【文档说明】河南省2022-2023学年高三年级TOP二十名校四月冲刺考（一）理科数学参考答案和解析.pdf，共(9)页，966.978 KB，由小赞的店铺上传

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【高三理科数学参考答案（第１页共８页）】２０２２－２０２３下学年高三年级ＴＯＰ二十名校四月冲刺考（一）高三理科数学参考答案１．【答案】Ｂ【解析】Ａ＝ｘ｜ｘ（ｘ－２）＜０{}＝ｘ｜０＜ｘ＜２{}，则Ａ∩Ｂ＝１{}．故选Ｂ．２．【答案】Ｂ【解析

】设复数ｚ，－ｉ，ｉ在复平面内对应的点分别为Ｚ（ｘ，ｙ），Ａ（０，－１），Ｂ（０，１），则｜ｚ＋ｉ｜＝｜ｚ－ｉ｜的几何意义是Ｚ到Ａ的距离和Ｚ到Ｂ的距离相等，则ｚ在复平面内对应的点（ｘ，ｙ）满足ｙ＝０．故

选Ｂ．３．【答案】Ａ【解析】ｙ＝ｃｏｓ２ｘ－π２()＝ｓｉｎ２ｘ．令ｓｉｎ２ｘ＝±１，则２ｘ＝π２＋ｋπ（ｋ∈Ｚ），即ｘ＝π４＋ｋπ２（ｋ∈Ｚ），故对称轴可以是直线ｘ＝π４．故选Ａ．４．【答案】Ｄ【解析】由函数模型Ｕ（ｔ）＝－Ｕ０ｌｎＫｔ，当ｔ＝５０时

，Ｕ（ｔ）＝１５，可得１５＝－２０ｌｎ（５０Ｋ），即１５＝－２０ｌｎ５０－２０ｌｎＫ①．设血液尿酸浓度达到正常值７时，摄入天数为ｔ′，则７＝－２０ｌｎ（ｔ′Ｋ），即７＝－２０ｌｎｔ′－２０ｌｎＫ②，②－①可得－８＝－

２０ｌｎｔ′５０，即ｌｎｔ′５０＝２５，则ｔ′５０＝ｅ２５，ｔ′＝５０ｅ２５≈７４．５．故选Ｄ．５．【答案】Ａ【解析】依题意，每个兴趣小组采集３处水样，每处水样至少有１个兴趣小组进行采集，可分为两步．第一步，甲组进行采样，有Ｃ３５＝１０种方法；第二步，乙组进行采样，

有Ｃ２２×Ｃ１３＝３种方法，所以共有１０×３＝３０种方法．故选Ａ．６．【答案】Ａ【解析】由Ａ（３，槡２３）在ｙ２＝２ｐｘ上，得１２＝２ｐ×３，解得ｐ＝２，则Ｆ（１，０），直线ＡＦ的斜率ｋ＝槡２３３－１＝槡３，倾斜角为６０°．如图，过点Ａ

作ｌ的垂线，垂足为Ｈ．由抛物线的定义可知｜ＡＦ｜＝｜ＡＨ｜．在Ｒｔ△ＡＨＢ中，∠ＢＡＨ＝６０°，∴｜ＡＢ｜＝２｜ＡＨ｜，∴｜ＢＦ｜＝｜ＡＢ｜－｜ＡＦ｜＝｜ＡＨ｜，∴｜ＡＦ｜＝｜ＢＦ｜．故选Ａ．７．【答案】Ｄ【解析】在△Ａ１ＢＣ１中，因为Ｍ，Ｎ分别为Ａ１Ｂ，Ａ１Ｃ１的中点，所以Ｍ

Ｎ∥ＢＣ１，又ＢＣ１∥ＡＤ１，所以ＭＮ∥ＡＤ１，故Ａ选项正确；同理，ＭＰ∥ＢＤ，ＭＮ∥ＢＣ１，则ＭＰ∥平面ＢＣ１Ｄ，ＭＮ∥平面ＢＣ１Ｄ，所以【高三理科数学参考答案（第２页共８页）】平面ＭＮＰ∥平面ＢＣ１Ｄ，故Ｂ选项正确；因为

ＭＮ∥ＡＤ１，ＡＤ１⊥ＣＤ，所以ＭＮ⊥ＣＤ，故Ｃ选项正确；取ＢＤ的中点Ｅ，则∠Ａ１ＥＣ１即为二面角Ａ１－ＢＤ－Ｃ１的平面角，易知∠Ａ１ＥＣ１≠９０°，则平面Ａ１ＢＤ与平面ＢＣ１Ｄ不垂直，又平面ＭＮＰ∥平面ＢＣ１Ｄ，故

平面ＭＮＰ与平面Ａ１ＢＤ不垂直，故Ｄ选项错误．故选Ｄ．８．【答案】Ｄ【解析】在△ＡＢＣ中，｜ＡＣ｜＝｜ＢＣ｜＝槡５．如图，当公共弦ＡＢ最大，即ＡＢ为圆Ｃ′的直径时，∠ＡＣＢ最大．此时在Ｒｔ△ＣＣ′Ａ中，｜ＡＣ｜＝槡

５，｜ＡＣ′｜＝１，｜ＣＣ′｜＝｜ＡＣ｜２－｜ＡＣ′｜槡２＝２．故选Ｄ．９．【答案】Ａ【解析】设选择与甲进行比赛且获胜的业余棋手人数为Ｘ，选择与乙进行比赛且获胜的业余棋手人数为Ｙ；设选择与甲进行比赛的业余棋手人数为ｎ，则选择与乙进行比赛的业余棋手人数为３２－ｎ．Ｘ所有可能的

取值为０，１，２，…，ｎ，则Ｘ～Ｂｎ，１３()，Ｅ（Ｘ）＝ｎ３；Ｙ所有可能的取值为０，１，２，…，３２－ｎ，则Ｙ～Ｂ３２－ｎ，１４()，Ｅ（Ｙ）＝３２－ｎ４，获胜的业余棋手总人数的期望Ｅ（Ｘ＋Ｙ）＝Ｅ（Ｘ）＋Ｅ（Ｙ）＝ｎ

３＋３２－ｎ４＝ｎ＋９６１２≥１０，解得ｎ≥２４．故选Ａ．１０．【答案】Ｂ【解析】由ａ１＝１，ａ４＝４，ａ２是ａ１与ａ４的等比中项，可知ａ２＝±２．若ａ２＝２，由ａ１＝ａ５＝１，可知ａ６＝２，由ａ３＝－３，可知ａ７＝－３，则ａ８＝ａ

４＝４，则数列ａｎ{}：１，２，－３，４，１，２，－３，４，…，是以４为周期的数列，易知前ｎ项和无最大值．若ａ２＝－２，同理可得数列ａｎ{}：１，－２，－３，４，１，－２，－３，４，…，则数列Ｓｎ{}是以４为周期的数列，且Ｓ１＝１，Ｓ２＝－

１，Ｓ３＝－４，Ｓ４＝０，所以Ｓｎ的最大值Ｓ＝１．故选Ｂ．１１．【答案】Ｄ【解析】如图，将圆台Ｏ１Ｏ补成圆锥ＰＯ．设圆台Ｏ１Ｏ的母线长为ｌ，则ｌ２＝ｈ２＋（Ｒ－ｒ）２，等腰梯形ＡＢＣＤ为过两母线的截面．设ＰＣ＝ｘ，∠ＡＰＢ＝θ，

由ｒＲ＝ｘｘ＋ｌ，则有ｘ＝ｒｌＲ－ｒ，则Ｓ＝Ｓ△ＰＡＢ－Ｓ△ＰＣＤ＝１２［（ｘ＋ｌ）２－ｘ２］ｓｉｎθ＝Ｒ＋ｒ２（Ｒ－ｒ）ｌ２ｓｉｎθ．当ｈ≥Ｒ－ｒ时，θ≤９０°，当ｓｉｎθ最大时，即截面为轴截面时，面积最大，则

Ｓ的最大值为（Ｒ＋ｒ）ｈ．当ｈ＜Ｒ－ｒ时，θ＞９０°，当ｓｉｎθ＝１时，截面面积最大，则Ｓ的最大值为Ｒ＋ｒ２（Ｒ－ｒ）ｌ２＝（Ｒ＋ｒ）［ｈ２＋（Ｒ－ｒ）２］２（Ｒ－ｒ）．故选Ｄ．【高三理科数学参考答案（第３页共８页）

】１２．【答案】Ｃ【解析】ａ＝ｌｎ２．４＞０，ｂ＝ｌｏｇ３２．８＞０，ａｂ＝ｌｎ２．４ｌｏｇ３２．８＜ｌｎ２．４ｌｏｇ３ｅ＝ｌｎ２．４×ｌｎ３＜ｌｎ２．４＋ｌｎ３２()２＝ｌｎ７．２２()２＝（ｌｎ７．槡２）２＜（ｌｎｅ）２＝１，则ａ＜ｂ．ｃ＝ｌｇ５．７＜ｌｇ２．４

２＝ｌｎ２．４２ｌｎ１０＝２ｌｎ２．４ｌｎ１０＝ｌｎ２．４槡ｌｎ１０因为槡ｌｎ１０＞ｌｎｅ＞１，所以ｃ＜ｌｎ２．４＝ａ，则有ｃ＜ａ＜ｂ．故选Ｃ．１３．【答案】（１，－１）（答案不唯一，横、纵坐标互为相反数即可）【解析】由题意可知ａ－ｂ＝（３，３），设ｃ＝（ｘ，ｙ），则３ｘ＋３ｙ＝０，取ｘ＝１，则ｙ

＝－１，则与ａ－ｂ垂直的非零向量可以为ｃ＝（１，－１）．１４．【答案】－１【解析】当ｘ＞０时，ｆ′（ｘ）＝１ｘ＋１．当ｘ＜０时，ｆ′（ｘ）＝－１ｘ＋１，根据导数的几何意义结合图象，不妨设ｘ１＜０，ｘ２＞０．因为

曲线ｆ（ｘ）在点Ａ，Ｂ处的两条切线互相垂直，所以－１ｘ１＋１·１ｘ２＋１＝－１，整理得ｘ１ｘ２＋ｘ１＋ｘ２＝０，所以１ｘ１＋１ｘ２＝－１．１５．【答案】槡１０３【解析】不妨设点Ｐ在第二象限，直线ＡＰ的方程为ｙ＝ｘ＋ａ

，联立ｙ＝ｘ＋ａ，ｙ＝－ｂａｘ，{得点Ｐ的纵坐标ｙＰ＝ａｂａ＋ｂ；联立ｙ＝ｘ＋ａ，ｙ＝ｂａｘ，{得点Ｑ的纵坐标ｙＱ＝ａｂｂ－ａ．由Ａ为ＰＱ的三等分点，可知ｙＱ＝－２ｙＰ，则有ａｂｂ－ａ＝－２ａｂａ＋ｂ，整理，得ａ＝３ｂ，则ａ２＝９（ｃ２－ａ２），故Ｃ的离心率ｅ＝ｃａ＝槡１０３．１６．【答案】３

【解析】设∠ＡＢＣ＝θ，θ∈（０°，１８０°）．在△ＡＢＣ中，由余弦定理得ＡＣ２＝ＡＢ２＋ＢＣ２－２ＡＢ·ＢＣｃｏｓθ＝３－槡２２ｃｏｓθ，由正弦定理得１ｓｉｎ∠ＡＣＢ＝ＡＣｓｉｎθ，则ｓｉｎ∠ＡＣＢ＝ｓｉｎθＡＣ．在△ＡＣＤ中，ＡＤ＝槡２ＣＤ，∠ＡＤＣ＝４５°，则∠Ａ

ＣＤ＝π２，ＣＤ＝ＡＣ．在△ＤＣＢ中，由余弦定理得ＢＤ２＝ＣＤ２＋２－槡２２ＣＤ·ｃｏｓπ２＋∠ＡＣＢ()＝【高三理科数学参考答案（第４页共８页）】ＡＣ２＋２＋槡２２ＡＣｓｉｎ∠ＡＣＢ＝３－槡２２ｃｏｓθ＋２＋槡２２ＡＣ·ｓｉｎθＡＣ＝５＋槡２２（ｓｉｎθ－ｃｏｓθ）＝５＋４ｓｉｎθ

－π４()，当θ＝３π４时，ｓｉｎθ－π４()取最大值１，则ＢＤ２的最大值为９，故ＢＤ的最大值为３．１７．【答案】见解析【解析】（１）设数列ｂｎ{}的公差为ｄ，由ｂ２＋ｂ３＝－１２，得２ｂ１＋３ｄ＝－１２，由ｂ１＝－３，得ｄ＝－２，故ｂｎ＝－２ｎ－１，即ａｎ＋ａｎ

＋１＝－２ｎ－１．①（３分）………………………………………………………………………递推，得ａｎ＋１＋ａｎ＋２＝－２ｎ－３，②①－②，得ａｎ－ａｎ＋２＝２，故ａｎ－ａｎ＋２＝２得证．（６分）…………………………………………………………………………（２）法一：若ａｎ{}为等差数列，设公差为

ｄ′，由ａｎ＋２－ａｎ＝－２可得，２ｄ′＝－２，ｄ′＝－１．又ａｎ＋ａｎ＋１＝－２ｎ－１，即２ａｎ＋ｄ′＝－２ｎ－１，所以ａｎ＝－ｎ．又ａ１＝－１，∴ａｎ{}的前ｎ项和Ｓｎ＝（－１－ｎ）ｎ２＝－ｎ２２－ｎ２．法二：由ａｎ＋ａｎ＋１＝－２ｎ－１，可知ａ２＝－ａ１－

３．又ａｎ＋２－ａｎ＝－２，所以ａ３＝ａ１－２．又ａｎ{}为等差数列，所以ａ１＋ａ３＝２ａ２，即ａ１＋（ａ１－２）＝２（－ａ１－３），解得ａ１＝－１，（９分）…………………………………………………则有ｄ′＝－１，ａｎ{}的前ｎ项和Ｓｎ＝－ｎ＋ｎ（ｎ－１）２·（－１）＝－ｎ２２－ｎ２．（

１２分）………………………１８．【答案】见解析【解析】（１）ｘ＝６＋１５＋２５＋３４４＝２０，ｙ＝５＋１０＋１５＋１９４＝１２．２５，（２分）……………………………所以＾ｂ＝∑４ｉ＝１ｘｉｙｉ－４ｘｙ∑４ｉ＝１ｘ２ｉ－４ｘ２＝

１２０１－４×２０×１２．２５２０４２－４×４００＝０．５，（４分）………………………………………所以＾ａ＝ｙ－＾ｂｘ＝１２．２５－０．５×２０＝２．２５．所以所求线性回归方程为＾ｙ＝０．５ｘ＋２．２５．（６分）……………

……………………………………（２）当ｘ＝４４时，＾ｙ＝０．５×４４＋２．２５＝２４．２５，｜＾ｙ－ｙ｜＝｜２４．２５－２４｜＝０．２５≤１．（８分）……………………………………………………………当ｘ＝５４时，＾ｙ＝０．５×５４＋２．２５＝２９．２５，｜＾ｙ－ｙ｜＝｜２９

．２５－３１｜＝１．７５＞１．（１０分）……………………………………………………………故不能用此回归方程估计该海域其他岛屿的植物种数．（１２分）…………………………………１９．【答案】见解析【解析】（１）如图，取ＢＤ的中点Ｇ，连接ＡＧ，ＣＧ．因为∠ＢＣＤ＝９０°，ＢＧ＝ＤＧ，所以ＢＧ

＝ＣＧ．又因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＧ为公共边，【高三理科数学参考答案（第５页共８页）】所以△ＡＢＧ≌△ＡＣＧ，所以∠ＡＧＢ＝∠ＡＧＣ．（２分）…………………………………………………………………………同理可得∠ＡＧＣ＝∠ＡＧＤ，所以∠Ａ

ＧＢ＝∠ＡＧＤ．因为∠ＡＧＢ＋∠ＡＧＤ＝１８０°，所以∠ＡＧＢ＝∠ＡＧＣ＝∠ＡＧＤ＝９０°，（４分）…………………………………………………………所以ＡＧ⊥ＢＤ，ＡＧ⊥ＣＧ．又因为ＢＤ∩ＣＧ＝Ｇ，所以ＡＧ⊥平面ＢＣＤ．又因为ＡＧ平

面ＡＢＤ，所以平面ＡＢＤ⊥平面ＢＣＤ．（５分）………………………………………（２）过点Ｃ作直线ＣＨ⊥平面ＢＣＤ，以Ｃ为坐标原点，ＣＤ→，ＣＢ→，ＣＨ→的方向分别为ｘ轴，ｙ轴，ｚ轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设ＡＧ＝ａ（ａ＞０），则Ａ槡３２，

１２，ａ()，Ｂ（０，１，０），Ｃ（０，０，０），Ｄ（槡３，０，０），则有ＢＡ→＝槡３２，－１２，ａ()，ＣＡ→＝槡３２，１２，ａ()，ＣＤ→＝（槡３，０，０）．设平面ＡＣＤ的一个法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），由ｎ·ＣＡ→＝０，ｎ·ＣＤ→＝０，{得槡３２ｘ＋

１２ｙ＋ａｚ＝０，槡３ｘ＝０，{可取ｎ＝（０，２ａ，－１）．设直线ＡＢ与平面ＡＣＤ所成的角为α，则ｓｉｎα＝｜ｃｏｓ〈ｎ，ＢＡ→〉｜＝｜ｎ·ＢＡ→｜｜ｎ｜｜ＢＡ→｜＝２ａ４ａ２＋槡１·ａ２＋槡１．（８分）…………………………………

…ｓｉｎ２α＝４ａ２（４ａ２＋１）（ａ２＋１）＝４ａ２４ａ４＋５ａ２＋１＝４４ａ２＋１ａ２＋５≤４２４ａ２·１ａ２槡＋５＝４９，当且仅当４ａ２＝１ａ２，即ａ＝槡２２时，等号成立．（１１分）………………………………………………因为ＢＤ＝２，ＢＣ＝１，∠ＢＣＤ＝９０°，

所以ＣＤ＝槡３，此时三棱锥Ａ－ＢＣＤ的体积Ｖ＝１３Ｓ△ＢＣＤ×ＡＧ＝１３×槡３２×槡２２＝槡６１２，【高三理科数学参考答案（第６页共８页）】故当直线ＡＢ与平面ＡＣＤ所成的角最大时，三棱锥Ａ－ＢＣＤ的体积为槡６１２．（

１２分）……………２０．【答案】见解析【解析】（１）不妨设点Ｐ在ｘ轴的上方，由椭圆的性质可知｜ＯＡ｜＝ａ．因为△ＡＰＯ是以Ｐ为直角顶点的等腰直角三角形，所以Ｐ－ａ２，ａ２()，代入ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１，得ａ２４ａ２＋ａ２４ｂ２＝１，整

理，得ａ２＝３ｂ２．（２分）……………………………………………因为△ＡＰＯ的面积为１，所以１２ａ·ａ２＝１，所以ａ２＝４，ｂ２＝４３．故椭圆Ｃ的方程为ｘ２４＋３ｙ２４＝１．（４分）……………………………………

…………………………（２）设直线ＡＭ的斜率为ｋ１，直线ＢＮ的斜率为ｋ２，Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２），直线ＭＮ的方程为ｘ＝ｍｙ＋１．不妨设ｙ２＜０＜ｙ１，则ｋ１＝ｔａｎ∠ＭＡＢ，ｋ２＝ｔａｎ∠ＮＢＡ．联立ｘ＝ｍｙ＋１，ｘ２＋３ｙ２＝４，{可得（ｍ２＋３）ｙ２＋２ｍｙ－３＝０，

Δ＝１６ｍ２＋３６＞０，则ｙ１＋ｙ２＝－２ｍｍ２＋３，ｙ１ｙ２＝－３ｍ２＋３，（６分）…………………………………………所以ｙ１＋ｙ２ｙ１ｙ２＝２ｍ３，即２ｍｙ１ｙ２＝３（ｙ１＋ｙ２），则ｋ１ｋ２＝ｙ１ｘ１＋２ｙ２ｘ２－２＝ｙ１ｘ１＋２·ｘ２－２ｙ２＝ｙ１（ｍｙ２－１）（ｍｙ１＋３）ｙ２＝ｍｙ１ｙ

２－ｙ１ｍｙ１ｙ２＋３ｙ２＝３２（ｙ１＋ｙ２）－ｙ１３２（ｙ１＋ｙ２）＋３ｙ２＝１２ｙ１＋３２ｙ２３２ｙ１＋９２ｙ２＝１３，（１０分）………………………………………………………………………………………………………所以３ｋ１＝ｋ２，

故３ｔａｎ∠ＭＡＢ＝ｔａｎ∠ＮＢＡ得证．（１２分）……………………………………………………………２１．【答案】见解析【解析】（１）设ｇ（ｘ）＝ｆ′（ｘ）＝ｌｎｘ－２ａｘ＋１，ｇ（ｘ）的定义域为（０，＋∞），ｇ′（ｘ）＝１ｘ－２ａ．（１分）………………………………………………………………………………

当ａ≤０时，ｇ′（ｘ）＞０，ｇ（ｘ）在区间（０，＋∞）上单调递增．（２分）…………………………………当ａ＞０时，令ｇ′（ｘ）＝０，得ｘ＝１２ａ，若ｘ∈０，１２ａ()，ｇ′（ｘ）＞０，ｇ（ｘ）单调递增；若ｘ∈１２ａ，＋∞()，ｇ′（ｘ）＜０，ｇ（ｘ）单调递减．【高三理科数学参考答案（第７页共８

页）】综上，当ａ≤０时，ｆ′（ｘ）在（０，＋∞）上单调递增；当ａ＞０时，ｆ′（ｘ）在区间０，１２ａ()上单调递增，在区间１２ａ，＋∞()上单调递减．（４分）…………………………………………………………………（２）直线ｙ＝ｅ２２与曲线ｙ＝ｆ（ｘ）有两个交点，即关于ｘ的方程ｘｌｎｘ－ａｘ２＝

ｅ２２有两个解，整理方程，得ａ＝ｌｎｘｘ－ｅ２２ｘ２．（６分）…………………………………………………………………令φ（ｘ）＝ｌｎｘｘ－ｅ２２ｘ２，其中ｘ＞０，则φ′（ｘ）＝１－ｌｎｘｘ２＋ｅ２ｘ３＝ｘ－ｘｌｎｘ＋ｅ２ｘ３．令ｓ（ｘ）＝ｘ－ｘｌｎｘ＋ｅ２，则ｓ′（ｘ）＝－ｌ

ｎｘ．当０＜ｘ＜１时，ｓ′（ｘ）＞０，此时函数ｓ（ｘ）单调递增；当ｘ＞１时，ｓ′（ｘ）＜０，此时函数ｓ（ｘ）单调递减．（８分）……………………………………………由ｓ（１）＝１＋ｅ２，ｓ（ｅ２）＝０，得０＜ｘ＜１时，ｘ－

ｘｌｎｘ＋ｅ２＝ｘ（１－ｌｎｘ）＋ｅ２＞０，则φ′（ｘ）＞０；当１＜ｘ＜ｅ２时，ｓ（ｘ）＞ｓ（ｅ２）＝０，则φ′（ｘ）＞０；当ｘ＞ｅ２时，ｓ（ｘ）＜ｓ（ｅ２）＝０，则φ′（ｘ）＜０，所以函数φ（ｘ）在区间（０，ｅ２）上单调递增，在区间（ｅ２，＋∞）上单调递减，则φ（ｘ

）ｍａｘ＝φ（ｅ２）＝３２ｅ２．（１０分）……………………………………………………………………当ｘ趋近于＋∞时，φ（ｘ）趋近于０，即当ｘ＞ｅ２时，φ（ｘ）＞０；当ｘ趋近于０时，φ（ｘ）趋近于－∞．故要

使直线ｙ＝ｅ２２与曲线ｙ＝ｆ（ｘ）有两个交点，则需０＜ａ＜３２ｅ２，即ａ的取值范围是０，３２ｅ２()．（１２分）………………………………………………………………２２．【答案】见解析【解析】（１）由曲线

Ｃ１的参数方程是ｘ＝ｔ′，ｙ＝ｔ′２－２，{得Ｃ１的直角坐标方程为ｙ＝ｘ２－２．（２分）…………………………………………………………由ρ＝１得ρ２＝１，又ｘ２＋ｙ２＝ρ２，则有ｘ２＋ｙ２＝１，故Ｃ２的直角坐标方程为ｘ２＋

ｙ２＝１．（４分）…………………………………………………………（２）把ｘ＝ｔｃｏｓθ，ｙ＝－１＋ｔｓｉｎθ{代入ｙ＝ｘ２－２，得ｔｓｉｎθ－１＝ｔ２ｃｏｓ２θ－２，整理，得ｔ２ｃｏｓ２θ－ｔｓｉｎθ－１＝０设ｔ１，ｔ２所对应的点分别为

Ａ，Ｂ，则ｔ１＋ｔ２＝ｓｉｎθｃｏｓ２θ．（６分）………………………………………………………………………………【高三理科数学参考答案（第８页共８页）】把ｘ＝ｔｃｏｓθ，ｙ＝－１＋ｔｓｉｎθ{代入ｘ２＋ｙ２＝１，得ｔ２ｃｏｓ２θ＋（ｔｓｉｎθ－１）２＝

１，整理，得ｔ２－２ｔｓｉｎθ＝０，设ｔ３，ｔ４所对应的点分别为Ｃ，Ｄ，则ｔ３＋ｔ４＝２ｓｉｎθ．（８分）………………………………………………………………………………因为｜ＯＡ｜＝｜ＯＢ｜，｜ＯＣ｜＝｜ＯＤ

｜，即ＡＢ与ＣＤ的中点重合，所以ｔ１＋ｔ２＝ｔ３＋ｔ４，所以ｓｉｎθｃｏｓ２θ＝２ｓｉｎθ，且ｓｉｎθ≠０，所以ｃｏｓθ＝±槡２２，故｜ＣＤ｜＝槡２．（１０分）………………………………………………………………

………………２３．【答案】见解析【解析】（１）因为ａ２＋ｂ２＝１，即｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝１，所以｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝（｜ａ｜＋｜ｂ｜）２－２｜ａ｜·｜ｂ｜＝１．（２分）……………………………………………根据基本不等式，得（｜ａ｜＋｜ｂ｜）２－１＝２｜ａ｜·｜ｂ｜≤（｜ａ｜＋｜ｂ｜）２２，当且仅

当｜ａ｜＝｜ｂ｜＝槡２２时，等号成立，整理，得（｜ａ｜＋｜ｂ｜）２≤２，所以｜ａ｜＋｜ｂ｜≤槡２．（４分）…………………………………………………………………………（２）ａ３ｂ＋ｂ３ａ＝ａｂ·ａ２＋ｂａ·ｂ２＝ａｂ·（

１－ｂ２）＋ｂａ·（１－ａ２）＝ａｂ－｜ａｂ｜＋ｂａ－｜ａｂ｜＝ａｂ＋ｂａ－２｜ａｂ｜．（８分）………………………………………………………………………由基本不等式和不等式的性质，得ａｂ＋ｂａ≥２ａｂ·ｂａ槡＝２，２｜ａｂ｜≤ａ２＋ｂ２＝１．故ａｂ＋ｂａ－

２｜ａｂ｜≥２－１＝１，当且仅当｜ａ｜＝｜ｂ｜＝槡２２时，等号成立，所以ａ３ｂ＋ｂ３ａ≥１．（１０分）………………………………………………………………………获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com