【文档说明】浙江省嘉兴市桐乡市茅盾中学2023-2024学年高二上学期第一次考试数学试题 含解析.docx，共(17)页，1.133 MB，由小赞的店铺上传

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2023学年第一学期茅盾中学第一次考试高二数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.斜率不存在的直线一定是（）．A.过原点的直线B.垂直于x轴的直线C.垂直于y轴的直线D.垂直于坐标轴的直线【答案】B【解析】【分析】根据

直线斜率与倾斜角的关系即可得到答案.【详解】直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为90°，故直线垂直于x轴.所以本题答案为B.【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，牢记直线的倾斜角为90°时，其斜率不存在，属基

础题.2.已知直线l的倾斜角为60，且经过点()0,1，则直线l的方程为（）A.3yx=B.32yx=−C.31yx=+D.33yx=+【答案】C【解析】【分析】先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可.【详解】由题意知：直

线l的斜率为3，则直线l的方程为31yx=+.故选：C.3.圆()()22131xy−++=的圆心坐标是（）A.()1,3B.()1,3−C.()1,3−D.()1,3−−【答案】C【解析】【分析】根据圆的标准方程()()222xaybr−+−=，则

其圆心坐标为(),ab求解.【详解】因为圆的标准方程为()()22131xy−++=，所以该圆的圆心坐标为()1,3−．故选：C4.下列直线中，与直线10xy+−=相交的是（）．A.直线3xy+=B.直线0xy+=C.直线3yx=−D.直线1yx=−【答案】CD

【解析】【分析】根据两直线平行，斜率相等排除AB选项，即可求出结果.【详解】易知直线10xy+−=的斜率为1−，所以与直线10xy+−=相交的直线的斜率必定不为1−，选项A，B中的直线的斜率都是1−，选项C，D中的直线的斜率都是1，故A，B不符合题意．故选：CD．5.圆221xy+=与圆()()2

23416xy+++=的位置关系是（）A.外切B.内切C.相离D.相交【答案】A【解析】【分析】根据圆心距和半径的关系即可得到答案.【详解】圆221:1Cxy+=，圆心()0,0，半径11r=，圆()()222:3416+++=Cxy，圆心()3,4−−，半径24r=，因为221

212345CCrr=+==+.所以两圆的位置关系是外切.故选：A【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，属于简单题.6.当点P在圆221xy+=上变动时，它与定点(3,0)Q−连线PQ的中点的轨迹方程是（）A.22(3)4xy++=B.22(3)1xy−+=的C.223124xy−+=

D.223124xy++=【答案】D【解析】【分析】设PQ中点的坐标为(,)xy，易得(23,2)Pxy+，再根据点P在圆221xy+=上求解.【详解】设PQ中点坐标为(,)xy，因为定点(3,0)Q−，所以(23,2)Pxy+，

因为点P在圆221xy+=上，所以22(23)(2)1xy++=，整理得223124xy++=.故选：D7.已知点()()2,3,3,2AB−−−.若直线:10lmxym−−+=与线段AB相交，则实数m的取值范围是（）A.(3,4,4+

−−B.)3,4,4−−+C.34,4−D.3,44−【答案】A【解析】【分析】求出直线l恒过定点()1,1C，然后画图观察直线l的变化时斜率的变化，再求l的斜率，所以得答案.【详解】:

10,lmxym−−+=即()110mxy−+−=，又因为101101xxyy−==−==，所以直线l恒过定点()1,1C，画图得直线l要想与线段AB有交点，就需要l绕着点C，从直线BC开始逆时针旋转到直线AC，则()()()12133,413412BCACkk

−−−−====−−−−，的所以直线l斜率(3,4,4m−−+故选：A8.如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在点P处变轨进入以F为一焦点的椭圆轨道Ⅱ上

绕月球飞行，最后在点Q处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月球飞行．设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则下列结论中正确的是（）A.轨道Ⅱ的焦距为Rr−B.轨道Ⅱ的长轴长为Rr+C.若R不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小D

.若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越大【答案】ABD【解析】【分析】设椭圆方程()222210xyabab+=，根据椭圆的性质得到abR+=，acr−=判断选项A，B；由22bRr=判断选项C；由cea=211Rr=−+判断选项D.【详解】解：设椭

圆方程()222210xyabab+=，由椭圆的性质知，abR+=，acr−=，则2cRr=−，2aRr=+，故选A，B正确；2Rra+=，2Rrc−=，所以()()2222222244RrRrbacRr+−=−=−=，若R不变，r越大，2b越大，

即轨道Ⅱ的短轴长越大，故C的错误；22RrceRra−===+22111RrrRRrRrr−=−=−+++，若r不变，R越大，则21Rr+越小，e越大，即轨道Ⅱ的离心率越大，故D正确．故选：ABD．二、多选题（本大题共4小题，共

20分）9.与直线:210lxy++=平行且到l的距离等于55的直线方程为（）A.20xy+=B.220xy++=C.220xy+−=D.210xy++=【答案】AB【解析】【分析】利用平行线间的距离公式即可求解.【详解】设所求直线方程

为20xyc++=，由题意得2215521c−=+，解得：0c=或2c=，故所求直线方程为：20xy+=或220xy++=.故选：AB.10.如图，直线1l，2l，3l的斜率分别为1k，2k，3k，倾斜角分别为1，2，3，则下列选项正确的是（）A.132kkk

B.321kkkC.132D.231【答案】A【解析】【分析】由倾斜角的定义可判断1，2，3的大小，由斜率与倾斜角的关系可判断1k，2k，3k的大小.【详解】解：由图可知32

102，即321，故C、D都错误.又因为当02时，0k，且k随的增大而增大，故230kk；当2时，0k，故10k；故132kkk，故A正确，B错误.故选：A.11.若椭圆222:11xyCmm+=−的一个焦点坐标为()0,1

，则下列结论中正确的是（）A.2m=B.C的长轴长为23C.C的短轴长为4D.C的离心率为13【答案】AB【解析】【分析】由题意可得椭圆的焦点在y轴上，且1c=，可得211mm−−=，求出椭圆的方程，然后逐一判断各选项即可.【详解】由题意可得椭圆的焦点在y轴上，且1c=

，所以211mm−−=，且0m，210m−，解得2m=，故A正确；所以椭圆22:123xyC+=，所以22b=，23a=，所以C的长轴长为23，故B正确；所以C的短轴长为22，故C错误；所以1333c

ea===，故D错误.故选：AB.12.已知P，Q分别为圆M：()()22631xy−+−=与圆N：()()22421xy++−=的动点，A为x轴上的动点，则APAQ+的最小值为___________.【答案】552−【解

析】【分析】作出圆N关于x轴的对称圆圆G，利用对称性，由()12minAPAQMGrr+=−−求解.【详解】如图所示：圆N：()()22421xy++−=关于x轴的对称圆圆G：()()22421xy++

+=，由对称性知：()min'11APAQPQMG+==−−()()226432552=+++=−，故答案为：552−三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.椭圆2213216xy+=的焦距为__________．【答案】8【解析】【分析】根据椭圆方程求c，

进而可得焦距.【详解】由题意可知：2232,16==ab，可得224cab=−=，所以椭圆的焦距为28c=.故答案为：8.14.经过点A(1,1)且在两条坐标轴上的截距相等的直线方程是________．【答案】0xy－＝或20xy＋－＝【解析】【分析】在坐标轴上

截距相同可设直线截距式方程，将点A(1,1)代入直线方程即可.【详解】（1）当直线的截距不为0时即不经过原点，设直线方程是：1xyaa+=因为直线过点A(1,1)所以111aa+=解得a=2即直线方程是20xy＋－＝（2）当直线经过原点时方程为：0xy－＝综上所述直线方程为：0xy－＝或20xy

＋－＝【点睛】本题考查利用直线截距式方程求解直线问题，利用直线截距式方程求解的关键是:截距式方程没有把平面内的所有制直线都包含在内，将经过原点的直线和平行于坐标轴的直线遗漏了，因此需要将这两类直线单独计算

，以防遗漏.15.方程22:230Cxyxym++−+=表示圆，则实数m的取值范围为_____．【答案】13(,)4−【解析】【分析】由圆的一般式方程需要满足的条件可得2240DEF+−，得到关于m的不等式，求解可得m的

范围．【详解】由圆的一般式方程可得2240DEF+−，即222(3)40m+−−，求得134m.故答案为：13(,)4−．【点睛】本题考查圆的一般式方程的特征，考查基本运算求解能力，属于基础题．16.已知

()3,1A−，()5,2B−，点P在直线0xy+=上，若使PAPB+取最小值，则点P的坐标是___________.【答案】1313,55−【解析】【分析】求出点A关于直线0xy+=的对称点E，则

直线BE与0xy+=的交点即为所求.【详解】点()3,1A−关于直线0xy+=对称点为()1,3E−，又()5,2B−，则直线BE的方程为135123xy−+=−−+，即4130xy−−=，的联立41300xyxy−−=+=，解得135x=，135y=−，所以

使PAPB+取最小值的点P的坐标是1313,55−.故答案为：1313,55−.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.三角形三个顶点是()4,0A，()6,7B，()0,3C（1）求AB边上的高所在直线的方程；（2）求BC边上的中线所在

直线的方程.【答案】（1）27210xy+−=（2）5200xy+−=【解析】【分析】（1）先求出AB边上的高的斜率，用点斜式方程即可求得；（2）求出BC边上的中点()3,5，利用两点式方程即可求得.【小问1详解】因

为()4,0A，()6,7B，所以707642ABk−==−.所以AB边上的高的斜率为127ABkk=−=−.所以AB边上的高所在直线为：237yx−=−，即27210xy+−=【小问2详解】因为()6,7B，()0,3C，所以BC边上的中点()3,5所以BC边上的中线所在直线0

50434yx−−=−−，即5200xy+−=.18.已知圆C：228120xyy+−+=，直线l：20axya++=.（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|=22时，求直线l的方程.【答案】（1）34a=−；（2）20xy−+=

或7140xy−+=.【解析】【分析】（1）由题设可得圆心为()0,4C，半径2r=，根据直线与圆的相切关系，结合点线距离公式列方程求参数a的值即可.（2）根据圆中弦长、半径与弦心距的几何关系列方程求参数a，即可得直线方程.【小问1详解】由圆C：228120xyy+−+=，

可得()2244xy+−=，其圆心为()0,4C，半径2r=，若直线l与圆C相切，则圆心C到直线l距离24221adra+===+，即43a=−，可得：34a=−.【小问2详解】由（1）知：圆心到直线的距离2421ada+=+，因为2222ABdr+=，即2222

222d+=，解得：2d=，所以24221ada+==+，整理得：2870aa++=，解得：1a=−或7a=−，则直线l为20xy−+=或7140xy−+=.19.已知在四棱锥PABCD−中，底面ABCD

是矩形，2,ADABPAB=△是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，,ME是线段,PABC的中点.（1）求证：直线ME∥平面PCD；（2）求PC与平面PDE所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（

2）15【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式计算即可.【小问1详解】取PD中点N，连,MNNC，因为MN、分别为,PAPD的中点所以12MNAD∥，且12MNAD=，又因为

12ECAD∥，且12ECAD=，所以MNEC∥，且MNEC=，所以四边形MNCE为平行四边形，所以MENC∥，因为ME平面PCD，NC平面PCD，故ME∥平面PCD.【小问2详解】取AB中点O，连PO，过O作OQAD∥交CD

于点Q，因为PAD为正三角形，O为AB中点，故POAB⊥，又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB=，故PO⊥平面ABCD，又OQAB⊥，如图建立空间直角坐标系Oxyz−，不妨设2PA=，则()()(

)()0,0,3,1,4,0,1,4,0,1,2,0PCDE−，()()()1,4,3,2,2,0,1,4,3PDDEPC=−−=−=−，设平面PDE的一个法向量为(),,xyz=r，则430220PDxyzDExy=−+−==−=，所以3zyxy==，令

1y=得平面PDE的一个法向量为()1,1,3=，设PC与平面PDE所成角为，所以531sin=cos,5255PCPCPC−===，故PC与平面PDE所成角的正弦值为15.20.已知直线方程为(2)(21)340mxmym−+++

+=，其中mR.（1）求直线恒过定点的坐标.当m变化时，求点()3,4Q到直线的距离的最大值及此时的直线方程；（2）若直线分别与x轴､y轴的负半轴交于,AB两点，求AOB面积的最小值及此时的直线方程.【答案】（1）直

线恒过定点()1,2−−，213，2380xy++=（2）4，240xy++=【解析】【分析】（1）把直线方程整理成关于m的方程，由恒等式知识可得定点P坐标，点()3,4Q到直线的距离的最大时一定有PQ与该直线垂直，可得结

论．（2）求出直线与两坐标轴交点坐标，得三角形面积，然后由基本不等式得最小值及参数值．【小问1详解】直线方程为(2)(21)340mxmym−++++=，可化为(24)(23)0xymxy+++−++=对任意m都成立，

所以230240xyxy−++=++=，解得12xy=−=−，所以直线恒过定点(1,2)−−.设定点为(1,2)P−−，当m变化时，PQ⊥l时，点(3,4)Q到直线的距离最大，可知点Q与定点(1,2)P−−的连线的距离就是所求最大值，即22(31)(42)213+++=，此时直线

l过点(1,2)P−−且与PQ垂直，∴22412113mm−−−−=−+−−，解得47=m故直线l的方程为2380xy++=【小问2详解】由于直线l经过定点(1,2)P−−.直线l的斜率k存在且0k，可设直线方程为2

(1)ykx+=+可得与x轴､y轴的负半轴交于21,0Ak−，(0,2)Bk−两点∴20kk−，20k−，解得0k.∴121221|2|1(2)2224222AOBkSkkkkk−=−−=−−=++

+=−当且仅当2k=−时取等号，面积的最小值为4，此时直线l的方程为：22(1)yx+=−+，即：240xy++=.21.在平面直角坐标系中，已知圆22:48120Cxyxy+−−+=，圆N过原点O及点()2,0A−且与圆C外切.（1）求圆N的标准方程；（2）若过点

A的直线l被两圆截得的弦长相等，求直线l的方程.【答案】（1）22(1)(1)2xy++−=（2）360xy−+=或320xy−+=.【解析】【分析】（1）先由题意，得到圆N的圆心N在直线=1x−上，设(1,)Nb−，半径为r，根据两圆外切，列出方程求解，求出b，r，即可得出圆的方程；（

2）先判断当l的斜率不存在时，不符合题意；当l的斜率存在时，设l的方程为(2)ykx=+，根据又l被两圆截得的弦长相等，列出方程求解，即可求出结果.【小问1详解】由题意知，圆N的圆心N在直线=1x−上，设(1,)Nb−，半径为r，因为圆N与圆

C外切，且圆C的圆心(2,4)C，半径为22，所以22(2(1))(4)22CNbr=−−+−=+，即229(4)(22)br+−=+①，又22(1)ONbr=−+=，即221br+=②，由①得，422br

−=，代入②得，2870bb−+=，解得1b=或7b=(舍)，所以2r=，故所求圆N的标准方程为22(1)(1)2xy++−=.【小问2详解】当l的斜率不存在时，l的方程为：2x=−，与圆C相离，不符合题意.当l的斜率存在时，设为k，故l的方程

为()2ykx=+，则圆心C到直线l的距离为：12441kdk-=+；圆心N到直线l的距离为：2211kdk-=+，因为圆的弦长一半与圆心到弦的距离的平方和等于圆的半径的平方，又l被两圆截得的弦长相等，所以22

22(1)(44)2811kkkk−−−=−++，即231030kk−+=，解得3k=或13k=，故直线l的方程为360xy−+=或320xy−+=.22.已知12FF､为椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左､右焦点，点31,2P为椭圆上一点，且124PFPF+=（1）求

椭圆C的标准方程；（2）若圆O是以12FF为直径的圆，直线:lykxm=−与圆O相切，并与椭圆C交于不同的两点A､B，且32OAOB=−，求k的值【答案】（1）22143xy+=（2）22k=【解析】【分析】（1）根据椭圆定义，可求得2a=，再将点31,2P

代入椭圆方程可求得23b=；（2）由已知可推得221mk=+.联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理可求得212241234mxxk−=+，2212231234mkyyk−=+，由32OAOB=−，即可解出

k的值.【小问1详解】因为，124PFPF+=，所以24a=，2a=.又点31,2P为椭圆上一点，则有22231214b+=，所以23b=.所以，椭圆方程为22143xy+=.【小问2

详解】由（1）可得，2221cab=−=，则圆O的圆心为(0,0)O，半径为1r=.直线:lykxm=−可化为0kxym−−=.由直线l与圆O相切，得211mk−=+，整理可得221mk=+.设()()112

2,,,AxyBxy，联立直线与椭圆方程22143xyykxm+==−，得()2223484120kxkmxm+−+−=()()()()22222Δ84412344843kmmkkm=−−−+=−+

，又221mk=+，则()248320k=+恒成立，所以122834kmxxk+=+，212241234mxxk−=+，的()()1212yykxmkxm=−−()221212kxxmkxxm=−++22

22241283434mkmkmkmkk−=−+++22231234mkk−=+因为32OAOB=−，所以121232xxyy+=−，即222224123123434mmkkk−−+++()22271211234kkk−−++=2

2553342kk−−==−+.化简可得，212k=，解得22k=.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,xyxy；（2

）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、12xx（或12yy+、12yy）的形式；.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.c

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