【文档说明】山西省部分学校2023届高三下学期4月模拟考试数学试题 含解析.docx，共(25)页，3.954 MB，由小赞的店铺上传

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高三年级2022~2023学年4月份模拟考数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑

.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.4．本卷主要考查内容：高考范围.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．1.设集合2320Axxx=−+∣，集合14Bxx=N，则AB=（）A.{24}xxB.{2,3,4}C.{3,4}D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式得到集合A，再利用交集的定义求解结果.详解】∵集合2320{1

Axxxxx=−+=或2}x，集合141,2,3,4Bxx==N，则{3,4}AB=.故选：C．2.已知120232022a=，202212023b=，20221log2023c=，则,,abc的大小关系是（）A.abcB.acbC

.bacD.cba【答案】A【解析】【分析】利用指数函数单调性和值域，以及对数函数单调性可分别限定,,abc的取值范围，即可比较出其大【小.【详解】根据指数函数2022xy=为单调递增函数可得，102023202220221a==>，即()1,a+；再由指数函数12023xy

=为单调递减函数可知，2022011120232023b==<，结合指数函数值域可得()0,1b；根据对数函数2022logyx=在()0,x+上为单调递增可知，202220221loglog102023c==，即(),0c−；所以ab

c.故选：A3.已知1tan2=，则2sin2=（）A.54B.52C.2D.5【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式，进行弦化切代入即可求解.【详解】222221sincostan1sin22s

incossincossincostan++====.因为1tan2=，所以22112tan1521sin2tan22++===.故选：B4.设公差不为零的等差数列na的前n项和为nS

，4512aa=，则94SS=（）A.15B.1C.1−D.9−【答案】D【解析】【分析】设等差数列na的公差为,d利用基本量代换求出()()19941494aaSSaa+=+，进而求解.【详解】设等差数列na的公差为(),0d

d.∵4512aa=，∴()4412aad=+，解得：4ad=，52ad=．∴4132aadd=−=−，∴14aad+=−．∴()()()199541414929499444aaSadSaaaad+====−++−．故选：D．5.随着我国经济的迅猛发展，人们对电能的需求愈来愈大，而

电能所排放的气体会出现全球气候变暖的问题，这在一定程度上威胁到了人们的健康．所以，为了提高火电厂一次能源的使用效率，有效推动社会的可持续发展，必须对火电厂节能减排技术进行深入的探讨．火电厂的冷却塔常用的外形之一就是

旋转单叶双曲面，它的优点是对流快、散热效果好，外形可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图1）．某火电厂的冷却塔设计图纸比例（长度比）为1:40（图纸上的尺寸单位：m），图纸中单叶双曲面的方程为22211(21)4xyzz+−=−

（如图2），则该冷却塔占地面积为（）A.22800πmB.23000πmC.23200πmD.24800πm【答案】C【解析】【分析】令2z=−，可得出222xy+=，可得出圆的半径，乘以比例尺，可得出实际圆的半径长，再利用圆的面积公式可求得结果.【详解】令2z=−，得方程为222xy+=

，这是一个半径为2的圆．乘上比例尺，即圆的实际半径为402m，则建筑的占地面积为()()22π4023200πm=．故选：C.6.已知正实数,ab，则“24ab+=”是“2ab”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D

【解析】【分析】利用基本不等式由24ab+=可得2ab，可得充分性不成立；当2,2ab==时可得必要性不成立，即可得出结果.【详解】根据基本不等式可得2422abab+=，即22ab，可得2ab，所以充分性不成立；若2ab，可

令2,2ab==满足2ab，此时264ab+=；即必要性不成立；所以“24ab+=”是“2ab”的既不充分也不必要条件.故选：D7.如图，有8个不同颜色的正方形盒子组成的调味盒，现将编号为,,,ABCD的4个盖子盖上（一个盖子配套一个盒子），要求A，B不在同一行也不

在同一列，C，D也是此要求．那么不同的盖法总数为（）12345678A.224B.336C.448D.576【答案】B【解析】【分析】根据题意可得先分步，先盖,AB，再进行分类讨论盖上,CD，利用分类加法和分步乘法基本计数原理即可得出其结果.【详解】第一步：先盖,

AB，有2438=种方法；第二步：再盖,CD．①若C与A或B在同一列，则有2种盖法，D就有3种盖法，共236=种方法；②若C与A或B不在同一列，则有4种盖法，D就有2种盖法，共428=种方法．综上所述，满足要求的有24(68)336+=种方法．故选：B．8.已知偶函

数π()3sin()cos()0,||2fxxx=+−+在(0,2)上有且仅有一个极大值点，没有极小值点，则的取值范围为（）Aπ,π2B.3ππ,2C.3π,2π2

D.(2π,4π]【答案】A【解析】【分析】利用辅助角公式和三角函数的性质把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦型函数的性质的应用求出的取值范围.【详解】由题可知，31π()2sin()cos()2sin226fxxx

x=+−+=+−为偶函数，∴πππ()62kk−=+Z，即2ππ,3kk=+Z．∵||2，∴π3=−．∴()2sin2cos()36fxxx=−−=−，令tx=，由02x得(0,2)t

，∴()fx转化为()2cosftt=−，(0,2)t．如图，()2cosftt=−在(0,2)上有且仅有一个极大值点没有极小值点时，π22π，∴ππ2．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题

给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若复数z满足2023(2i)1iz+=−，则（）.A.z的虚部为35B.3i55z=−C.10||5z=D.z在复平面内对应的点位于第四象限【答案】B

C【解析】【分析】根据复数的除法运算求得z，再根据复数z的特征逐一判断各选项.【详解】因为20231i1i3i2i2i5z−++===++，对于A，z的虚部为15，故A错误；对于B，3i55z=−，故B正确；对于C，223110555=+−=z，故C正确

；对于D，z在复平面内对应的点31,55位于第一象限，故D错误；故选：BC．10.已知定义在R上的奇函数()yfx=对任意的xR有(2)()fxfx+=−，当11x−时，()(1)fxaxa=．函数,0()ln(

1),0xxgxxx−=+，则下列结论正确的是（）A.函数()fx是周期为4的函数B.函数()gx在区间(,0)−上单调递减C.当1a=时，方程()()fxgx=在R上有2个不同的实数根D.若方程()()fxgx=在R上有4个不同的实数根，则ln6a【

答案】ABC【解析】【分析】分析函数()fx的周期判断A；确定()gx在区间(,0)−上单调性判断B；分析()fx的最大值判断C；由方程有4个根求出a的范围判断D作答.【详解】对于A，Rx，(2)()fxfx+=−，则(4)(2)()

fxfxfx+=−+=，因此函数()fx是周期为4的函数，A正确；对于B，当0x时，()gxx=−，因此函数()gx在区间(,0)−上单调递减，B正确；对于C，因为函数()fx是R上的奇函数，由(2)()fxfx+=−得

：(2)()fxfx+=−，即函数()yfx=的图象关于直线1x=对称，当1a=时，当11x−时，()fxx=，则当13x时，121x−−，()(2)2fxfxx=−=−，函数()fx在[1,1]−上单调递增，在[1,3]上单调递减，1()

1fx−，因此函数()fx在R上的值域为[1,1]−，当10x−时，()0()gxfx，当1x−时，()1()gxfx，即方程()()fxgx=在(,0)−上无解，当01x时，令()ln(1)hxxx=−+，1()11hxx=−+，当(0,1)x时有()

0hx，即函数()hx在[0,1]上递增，当(0,1]x时，()(0)0hxh=，即函数()hx在[0,1]上有唯一零点，当13x时，令()2ln(1)xxx=−−+，显然函数()x在[1,3]上单调递减，(1)1ln20=−，

(3)1ln40=−−，因此函数()x在[1,3]上有唯一零点，当3x时，()ln41()gxfx，即方程()()fxgx=在(3,)+上无解，所以当1a=时，方程()()fxgx=在R上有2个不同的实数根，C正确；对于D，函数()fx在[1,1]−上单调

递增，在[1,3]上单调递减，(1)fa=，而函数()fx的周期为4，则max()(41),Zfxfkak=+=，(0)(0)0fg==，由选项C知，当(0,1]x时，ln(1)axxx+，即方程()()f

xgx=在[0,1]上有一个根，当13x时，()(2)fxax=−，函数()(2)ln(1)uxaxx=−−+在[1,3]上单调递减，(1)0,(3)0uu，即方程()()fxgx=在(1,3)上有一个根，显然函数()fx在[3,5]上单调递增，在[5,7]上单调递减，当(5)(5)

fg，即ln6a时，方程()()fxgx=在(3,7)上有两个根，要方程()()fxgx=在R上有4个不同的实数根，必有(9)(9)fg，即ln10a，又(3)ln103(3)fag−==−，因此当ln10

a时，方程()()fxgx=在(,0)−上无解，所以方程()()fxgx=在R上有4个不同的实数根，ln6ln10a，D错误.故选：ABC11.如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB过点(1,0)P，且||||AOAB=，若||3||2APAB=，则下列说

法正确的是（）A.点A的轨迹是一个圆B.AOP的最大值为π3C.当,,AOB三点不共线时，ABO面积的最大值为2D.||AP的最小值为232−【答案】ABC【解析】【分析】由条件可得||3||2APAO=，设(),Axy，由此可化得()22412xy−+=，即可判断A，当直线O

A与圆()22412xy−+=相切时，AOP最大，由此可判断B，233ABOAPOSS=，求出APOS△的最大值可判断C，当,,AOP三点共线且点P位于,AO之间时，||AP最小，求出最小值可判断D.【详解】因为||||AOAB=、||3||2

APAB=，所以||3||2APAO=，设(),Axy，则()2222132xyxy−+=+，化简得()22412xy−+=，所以点A的轨迹是以()4,0为圆心，23为半径的圆，故A正确，当直线OA与圆

()22412xy−+=相切时，AOP最大，设直线OA的方程为ykx=，则有24231kk=+，解得3k=，所以此时直线OA的倾斜角为π3，即AOP的最大值为π3，故B正确，因为||3||2APAB=，所以233ABOAPOSS=，因为112

2APOAASOPyy==，Ay的最大值为23，所以APOS△的最大值为3，ABOS的最大值为2，故C正确，当,,AOP三点共线且点P位于,AO之间时，||AP最小，最小值为233−，故D错误，故选：ABC12.半正多面体亦称“阿基米

德体”，是由边数不全相同正多边形为面的多面体．如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，得到一个有八个面的半正多面体．点A、B、C是该多面体的三个顶点，且棱长2AB=，则下列结论正确的是（）A.该多面体的表面积

为243的B.该多面体的体积为4623C.该多面体的外接球的表面积为22πD.若点M是该多面体表面上的动点，满足CMAB⊥时，点M的轨迹长度为443+【答案】BCD【解析】【分析】计算出该多面体的表面积和体积，可判断AB选项；作出图形，根据几何关系计算出该多面体的外接球半

径，利用球体表面积公式可判断C选项；找出与AB垂直的直线，可求出点M的轨迹长度，可判断D选项.【详解】对于A选项，因2AB=，“阿基米德体”一共有八个面，其中有四个面是边长为2的正六边形，有四个面是边长为2的正三角形，因此，“阿基米德体”的表

面积为22334246228344S=+=，A错；对于B选项，如下图所示，在棱长为a的正四面体PMNG−中，设顶点P在底面MNG的射影点为点O，延长MO交NG于点H，则H为GN的中点，因为MNG为等边三角形，则MHNG⊥，且2232MHMNNHa=−=，易知点O为M

NG的中心，则22333323MOMHaa===，因为PO⊥平面MNG，MO平面MNG，所以，POMO⊥，故22223633POPMMOaaa=−=−=，2311362334312PMNGMNGVSPOaaa−===△，为即棱长为a的正四面体的体积为32

12a，因为“阿基米德体”是在棱长为6的正四面体上截去了4个棱长为2的正四面体，因此，“阿基米德体”的体积为332246264212123V=−=，B对；对于C选项，设等边CEF△的中心为N，与平面

CEF平行的底面正六边形的中心记为点M，则MN⊥平面CEF，原正四面体（棱长为6）的高为66263=，则2462633MN==，由题意可知，“阿基米德体”的外接球球心O在直线MN上，易知23232323EN==，即正CEF△的外接圆半径为233，底面正六边

形的外接圆半径为2，设ONd=，“阿基米德体”的外接球半径为R，则222222346233Rdd=+=−+，解得566d=，则222562311632R=+=，因此，该多面体的外接球的表面积为2114π4π22π2R==，C对；对于D选项，如

下图所示：由正六边形的几何性质可知120ABKBKC==，因为BKCK=，则30KBC=，所以，1203090ABCABKCBK=−=−=，即BCAB⊥，同理可知BQAB⊥，因为ABBQB=，BC、BQ平面BCQ，则AB⊥平面BCQ，因为CQ平面BCQ，所以

，ABCQ⊥，由余弦定理可得2212cos1204424232BCBKCKBKCK=+−=+−−=，同理可得23BQ=，易知4CQ=，所以，点M的轨迹长度为434BCBQCQ++=+，D对

.故选：BCD.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截

面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知||2a=，

||23b=，4ab=−，则||ab+=__________．【答案】22【解析】【分析】利用2||()abab+=+，展开计算即可求得答案.【详解】由||2a=，||23b=，4ab=−，可得222||()24122(4)22abab

abab+=+=++=++−=，故答案为：2214.已知函数()(1)exfxfx=−，则(0)f=___________．【答案】1e1−【解析】【分析】利用基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则求出导函数()fx，令1x=求解()1f，再求(0)f.【详解

】已知函数()(1)exfxfx=−，则()(1)e1=−xfxf，令1x=可得：(1)(1)e1=−ff，解可得；1(1)e1=−f，1(0)(1)e1==−ff.故答案为：1e1−．15.中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，是反映中华民族对生命、健康和疾

病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系，是中华民族的瑰宝．某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量x（单位：克）与药物功效y（单位：药物单位）之间具有关系210yxx=−．检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的平均值为6

克，标准差为2，则估计这批中医药的药物功效的平均值为________________．【答案】20【解析】【分析】设这6个样本中成分甲的含量分别为123456,,,,,xxxxxx，平均值为x，即可求

出222126xxx+++，即可求出126yyy+++，从而求出平均数.【详解】设这6个样本中成分甲的含量分别为123456,,,,,xxxxxx，平均值为x，则12345666xxxxxxx+++++==，所以12345636xxxxxx+++=

++，所以()()()()2222222126126624xxxxxxxxxx−+−++−=+++−=，所以222126240xxx+++=，于是()()22212612612610120yyyxxxxxx+++=+++−+++=，则126206yyyy+++==．故答案为：2016.把一条线段

分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例，若椭圆的离心率为此比值，则称该椭圆为“黄金椭圆”.若“黄金椭圆”2222

:1(0)xyCabab+=的左，右焦点分别为12,FF，点P为椭圆C上异于顶点的任意一点，12FPF的平分线交线段12FF于点A，则11PFFA=___________．【答案】512+【解析】【分析】根据12FPF的平

分线的性质及椭圆的定义求得结果.，【详解】已知把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，设线段较大部分为y，较小部分为x，0,0xy.则yxxyy=+，220xxyy+−=，则512

xy−=，即512xy−=，则512e−=.如图，已知PA是12FPF的平分线，则由角平分性质定理可以得出1212PFPFFAFA=，下面证明角平分性质定理：证明：在三角形1PFA中，由正弦定理1111sinsi

n=PFPAAFAPFF；在三角形2PFA中，由正弦定理2222sinsin=PFPAAFAPFF.1212,π=+=APAPPAPAFFFF，所以1212sinsin,sinsin==FFFPAAPAPAF

P，所以1212PFPFFAFA=.则由椭圆的定义得11211221512e2++====+PFPFPFaFAFAFAc.故答案为：512+.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.已知数列na的前n

项和为nS，且满足11a=，122nnSS+=+．(1)求数列na的通项公式；(2)若数列nb满足1nnnbaa=+，求数列nb的前n项和nT．【答案】(1)112nna−=;(2)1221nnnT−=−+.【解析】【分析】(1)根据nS与na关系可

得na是等比数列，根据等比数列通项公式即可求解；(2)利用分组求和法与等比数列的求和公式直接求解.【详解】解：(1)当n＝1时，2122SS=+，∵11a=，∴212a=．可得2112aa=，当2n时，122nnSS+=+，122nnSS−=+，两式相减，得12nnaa+=，即112n

naa+=，故数列na是首项为1，公比为12的等比数列，则112nna−=；(2)由(1)知，11122nnnb−−=+，的故()111111112212212211221212nnnnnnnT−−−−−=+++++++=+=−+−−．18.如图，在三棱锥−PABC中

，PA⊥底面ABC．224PCACAB===，D为PC中点，且BDAC⊥．（1）求BC的长；（2）求锐二面角ABDC−−的余弦值．【答案】（1）2（2）15【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，设(),,0Bxy，根据02BDACBA==得到方程组，解得x、y，即可求出B的坐标，

再求出BCuuur，即可得解；（2）利用空间向量法计算可得.【小问1详解】因为PA⊥底面ABC，如图建立空间直角坐标系，设(),,0Bxy，()0,2,0C，()0,0,23P，()0,1,3D，所以(),1,3BDxy=−−，()0,2,0A

C=，所以02BDACBA==，即()222102yxy−=+=，解得13yx==或13yx==−（舍去），所以()3,1,0B，所以()3,1,0BC=−，所以()22

312BC=−+=，即BC的长为2.【小问2详解】因为()0,1,3AD=，()3,1,0AB=设平面ABD的法向量为(),,mxyz=，则3030ADmyzABmxy=+==+=，令3y=，则()1,3,1m=−−，由（1

）可知()3,1,0BC=−，()0,1,3CD=−，设平面BCD的法向量为(),,nabc=，则3030nCDyznBCxy=−+==−+=，令3y=，则()1,3,1n=r，所以1cos,5mnmnmn==，即

锐二面角ABDC−−的余弦值为15.19.如图，在四边形ABCD中，已知2π3ABC=，π3BDC=，73ABBC==．（1）若53BD=，求AD的长；（2）求ABD△面积的最大值．【答案】（1）57AD=（2）493【解析】【分析】（1）在BCD△中，由余弦定理求

得83CD=，继而求得cos,sinDBCDBC，再求得cosABD，在ABD△中利用余弦定理即可求得AD的长；（2）设CBD=，由正弦定理表示出BD，利用三角形面积公式表示出ABD△面积，结合正弦函数性质即可求得最大值.【小问1详解】在BCD△中，由余弦定理，得2222cosBCBDD

CBDDCBDC=+−，∴222π(73)(53)253cos3CDCD=+−，整理得253720CDCD−−=,解得83CD=或33CD=−（舍去）．∴222222(1c53)(73)(83)os2753327BDBCCDDBCBDBC+−+−===，而2π(0,)3D

BC,故43sin7DBC=,∴2π1311coscoscossin32214ABDDBCDBCDBC=−=−+=，故在ABD△中，2222cosADABBDABBDABD=+−

2211(73)(53)273535714=+−=，∴57AD=；【小问2详解】设,2π(0,)3CBD=,则在BCD△中，sinsinBCBDBDCBCD=,则2π73sin()sinπ314sin()2πsin3sin3BCBCDB

DBDC−===+，所以π2π711sinsin22314sin()()33ABDSABBDABD=+=−△2π3sin34(9)=+，当2πsin()13+=，即π6=时，ABD△面积

取到最大值493.20.周末可以去哪里？带着挖沙桶、皮球、滑板车和野餐垫，踩踩沙滩、在草地上跑累了随手拿起野餐垫上的蛋糕往嘴巴里塞，沙滩和野餐没有哪个家庭会拒绝的．小芸正在考虑购买一些物品，和父母一起在本周末去离

家不远的度假村游玩．买挖沙桶需要40元，买皮球需要60元，买野餐垫需要100元，假设是否购买相互独立，小芸购买三种物品的概率依次为121,,3pp，只不购买野餐垫的概率为16，至少购买一件物品的概率为56．（1）求小芸恰好购买两件物品的概率；（2）求小芸购买物品的总金

额X的分布列和数学期望．【答案】（1）13（2）分布列见解析，2503【解析】【分析】（1）由题意列出关于12,pp的方程组，解得12,pp，进而求出小芸恰好购买两件物品的概率；（2）X的所有可能取值为0，4

0，60，100，140，160，200，求出对应的概率，得出分布列，进而计算数学期望.【小问1详解】由题意，可得()()12121113615111136pppp−=−−−−=，

即1212141pppp=+=，解得1212pp==，由题意，可得小芸恰好购买两件物品的概率为：11111111111112232232233−+−+−=.【小问2详解】X的所有可能取值

为0，40，60，100，140，160，200，11121(0)111=223126PX==−−−=，11121(40)11223126PX==−−==，11121(60)=1122312

6PX=−==−，11111131(100)111223223124PX==−−+−==，1111(140)122312PX==

−=，1111(160)122312PX==−=，1111(200)22312PX===，∴X的分布列为X04060100140160200P16161614112112112∴1111111250()0406010014016020066641212123EX

=++++++=．21.已知抛物线2:2(0)Cypxp=过点(,2)At，抛物线C的准线与x轴的交点为B，且||22AB=．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点B的直线l与抛物线C交于E，F两点（异于点A），若直线,EAFA分别交准线于点,MN，求||||BMBN的值．

【答案】（1）24yx=（2）||1||BMBN=【解析】【分析】（1）由点在抛物线上得2,2Ap，由已知及两点距离公式列方程求得2p=，即得抛物线方程；（2）由题设令直线l为1xky=−，联立抛物线得4EFyyk+=，4EFyy=，并写出直线EA、FA求E，F两点横坐标，

根据MNBMyBNy=结合韦达定理求值即可.【小问1详解】依题意，222pt=，则2tp=，故2,2Ap，又,02pB−，∴222||2222pABp=++=，解得2p=（负值舍去），∴抛物线C的标准方程为24yx=.【小问2详解】由（1

）及题设，(1,0)B−且直线l斜率存在且不为0，令直线l为1xky=−，联立抛物线并整理得：2440yky−+=，且2Δ16(1)0k=−，所以4EFyyk+=，4EFyy=，而(1,2)A，直线EA为22(1)2EEyyxky

−−=−−，直线FA为22(1)2FFyyxky−−=−−，令=1x−，则2(2)2(1)222EEMEEyykykyky−−=−=−−，2(2)2(1)222FFNFFyykykyky−−=−=−−，

所以2222MEFEENEFFFBMykyyykyBNykyyyky−−===−−，而4EFyky=−，则212FFBMykBNky−==−.22.已知定义在π,2−+上的函数()()sinfxxkx=−．（1

）若曲线()yfx=在点ππ,22f处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，求k的值；（2）将()fx的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列nx，若123,,xxx成等差数列，求k的值．【

答案】（1）2k=（2）πk=【解析】【分析】（1）利用导数求出切线方程，得出坐标轴上的截距，利用三角形面积公式求解即可；（2）根据已知条件及正切函数的性质，利用导数法求函数的极值及函数存在性定理，再根据零点范围及三角函数相等的角的关系即可求解.【小问1详解】∵()()sinfxxkx=−，∴

()sin()cosfxxxkx=+−，∴π12f=，∴切线方程为ππ22yfx−=−，令0x=，可得ππ22yf=−，令0y=，可得ππ22xf=−，2ππ|21ππ||22|22ff−−=∴πππsi

n2222k−−=，∴2k=；【小问2详解】∵()sin()cosfxxxkx=+−．当ππ22x−−时．()cos(tan)fxxxxk=+−，由函数tanyxx=+在区间ππ,22−上递增，且值域为R，∴存在唯一ππ,

22ax−时，使得tanaaxxk+=，此时，当π,2axx−时，()0fx，()fx单调递减；当π,2axx时，()0fx，()fx单调递增，此时1axx=，()10fx=，同理，当2π3π,22x时，使得22tanxxk+=，

满足()20fx=，当33π5π,22x时，使得33tanxxk+=，满足()30fx=，∴112233tantantankxxxxxx=+=+=+．∵2132xxx=+，代入可得2132tantantanxxx=+．又()()213tan2tanxxx=+，即1322

213tantan2tan1tan1tantanxxxxxx+=−−，∴当2132tantantan0xxx=+=时，2πx=，当2132tantantan0xxx=+时，2213tantantanxxx=，∴

()()()2213kxkxkx−=−−，整理得2213xxx=，此时数列为常数列，又当1322xxx+=，可得123xxx==，不成立，∴可知2πx=，此时22tanπkxx=+=．【点睛】关键点点睛：解决此题的关键，第一问根据导数的几何意义及三角形的面积公式即可；第二问利用导数法求函数的极值

的步骤，但此时无法解决导数函数的零点，只能通过函数零点存在性定理得出，再结合已知条件及零点范围及三角函数相等角的关系即可.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com