【文档说明】高中数学人教版必修1教案：1.3.1单调性与最大（小）值 （系列四）含答案【高考】.doc，共(13)页，876.000 KB，由小赞的店铺上传

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1§1.3.1单调性与最大（小）值一、内容与解析（一）内容：单调性与最大（小）值。（二）解析：函数的单调性与最大（小）值是函数的重要性质，是每年高考的必考内容，例如判断或证明函数的单调性、求单调区间、利用单调性求参数的取值

范围、利用单调性解不等式.这类问题一般难度中等偏上，题型一般为解答题也可为填空、选择题.二、目标及其解析：（一）教学目标（1）理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念，掌握增（减）函数的证明和判别,学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（二）解析（1）函数单调性的含义正确理解单

调性定义要特别注意定义中“定义域内某个区间”“属于”“任意”“都有”这几个关键词语.概括来说，所谓“增”即是随着x的增大而增大，所谓“减”即是随着x的增大而减小.（2）函数的单调性是函数的“局部”概念函数是增函数还是减

函数，是对定义域内某个区间而言的.函数可以在整个定义域上单调，如：()21fxx=−在R上单调递增.函数也可以在定义域的某个区间单调递增，在某个区间单调递减，如：2()1fxx=−在(0,)+单增，在(,0)−上单调递减.（3）单调性的证明与判断证明的依

据的定义，有着严格的要求与步骤。三、问题诊断分析函数的单调性，是函数的重要性质之一，并且在学习的过程中能深刻体会到数学推理的重要性与意义，作为初学者，最关键的是要根据定义严格的按步骤来，学生最容易出现的问题的无意中运用了函数单调性定义本身去证明。四、教学支持

条件分析在本节课一次递推的教学中，准备使用PowerPoint2003。因为使用PowerPoint2003，有利于提供准确、最核心的文字信息，有利于帮助学生顺利抓住老师上课思路，节省老师板书时间，让学生尽快地进入对问题的分析当中。2五、教学过程（一）研探新知：（1）增函数、减函数、

单调性、单调区间等概念：①根据f(x)＝3x＋2、f(x)＝x2(x>0)的图象进行讨论：随x的增大，函数值怎样变化？当x1>x2时，f(x1)与f(x2)的大小关系怎样？②.一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性

质？③定义增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasingfunction）④探讨：仿照增

函数的定义说出减函数的定义；→区间局部性、取值任意性⑤定义：如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间。⑥讨论：图像如何表示单调增、单调减？所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？y＝x2的单调

区间怎样？③练习（口答）：如图，定义在[-4,4]上的f(x)，根据图像说出单调区间及单调性。(2)增函数、减函数的证明：①出示例1：指出函数f(x)＝－3x＋2、f(x)＝x1的单调区间及单调性，并给出证明。（由图像指出单调

性→示例f(x)＝－3x＋2的证明格式→练习完成。）②出示例2：物理学中的玻意耳定律kpV=（k为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积V增大时，压强p如何变化？试用单调性定义证明.（学生口答→演练证明）③小结：比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号。判断单调性的

步骤：设x1、x2∈给定区间，且x1<x2；→计算f(x1)－f(x2)至最简→判断差的符号→下结论。(3)函数最大（小）值：①指出下列函数图象的最高点或最低点，→能体现函数值有什么特征？()23fxx=−+，()23fxx=−+[1,2]x−；2()21

fxxx=++，2()21fxxx=++[2,2]x−②定义最大值：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有3f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，称M是函数y=f(x

)的最大值（MaximumValue）③探讨：仿照最大值定义，给出最小值（MinimumValue）的定义．→一些什么方法可以求最大（小）值？（配方法、图象法、单调法）→试举例说明方法.设计意图：通过以上问题的探讨，使学生逐渐体会证明的一般方法。（二）类型题

探究题型一求函数的单调区间例1求函数22||3yxx=−++的单调区间.【思维导图】【解答关键】去掉绝对值号，化为分段函数，并画出函数的图象，借助图象可以直观地判断出函数的单调区间.【规范解答】222,(0)232||3,(0)23xxxyxxxxx−+

+=−++=−−+，其图象如右图所示：由函数的图象可知，函数22||3yxx=−++的单调增区间是(,1]−−，[0,1]；单调减区间是[1,0]−，[1,)+.【技巧感悟】本题中所给出的函数式中含有绝

对值，可以采用零点分段法去绝对值，将函数转化为分段函数，再画出函数的图象，通过函数的图象观察函数的单调性.【误区警示】该函数的单调递增区间是由两个区间组成，注意不能写成下列形式：(,1][0,1]−−，(,1]−−或[0,1]【思想方法

】数形结合始终是研究函数性质及其应用的重要思想，可以利用函数图象确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数式，然后画出图象，最后根据函数的定义域与图象的位置、状态确定函数的单调区间.另外，研究函数的单调性的方法还有定义

法以及利用已知函数的单调性进行判断.xyO11−22||3yxx=−++去绝对值符号0x由定义法或图象法结论223yxx=−++223yxx=−−+0x4【活学活用】1.（1）(广东执信中学09-10高一上学期期末)函数()||fxx=和()(2)gxxx=−的递

增区间依次是（）A．(,0]−，(,1]−B．(,0]−，[1,)+C．[0,)+，(,1]−D．[1,)+，[1,)+(2)写出函数2|23|yxx=−++的单调区间.1．（1）C解析如图(2)解析：先作出函数223yxx=−++

的图象，由于绝对值的作用，把x轴下方的图象沿x轴对折到x轴的上方，所得函数的图像如右图所示：由函数的图象可知，函数在(,1]−−、[1,3]上是减函数，在[1,1]−、[3,)+上是增函数．题型二判断并证明函数的单调性例2证明：函数4()fxx

x=+(0)x在区间(0,2)上单调递减，在[2,)+上单调递增.【思维导图】xyO31−xyO21()gxxyO()fx作差12()()fxfx−任取1202xx得出结论代入()fx化简判断5【解

答关键】用定义法证明函数的单调性，主要是四个步骤，证明的关键是进行变形，尽量变成几个最简单因式的乘积的形式.证明：任取12,(0,2)xx且12xx，于是，12121244()()()()fxfxxxxx−=+−+121

244()()xxxx=−+−121212()(4)xxxxxx−−=.由于12,(0,2)xx且12xx，所以120xx−，1204xx，则1240xx−，120xx，故121212()(4)0xxxxxx−−，即12()()0fxfx−，故12()()fxfx，由减函

数定义，得()fx在区间(0,2)单调递减.同理可证：()fx在区间[2,)+上单调递增.【知识归纳】函数()(0)afxxax=+在区间(0,)a上是减函数，在[,)a+上是增函数.这一结论在求

此类函数的值域或最值时非常方便，但解答题需要先证明结论后才能用.【技巧感悟】在“作差变形”的过程中，为了确定符号，一般是分解出含有12xx−的因式，再将剩下的因式通过因式分解、通分、配方、有理化等方法

，化为几个因式的积、商，或化为几个非负实数的和的形式，然后判断符号.【误区警示】用定义证明函数的单调性时要注意详细写出解题步骤，如果省略必要的步骤，将会导致错误.另外，有的同学没有化简彻底，就开始判断符号，这也是容

易出错的.“题要一步一步地解”，在数学证明题中显得尤为重要.【活学活用】2.（2009湖北黄冈中学高一测试）下列函数中，在(0)−，上为减函数的是（）A.21xy−=B.xxy22+=C.1yx=−D.1−=xxy2．D解析：注意到函数21xy−

=是一个以(01)，为顶点的开口向下的抛物线，xxy22+=2(1)1x=+−是一个以(11)−−，为顶点，开口向上的抛物线，它们在)0(，−上都不是单调减函数，而xy1−=的图象是出现在第二和第四象限的两支曲线，在)0(，−上单调递增，

所以正确选项是D．题型三单调性的应用6例3已知函数2()2(1)2fxxax=+−+在区间(,4]−上是减函数，求实数a的取值范围.【思维导图】【解答关键】先将函数解析式配方，然后找出图象的对称轴，再考虑对称轴与所给区间的位置关系，

利用数形结合求解.【规范解答】2()2(1)2fxxax=+−+22[(1)](1)2xaa=+−−−+，故此二次函数的对称轴为1xa=−，所以函数的单调递减区间为(,1]a−−，又因为()fx在(,4]−上是减函数，

所以对称轴1xa=−必须在直线4x=的右侧或与其重合.故14a−，解得3a−.【技巧感悟】函数()fx在(,)ab是为单调递增(递减)函数与函数()fx的单调递增(递减)区间为(,)ab有着本质差异.可理解

如下：(1)函数()fx在(,)ab是为单调递增(递减)函数，说明除此区间之外，()fx在其它区间上也可能单调递增(递减)函数.(2)函数()fx的单调递增(递减)区间为(,)ab，说明函数()fx除此区间外，在其它区间上不再有单调递增(递减)区间.【活

学活用】3.(1)若函数2()45fxxmxm=−+−在[2,)−+上是增函数，在(,2]−−上是减函数，则实数m的值为；（2）若函数2()45fxxmxm=−+−在[2,)−+上是增函数，则实数m的取值范围为.3.解析：

（1）由二次函数的图象可知，该二次函数的对称轴是2x=−，即28m−=−，即16m=．（2）由题意可知，二次函数的对称轴是8mx=−，若()fx在[2,)−+上是增函数，则需满足28m−−，即16m．(三）小结：六、目标检测目标检

测一判断函数解析式配方图象的对称轴对称轴与所给区间的关系7一、选择题1．若函数ykxb=+是R上的减函数，那么()A．0kB．0kC．0kD．无法确定1．B解析：因为函数ykxb=+是R上的减函数，所以

对任意12xx，应有12()()fxfx，即12()0kxx−，又120xx−，所以0k．2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()A．3yx=−B．21yx=−+C．1yx=D．||yx=2．D解析：画出图象可得，在区间(0

,2)上，3yx=−，21yx=−+，1yx=都是递减函数．3．.(河南宝丰一高2009-2010月考)定义在R上的函数()fx对任意两个不相等实数,ab，总有()()0fafbab−−成立，则必有（）A．函数()f

x是先增加后减少B．函数()fx是先减少后增加C．()fx在R上是增函数D．()fx在R上是减函数3．C解析：由于()()0fafbab−−，所以0ab−，()()0fafb−得当ab时，()()fafb；同理当ab时，()

()fafb.故()fx在R上是增函数．4．(河南新乡2009-2010学年高一上学期期末)已知二次函数2()21fxxax=−+在区间()2,3上单调函数，则实数a的取值范围为（）A．2a或3aB．23aC．3a−或2a−D．32a−−4

．A解析：()fx的对称轴xa=，若在区间()2,3上是增函数，则2a；若在区间()2,3上是减函数，则3a．5．.已知函数2()45fxxmx=−+在区间[2,)−+上是增函数，则(1)f的取值范围是()A．(1)25fB．(1)25f=C．(1)25fD．(1)25f

5．A解析：数形结合与()fx的对称轴28m−，则16m−，得16m−，8(1)45925fmm=−+=−．二、填空题6.定义在[1,4]上的函数()fx为减函数，求满足不等式(12)(4)0fafa−−+的a的集合.6.{|10}aa−解析：通过函数单

调性的可逆转化为自变量的关系1124144,124aaaa−+−+即30230,1aaa−−−10.a−7．xxy−−=1的单调区间是此时单调性为.7.(,1]-?，增．解

析：函数的单调区间求出后，再判断其增减性，是求解单调性问题的常用方法．函数的定义域为|1xx，易判断在定义域为恒增．证明如下：取121xx，12121122122112211221()(1)(1)()(11)()111()(1)11xxyyxxxxxxxxxx

xxxxxx−−=−−−−−=−+−−−=−+−+−=−+−+−,容易判断符号，得到12yy，故为增函数．三、解答题8．已知函数()yfx=的定义域为R，且对任意的正数d，都有()()fxdfx+，求满足(1)(21)fafa−−的a的取值

范围．8．解析：∵0d时，()()fxdfx+，∴函数()yfx=是减函数，xyO2yx=2yx=+10yx=−9∴由(1)(21)fafa−−得：121aa−−，解得23a，∴a的取值范围是2(,)3−．9

．判断函数21()fxxx=−((0,))x+的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．9．证明：函数21()fxxx=−((0,))x+是增函数.证明如下：设120xx，则221212121212211211()()()()xxfxfxxxxxxxxxxx−−=

−+−=+−+1212121()()xxxxxx=−++，因为120xx，所以120xx−，121210xxxx++，则12()()0fxfx−，即12()()fxfx，故函数21()fxxx=−((0,))x

+是增函数．高考能力演练10．（2009福建理）下列函数()fx中，满足“对任意1x，2x（0，+），当1x<2x时，都有1()fx>2()fx的是()A．()fx=1xB．()fx=2(1)x−C．()41fxx=+D．1()fxx=−10

．A解析：依题意可得函数应在(0,)x+上单调递减，故由选项可得A正确.目标检测二一、选择题1.关于函数y=x2的单调性的表述正确的是()A.在（－∞，0）上增加，在（0，+∞）上减少B.在（－∞，0）∪（0，+∞）上减少C.在［0，

+∞）上减少D.在（－∞，0）和（0，+∞）上都减少1.D解析：对于反比例函数y=xk（k≠0），当k＞0时，在区间(,0)−上是单调递减函数，10在区间(0,)+上也是单调递减函数，这种函数的单调区间只能分开写；当k＜0时,在区间(,0)−上是单调递增函数，在区

间(0,)+上也是单调递增函数.2.已知函数)(xfy=定义在]1,2[−上，且有)0()1(ff−，则下列判断正确的是()A.)(xfy=必为]1,2[−−上的单调增函数B.)(xfy=不是]1,2[−−上的单调增函数C.)(xfy=必为]1,2[−−上的单调减函数D.)(

xfy=不是]1,2[−−上的单调减函数2.B解析：根据增函数的定义知选B.3.函数2()fxxbxc=++，在[2，+∞）上是增函数，在（-∞，2]上是减函数，则A．(2)(1)(4)fffB．(1

)(2)(4)fffC．(2)(4)(1)fffD．(4)(2)(1)fff3.A解析：由二次函数图象的特性及单调性可知.4.函数)(xf在其定义域M上是增函数，且0)(xf，那么在M上为减函数是()A．)(34xfy+=B．2)]([xfy=C．)(13xf

y+=D．)(12xfy−=4.C解析：取()(0)fxxx=>很容易可以判断)(13xfy+=在定义域内为减函数.二、填空题5.函数y＝f(x)是定义在R上的减函数，则y＝f(|x＋2|)的单调减区间是______．5.

［－2，＋∞)解析：∵y＝f(u)在R上递减；u＝|x＋2|在［－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2］上递减∴y＝f(|x＋2|)在［－2，＋∞)上递减6.函数2()23fxxmx=−+，在[-2，+∞）上是增函

数，在（-∞，-2]上是减函数，则=)1(f————————6.2解析：由抛物线呈轴对称可知，24mx-=-=-.117.若函数)(xf在区间（-2，3）上是增函数，则函数)5(+=xfy的递减区间为_________7.（-2，3）解析：设t=x+5其在R上增函数，则()

yft=在区间（-2，3）上是增函数,即x+5Î（-2，3）三、解答题8.讨论函数2(11)1axyxx=−−的单调性．8.设1211xx−，则：1221121222221212()(1)()()11(1)(1)axaxaxx

xxfxfxxxxx−+−=−=−−−−1211xx−，2112010xxxx−+，，22121010xx−−，．∴当0a时，12()()fxfx，()fx在(-1，1)上是增函数．当0a时，12()()fxfx，()fx在(-1，1)上是减函

数．当0a=时，()fx为常数函数，没有单调性．9.函数()8afxxx=+−在[1,)+上是增函数，求a的取值范围．9.∵函数()8afxxx=+−在[1,)+上是增函数，∴对任意的121,xx有12()()fxfx，即121288aaxxxx+−+−，得121288aa

xxxx+−+−，即1212()(1)0axxxx−+，∵120xx−，∴1210,axx+121,axx−12axx−，∵211xx，∴要使12axx−恒成立，只要1a；又∵函数()8afxxx=+−在[1,)+上是增函数，∴180a+−，即9a，综上a的取值范

围为1,9−．高考能力演练1210.作出函数f（x）=122++xx+122+−xx的图象，并指出函数f（x）的单调区间.10.由于所给的函数是两个被开方数和的形式，而被开方数恰能写成完全平方的形式，因此可先去掉根号，转化成分段函

数的形式，再作图写出单调区间.原函数可化为f（x）=122++xx+122+−xx=|x+1|+|x－1|=作出函数的图象：所以函数的递减区间是（－∞，－1］，函数的递增区间是［1，+∞）.11.已知点p(t,y)在函数)1(1)(−+=xxxxf的图象上，且

有).0(04222=+−ccatct（1）求证：4||ac；（2）求证：在（－1，+∞）上)(xf单调递增；（3）求证：.1|)(||)(|+cfaf11.（1）01616)(,1,224222−=−−=−caccactRt，.4

||,16,022acacc（2）由,111)(+−=xxf设211xx−，则.)1)(1(111111)()(12211212++−=++−+−=−xxxxxxxfxf,01,01,0,1212121+

+−−xxxxxx0)()(,0)()(1212−xxfxfxfxf即时，)(xf单调递增.（3）)(xf在1−x时单调递增，,0||4||ac－2x，x≤－1，2，－1＜x＜1，2x，x≥1.134||44(||)()4||||41||||4||4(||)(||)1

.(||)(||)1.||1||4||4||4afcfaaaaafafcfafcaaaa\?=+++=+>+=+>++++即