶=2，∠𝐴𝐵�

�=∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐵𝐴𝐶=60°，∵𝐵𝐷=𝐶𝐸．∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐵𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)．∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐵𝐸∴∠𝐵𝑃𝐷=∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐴𝐵𝑃=∠𝐶𝐵𝐸+∠𝐴𝐵𝑃=60°，∵∠𝐵�

�𝐶=∠𝐵𝐹𝐶=60°∴∠𝐵𝑃𝐷=∠𝐵𝐹𝐶．∴𝐴𝐷//𝐹𝐶；(2)当△𝑃𝐸𝐶为直角三角形时，可分为三种情况：∠𝑃𝐶𝐸=90°或∠𝐶𝐸𝑃=90°或∠𝐶𝑃𝐸=90°．①当∠𝑃𝐶𝐸=90°时，∵∠𝑃𝐶𝐸<∠𝐴𝐶𝐵=60°，∴∠

𝑃𝐶𝐸=90°这种情况不存在．②当∠𝐶𝐸𝑃=90°时，14∵𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐴𝐶，∴𝐴𝐸=𝐸𝐶，∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐶𝐵𝐸=30°．∴∠𝐴𝐶𝐹=∠𝐴𝐵𝐹=30°∴tan∠𝐴𝐶𝐹=𝑡𝑎𝑛30

°=√33③当∠𝐶𝑃𝐸=90°时，过点A作𝐴𝐻⊥𝐵𝐶于点H，设𝐴𝐸=𝑥，则𝐶𝐷=𝐴𝐸=𝑥，𝐶𝐸=6−𝑥.∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐻⊥𝐵𝐶，∴𝐵𝐻=𝐶𝐻=3，∠𝐻𝐴𝐶=∠𝐻𝐴𝐵=30

°．∴𝐻𝐷=3−𝑥．∵∠𝐵𝐹𝐶=60°，∠𝐶𝑃𝐸=90°，∴∠𝑃𝐶𝐹=∠𝐻𝐴𝐶=30°．∵𝐴𝐷//𝐹𝐶，∴∠𝐹𝐶𝐴=∠𝐷𝐴𝐶．∴∠𝑃𝐶𝐹−∠𝐹𝐶𝐴=∠𝐻𝐴

𝐶−∠𝐷𝐴𝐶．∴∠𝐻𝐴𝐷=∠𝑃𝐶𝐸．∵∠𝐴𝐻𝐷=∠𝐶𝑃𝐸=90°∴△𝐴𝐻𝐷∽△𝐶𝑃𝐸．∴𝐻𝐷𝑃𝐸=𝐴𝐷𝐶𝐸．∴𝑃𝐸⋅𝐴𝐷=𝐻𝐷⋅𝐶𝐸①.15∵∠𝐵𝑃𝐷=∠𝐴𝑃𝐸=∠𝐴𝐶𝐵=60°，∠�

�𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐷，∴△𝑃𝐴𝐸∽△𝐶𝐴𝐷．∴𝑃𝐸𝐶𝐷=𝐴𝐸𝐴𝐷．∴𝑃𝐸⋅𝐴𝐷=𝐴𝐸⋅𝐶𝐷②.观察①式和②式可得：𝐻𝐷⋅𝐶𝐸=𝐴𝐸⋅𝐶𝐷．∴(3−𝑥)(6−𝑥)=𝑥2．解得：𝑥=2．∴𝐴𝐸=2，过

点E作𝐸𝐺⊥𝐴𝐵于点G∴在𝑅𝑡△𝐴𝐸𝐺中∠𝐸𝐴𝐺=60°．∴𝐴𝐺=𝐴𝐸⋅cos60∘=1．𝐸𝐺=𝐴𝐸⋅sin60∘=√3．∴𝐵𝐺=𝐴𝐵−𝐴𝐺=5．在𝑅𝑡△𝐵𝐺𝐸中，tan∠𝐴𝐵𝐸=

𝐸𝐺𝐵𝐺=√35．∴tan∠𝐴𝐶𝐹=tan∠𝐴𝐵𝐸=√35．综上所述，当△𝑃𝐸𝐶为直角三角形时，tan∠𝐴𝐶𝐹=√35或√33．8.研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD内接于⊙𝑂，对

角线𝐴𝐶=𝐵𝐷，且𝐴𝐶⊥𝐵𝐷16(1)求证：𝐴𝐵=𝐶𝐷；(2)若⊙𝑂的半径为8，弧BD的度数为120°，求四边形ABCD的面积；(3)如图2，作𝑂𝑀⊥𝐵𝐶于M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．【解析】本题考查了圆的综合题，熟

练掌握圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质和矩形的性质、会利用三角形全等解决线段相等的问题是解题的关键．(1)根据弦、弧、圆心角的关系证明；(2)根据弧BD的度数为120°，得到∠𝐵𝑂𝐷=120°，利用解直角三角形的知识求出BD，根据题意计算

即可；(3)连接OB、OC、OA、OD，作𝑂𝐸⊥𝐴𝐷于E，如图3，根据垂径定理得到𝐴𝐸=𝐷𝐸，再利用圆周角定理得到∠𝐵𝑂𝑀=∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐴𝑂𝐸=∠𝐴𝐵𝐷，再利用等角的余角相等得到∠𝑂𝐵𝑀=∠𝐴𝑂𝐸，则可证明△𝐵𝑂

𝑀≌△𝑂𝐴𝐸得到𝑂𝑀=𝐴𝐸，证明结论．【答案】(1)证明：∵𝐴𝐶=𝐵𝐷，∴𝐴𝐶⏜=𝐵𝐷⏜，则𝐴𝐵⏜=𝐷𝐶⏜，∴𝐴𝐵=𝐶𝐷；(2)解：如图1，连接OB、OD，作𝑂𝐻⊥𝐵𝐷于H，∵弧BD的度数为120°，∴∠�

�𝑂𝐷=120°，17∴∠𝐵𝑂𝐻=60°，则𝐵𝐻=√32𝑂𝐵=4√3，∴𝐵𝐷=8√3，则四边形ABCD的面积=12×𝐴𝐶×𝐵𝐷=96；(3)𝐴𝐷=2𝑂𝑀，证明如下：连结OB、OC、OA、OD，作𝑂𝐸⊥𝐴𝐷于E，如图2，∵𝑂𝐸⊥𝐴𝐷，∴𝐴�

�=𝐷𝐸，∵∠𝐵𝑂𝐶=2∠𝐵𝐴𝐶，而∠𝐵𝑂𝐶=2∠𝐵𝑂𝑀，∴∠𝐵𝑂𝑀=∠𝐵𝐴𝐶，同理可得∠𝐴𝑂𝐸=∠𝐴𝐵𝐷，∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，∴∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐴𝐵𝐷=90°

，∴∠𝐵𝑂𝑀+∠𝐴𝑂𝐸=90°，∵∠𝐵𝑂𝑀+∠𝑂𝐵𝑀=90°，∴∠𝑂𝐵𝑀=∠𝐴𝑂𝐸，在△𝐵𝑂𝑀和△𝑂𝐴𝐸中，{∠𝑂𝑀𝐵=∠𝑂𝐸𝐴∠𝑂𝐵𝑀=∠𝐴𝑂𝐸𝑂𝐵=

𝐴𝑂,∴△𝐵𝑂𝑀≌△𝑂𝐴𝐸(𝐴𝐴𝑆)，∴𝑂𝑀=𝐴𝐸，∴𝐴𝐷=2𝑂𝑀．189.如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，以AB为直径的⊙𝑂交BC于点D，交AC于点E，过

点D作𝐹𝐺⊥𝐴𝐶于点F，交AB的延长线于点G．(1)求证：GD为⊙𝑂切线；(2)求证：𝐷𝐸2=𝐸𝐹⋅𝐴𝐶；(3)若tan∠𝐶=2，𝐴𝐵=5，求AE的长．【解析】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加

常用辅助线，构造基本图形解决问题，属于中考常考题型．(1)连接OD，证明𝑂𝐷//𝐴𝐶，由𝐷𝐺⊥𝐴𝐶，可得𝑂𝐷⊥𝐷𝐹，则结论得证；(2)连接AD，先证明𝐷𝐸=𝐶𝐷，证明𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐹∽𝑅𝑡△𝐶�

�𝐷，则结论得证；(3)求出𝐵𝐷=𝐷𝐶=√5，求出EF，CE长，则AE长可求．【答案】(1)证明：如图1，连接OD，∵𝑂𝐷=𝑂𝐵，∴∠𝑂𝐷𝐵=∠𝑂𝐵𝐷，∵𝐴𝐵=𝐴�

�，19∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶，∴∠𝑂𝐷𝐵=∠𝐶，∴𝑂𝐷//𝐴𝐶，∵𝐷𝐺⊥𝐴𝐶，∴𝑂𝐷⊥𝐷𝐹，∴𝐺𝐷为⊙𝑂切线；(2)证明：如图2，连接AD，∵𝐴𝐵为直径，∴∠𝐴𝐷𝐵=90

°，即𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴𝐶𝐷=𝐵𝐷，∠𝐸𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐷，∴𝐵𝐷=𝐷𝐸=𝐶𝐷，∵𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，∴𝐶𝐹=𝐸𝐹，∵∠𝐶𝐹𝐷=∠𝐶𝐷𝐴=90°，

∠𝐹𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐷，∴𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐹∽𝑅𝑡△𝐶𝐴𝐷，∴CDAC=CFCD，20即𝐶𝐷2=𝐶𝐹⋅𝐴𝐶，∴𝐷𝐸2=𝐸𝐹⋅𝐴𝐶；(3)解：如图2，∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶，tan∠𝐴𝐵𝐶=tan∠𝐶=ADBD=2，𝐴

𝐵=5，∴𝐵𝐷=𝐷𝐶=√5，∵在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐹中，tan∠𝐶=2，∴𝐶𝐹=1，由(2)知，𝐸𝐹=𝐶𝐹，∴𝐸𝐹=𝐶𝐹=1，𝐶𝐸=2，∴𝐴𝐸=𝐴𝐶−𝐶𝐸=𝐴𝐵

−𝐶𝐸=5−2=3．10.如图，AB是⊙𝑂的直径，弦𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，垂足为H，连接AC，过𝐵𝐷⏜上一点E作𝐸𝐺//𝐴𝐶交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且𝐸𝐺=𝐹�

�，连接CE．(1)求证：△𝐸𝐶𝐹∽△𝐺𝐶𝐸；(2)求证：EG是⊙𝑂的切线；(3)延长AB交GE的延长线于点M，若𝑡𝑎𝑛𝐺=34，𝐴𝐻=3√3，求EM的值．21【解析】本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性

质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建对应线段成比例解决问题，属于中考压轴题．(1)由𝐴𝐶//𝐸𝐺，推出∠𝐺=∠𝐴𝐶𝐺，由𝐴𝐵⊥𝐶𝐷推出𝐴𝐷⏜=𝐴𝐶⏜，推出

∠𝐶𝐸𝐹=∠𝐴𝐶𝐷，推出∠𝐺=∠𝐶𝐸𝐹，由此即可证明；(2)欲证明EG是⊙𝑂的切线只要证明𝐸𝐺⊥𝑂𝐸即可；(3)连接𝑂𝐶.设⊙𝑂的半径为𝑟.在𝑅𝑡△𝑂𝐶𝐻中，利

用勾股定理求出r，证明△𝐴𝐻𝐶∽△𝑀𝐸𝑂，可得𝐴𝐻𝐸𝑀=𝐻𝐶𝑂𝐸，由此即可解决问题；【答案】(1)证明：如图1中，∵𝐴𝐶//𝐸𝐺，∴∠𝐺=∠𝐴𝐶𝐺，∵𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，∴𝐴𝐷⏜=𝐴𝐶⏜，∴∠𝐶�

�𝐹=∠𝐴𝐶𝐷，∴∠𝐺=∠𝐶𝐸𝐹，∵∠𝐸𝐶𝐹=∠𝐸𝐶𝐺，∴△𝐸𝐶𝐹∽△𝐺𝐶𝐸．(2)证明：如图2中，连接OE，∵𝐺𝐹=𝐺𝐸，∴∠𝐺𝐹𝐸=∠𝐺𝐸𝐹=∠𝐴𝐹𝐻，

∵𝑂𝐴=𝑂𝐸，∴∠𝑂𝐴𝐸=∠𝑂𝐸𝐴，∵∠𝐴𝐹𝐻+∠𝐹𝐴𝐻=90°，22∴∠𝐺𝐸𝐹+∠𝐴𝐸𝑂=90°，∴∠𝐺𝐸𝑂=90°，∴𝐺𝐸⊥𝑂𝐸，∴𝐸𝐺是⊙𝑂的切线．(3)解：如图3中，连接𝑂𝐶.设⊙𝑂的半

径为r．在𝑅𝑡△𝐴𝐻𝐶中，tan∠𝐴𝐶𝐻=tan∠𝐺=𝐴𝐻𝐻𝐶=34，∵𝐴𝐻=3√3，∴𝐻𝐶=4√3，在𝑅𝑡△𝐻𝑂𝐶中，∵𝑂𝐶=𝑟，𝑂𝐻=𝑟−3√3，𝐻𝐶=4√3，∴(𝑟−3√3)2+(

4√3)2=𝑟2，∴𝑟=25√36，∵𝐺𝑀//𝐴𝐶，∴∠𝐶𝐴𝐻=∠𝑀，∵∠𝑂𝐸𝑀=∠𝐴𝐻𝐶，∴△𝐴𝐻𝐶∽△𝑀𝐸𝑂，∴𝐴𝐻𝐸𝑀=𝐻𝐶𝑂𝐸，∴3√3�

�𝑀=4√325√36，∴𝐸𝑀=25√38．11.我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”23(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“十字形”的有_______________________

_．(2)如图1，在四边形ABCD中，𝐴𝐵=𝐴𝐷，且𝐶𝐵=𝐶𝐷①证明：四边形ABCD是“十字形”；②若𝐴𝐵=2.∠𝐵𝐴𝐷=60°，∠𝐵𝐶𝐷=90°，求四边形ABCD的面积．(3)如图2.𝐴、B、C、D是半

径为1的⊙𝑂上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，若∠𝐴𝐷𝐵−∠𝐶𝐷𝐵=∠𝐴𝐵𝐷−∠𝐶𝐵𝐷.满足𝐴𝐶+𝐵𝐷=3，求线段OE的取值范围．【答案】(1)菱形，正方形；(2)①如图1，连接AC，BD，∵𝐴𝐵=𝐴𝐷，且𝐶𝐵=𝐶𝐷∴𝐴𝐶是

BD的垂直平分线，∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，∴四边形ABCD是“十字形”；②∵∠𝐵𝐴𝐷=60°，𝐴𝐵=𝐴𝐷，∴△𝐴𝐵𝐷是等边三角形，∴𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐵𝐷=2，∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝐷𝐵=60°，∵∠𝐵𝐶𝐷=9

0°，𝐶𝐵=𝐶𝐷，∴∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐶𝐷𝐵=45°，∴𝐶𝐵=𝐶𝐷=𝐵𝐷𝑠𝑖𝑛45°=2×√22=√2，𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑆△𝐴𝐵𝐷+𝑆△𝐵𝐶𝐷=√34×22+12×√2×√2=√3+1；24(3

)如图2∵∠𝐴𝐷𝐵+∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐶𝐷𝐵，∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐶𝐴𝐷，∠𝐶𝐷𝐵=∠𝐶𝐴𝐵，∴∠𝐴𝐷𝐵+∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐶𝐴𝐵，∴180°−∠�

�𝐸𝐷=180°−∠𝐴𝐸𝐵，∴∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐴𝐸𝐵=90°，∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，过点O作𝑂𝑀⊥𝐴𝐶于M，𝑂𝑁⊥𝐵𝐷于N，连接OA，OD，∴𝑂𝐴=𝑂𝐷=1，𝑂

𝑀2=𝑂𝐴2−𝐴𝑀2，𝑂𝑁2=𝑂𝐷2−𝐷𝑁2，𝐴𝑀=12𝐴𝐶，𝐷𝑁=12𝐵𝐷，四边形OMEN是矩形，∴𝑂𝑁=𝑀𝐸，𝑂𝐸2=𝑂𝑀2+𝑀𝐸2，∴𝑂𝐸2=𝑂𝑀2+𝑂𝑁2=2−14(𝐴𝐶2+𝐵𝐷2)设𝐴𝐶=𝑚，则𝐵

𝐷=3−𝑚，∵⊙𝑂的半径为1，𝐴𝐶+𝐵𝐷=3，∴1≤𝑚≤2，𝑂𝐸2=−12𝑚2+32𝑚−14=−12(𝑚−32)2+78，∴34≤𝑂𝐸2≤78，∴√32≤𝑂𝐸≤√144．【解析】此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，平行四边形，矩形，菱形，正方

形的性质，能合理添加辅助线，构造二次函数模型分析线段的最值是解题的关键．(1)利用“十字形”的定义判断即可；(2)①连接AC和BD，运用垂直平分线的判定即可；②根据𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑆△𝐴�

�𝐷+𝑆△𝐵𝐶𝐷，直接计算即可；(3)先判断出∠𝐴𝐷𝐵+∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐶𝐴𝐵，进而判断出∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐴𝐸𝐵=90°，即：25𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，再判断出四边形OMEN是矩形，进而得出𝑂𝐸2=2−14(𝐴𝐶2+𝐵𝐷2

)，设𝐴𝐶=𝑚，列出二次函数分析即可．【解答】解：(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有菱形、正方形的对角线一定互相垂直，故答案为：菱形、正方形；12.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一个动点(不与点A、B重合)，D是弦AC上一点，过点D作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，垂足为E，

过点C作半圆O的切线，交ED的延长线于点F．(1)求证：𝐹𝐶=𝐹𝐷；(2)①当∠𝐶𝐴𝐵的度数为_____时，四边形OEFC是矩形;②若D是弦AC的中点，⊙𝑂半径为5，𝐴𝐶=8，则FC的长为_____．【答案】(1)证明：∵𝐹𝐶

是圆的切线，∴∠𝐹𝐶𝐷+∠𝐴𝐶𝑂=90°，∵𝐹𝐸⊥𝐵𝐴，∴∠𝐴𝐷𝐸+∠𝐶𝐴𝑂=90°，而∠𝐶𝐴𝑂=∠𝐴𝐶𝑂，∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐹𝐷𝐶，∴∠𝐹𝐷𝐶=∠𝐹𝐶𝐷，∴𝐹𝐶=𝐹𝐷；(2)①45°；②103.

26【解析】本题为圆的综合运用题，涉及到解直角三角形、矩形的基本性质．(1)证明∠𝐹𝐷𝐶=∠𝐹𝐶𝐷，即可求解；(2)①当∠𝐶𝐴𝐵=45°时，∠𝐶𝑂𝐵=90°，即可求解；②𝐷是弦AC的中点，则𝑂�

�⊥𝐴𝐶，𝐴𝐷=𝐷𝐶，𝑐𝑜𝑠𝛼=𝑂𝐷𝑂𝐴=35，𝐹𝐷=12𝐶𝐷𝑐𝑜𝑠𝛼=235=103，即可求解．【解答】解：(1)见答案；(2)①当∠𝐶𝐴𝐵=45°时，∠𝐶𝑂𝐵=90°，则四边形OEFC是矩形，故答案是

45°；②连接OD，∵𝐷是弦AC的中点，∴𝑂𝐷⊥𝐴𝐶，𝐴𝐷=𝐷𝐶，则∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐴𝑂𝐷=∠𝐹𝐷𝐶=𝛼，则𝐴𝐷=𝐶𝐷=12𝐴𝐶=4，𝑂𝐴=5，𝐷𝑂=3，𝑐𝑜𝑠𝛼=𝑂𝐷�

�𝐴=35，则△𝐹𝐷𝐶中，𝐹𝐷=12𝐶𝐷𝑐𝑜𝑠𝛼=235=103=𝐹𝐶，所以𝐹𝐶=103．