【文档说明】重庆市南开中学2024-2025学年高一上学期入学考试数学试题 Word版含解析.docx，共(32)页，2.222 MB，由管理员店铺上传

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高2027级高一入学测试数学学科试题（时间：120分钟，满分150分）一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填写在对应括号里．1.2024−的绝对值是（）A.2024B.2024−C.1202

4D.12024−【答案】A【解析】【分析】根据绝对值的意义解答即可．【详解】2024−的绝对值是2024．故选：A．2.下面图形中，中心对称图形的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】【分析】

根据中心对称图形的定义判断.【详解】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义可知，前3个图形是中心对称图形.故选：C.3.已知点(3,2)−在反比例函数(0)kykx=的图象

上，则k的值为（）A.3−B.3C.6−D.6【答案】C【解析】【分析】把点(3,2)−代入反比例函数kyx=中，可直接求k的值．【详解】根据题意知，将点(3,2)−代入反比例函数kyx=中，可得23k=−，化简可得6k=−.故选：C4.已知，

直线ab∥，把一块含有30角的直角三角板如图放置，130=，三角板的斜边所在直线交b于点A，则2=（）A.50B.60C.70D.80【答案】B【解析】【分析】根据“两直线平行，同位角相

等”求解即可．【详解】130=，60ABC=，直线ab∥，260ABC==，故选：B．5.如图，在平面直角坐标系中，ABCV与ABC是位似图形，位似中心为点O．若点(3,1)A−的对应点为(6,2)A−，则点(2,4)B−的对应点B的坐标为

（）A.(4,8)−B.(8,4)−C.(8,4)−D.(4,8)−【答案】A【解析】【分析】根据点A与点A的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可.【详解】∵ABCV与ABC是位似图形，位似中心为点O

，点(3,1)A−的对应点为(6,2)A−，∴ABCV与ABC的相似比为1:2，∵点B的坐标为(2,4)−，∴点B的对应点B的坐标为)22,2(4−，即(4,8)−，故选：A6.如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形，

第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（）A.2022B.2023C.2024D.2025【答案】B【解析】【分析】根据已知图找到图中三角形个数

的规律，即可求得答案.【详解】由图可知：第1个图中有1314+=个三角形，第2个图中有1327+=个三角形，第3个图中有13310+=个三角形，依此类推，可知第n个图中有()1331nn+=+个三角形，故第674个图中三角形的个数是674312023+=.

故选：B7.如图，估计51955−的值所对应的点可能落在（）A.点A处B.点B处C.点C处D.点D处【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，计算给定式子并估计即可判断得解.【详解】依题意，51951915−=−，而161925，则4

195，31914−，所以51955−的值所对应的点可能落在点B处.故选：B8.两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（）

A.2π33−B.4π3C.4π33−D.43π34−【答案】C【解析】【分析】连接,OAAO，作⊥ABOO于点B，得三角形AOO是等边三角形，求出2π3,33AOAOOAOOABSSS==−=−弓形扇形V，再根据AOAO

OSSS=+阴影弓形扇形，即可解答．【详解】如图：连接,OAAO，作⊥ABOO于点B，因为2OAOOAO===，可知三角形AOO是等边三角形，则160,12AOOOBOO===，可得22213AB=−=，则2π3,33AOAOOAOOABSSS==−=−弓形扇形V,

所以2π2π4π33333AOAOOSSS=+=−+=−阴影弓形扇形．故选：C．9.如图，在ABD△中，30ABD=，105A=，将ABD△沿BD翻折后得到CBD△，将线段DC绕点D顺时针旋转30得到线段DF，点E为AB

的中点，连接EF，ED．若1EF=，则BED的面积是（）A.134+B.234+C.223+D.132+【答案】A【解析】【分析】先证明ADEABD∽，得出30ADEABD==，再证明ADEV≌()FDESAS，得出1EFAEBE==

=，再根据三角形面积公式得出BED的面积.【详解】过点A作AGBD⊥于点G，30,ABD=105,A=45,ADB=设AEBEa==，则2ABa=∴13,322AGABaBGABa====，∴DGAGa==，∴2ADa=，∵222AEaADa==，2

222ADaABa==，∴AEADADAB=，∵DAEBAD=，∴ADEABD∽,∴30ADEABD==，∵90ADCADBCDBADEEDFCDF=+==++，∴903030EDF=++，∴30EDFADE=

=，∵,ADCDDFDEDE===，∴ADEV≌()FDESAS，∴1EFAEBE===，过点E作EHBD⊥于点H，∴1122EHBE==，331BDaa=+=+，∴BED的面积111(31)222BDEH==+=314+.故选：A10.如图1，ABCV是等边三角形，

点D在边AB上，2BD=，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线BCCA−匀速运动，到达点A后停止，连接DP．设点P的运动时间为(s)t，2DP为y．当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示．有以下四

个结论：①3AB=；②当5t=时，1y=；③当46t时，函数值y的最小值为34；④动点P沿BCCA−匀速运动时，两个时刻1t，()212ttt分别对应1y和2y，若126tt+=，则12yy．其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【解析】【分析】由图知当动点

P沿BC匀速运动到点C时，27DP=，作DEBC⊥于点E，利用解直角三角形和勾股定理，即可得到BC，即可判断①，当5t=时，证明ADP△是等边三角形，即可判断②，当46t时，且DPAC⊥时，2DP最小，求出最小值即可判断③，利用勾股定理分别表示出1y和2y进行比较，即可判断④．【详解】对于①：

由图知当动点P沿BC匀速运动到点C时，27DP=，作DEBC⊥于点E，因为ABCV是等边三角形，点D在边AB上，2BD=，则60,ABCBBCA===，可得sin603,cos601DEBDBEBD====，所以222,3EPDPDEABBCBEEP=−===+=，故①正确；对

于②：当5t=时，则532,1PCAPAD=−===，因为60A=，可知ADP△是等边三角形，则1DPAPAD===，即21yDP==，故②正确；对于③：当46t时，且DPAC⊥时，2DP最小，因为

1,60ADA==，则3sin602DPAD==，1cos602APAD==，所以2DP的最小值为34，故③正确；对于④：动点P沿BCCA−匀速运动时，因为12126,tttt+=，则221136,60tttt=−，由103t

，可知点P在BC上，由①可得：()()22211111324yttt=−+=−+；由236t，可知点P在AC上，由③可得：222221111131312424ytttt=−+=−+=−+

；则12130yyt−=−，即12yy，故④正确；综上所述：正确结论的个数是4个.故选：D．二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将正确答案直接填写在答题卡对应的横线上．11.计算：101(π3)2−−+=______．【答案】3【解析】【分

析】根据次幂计算法则求解.【详解】原式101(π3)1232−=−+=+=.故答案为：3.12.有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒

子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为__________．【答案】14##0.25【解析】【分析】写出两次取到的卡片总情况，再求得相同图案的卡片的情况，即可得出结果.【详解】根据题意可得两次取到的卡片总情况由如下16种

：（唐僧，唐僧）、（唐僧，孙悟空）、（唐僧，猪八戒）、（唐僧，沙悟净）；（孙悟空，唐僧）、（孙悟空，孙悟空）、（孙悟空，猪八戒）、（孙悟空，沙悟净）；（猪八戒，唐僧）、（猪八戒，孙悟空）、（猪八戒，猪八戒）、（猪八戒，沙悟净）、（沙悟净，唐僧）、（沙悟净，孙悟空

）、（沙悟净，猪八戒）、（沙悟净，沙悟净）、其中相同图案的卡片共有4种，即（唐僧，唐僧）、（孙悟空，孙悟空）、（猪八戒，猪八戒）、（沙悟净，沙悟净）；因此两次取到相同图案的卡片的概率为41164=.故

答案为：1413.如图，直线ykxb=+与13yx=交于(3,1)A与x轴交于(6,0)B，则不等式组103kxbx+的解集为______．【答案】6|3xx【解析】【分析】满足不等式组103kxbx+就是一次函数的图象位于正比例函数的图象的下方且位于x轴的上方部分x的取值范

围，据此求解.【详解】∵直线ykxb=+与13yx=交于(3,1)A与x轴交于(6,0)B，∴不等式组103kxbx+的解集为：|36xx.故答案为：|36xx.14.如果关于x的分式方程1111axxx−−=++的解为负数，且关于x的不等式组

2()43412axxxx−−−++的解集为2x−，那么符合条件的整数a的个数是__________．【答案】2【解析】【分析】首先解方程和解不等式组得到30a−且2a−，即可得到答案.【详解】11111111211axxaxxxxxxaxax−−−==−=

++++−−−−=，因为02a且12a−，所以0a且2a−.因为2()44234212axxxaxxx−−−++−+，且2()43412axxxx−−−++的解集为2x−，所以422a+

−，即3a−.所以30a−且2a−，又因为a为整数，所以3a=−或1a=−.符合条件的整数a的个数为2.故答案为：215.已知实数a，b满足1ab=，那么221111ab+++的值为__________．【答案】1【解

析】【分析】把1ba=代入计算即可得解.【详解】由1ab=，得1ba=，所以22222221111111111111abaaaaa+=+=+=++++++.故答案为：116.如图，RtABC△中，90ACB=，5ACBC==．正方形DEFG的边长为5，它的顶点D，E

，G分别在ABCV的边上，则BG的长为______．【答案】32【解析】【分析】过点G作GHAC⊥于H，可知AHG为等腰直角三角形，又推出RtDHG≌RtECD△，可得对应线段相等，结合勾股定理求出AH的长，即可求得答案.【详解】过点G作GHAC⊥于H，由RtABC

△中，90ACB=，5ACBC==，即ABCV为等腰直角三角形，可得45A=，则AHG为等腰直角三角形，则,2AHHGAGAH==，四边形DEFG为正方形，故,,9090DGDEGDEGDHEDCDEC===−=，

所以RtDHG≌RtECD△，则,GHDCDHCE==，所以AHHGDC==，设,AHHGDCaDHCEb=====，因为正方形DEFG的边长为5，即5DE=，因为222,ACAHDHDCDCCEDE=+++=，所以()22225,5abab+=

+=，解得2a=（负值舍），即2AHa==，所以222AGAH==，又252ABAC==，故522232BGABAG=−=−=，故答案为：3217.数学兴趣小组对1…n这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数k进行了探究.发现：当2n=时，只有{1,2}一种取法，即1k=；当3n=时，

有{1,3}和{2,3}两种取法，即2k=；当4n=时，可得4k=；……若24n=，则k的值为______．【答案】144【解析】【分析】当24n=时，从1,2,3,,22,23,24中，取两个数的和大于24，根据规律可得23211931144k=+

++++=.【详解】由题意，当24n=时，从1,2,3,,22,23,24中，取两个数的和大于24，这两个数分别是：24,124,2,,24,23，，23,223,3,,23,22，，22,322,4,,

22,21，，14,1114,1214,13，，，13,12，所以23211931144k=+++++=.故答案为：144.18.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，AF．若4sin5EAF=，5AE=，则AB的长为

__________．【答案】2653【解析】【分析】延长,BCAF交于点M,过点E作ENAF⊥于点,N可证得,ADFMCF进而根据题意可求2,7NFMN==,65EM=，进而可求AB.【详解】如图所示，延长,BCAF

交于点M,过点E作ENAF⊥于点,N四边形ABCD是菱形,//,,ADBMABADCDBC===.DMCF=F是𝐶𝐷的中点,.DFCF=,DFAMFC=ADFMCF(ASA),,.ADCMAFMF==4s

in,55EAFAE==,在RtANE中,5sin4ENEAF==,由勾股定理得3AN=.易知5,AEAFMF===2,NF=527MN=+=,在RtENM中,由勾股定理得22224765EMENMN=+=+=.设CEx=,则2,CMx=365EMx==,

解得65,3x=2652,3CMx==2653ABADCM===.19.一个两位正整数m，若m满足各数位上的数字均不为0，称m为“公能数”，将m的两个数位上的数字对调得到一个新数n，把m放在n的左边组成第一个四位数A，把m放在n的右边组成第二个四位数B，记()99ABFm−=．

若s，t都是“公能数”，s个位上的数字等于t十位上的数字，且()Fs被11除余7，()()63FsFt+=，则满足条件的所有s的和为__________．【答案】183【解析】【分析】先根据题意设s个位上的数字为x，十位上的数字为y，t个位上的数字为z，可得()99Fsyx=

−，()99Ftxz=−，根据()()63FsFt+=可得92yz==或81yz==，再结合()Fs被11除余7可得.【详解】由题意，设m十位上的数字为a，个位上的数字为b，则10mab=+，10nba=+，1001001110Amnab=+=+，1001001

110Bnmba=+=+，的所以()()10011101001110999999abbaABFmab+−+−===−，其中0a，0b，设s个位上的数字为x，十位上的数字为y，t个位上的数字为z，,,xyz取值分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9中的某个整数，则()99Fsyx=−，()9

9Ftxz=−，因为()()9963FsFtyz+=−=，所以7yz−=，故92yz==或81yz==，当9y=时，()99819Fsyxx=−=−，因()Fs被11除余7，故7x=，当8y=时，()

99729Fsyxx=−=−，因()Fs被11除余7，故6x=，故s所有可能值为97、86，和为183，故答案为：18320.如图，在RtABC△中，90ACB=，以其三边为边在AB的同侧作三个正方形，点I在DE上，以EF为直径的圆交直线AB于点,MN．

若I为DE的中点，5AB=，则MN=__________．【答案】65【解析】【分析】利用三角形全等的判定得出ACBAEI，结合I的位置及勾股定理得出,ACBC，连接,ECCF，利用正方形性质得出ECF、、共线，从而判定直径及圆心的位置，结合平行线分线段成比例计算

圆心到AB的距离，再由垂径定理计算弦长即可.详解】由题意易知90ABAICABIAEIACACAE===−=，则ACBAEI，而I为DE的中点，所以1122BCEIEDAC===，因为5AB=，所以BC5,AC25==，连接,

ECCF，易知459045180ECAACBFCB++=++=，所以ECF、、共线，即直径()2310EFACBC=+=，假设圆心为O，分别过,,OCF作直线MN的垂线，垂足依次为,,JKL，同上易证KCB

NBF，可得101,2,2BKFNCKBNOC=====，所以23CKFNOJFN−=−，解之得52OJ=，则222652EFMNOJ=−=.故答案为：65三、解答题（本大题共7个小题，每小题各10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括

辅助线），请将解答过程书写在对应的位置．21.计算：（1）21(2)(2)()(3)2mnmnmnnmnm−++−−−；（2）()322447123334xxxxxxxxx++++−++++．【答案】（1）46mn−（2）63x+【解析】【【

分析】（1）根据平方差公式、完全平方公式及多项式与单项式的除法法则计算即可；（2）根据多项式与多项式的除法法则计算即可.【小问1详解】21(2)(2)()(3)2mnmnmnnmnm−++−−−()()22222

22242323mnmmnnnmnmmnmm=−+−+−+=−46mn=−；【小问2详解】()322447123334xxxxxxxxx++++−++++22(44)19713(2)34xxxxxxxxx++−+=+++++()()()()2244112432343

3xxxxxxxxxxxxx+−++−=+=+++++++63x=+.22.某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手打分进行整理、描述和分析下面给出了

部分信息.a.教师评委打分：86889091919191929298b.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组8285x，第2组8588x，第3组8891x，第4组9194x，第5组9497x，

第6组97100x）；平均数中位数众数的教师评委9191m学生评委90.8n93c.评委打分的平均数、中位数、众数如上：根据以上信息，回答下列问题：①m的值为______，n的值位于学生评委打分数据分组的第___

___组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x，则x______91（填“”“=”或“”）；（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的

选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：评1评委2评委3评委4评委5甲9390929392乙9192929292丙90949094k若丙在甲、乙、丙三位选手中

的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中k（k为整数）的值为______.【答案】（1）①91；4；②（2）甲；92【解析】【分析】（1）①根据众数以及中位数的定义解答即可；②根据算术平均数的定义求出8名教师评委打分的平均数，即可得出答案；（2）根据方差的定义和平均

数的意义求解即可.【小问1详解】①由题意得，教师评委打分中91出现次数最多，故众数91m=；45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故n的值位于学生评委打分数据分组的第4组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为

x，则1(8890919191919292)90.758x=+++++++=，的91x.【小问2详解】甲选手的平均数为1(9390929392)925++++=，乙选手的平均数为1(9192929292)91.85++++=，因为丙在甲、乙、

丙三位选手中的排序居中，所以三位选手中排序最靠前的是甲，且丙的平均数大于或等于乙的平均数，因为5名专业评委给乙选手的打分为91,92,92,92,92，乙选手的方差2221[4(9291.8)(9191.8)]0.165S=−+−=乙，5名专业评委给丙选手的打分为9

0,94,90,94,k，所以乙选手的方差小于丙选手的方差，所以丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，9390929392909490949192929292k++++++++++++，9291k

，k为整数，k的值为92.23.为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A，B两个品种各种植了10亩．收获后A，B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B的平均亩产量比A的平均亩产量高100kg，A，B两个品种全部售出后总收入为21600元．（

1）请求出A，B两个品种去年平均亩产量分别多少？（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B种植亩数不变的情况下，预计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加%a和2%a．由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨%a，而A品

种的售价不变．A，B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加20%9a．求a的值．【答案】（1）A，B两个品种去年平均亩产量分别为400kg，500kg；（2）10.【解析】【分析】（1）设A，B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；根据题意列方程组即可得

到结论；（2）根据题意列方程即可得到结论.是【小问1详解】设A，B两个品种去年平均亩产量分别为kgx，kgy.由题得，()100102.421600yxxy−=+=得400500xy==所以A，B两个品种去年平均亩产量分别为400kg，500kg.【

小问2详解】由题意知，A，B两个品种今年平均亩产量分别为()()4001%kg50012%kgaa++，，且A，B两个品种今年的售价分别为2.4元/kg，()2.41%a+元/kg.两品种全部售出后总收入较去年基础上增加20%9a，所

以可得关系式：()202.440010(1%)2.4(1%)5001012%216001%9aaaa++++=+由上述关系式，解得10a=.所以a的值为10.24.如图1，在矩形ABCD中，EFGH⊥，EF分别交AD、BC于点E、F

，GH分别交AB、DC于点G、H．（1）求证：EFABGHAD=；（2）如图2，将矩形ABCD沿EF折叠．使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG，若4AB=，6BC=，4103EF=，求PF的长度．【答案

】（1）证明见详解（2）2【解析】【分析】（1）如图，过A作//AMEF交BC于M，过D作//DNGH交AB于N，由矩形ABCD，可得四边形AEFMDHGN、均为平行四边形，则,DNGHAMEF==，又可得BAMADN=

，则可得BAMADN，则得AMABDNAD=，EFABGHAD=.（2）如图，过点P作PHAB⊥交AB的延长线于H，过点P作PQBC⊥交BC于Q，由（1）知EFABDGAD=，可得210DG=，则2BG=，在RtAG

E中，由勾股定理可得103DEGE==，由AEGHGP，可得165GH=，由GAEPQF，即可求得2PF=.【小问1详解】如图，过A作//AMEF交BC于M，过D作//DNGH交AB于N，因为四边形ABCD是矩形，//,//,90ADBCABCDABCBAD==，则AMEF=，DNGH=，

所以四边形AEFMDHGN、均为平行四边形，,DNGHAMEF==，,//,//GHEFDNGHAMEF⊥，AMDN⊥，90BAMDAMADNDAM+==+，BAMADN=，又9

0ABMDAN==，BAMADN，AMABDNAD=，EFABGHAD=.【小问2详解】如图，过点P作PHAB⊥交AB的延长线于H，过点P作PQBC⊥交BC于Q，则PQBH=，//PQAB，由折叠的性质得EFGD⊥，

由（1）知，EFABDGAD=，又4AB=，6BC=，4103EF=，所以410436DG=，则210DG=，所以在RtADG中，222AGDGAD=−=，则2BG=，由折叠的性质得，,4,90DEGEGPCDABEGPAD

C======，设DEGEx==，则6AEADDEx=−=−，所以在RtAGE中，222AGAEGE+=，()22226xx+−=，解得103x=，108,33DEGEAE===，90AGEA

EGAGEHGP+==+，AGEHGP=，又90EAGGHP==，AEGHGP，EGAEGPGH=，则108334GH=，165GH=，65PQBHHGBG==−=，//,//PQAGPFGE，AGE

QPF=，又90GAEPQF==，GAEPQF，PQPFAGGE=，则651023PF=，解得2PF=.25.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上．点B，C在第一象限，四边形OABC是平行四边形，点C在反比例函数kyx=的图象上，

点C的横坐标为2．点B的纵坐标为3．（1）如图1，点D是AB边的中点，且在反比例函数kyx=图象上，求平行四边形OABC的面积；（2）如图2，将直线13:4lyx=−向上平移6个单位得到直线2l，直线2l与函数(0)kyxx=图象交于1M，2M两点，点P为12MM的

中点，过点1M作11MNl⊥于点N．请求出P点坐标和1MNOP的值．【答案】（1）9（2）()4,3P,12425MNOP=【解析】【分析】（1）易求得()2,3C，代入可得反比例函数解析式为6yx=，再根据中点坐标公式可求得D点坐标，得出平行四

边形OABC的面积；（2）作辅助线并利用勾股定理求得1245MNOF==，联立直线和反比例函数方程即可得出()4,3P，可求出5OP=，即可求出12425MNOP=.【小问1详解】根据题意因为点C的横坐标为2．点B的纵坐标为3，四边形OABC是平行四边形，可得()2,3C，由点C在反比例函数ky

x=的图象上，可得32k=，可得6k=；即反比例函数解析式为6yx=；设点A的坐标为(),0Am，所以222313OC=+=，因为四边形OABC是平行四边形，所以13ABOC==，又点D是AB边的中点，点B的纵

坐标为3，所以点D的纵坐标为32，又因为点D在反比例函数6yx=的图象上，即34,2D，根据中点坐标公式可得()8,3Bm−，所以()228313ABmm=−−+=，解得3m=或5m=（舍），即平行四边形OABC的面积339O

ABCS==.【小问2详解】将直线13:4lyx=−向上平移6个单位得到直线2l，可得23:64=−+lyx；设直线2l与y轴交点为E，则()0,6E，作2OFl⊥于点F，如下图所示：因为11MNl⊥于点N，所以1MNOF

=，在函数364yx=−+中，当0y=时，8x=，即()8,0G；所以6,8OEOG==，在RtEOG△中，由勾股定理可得2210EGOEOG=+=，由三角形面积公式可得OEOGOFEG=，所以6824105OEOGOFE

G===，可得1245MNOF==；联立方程组3646yxyx=−+=，解得4226322xy=+−=或4226322xy=−+=，即12632632422,,422,22MM+−−+

，又点P为12MM的中点，所以()4,3P，因此22435OP=+=，所以124245==525MNOP.26.已知在RtABC△中，90ACB=，()4590ABC=，点D是边A

C上一点，点E在直线BC上运动，将线段DE绕点D顺时针旋转2得到线段DF，点F落在直线AB．（1）如图1，点E、F分别在边BC、AB上，若60=，连接EF，//EFAC，33AC=，求BF的长度；（2）如图2，点E、F分别在边

BC、AB上，作//EGAC交AB于点G，请猜想线段AF、AB、FG之间的数量关系，并证明；（3）若60=，点E在直线BC上运动，当BDFV为等腰三角形时，请直接写出CEAD的值．【答案】（1）4（2）3ABAFFG=+，理由见解析（3）

312−或32或36【解析】【分析】（1）由题意可得DEDF=，120EDF=，结合//EFAC可得四边形DEFA为平行四边形，即可借助含30的直角三角形的边的性质及平行四边形计算得解；（2）作出相应辅助线，结合题意可得ADF

△与GPF相似，DPE与QFE△相似，即可借助相似三角形的性质得到相应边的比例，计算即可得解；（3）由题意构造相应辅助线可得点D在B的角平分线上，再分点E所处位置，结合等腰三角形分类讨论并逐项计算即可得.【小问1

详解】由题意可得DEDF=，2120EDF==，则30DEFEFD==，由//EFAC，故9030AEFB==−=，故有30EFBFED==，故//DEAB，故四边形DEF

A为平行四边形，则()233333333AFDECDADCD====−，则3CD=，故2323AFCD==，故2333243BF=−=；【小问2详解】3ABAFFG=+，理由如下：延长DF、EG交于点P，连接EF，取BG中点Q，连接EQ，由题意可得DEDF=，2EDF=，则()118

02902DFE=−=−，又90A=−，则EFQAADFDFEADF=+−=，由//EGAC，故ADFGPF=，又AFDGFP=，故ADF△与GPF相似，故有DFAFFPFG=，由//EGAC，故90BEGC==，又Q为BG

中点，故EQQBQG==，则QEBB==，故2EQFEDF==，又EFQADFGPF==，故DPE与QFE△相似，故有DPDEQFEQ=，即12DFPFDFQFBG+=，即()()122111122FGABAFFGDFPFQF

PFFGDFDFABAFFGBGABAFFG+−−+==+==+−−−−，即2PFFGDFABAFFG=−−，又DFAFFPFG=，故2FGFGAFABAFFG=−−，即可得2ABAFFGAF−−=，即3ABAFFG=+；【小问3详解】CEAD的值可能为312−或32或36，理由如下：①连接B

D，过点D作DHAB⊥于点H，由题意可得DEDF=，2120EDF==，则()1801809030120CDHADH=−=−−=，故当点E在线段BC上且不与端点重合时，点F在H点左侧，如下图：若BDFV为等腰三角形，则有DBBF=，120FDHD

HECDE=−=，又90CDHF==，DEDF=，故CDE与HDF全等，故CDDH=，CEFH=，故点D在B的角平分线上，即有30DBADBC==，则2BDCDBF==，23CEFHBFBH

CDCD==−=−，22ADDHCD==，此时233122CEAD−==−；②当点E在点B处时，由DEDF=，2120EDF==且点F在直线AB上，故()1180120302DFBDEF==−=，故点F在点A处，如下图：此时BDFV中有DBDF=，

符合要求，则点2323ADDBCDCE===，即33223CEAD==；③若点E在点C处时，由①可知，此时DFAB⊥，即BDFV为包含30角的直角三角形，故舍去；④若点E在射线CE上且不在线段CE上时，如下图：此时30DBF=，30DFB，120FDB

，BDFV不可能为等腰三角形，故舍去；⑤若点E在射线EC上且不在线段EC上时，连接BD，过点D作DHAB⊥于点H，如下图：由题意可得DEDF=，2120EDF==，则()1801809030120CDHADH=−=−−=，120FDHDHECDE=−=，又90DCED

HF==，DEDF=，故CDE与HDF全等，故CDDH=，CEFH=，故点D在B的角平分线上，即有30DBADBC==，若BDFV为等腰三角形，则有DFBF=，则1202303090ADFDFBA=−=−−=，则233333CEFHBHBFC

DCDCD==−=−=，22ADDHCD==，此时33326CEAD==；综上所述：当BDFV为等腰三角形时，CEAD的值可能为312−或32或36.【点睛】关键点点睛：本题第二小问关键点在于构造相应辅助线，得到ADF△与GPF相似，DPE与QFE△相似.27.如

图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线2yax2xc=++经过点(2,8)，且与y轴交于点A，与x轴交于点(6,0)B，点P是第一象限抛物线上一动点，过P作//PQy轴，交AB于点Q．（1）求抛物线的解

析式；（2）如图2，过点P作PRAB⊥于点R，当PQR的周长最大时，动点M在直线PQ上运动，动点N在y轴上运动，且//MNx轴，连接,BMNQ，求BMNQ+的最小值；（3）如图3，点C在第一象限内，连接,ACOC，且ACAO⊥，将线段CO绕点C逆时针旋转90

得到线段CD，连接,,ODADOD交AB于点E，点F在第二象限内直线AB上，连接,OFBD，若OFBBAD=，2BDOAOC=，26PQEF=，请直接写出点P的坐标．【答案】（1）21262yxx=−++（2）35（3）()35,55P+−或()35,55P−+【解析】【分

析】（1）先找到二次函数上的两个点，然后代入函数解析式建立方程求解即可；（2）先确定当PQ最长时，PQR周长最大，然后设()21,26,,62PtttQtt−++−计算PQ长度，然后计算出最大值时的t，最后得到,PQ两点的坐标，然后画点()()3,0,3,0HK−，利

用几何关系可知BMNQNKNQKQ+=+，求解即可；（3）先过点D作x轴垂线GW分别交x轴和直线AC于点,WG，然后证明()AOCCGDASA≌，最后得到6,CGOADGAC===，设,AOCACDGm===，利用角度关系，得到DWBOWD∼，即666DWBWaaOWDWaa−==

+−，计算出2a=，最后计算需要的长度，证明()EOFBDAAAS≌，计算出262EFABOA===，最后计算出226PQEF==，由（2）计算出t，得出点P坐标即可.【小问1详解】由题可知18442036126acaacc=++=−=++=所以抛物线解析式为2126

2yxx=−++【小问2详解】由题可知，()0,6A所以6OAOB==,得三角形OAB为等腰直角三角形，因为//PQy，PRAB⊥所以三角形PQR为等腰直角三角形，所以其周长为()21PRRQPQPQ++=+所以周长最大，即PQ最长，因为()0,6A，(6,0)B

所以:6AByx=−不妨设：()21,26,,62PtttQtt−++−所以()2211266322PQttttt=−++−−=−+所以显然当33122t−==−时，PQ最长，此时PQR的周长最大故()153,

,3,32PQ如图，作点()()3,0,3,0HK−，连接,,NHNKQK,显然MN平行且等于HB所以四边形MNHB为平行四边形，所以NHMB=显然y轴为KH中垂线，所以NHNK=故BMNQNKNQ+=+显然223635BMNQNKNQKQ+=+=+=所以BMNQ+的最

小值为35；【小问3详解】如图，过点D作x轴垂线GW分别交x轴和直线AC于点,WG，所以90DCGCDG+=由题可知：90,90,DCGACOAOCACOOCCD+=+==所以,DCGAOCACOCDG==故()AOCCGDASA

≌所以6,CGOADGAC===设,,AOCACDGm===所以6,DWWGDGmBWOWOBAGOBa=−=−=−=−=显然90,45AOBCDOCOD===所以45BOD=−显然，22BDOAOC==所以45DBWBODODB=+=+因为90DWB=所以9045B

DWDBW=−=−所以45BDWBOD==−因为DWBDWO=所以DWBOWD∼所以666DWBWaaOWDWaa−==+−解得2a=所以2,4BWDW==所以22222425,4845BDOD=+==+=因为45,45ABODBW

==+所以18090DBEABODBW=−−=−90DEBABODOB=+=−所以90DEBDBE==−所以25DEDB==所以OEDEBD==又因为OEFDEBDBE==，OFBBAD=所以(

)EOFBDAAAS≌所以262EFABOA===所以226PQEF==由（2）可知21322PQtt=−+=解得35t=所以当35t=+时2126552ytt=−++=−此时()35,55P+−；当35t=−时2126552ytt=−++=+，此时()35

,55P−+.