【文档说明】高中数学人教版必修1教案：1.3.1单调性与最大（小）值 （系列三）含答案【高考】.doc，共(7)页，161.500 KB，由小赞的店铺上传

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11.3.2函数的最大（小）值（一）教学目标1．知识与技能（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.（2）理解函数的最大（小）值是在整个定义域上研究函数.体会求函数最值是函数单调性的应用之一.2．过程与方法借助函数的单调性，结合函数

图象，形成函数最值的概念.培养应用函数的单调性求解函数最值问题.3．情感、态度与价值观在学生获取知识的过程中培养学生的数形结合思想，感知数学问题求解途径与方法，探究的基本技巧，享受成功的快乐.（二）教学重点与难点重点：应用函数单调性求函数最值；难点：理解函数最值可取性的意义.（三）过程

与方法合作讨论式教学法.通过师生合作、讨论，在示例分析、探究的过程中，获得最值的概念.从而掌握应用单调性求函数最值这一基本方法.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题1．函数f(x)=x2.在(–∞，0)上是减函数，在[0，+∞）上是增函数.当x≤0时，f(x)≥f(0)，x≥

0时，f(x)≥f(0).从而xR.都有f(x)≥f(0).因此x=0时，f(0)是函数值中的最小值.2．函数f(x)=–x2同理可知xR.都有f师生合作回顾增函数、减函数的定义及图象特征；师生合作定性分析函数f(x)的图象特征，通过图象观察，明确函数图象在整个定义域上有最低点和最高点

，从而认识到最低点和最高点的函数值是函数的最小值和最大值.应用单调性的定义和函数图象感知函数的最小值和最大值.2(x)≤f(0).即x=0时，f(0)是函数值中的最大值.形成概念函数最大值概念：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I.如果

存在实数M满足：（1）对于任意x都有f(x)≤M.（2）存在x0I，使得f(x0)=M.那么，称M是函数y=f(x)的最大值.师：对于函数y=f(x)、f(x0)为其最大值.即f(x0)≤f(x)意味着什么？生：f(x0)为函数的最大值，必须满足：①x0定义域；②

f(x0)值域；③f(x0)是整个定义域上函数值最大的.由实例共性抽象获得最大值概念.形成概念函数最小值概念.一般地：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：（1）对于任意xI，都有f(x)≥M.（2）存在x0I，使得f(x0)=M.那么，称M是函数y=f(x

)的最小值.师：怎样理解最大值.生：最大值是特别的函数值，具备存在性、确定性.师：函数最小值怎样定义？师生合作，学生口述，老师评析并板书定义.由最大值定义类比最小值定义.应用举例例1“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时

一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为h(t)=–4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？训练题1：已知函数f(x)=x2–2x

–3，若x[t，t+2]时，求函数f(x)的最值.例2已知函数y=21x−(x[2，6])，求函数的最大值和最小值.师生合作讨论例1、例2的解法思想，并由学生独立完成训练题1、2、3.老师点评.阐述解题思想，板书解题过程.例1解：作出函数h(

t)=–4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数h(t)=–4.9t2+14.7t+18，我们有：自学与指导相结合，提高学生的学习能力.讲练结合，形成技能固化技

能.深化概念能力培养3训练题2：设f(x)是定义在区间[–6，11]上的函数.如果f(x)在区间[–6，–2]上递减，在区间[–2，11]上递增，画出f(x)的一个大致的图象，从图象上可以发现f(–2)是函数f(x)的一个.训练题3：甲、乙两地相距skm

，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度x(km/h)的平方成正比，比例系数为a，固定部分为b元，请问，是不是汽车的行驶速度越快，其全程成本越小？如果不是，那么为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？当t=14.72(4

.9)−−=1.5时，函数有最大值h=24(4.9)1814.74(4.9)−−−≈29.于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.师：投影训练题1、2.生：学生相互讨论合作交流完成.训练题1解：∵对称轴x=1，（1）当1≥t+2即t≤–1时，f(x)m

ax=f(t)=t2–2t–3，f(x)min=f(t+2)=t2+2t–3.（2）当22tt++≤1＜t+2，即–1＜t≤0时，f(x)max=f(t)=t2–2t–3，f(x)min=f(1)=–4.（3）当

t≤1＜22tt++，即0＜t≤1，f(x)max=f(t+2)=t2+2t–3，f(x)min=f(1)=–4.（4）当1＜t，即t＞1时，f(x)max=f(t+2)=t2+2t–3，f(x)min=f(t)=t2–2t–3.设函数最大值记为g(t)，最小值记为(t)时，则有g

(t)=2223,(0)23,(0)tttttt−−+−2223,(1)()4,(11)23,(1)tttttttt−−−=−−−−进一步固化求最值的方法及步骤.（1）以上实际

问题考查了学生灵活应用数学知识于实践的能力，可见“逐渐增强函数的应用意识”应及早实现.（2）对函数关系式的处理需要有扎实的基本功才能顺利完4例2分析：由函数y=21x−(x[2，6])的图象可知，函数y=2

1x−在区间[2，6]上递减.所以，函数y=21x−在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值和最小值.解：设x1，x2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)–f(x2)=122211xx−−−=21122[(1)(1)](1)(1)xxxx−−−−−=211

22()(1)(1)xxxx−−−.由2≤x1＜x2≤6，得x2–x1＞0，(x1–1)(x2–1)＞0，于是f(x1)–f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2).所以，函数y=21x−是区间[2，6]上是减函数.因此，函数y=21x−在区间[2，6]的两个

端点上分别取得最大值与最小值，即在x=2时取得的最大值，最大值是2，在x=6时的最小值，最小值是0.4.训练题2答案：最小值.训练题3分析：根据汽车运输成本y元与行驶速度xkm/h之间的关系，建立函数模型，结合函数式的特点，运用函数有关知识去解决.解：设汽车运输成本为y元

，依题意得汽车运输成本y与汽车行驶速度x之间的关系为：成，可见从不同角度不同方向去思考问题在教学中尤为重要，并且应指导学生养成多分析失败原因，多总结成功经验的好习惯.5y=b·sx+ax2·sx.∴y=s(ax+bx).（其中x(0，+∞).即将此时的问题转化成：“函数y=s(ax+bx)是

否随着x的不断增大而减小？当x取何值时，y取最小值？”下面讨论函数y=s(ax+bx)[x(0，+∞)，a＞0，b＞0]在其定义域内的单调性.设x1，x2(0，+∞)，且x1＜x2，则f(x1)–f(x2)=s[(a

x1+1bx)–(ax2+2bx)]=s[a(x1–x2)+2112()bxxxx−]=121212()()sxxaxxbxx−−=121212()()basxxxxaxx−−∵x1，x2＞0，且x1＜x2∴x1x2＞0，a

(x1–x2)＜0∴当x1，x2(0，ba)时，x1，x2＜ba，x1x2–ba＜0，∴f(x1)＞f(x2)，当x1，x2[ba，+∞]时，x1x2＞ba，x1x2–ba＞0，∴f(x1)＜f(x2).综上所述，我们看到函数y=s(ax+bx)(a＞0，b＞0)并不是整个区间（0，+

∞）上是随着x的不断增大而减小的，而且由上述分析可看出当x=ba时，y取得最小值即ymin=2sab.那么，在这个实际6问题当中可回答为：并不是汽车的行驶速度越快，其全程运输成本越小；并且为了使全程运输成本最小，汽车应以x=bakm/h的速度行驶.归纳总结1．最值的概念2．应用图

象和单调性求最值的一般步骤.师生交流合作总结、归纳.培养学生的概括能力课后作业1.3第二课时习案学生独立完成能力培养备选例题例1已知函数f(x)=22xxax++，x∈[1，+∞).（Ⅰ）当a=12时，求函数f(x)的最小值；（Ⅱ）若对任意

x∈[1，+∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围.分析：对于（1），将f(x)变形为f(x)=x+2+ax=x+12x+2，然后利用单调性求解.对于（2），运用等价转化220xxax++(x[

1，+∞)恒成立，等价于x2+2x+a＞0恒成立，进而解出a的范围.解：（1）当a=12时，f(x)=x+12x+2因为f(x)在区间[1，+∞）上为增函数，所以f(x)在区间[1，+∞）上的最小值为f(1)=72.（2）解法一：在区间[1，+∞）上，f(x)=220xxax++恒成立

x2+2x+a＞0恒成立.设y=x2+2x+a，∵(x+1)2+a–1在[1，+∞)上递增.∴当x=1时，ymin=3+a，于是当且仅且ymin=3+a＞0时，函数f(x)＞0恒成立，∴a＞–3.解法二：f(x)=x+ax+2x[1，+∞).当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；当

a＜0时，函数f(x)递增.故当x=1时，f(x)min=3+a.于是当且仅当f(x)min=3+a＞0时，函数f(x)＞0恒成立.故a＞–3.例2已知函数f(x)对任意x，yR，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x＞0时，f(x)＜0，7f(1)=23−.（1）求证f

(x)是R上的减函数；（2）求f(x)在[–3，3]上的最大值和最小值.分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用.证明：（1）令x=y=0，f(0)=0，令x=–y可得：f(–x)=–f(x)，在R上任取x1＞x2，则f(x1)–f(x2)=f(x1)+f(–x2)=f(x1–x2)

.∵x1＞x2，∴x1–x2＞0.又∵x＞0时，f(x)＜0，∴f(x1–x2)＜0，即f(x1)–f(x2)＞0.由定义可知f(x)在R上为单调递减函数.（2）∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[–3，3]上也是减函数，∴

f(–3)最大，f(3)最小.f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3×(23−)=–2.∴f(–3)=–f(3)=2.即f(–3)在[–3，3]上最大值为2，最小值为–2.