【文档说明】北京市密云区2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题 含解析.docx，共(18)页，1.194 MB，由小赞的店铺上传

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北京市密云区2022-2023学年第二学期期末考试高二数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合1,0,1,(1)0ABxxx=−=−，则AB=（）A.B.{0}C.

{1}D.{0,1}【答案】D【解析】【分析】根据集合的交集运算即可求解.【详解】解：(1)001,1,0,1BxxxxxA=−==−，{0,1}AB=，故选：D2.命题“xR，2230xx−+”的否定为（）A.xR，2230xx−+B.xR，2230x

x−+C.xR，2230xx−+D.xR，2230xx−+【答案】D【解析】【分析】根据题意，由全称命题的否定是特称命题，即可得到结果.【详解】因为命题“xR，2230xx−+”，则其否定为“xR，2230xx−+”故选：D3.已知ab，则

下列不等式中成立的是（）A.22abB.2abbC.22abD.11ab【答案】A【解析】【分析】A选项可根据指数函数性质判断，BCD选项可以举反例得出.【详解】A选项，根据指数函数2()xyx=R单调递增可知，22aba

b，A选项正确；.BCD选项，取1,1ab==−，B选项变成11−，C选项变成11，D选项变成11−，BCD均错误.故选：A4.5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法的种数为（）A.35B.53C.35AD.35C【

答案】B【解析】【分析】把不同的报名方法可分5步完成，结合分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，不同的报名方法可分5步完成：第一步：第一名同学报名由3种方法第二步：第二名同学报名由3种方法第三步：第三名同学报名由3种方法第四步：第四名同学报名由3种方法第五步：第五名

同学报名由3种方法根据分步乘法计数原理，共有5333333=种方法.故选：B.【点睛】本题主要考查了分步计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理分步求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.5.下列函数中，在()0,+上单调递增的奇函数是（）A.yx=B.1yx−

=C.lnyx=D.1yxx=−【答案】D【解析】【分析】由函数奇偶性的定义及对数函数与幂函数的性质即可求解.【详解】对于A：yx=，定义域为)0,+，不关于原点对称，所以yx=不具有奇偶性，故选项A错误；对于B：1yx−=，定义域为()(),00,−+U，因为()

11xx−−=−−，所以1yx−=为奇函数，由幂函数性质可知1yx−=在()0,+上单调递减，故选项B错误；对于C：lnyx=，定义域为()(),00,−+U，因为lnlnxx−=，所以函数lnyx=为偶函数，且,()0x

+时，lnyx=，由对数函数的性质知函数lnyx=在(0,)+上单调递增，故选项C错误；对于D：1yxx=−，定义域为()(),00,−+U，因为11()xxxx−−=−−−，所以1yxx=−为奇函数，又y

x=与1yx=−都在(0,)+上单调递增，由单调性的性质可知1yxx=−在(0,)+上单调递增，故选项D正确.故选：D.6.某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比

赛项目逐一进行．为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，则不同的安排方案种数为（）A.3B.18C.21D.24【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析可得：“多人多足”有3种安排方法，再将踢毽、跳绳、推火车安排在剩下的3个位置，由分步计

数原理计算可得答案．【详解】根据题意，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，则“多人多足”有3种安排方法，将踢毽、跳绳、推火车安排在剩下的3个位置，有33A6=种安排方法，则有1863=种安排方法．故选：B．7.设()fx是函数()fx的导函数，()yfx=的图象如图所示，则()

yfx=的图象最有可能的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据导函数的图象得出函数的单调区间，根据函数()fx的单调性即可判断.【详解】由导函数的图象可得当0x时，()0fx¢>，函数()fx单调递增；当02x时，()0fx，函数()fx单调递减；当2x时，()0

fx¢>，函数()fx单调递增.只有C选项的图象符合.故选：C.8.“lglgxy”是“xy”成立的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析

】根据函数lgyx=的单调性化简lglgxy，得0xy，从而根据充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】因为函数lgyx=在()0,+上单调递增，由lglgxy，可得0xy，而“0xy”是“xy”成立的充分不必要条件.所以“lglgxy”是“xy”成立充分不必要条件

.的故选：A9.单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v满足公式：1201lnmmvvm+=.其中1m，2m分别为火箭结构质量和推进剂的质量.0v是发动机的喷气速度.已知某单级火箭

结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为10km/s.则火箭发动机的喷气速度约为（）（参考数据：ln20.7，ln31.1，ln41.4）A.15km/sB.25km/sC.35km/sD.45km/s

【答案】B【解析】【分析】根据题意，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，120110lnmmvm+=，其中122mm=，则()000310lnln3ln20.42vvv==−=，求得025v=.故选：B10.已知函数()2121xxfx−=+，()fx是()fx的导函数，则下列

结论正确的是（）A.xR，()()fxfx−=B.xR，()0fxC.若120xx，则()()1122xfxxfxD.若120xx，则()()()1212fxfxfxx++【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性概念判断A，根据导函数的符号判断

B，利用函数的单调性结合不等式的性质即可判断C，利用特例法排除选项D.【详解】对于A，函数定义域为R，211221()211221xxxxxxfx−−−−−−===−+++，所以()()fxfx−=−，错误；对于B，因为()21212121

xxxfx−==−++，所以222ln2()(21)xxfx=+，由ln20知()0fx，错误；对于C，因为xR，()0fx，所以()fx在(),−+上递增，0x时，()()00fxf=，故对120xx，()()120fxf

x，由不等式的性质可得()()11220xfxxfx，正确；对于D，211(1)213f−==+，22213(2)215f−==+，2214(3)1533f−==+，取121,2xx==，则123xx+=，()()()1212144,155fxfxfxx+=+=，此时，()()()1

212fxfxfxx++，错误.故选：C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.在51+xx的展开式中，x的系数为______；各项系数之和为______.（用数字作答）【答案】①.10②.32【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x的次数为1

求出r，再代入通项公式可求出x的系数，令1x=可求出各项系数之和.【详解】51+xx的展开式的通项公式为5521551CCrrrrrrTxxx−−+==，令521r−=，得2r=，所以x的系数为25C10=，令1

x=，则()51132+=，所以各项系数之和为32，故答案为：10，3212.已知1x，那么11xx+−的最小值为__________．【答案】3【解析】【分析】利用基本不等式计算可得.【详解】因为1x，所以10x−，所以()()111112113111xxxxxx+=−++−+=−

−−，当且仅当111xx−=−，即2x=时取等号.故答案为：313.在5道试题中有2道代数题和3道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，则第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率为______；在第

1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为______.【答案】①.310##0.3②.34##0.75【解析】【分析】设事件A表示“第1次抽到代数题”，事件B表示“第2次抽到几何题”，然后利用古典概型公式代入求解出()PA与()PAB，再代入条件概率公式

即可求解.【详解】设事件A表示“第1次抽到代数题”，事件B表示“第2次抽到几何题”，则()1215C2C5PA==，所以第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率为()11231154CC3CC10PAB==.在第1次抽到代数题的条件下

，第2次抽到几何题的概率为()()()3310245PABPBAPA===.故答案为：310；34.14.一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y（单位：元）之间的

关系为：2202200yxx=−+.如果这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，请你给出一个该工厂在这周内生成的摩托车数量的建议，使工厂能够达成这个周创收目标，那么你的建议是______.【答案】摩托车数量在51到59辆【解析】【分析】根据题意可得220220060000xx

−+，解不等式，且x取不等式解集中的正整数即可【详解】由题意得220220060000xx−+，化简得211030000xx−+，得(50)(60)0xx−−，解得5060x，因为x取正整数，所以该工厂在这周内生成摩托车

数量在51到59辆时，工厂能够达成这个周创收目标.故答案为：摩托车数量在51到59辆15.已知函数()3e,1,xxxkfxxxxk−=−+.①若0k=，不等式()1fx的解集为______；的②若函

数()()1gxfx=−恰有两个零点，则实数k的取值范围为______.【答案】①.(0,1)②.11k−【解析】【分析】（空1）0k=时，借助导数工具判断e10xx−−，结合三次函数的零点情况，分段求解不等式；（空2）结合上一空e10xx−−进行零点个数判断【详解】0k=时，(

)3e,01,0xxxfxxxx−=−+，则()3e1,01,0xxxfxxxx−−−=−，令300xxx−，即(1)(1)00xxxx+−，解得(0,1)x，

令()e1(0)xhxxx=−−，()e10(0)xhxx=−，即()hx在(,0x−上单调递减，于是()(0)0hxh=，即e10xx−−，即e10xx−−无解，综上可知，()1fx的解集为(0,1)；()3e1,()1,xxxkgxfxxxxk−−=−=−

，根据上一空的分析可知，e10xx−−，0x=取得等号，故0k时，e10xx−−=无解，30(1)(1)0xxxxx−=−+=，=1x−，0或1，30−=xx在xk时有2个根，即=1x−这个根需排除在

外，则1k−，于是10k−；当0k时，e10xx−−=有唯一解0x=，于是30−=xx在xk时有1个根，即1x=这个根需恰好被包含在内，故1k，即01k.综上所述，11k−.故答案为：(0,1)；11k−三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或

证明过程.16.某校高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，已知测试成绩满分为100分，规定测试成绩在区间85,100内为“体质优秀”，在)75,85内为“体质良好”，在)60,75内为“体质合格”，在)0,60

内为“体质不合格”.现从这个年级中随机抽取6名学生，测试成绩如下：学生编号123456的测试成绩608580789091（1）若该校高二年级有600名学生，试估计高二年级“体质优秀”的学生人数______

；（2）若从这6名学生中随机抽取3人，记X为抽取的3人中“体质良好”的学生人数，求X的分布列；（3）求（2）中X的均值.【答案】（1）300；（2）分布列见解析；（3）()1EX=.【解析】【分析】（1）先计算出优秀率的估计

值，再由频率和频数的关系求频数；（2）可得X的可能取值为0，1，2，求出X取不同值的概率即可得出分布列；（3）根据随机变量的均值公式求解.【小问1详解】高二年级随机抽取的6名学生中，“体质优秀”的有3人，优

秀率为12，将此频率视为概率，估计高二年级“体质优秀”的学生人数为60030012=（人）；【小问2详解】高二年级抽取的6名学生中“体质良好”的有2人，非“体质良好”的有4人.所以X的可能取值为0，1，2，032436CC1(0)C5PX===，122436CC3(1)C5PX===，2124

36CC1(2)C5PX===，所以随机变量X的分布列为：X012P153515【小问3详解】随机变量X的均值()1310121555EX=++=17.已知函数()23lnfxxxx=−+.（1）求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切

线方程；（2）求函数()fx的单调区间和极值.【答案】（1）20y+=；（2）函数()fx的单调递增区间有10,2，(1,)+，单调递减区间有1,12，极大值为5ln24−−，极小值为2−.

【解析】【分析】（1）求函数()fx的定义域和导函数，利用导数的几何意义求切线斜率，由点斜式求切线方程；（2）解方程()0fx=求其根；由导数的正负来判断函数的单调区间，从而可求出函数的极值.【小问1详解】函数()23lnfx

xxx=−+的定义域为()0,+，导函数()()2111()23xxfxxxx−−=−+=，所以(1)0,(1)2ff==−,故切线方程为20y+=；【小问2详解】由（1）()()2111()23xxfxxxx−−=−+=，令()0fx=，可得12x=或1

x=，当102x时，()0fx¢>，函数()fx在10,2上单调递增；当112x时，()0fx，函数()fx在1,12上单调递减；当1x时，()0fx¢>，函数()fx在(

)1,+上单调递增；所以函数()fx的单调递增区间有10,2，(1,)+，单调递减区间有1,12，所以当12x=时，函数()fx取极大值，极大值为15ln224f=−−，当1x=时，函数()fx取极小值，

极小值为(1)2f=−.18.交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI的公式为：TPI=实际行程时间畅通行程时间，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：的TPI)1,1.5[1.5

,2)[2,4)不低于4拥堵等级畅通缓行拥堵严重拥堵某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TP1的统计数据如下图：（1）从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；（2）从2023年元

旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为X，求X的分布列及数学期望()EX；（3）把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次记为127,,,aaa，将2

022年同期TPI依次记为127,,,bbb，记(1,2,,7)iiicabi=−=，117niicc==．请直接写出icc−取得最大值时i的值．【答案】（1）27（2）答案见解析（3）6i=【解析】【分

析】（1）根据随机事件的概率公式即可求解；（2）结合题意先求出X的分布列，再结合数学期望的公式求解即可；（3）结合题意先求得0.065c−，进而即可求解.【小问1详解】由图可知，2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市

道路拥堵程度为“拥堵”的共2天，所以这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为27.【小问2详解】由图可知，2023年元旦及前后共7天中比2022年同日TPI高的天数只有1月3日和1月4日这2天，所以()3537C1020C357PX====，()215237CC2041C357PX==

==，()125237CC512C357PX====，所以X的分布列为：X012P274717数学期望()24160127777EX=++=.【小问3详解】由题意，1111.9082.0550.147cab=−

−==−，2222.0812.3930.312cab=−−==−，3331.3311.5290.198cab=−−==−，4441.2021.3020.1cab=−−=−=，5551.2711.6420.371ca

b=−−==−，6662.2561.8370.419cab=−==−，7772.0121.7550.257cab=−==−，所以()1110.1470.3120.1980.10.3710.4190.2570.06577

niicc===−−−−−++−，所以icc−取得最大值时，6i=.19.高尔顿钉板装置如图所示，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中每次碰到小木钉后都等可能

地向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板底部的格子中，格子从左到右依次编号为0，1，2，⋯，10，用X表示小球最后落入格子的号码.（1）当4X=时，求小球向右下落的次数；（2）求X的分布列；（3）求()EX.【答案】（1）4（2）分布列见解析（3）5【解析】【分析】（1）根据试验即可求出；（2）分

析得到110,2XB，进而利用二项分布求概率公式求出相应的概率；（3）利用期望公式求出期望.【小问1详解】当4X=时，则小球最终落入4号格子，则在通过的10层中有4层需要向右，6层向左，故小球向右下落的次数为4；【小问2详解】设A=“向

右下落”，A=“向左下落”，则()()12PAPA==，因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以110,2XB，X的可能取值为0，1，2

，3，4，5，6，7，8，9，10，所以010010111(0)C221024PX===，9110115(1)C22512PX===，282101145(2)C221024PX===，373101115(3)C22128PX

===，4641011105(4)C22512PX===，555101163(5)C22256PX===，6461011105(6)C22512PX===，737101115(7)C22128PX

===，828101145(8)C221024PX===，9910115(9)C22512PX===，100010111(10)C221024PX===，所以X的分布列为：X012345678910P

110245512451024151281055126325610551215128451024551211024【小问3详解】由（2）知15451510563105154501234567810245121024128

5122565121281024EX=++++++++5191055121024++=.20.已知函数()()exfxxaxa=−R．（1）若()yfx=在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）当1a=时，判断0是否为函数()fx的极值点，并说明

理由；（3）判断()fx的零点个数，并说明理由．【答案】（1）21,e−−（2）是，理由见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，若()yfx=在R上是增函数，即()0fx

恒成立，得()1exax+，设()()1exgxx=+，求导后利用单调性求得函数的最小值，即可求得结果；（2）()()1e1xfxx=+−，令()()11exhxx=+−，对函数()hx求导后求得()fx的单调性即可判断出结

果；（3）令()e0xfxxax=−=，即()e0xxa−=，对a分类讨论求解方程的根，从而得出答案．【小问1详解】()()exfxxaxa=−R，则()()1exfxxa=+−，若()yfx=在R上是增函数，即()0fx恒成立，得()1exax+，设()()1exgxx=+，(

)()2exgxx=+，()0gx得2x−，()0gx得<2x−，即()gx在(),2−−递减，在(2,)−+递增，则()()212egxg−=−，故21ea−，即21,ea−−．【小问2详解】当1a=时，()()1e1xfxx=+−，令()()11

exhxx=+−，()()2exhxx=+，当()2,x−+时，()0hx，()hx单调递增，()fx单调递增，又()00f=，当()2,0x−时，()0fx，()fx单调递减，当()0,x+时，()0fx¢>，()fx单调递增，故

0x=是函数()fx的极小值点．【小问3详解】令()e0xfxxax=−=，即()e0xxa−=，当0a时，e0xa−，故()0fx=的根有1个，即0x=，则()fx有1个零点；当1a=时，由e10x−=，得0x=，故()0fx=的根有1个，即0x=，则()fx有1个零点；

当0a且1a时，由e0xa−=，得lnxa=，故()0fx=的根有2个，即0x=或lnxa=，则()fx有2个零点，综上，当0a或1a=时，()fx有1个零点；当0a且1a时，()fx有2个零点．2

1.已知数列A：1a，2a，⋯，na，⋯，满足10a=，11iiaa+=+()1,2,,,in=，数列A的前n项和记为nS.（1）写出3S的值；（2）若52a=−，求5S的值；（3）是否存在数列A，使得20221011S=

?如果存在，写出此时2023a的值；如果不存在，说明理由.【答案】（1）1−或3（2）2−（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用10a=与递推公式求出23,aa的可能值，从而求出3S的值；（2）由（1）23,aa的值，分类讨论，

结合52a=−求出4a的值，从而求出5S的值；（3）将11iiaa+=+两边平方后，推出2121nnaSn−=+−，从而求出220234044a=，结合na为整数，判断方程无解即可.【小问1详解】因为10a=，()111,2,,,ii

aain+=+=，所以12|1|||1aa+==，解得21a=−或21a=，当21a=时，由32|||2|1aa=+=，解得32a=或32a=−，当21a=−时，由32|||0|1aa=+=，解得30a=，所以30(1)01S=+−+=−或301(2)1S=++−=−或30123S=++

=，【小问2详解】当30a=时，34|1|||1aa+==，则41a=−或41a=，此时由45|1|||2aa+==知41a=，41a=−不满足，舍去；当32a=−时，34|1|||1aa+==，则41a=或41a=−，41a=满足45|1|||2aa+==，41a=−不满足，舍去

；当32a=时，由34|1|||3aa+==，得43a=−或43a=，由45|1|||2aa+==知43a=−满足题意，当43a=时，不满足题意，综上，23541,0,21,aaaa=−==−=或42351,2,21,aaaa===−=−，或43251,2,3,

2aaaa===−=−，所以()50(1)0122S=+−+++−=−或()()5012122S=++−++−=−或()()50123+22S=+++−−=−，故52S=−.【小问3详解】由()111,2,,,iiaain+=+=，10a=可得

na为整数，221121,0iiiaaaa+++==，所以211222222121120(21)(21)(21)nnnaaaaaaaaa−−+++=++++++++++，则22222221212311123()2()1nnnaaaaaaaaaaan−−+++=++++++++++−，所

以2121nnaSn−=+−，若存在数列A，使得20221011S=，则220232022220224044aS=+=，又2023a为整数，所以方程无解，故不存在数列A，使得20221011S=.【点睛】

思路点睛：分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们

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