【文档说明】山西省部分学校2023届高三下学期4月模拟考试数学试题 含解析.docx，共(25)页，3.954 MB，由小赞的店铺上传

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高三年级2022~2023学年4月份模拟考数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.4．本卷主要考查内容：高考范围.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小

题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合2320Axxx=−+∣，集合14Bxx=N，则AB=（）A.{24}xxB.{2,3,4}C.{3,4}D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式得到集合A，再利用交集的定义求解结果.详解】∵集合

2320{1Axxxxx=−+=或2}x，集合141,2,3,4Bxx==N，则{3,4}AB=.故选：C．2.已知120232022a=，202212023b=，20221log2023c=，则,,ab

c的大小关系是（）A.abcB.acbC.bacD.cba【答案】A【解析】【分析】利用指数函数单调性和值域，以及对数函数单调性可分别限定,,abc的取值范围，即可比较出其大【小.【详解】根据指数函数2022xy=为单调递增函数可得，10202320

2220221a==>，即()1,a+；再由指数函数12023xy=为单调递减函数可知，2022011120232023b==<，结合指数函数值域可得()0,1b；根据对数函数2022logyx=在()0,x+上为单调递增

可知，202220221loglog102023c==，即(),0c−；所以abc.故选：A3.已知1tan2=，则2sin2=（）A.54B.52C.2D.5【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式，进行弦化切代入即可求解.【详解】222221sin

costan1sin22sincossincossincostan++====.因为1tan2=，所以22112tan1521sin2tan22++===.故选：B4.设公差不为零的等

差数列na的前n项和为nS，4512aa=，则94SS=（）A.15B.1C.1−D.9−【答案】D【解析】【分析】设等差数列na的公差为,d利用基本量代换求出()()19941494aaSSaa+=+，进而求解.【详解】设等差数列na的公差为(),0dd.

∵4512aa=，∴()4412aad=+，解得：4ad=，52ad=．∴4132aadd=−=−，∴14aad+=−．∴()()()199541414929499444aaSadSaaaad+====−++−．故

选：D．5.随着我国经济的迅猛发展，人们对电能的需求愈来愈大，而电能所排放的气体会出现全球气候变暖的问题，这在一定程度上威胁到了人们的健康．所以，为了提高火电厂一次能源的使用效率，有效推动社会的可持续发展，必

须对火电厂节能减排技术进行深入的探讨．火电厂的冷却塔常用的外形之一就是旋转单叶双曲面，它的优点是对流快、散热效果好，外形可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图1）．某火电厂的冷却塔设计图纸比例（长度比）为1:40（图纸上的尺寸单位：m），图纸中单叶双曲面

的方程为22211(21)4xyzz+−=−（如图2），则该冷却塔占地面积为（）A.22800πmB.23000πmC.23200πmD.24800πm【答案】C【解析】【分析】令2z=−，可得出222xy+=，可得出圆的半径，乘以比例尺，可得出实际圆的半径长，再利用圆的

面积公式可求得结果.【详解】令2z=−，得方程为222xy+=，这是一个半径为2的圆．乘上比例尺，即圆的实际半径为402m，则建筑的占地面积为()()22π4023200πm=．故选：C.6.已知正实数,ab，则“24ab+=”是“2ab”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式由24ab+=可得2ab，可得充分性不成立；当2,2ab==时可得必要性不成立，即可得出结果.【详解】根据基本不等式可得2422abab+=，即22ab，可得2ab，所以充分性不成立；若2ab，可令2,2ab==

满足2ab，此时264ab+=；即必要性不成立；所以“24ab+=”是“2ab”的既不充分也不必要条件.故选：D7.如图，有8个不同颜色的正方形盒子组成的调味盒，现将编号为,,,ABCD的4个盖子盖上（一个盖子配套一个盒子），要求A，B不在同一行也

不在同一列，C，D也是此要求．那么不同的盖法总数为（）12345678A.224B.336C.448D.576【答案】B【解析】【分析】根据题意可得先分步，先盖,AB，再进行分类讨论盖上,CD，利用分类加法和分步乘法基本计数原理即可得出其结果.【详解】第一步：先盖,AB，有2438=种

方法；第二步：再盖,CD．①若C与A或B在同一列，则有2种盖法，D就有3种盖法，共236=种方法；②若C与A或B不在同一列，则有4种盖法，D就有2种盖法，共428=种方法．综上所述，满足要求的有24(68)336+=种方法．故选：B．8.已知偶函数π()

3sin()cos()0,||2fxxx=+−+在(0,2)上有且仅有一个极大值点，没有极小值点，则的取值范围为（）Aπ,π2B.3ππ,2C.3π,2π2D.(2π,4π]【答案】A【解析】【分析】利用辅助角公式

和三角函数的性质把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦型函数的性质的应用求出的取值范围.【详解】由题可知，31π()2sin()cos()2sin226fxxxx=+−+=+−为偶函数，∴πππ()62kk−=+Z，即2ππ,3kk

=+Z．∵||2，∴π3=−．∴()2sin2cos()36fxxx=−−=−，令tx=，由02x得(0,2)t，∴()fx转化为()2cosftt=−，(0,2)t．如图，()2cosftt=−在(0,2)上有且仅有一

个极大值点没有极小值点时，π22π，∴ππ2．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若复数z满足2023(2i)1iz+=−，则（

）.A.z的虚部为35B.3i55z=−C.10||5z=D.z在复平面内对应的点位于第四象限【答案】BC【解析】【分析】根据复数的除法运算求得z，再根据复数z的特征逐一判断各选项.【详解】因为20231i1i3i2i2i5z−++===

++，对于A，z的虚部为15，故A错误；对于B，3i55z=−，故B正确；对于C，223110555=+−=z，故C正确；对于D，z在复平面内对应的点31,55位于第一象限

，故D错误；故选：BC．10.已知定义在R上的奇函数()yfx=对任意的xR有(2)()fxfx+=−，当11x−时，()(1)fxaxa=．函数,0()ln(1),0xxgxxx−=+，则下列结论正确的是（）A.函数()fx是周期

为4的函数B.函数()gx在区间(,0)−上单调递减C.当1a=时，方程()()fxgx=在R上有2个不同的实数根D.若方程()()fxgx=在R上有4个不同的实数根，则ln6a【答案】ABC【解析

】【分析】分析函数()fx的周期判断A；确定()gx在区间(,0)−上单调性判断B；分析()fx的最大值判断C；由方程有4个根求出a的范围判断D作答.【详解】对于A，Rx，(2)()fxfx+=−，则(4)(2)()fxfxfx+=−+=

，因此函数()fx是周期为4的函数，A正确；对于B，当0x时，()gxx=−，因此函数()gx在区间(,0)−上单调递减，B正确；对于C，因为函数()fx是R上的奇函数，由(2)()fxfx+=−得：(2)(

)fxfx+=−，即函数()yfx=的图象关于直线1x=对称，当1a=时，当11x−时，()fxx=，则当13x时，121x−−，()(2)2fxfxx=−=−，函数()fx在[1,1]−上单调递增，在[1,3]上单调递

减，1()1fx−，因此函数()fx在R上的值域为[1,1]−，当10x−时，()0()gxfx，当1x−时，()1()gxfx，即方程()()fxgx=在(,0)−上无解，当01x时，令()ln(1)hxxx=−+，1()11hxx=−+，当(0,1)

x时有()0hx，即函数()hx在[0,1]上递增，当(0,1]x时，()(0)0hxh=，即函数()hx在[0,1]上有唯一零点，当13x时，令()2ln(1)xxx=−−+，显然函数()x在[1,3]上单调递减，(1)1ln20=−，(3)1ln40=−−，因此

函数()x在[1,3]上有唯一零点，当3x时，()ln41()gxfx，即方程()()fxgx=在(3,)+上无解，所以当1a=时，方程()()fxgx=在R上有2个不同的实数根，C正确；对于D，函数()fx在[

1,1]−上单调递增，在[1,3]上单调递减，(1)fa=，而函数()fx的周期为4，则max()(41),Zfxfkak=+=，(0)(0)0fg==，由选项C知，当(0,1]x时，ln(1)axxx+，即方程()()fxgx=在[0,1]上有一个根，当13x时，

()(2)fxax=−，函数()(2)ln(1)uxaxx=−−+在[1,3]上单调递减，(1)0,(3)0uu，即方程()()fxgx=在(1,3)上有一个根，显然函数()fx在[3,5]上单调递增，

在[5,7]上单调递减，当(5)(5)fg，即ln6a时，方程()()fxgx=在(3,7)上有两个根，要方程()()fxgx=在R上有4个不同的实数根，必有(9)(9)fg，即ln10a，又(3)ln103(3)fag−==−，因此当ln10a

时，方程()()fxgx=在(,0)−上无解，所以方程()()fxgx=在R上有4个不同的实数根，ln6ln10a，D错误.故选：ABC11.如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB过点(1,0)P，且||||AOAB=，若||3||

2APAB=，则下列说法正确的是（）A.点A的轨迹是一个圆B.AOP的最大值为π3C.当,,AOB三点不共线时，ABO面积的最大值为2D.||AP的最小值为232−【答案】ABC【解析】【分析】由条件可得||3||2APAO=，设(),Axy，由此可

化得()22412xy−+=，即可判断A，当直线OA与圆()22412xy−+=相切时，AOP最大，由此可判断B，233ABOAPOSS=，求出APOS△的最大值可判断C，当,,AOP三点共线且点P位于,AO之间时

，||AP最小，求出最小值可判断D.【详解】因为||||AOAB=、||3||2APAB=，所以||3||2APAO=，设(),Axy，则()2222132xyxy−+=+，化简得()22412xy−+=，所以点A的轨迹是以()4,0为圆心，23为半径的圆，故A正确，当直线OA与圆()2

2412xy−+=相切时，AOP最大，设直线OA的方程为ykx=，则有24231kk=+，解得3k=，所以此时直线OA的倾斜角为π3，即AOP的最大值为π3，故B正确，因为||3||2APAB=，所以

233ABOAPOSS=，因为1122APOAASOPyy==，Ay的最大值为23，所以APOS△的最大值为3，ABOS的最大值为2，故C正确，当,,AOP三点共线且点P位于,AO之间时，||AP最小，最小值

为233−，故D错误，故选：ABC12.半正多面体亦称“阿基米德体”，是由边数不全相同正多边形为面的多面体．如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，得到一个有八个面的半正多面体．点A、B、C是该多面体的

三个顶点，且棱长2AB=，则下列结论正确的是（）A.该多面体的表面积为243的B.该多面体的体积为4623C.该多面体的外接球的表面积为22πD.若点M是该多面体表面上的动点，满足CMAB⊥时，点M的轨迹长度为4

43+【答案】BCD【解析】【分析】计算出该多面体的表面积和体积，可判断AB选项；作出图形，根据几何关系计算出该多面体的外接球半径，利用球体表面积公式可判断C选项；找出与AB垂直的直线，可求出点M的轨迹长度，可判断D

选项.【详解】对于A选项，因2AB=，“阿基米德体”一共有八个面，其中有四个面是边长为2的正六边形，有四个面是边长为2的正三角形，因此，“阿基米德体”的表面积为22334246228344S=+=，A错；对于B选项，如下图所示，在

棱长为a的正四面体PMNG−中，设顶点P在底面MNG的射影点为点O，延长MO交NG于点H，则H为GN的中点，因为MNG为等边三角形，则MHNG⊥，且2232MHMNNHa=−=，易知点O为MNG的中心，则22333323MOMHaa===，因为PO⊥平面MNG，MO

平面MNG，所以，POMO⊥，故22223633POPMMOaaa=−=−=，2311362334312PMNGMNGVSPOaaa−===△，为即棱长为a的正四面体的体积为3212a，因为“阿基米德体”是在棱长

为6的正四面体上截去了4个棱长为2的正四面体，因此，“阿基米德体”的体积为332246264212123V=−=，B对；对于C选项，设等边CEF△的中心为N，与平面CEF平行的底面正六边形的中心记为点M，则MN⊥平面C

EF，原正四面体（棱长为6）的高为66263=，则2462633MN==，由题意可知，“阿基米德体”的外接球球心O在直线MN上，易知23232323EN==，即正CEF△的外接圆半径为233，底面正六边形的外接圆半径为2，设ONd=，“阿基米德体”的外接球半径为R，则222222346

233Rdd=+=−+，解得566d=，则222562311632R=+=，因此，该多面体的外接球的表面积为2114π4π22π2R==，C对；对于D选项，如下图所示：由正六边形的几何性

质可知120ABKBKC==，因为BKCK=，则30KBC=，所以，1203090ABCABKCBK=−=−=，即BCAB⊥，同理可知BQAB⊥，因为ABBQB=，BC、BQ平面BCQ，则AB⊥平面BC

Q，因为CQ平面BCQ，所以，ABCQ⊥，由余弦定理可得2212cos1204424232BCBKCKBKCK=+−=+−−=，同理可得23BQ=，易知4CQ=，所以，点M的轨迹长度为434BCBQCQ++=+，D对.故选：BCD.【点睛】方法点睛：解决与

球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出

截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知||2a=，||23b=，4a

b=−，则||ab+=__________．【答案】22【解析】【分析】利用2||()abab+=+，展开计算即可求得答案.【详解】由||2a=，||23b=，4ab=−，可得222||()24122(4)22ababab

ab+=+=++=++−=，故答案为：2214.已知函数()(1)exfxfx=−，则(0)f=___________．【答案】1e1−【解析】【分析】利用基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则求出导函数()fx，令1x=求解()1f，再求(0)f.【详解】已知函数()(1)exf

xfx=−，则()(1)e1=−xfxf，令1x=可得：(1)(1)e1=−ff，解可得；1(1)e1=−f，1(0)(1)e1==−ff.故答案为：1e1−．15.中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，是反映中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有

悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系，是中华民族的瑰宝．某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量x（单位：克）与药物功效y（单位：药物单位）之间具有关系210yxx=−．检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的平均值为6克，标准差为2，则估计这批中医药的药物功

效的平均值为________________．【答案】20【解析】【分析】设这6个样本中成分甲的含量分别为123456,,,,,xxxxxx，平均值为x，即可求出222126xxx+++，即可求出126yyy+++，从而求出平均数.【详解】设这6个样本中成分甲的

含量分别为123456,,,,,xxxxxx，平均值为x，则12345666xxxxxxx+++++==，所以12345636xxxxxx+++=++，所以()()()()2222222126126624xxxxxxxxxx−+−++−=+++−=，所以222126240

xxx+++=，于是()()22212612612610120yyyxxxxxx+++=+++−+++=，则126206yyyy+++==．故答案为：2016.把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割．黄金分割具有

严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例，若椭圆的离心率为此比值，则称该椭圆为“黄金椭圆”.若“黄金椭圆”2222:1(0)xyCabab+=的左，右焦点分别为12,FF，点P为椭圆C上异于顶点的任意一点，

12FPF的平分线交线段12FF于点A，则11PFFA=___________．【答案】512+【解析】【分析】根据12FPF的平分线的性质及椭圆的定义求得结果.，【详解】已知把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，设线段较大部分为y，较小部分为x，0,0x

y.则yxxyy=+，220xxyy+−=，则512xy−=，即512xy−=，则512e−=.如图，已知PA是12FPF的平分线，则由角平分性质定理可以得出1212PFPFFAFA=，下面证明角平分性质定理：证明：在三角形1PFA中，由正弦定理1111sinsin=PFPAAFAP

FF；在三角形2PFA中，由正弦定理2222sinsin=PFPAAFAPFF.1212,π=+=APAPPAPAFFFF，所以1212sinsin,sinsin==FFFPAAPAPAFP，所以1212PFPFFAFA=.则由椭圆的定义得112112215

12e2++====+PFPFPFaFAFAFAc.故答案为：512+.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.已知数列na的前n项和为nS，且满足11a=

，122nnSS+=+．(1)求数列na的通项公式；(2)若数列nb满足1nnnbaa=+，求数列nb的前n项和nT．【答案】(1)112nna−=;(2)1221nnnT−=−+.【解析】【分析】(1)根据nS与na关系可得na是等比数列，根据等

比数列通项公式即可求解；(2)利用分组求和法与等比数列的求和公式直接求解.【详解】解：(1)当n＝1时，2122SS=+，∵11a=，∴212a=．可得2112aa=，当2n时，122nnSS+=+，122nnSS−=+，两式相减，得12

nnaa+=，即112nnaa+=，故数列na是首项为1，公比为12的等比数列，则112nna−=；(2)由(1)知，11122nnnb−−=+，的故()111111112212212211221212nnnnnnnT−−−−−=+++++++=+=−

+−−．18.如图，在三棱锥−PABC中，PA⊥底面ABC．224PCACAB===，D为PC中点，且BDAC⊥．（1）求BC的长；（2）求锐二面角ABDC−−的余弦值．【答案】（1）2（2）15【解析】【

分析】（1）建立空间直角坐标系，设(),,0Bxy，根据02BDACBA==得到方程组，解得x、y，即可求出B的坐标，再求出BCuuur，即可得解；（2）利用空间向量法计算可得.【小问1详解】因为

PA⊥底面ABC，如图建立空间直角坐标系，设(),,0Bxy，()0,2,0C，()0,0,23P，()0,1,3D，所以(),1,3BDxy=−−，()0,2,0AC=，所以02BDACBA==，即()222102yxy−=+=，

解得13yx==或13yx==−（舍去），所以()3,1,0B，所以()3,1,0BC=−，所以()22312BC=−+=，即BC的长为2.【小问2详解】因为()0,1,3AD=，()3,1,0AB=设平面ABD的法向量为(),,mxyz=，则30

30ADmyzABmxy=+==+=，令3y=，则()1,3,1m=−−，由（1）可知()3,1,0BC=−，()0,1,3CD=−，设平面BCD的法向量为(),,nabc=，则3030nCDyznBCxy=−+==−+=，令3y=，则(

)1,3,1n=r，所以1cos,5mnmnmn==，即锐二面角ABDC−−的余弦值为15.19.如图，在四边形ABCD中，已知2π3ABC=，π3BDC=，73ABBC==．（1）若53BD=，求AD的长；（2

）求ABD△面积的最大值．【答案】（1）57AD=（2）493【解析】【分析】（1）在BCD△中，由余弦定理求得83CD=，继而求得cos,sinDBCDBC，再求得cosABD，在ABD△中利用余弦定理即可求得AD的长

；（2）设CBD=，由正弦定理表示出BD，利用三角形面积公式表示出ABD△面积，结合正弦函数性质即可求得最大值.【小问1详解】在BCD△中，由余弦定理，得2222cosBCBDDCBDDCBDC=+−，∴222π(73)

(53)253cos3CDCD=+−，整理得253720CDCD−−=,解得83CD=或33CD=−（舍去）．∴222222(1c53)(73)(83)os2753327BDBCCDDBCBDBC+−+−===，而2π(0,)3DBC,故43sin7DBC=,∴2π1311c

oscoscossin32214ABDDBCDBCDBC=−=−+=，故在ABD△中，2222cosADABBDABBDABD=+−2211(73)(53)273535714=+−=，∴57AD=；【小

问2详解】设,2π(0,)3CBD=,则在BCD△中，sinsinBCBDBDCBCD=,则2π73sin()sinπ314sin()2πsin3sin3BCBCDBDBDC−===+，所以π2π711sins

in22314sin()()33ABDSABBDABD=+=−△2π3sin34(9)=+，当2πsin()13+=，即π6=时，ABD△面积取到最大值493.20.周末可以去哪里？带着挖沙桶、皮球、滑板车

和野餐垫，踩踩沙滩、在草地上跑累了随手拿起野餐垫上的蛋糕往嘴巴里塞，沙滩和野餐没有哪个家庭会拒绝的．小芸正在考虑购买一些物品，和父母一起在本周末去离家不远的度假村游玩．买挖沙桶需要40元，买皮球需要60元，买野餐垫需要100元，假设是否购买相互独立，小芸购买三种物品的概率依次为121,,3pp，只

不购买野餐垫的概率为16，至少购买一件物品的概率为56．（1）求小芸恰好购买两件物品的概率；（2）求小芸购买物品的总金额X的分布列和数学期望．【答案】（1）13（2）分布列见解析，2503【解析】【分析】（1）由题意列出关于12,pp的方

程组，解得12,pp，进而求出小芸恰好购买两件物品的概率；（2）X的所有可能取值为0，40，60，100，140，160，200，求出对应的概率，得出分布列，进而计算数学期望.【小问1详解】由题意，可得()()12121113615111136pppp−=−

−−−=，即1212141pppp=+=，解得1212pp==，由题意，可得小芸恰好购买两件物品的概率为：11111111111112232232233−+−+−=

.【小问2详解】X的所有可能取值为0，40，60，100，140，160，200，11121(0)111=223126PX==−−−=，11121(40)11223126PX==−−==，11121(60

)=11223126PX=−==−，11111131(100)111223223124PX==−−+−==，1111(140)122312

PX==−=，1111(160)122312PX==−=，1111(200)22312PX===，∴X的分布列为X04060100140160200P16161614112112112∴1111111250()040

6010014016020066641212123EX=++++++=．21.已知抛物线2:2(0)Cypxp=过点(,2)At，抛物线C的准线与x轴的交点为B，且||22AB=．（1）求抛物线

C的标准方程；（2）过点B的直线l与抛物线C交于E，F两点（异于点A），若直线,EAFA分别交准线于点,MN，求||||BMBN的值．【答案】（1）24yx=（2）||1||BMBN=【解析】【分析】（1）由点在抛物线上得2,2Ap，由已知及两点距离公式列方程求得

2p=，即得抛物线方程；（2）由题设令直线l为1xky=−，联立抛物线得4EFyyk+=，4EFyy=，并写出直线EA、FA求E，F两点横坐标，根据MNBMyBNy=结合韦达定理求值即可.【小问1详解】依题意，222pt=，则2tp=，故2,2Ap，又,02pB−，∴22

2||2222pABp=++=，解得2p=（负值舍去），∴抛物线C的标准方程为24yx=.【小问2详解】由（1）及题设，(1,0)B−且直线l斜率存在且不为0，令直线l为1xky=−，联立抛物线并整理得：2440yky−+=，且2Δ16(1)0k=−，所以4EF

yyk+=，4EFyy=，而(1,2)A，直线EA为22(1)2EEyyxky−−=−−，直线FA为22(1)2FFyyxky−−=−−，令=1x−，则2(2)2(1)222EEMEEyykykyky−−=−=−−，2(2)2(1)222FFNFFyykykyky−−=−=−−，所以222

2MEFEENEFFFBMykyyykyBNykyyyky−−===−−，而4EFyky=−，则212FFBMykBNky−==−.22.已知定义在π,2−+上的函数()()sinfxxkx=−．（1）若曲线()yfx=在点ππ,22f

处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，求k的值；（2）将()fx的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列nx，若123,,xxx成等差数列，求k的值．【答案】（1）2k=（2）

πk=【解析】【分析】（1）利用导数求出切线方程，得出坐标轴上的截距，利用三角形面积公式求解即可；（2）根据已知条件及正切函数的性质，利用导数法求函数的极值及函数存在性定理，再根据零点范围及三角函数相等的角的关系即可求解.【小问1详解】∵()()sinf

xxkx=−，∴()sin()cosfxxxkx=+−，∴π12f=，∴切线方程为ππ22yfx−=−，令0x=，可得ππ22yf=−，令0y=，可得ππ22xf=−，2ππ|21ππ||22|22ff−−

=∴πππsin2222k−−=，∴2k=；【小问2详解】∵()sin()cosfxxxkx=+−．当ππ22x−−时．()cos(tan)fxxxxk=+−，由函数t

anyxx=+在区间ππ,22−上递增，且值域为R，∴存在唯一ππ,22ax−时，使得tanaaxxk+=，此时，当π,2axx−时，()0fx，()fx单调递减；当π,2axx

时，()0fx，()fx单调递增，此时1axx=，()10fx=，同理，当2π3π,22x时，使得22tanxxk+=，满足()20fx=，当33π5π,22x时，使得33t

anxxk+=，满足()30fx=，∴112233tantantankxxxxxx=+=+=+．∵2132xxx=+，代入可得2132tantantanxxx=+．又()()213tan2tanxxx=+，即1322213tantan2tan1tan1tantanxxxxxx+=−−，∴当

2132tantantan0xxx=+=时，2πx=，当2132tantantan0xxx=+时，2213tantantanxxx=，∴()()()2213kxkxkx−=−−，整理得2213xxx=，此时数列为常数列，又当132

2xxx+=，可得123xxx==，不成立，∴可知2πx=，此时22tanπkxx=+=．【点睛】关键点点睛：解决此题的关键，第一问根据导数的几何意义及三角形的面积公式即可；第二问利用导数法求函数的极值的步骤，但此时无法解决导数函数的零点，只

能通过函数零点存在性定理得出，再结合已知条件及零点范围及三角函数相等角的关系即可.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com