【文档说明】湖南省邵东市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(17)页，828.905 KB，由小赞的店铺上传

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邵东一中2024年下学期高一第一次月考数学试卷时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的.1.“2x且3y”是“5xy+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分

条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断结果.【详解】2x且3y能够推出5xy+，反之5xy+不能推出2x且3y，所以“2x且3y”是“5xy+”的充分不必要条件.故选:A.2.下列命题是假命题的是（）A.若0a

bcd，则abcdB.若22acbc，则abC.若0ab且0c，则22ccabD.若ab且11ab，则0ab【答案】A【解析】【分析】列举反例可判断A选项，根据不等性质可判断BCD选项.【详解】A选项：取2a=，1b=，3c=−，4d=−，则2ab=，12

cd=，所以abcd，A选项错误；B选项：若22acbc，又20c，则ab，B选项正确；C选项：若0ab，则220ab，则2211ab，又因为0c，由不等式的性质可得22ccab，C选项正确；D选项：若ab且11ab，则110ab

baab−−=，所以0ab，D选项正确；故选：A.3.已知集合1,Z44kMxxk==+，集合1,Z84kNxxk==−，则（）AMN=B.MNM=C.NMÜD.MNÜ【答案】D【解析】【分

析】对两个集合中的元素x所具有的性质P分别化简，使其都是含有相同的分母表达式，再比较分子可得答案.【详解】解：由题意可知：122,Z,Z448kkMxxkxxk+==+==

，集合12,Z,Z848kkNxxkxxk−==−==，因为()22Zkk+代表所有的偶数，()2kkZ−代表所有的整数，所以MNÜ，即MNM=．故选：D．4.下列说法不正确的是（）A.命

题p：xR，20x，则命题p的否定：xR，20xB.若集合210Axaxx=++=中只有一个元素，则14a=C.若13x，21y−−，则328xy−D.已知集合0,1M=，且NM，满足条件的集合N的个数为4【答案】B【解析】【分析】利用命题的否定形式判断

A；集合的子集关系判断B；不等式的性质判断C；集合的子集的个数判断D.【详解】对于A，由全称命题的否定知，命题p：xR，20x，的否定为xR，20x，故A正确；对于B，若集合210Axaxx=++=中

只有一个元素，当0a=时，1Axx==−，符合题意，又0Δ140aa=−=，解得14a=，也符合题意，故B不正确；.对于C，因为13x，21y−−，所以226x，12y−，则328xy−，故C正确.对于D，由NM，故集合N

的个数为224=，故D正确.故选：B5.若函数21()24xfxmxmx−=++的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A.()0,4B.)0,4C.0,4D.((),04,−+【答案】B【解析】【分析】由题意，即不等式22

4mxmx++的解集为R，分0m=，0m，0m三种情况讨论，即得解【详解】函数的定义域为R，即不等式224mxmx++的解集为R（1）当0m=时，得到40，显然不等式的解集为R；（2）当0m时，二次函

数224ymxmx=++开口向下，函数值y不恒大于0，故解集为R不可能．（3）当0m时，二次函数224ymxmax=++开口向上，由不等式的解集为R，得到二次函数与x轴没有交点，即24160mm=−

，即(4)0mm−，解得04m；综上，a的取值范围为)0,4故选：B6.下列说法正确的是（）A.*NAB==，对任意的xA，1xx→−，这个对应是A到B的函数B.若函数()fx的定义域为(−1,1)，则函数()21yfx=−的定义域为()3,1

−C.()2xyx=和()2xyx=表示同一函数D.函数()()221,2fxxxx=+的最小值是1−【答案】C【解析】【分析】对于A选项，当1x=时不符合函数定义；对于B选项，由抽象函数定义域求法可判断；对于C选项，根据同一函数的概念判断；对于D选项，根据二次函数的性质求

值域.【详解】对于A选项，当1x=时10xxB=−=，故不符合函数定义，A错误；对于B选项，因为函数()fx的定义域为()1,1−，∴1211x−−，∴01x，所以函数()21fx−的定义域为

()0,1，故B错误；对于C选项，两个函数定义域和对应关系都相同，故是同一函数，C正确；对于D选项，()()22211fxxxx=+=+−，函数()fx在1,2x单调递增，则()()min13fxf

==，故D错误.故选:C.7.在R上定义运算：a⊕b＝(a＋1)b.已知1≤x≤2时，存在x使不等式(m－x)⊕(m＋x)<4成立，则实数m的取值范围为（）A{m|－2<m<2}B.{m|－1<m<2}C.{m|－3<m<2

}D.{m|1<m<2}【答案】C【解析】【分析】根据定义求出(m－x)⊕(m＋x)＝m2－x2＋m＋x，将不等式分离参数后，转化为最大值使不等式成立，根据二次函数求出最大值后，解一元二次不等式即可得解.【详解】依题意得(m－x)⊕(m＋x)＝(m－x＋

1)(m＋x)＝m2－x2＋m＋x，因为1≤x≤2时，存在x使不等式(m－x)⊕(m＋x)<4成立，所以存在1≤x≤2，使不等式m2＋m<x2－x＋4成立，即当1≤x≤2时，m2＋m<(x2－x＋4)max.因为1≤x≤2，所以当x＝2时，x2－x＋

4取最大值6，所以m2＋m<6，解得－3<m<2.故选：C．【点睛】本题考查了对新定义的理解能力，考查了不等式能成立问题，考查了二次函数求最值，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.8.已知函数()44xkxfxxx++=++，若对任意的1x，2x，()30,x+，都有()()()123

0fxfxfx+−成立，则实数k的取值范围为（）.A.5,22−B.2,4−C.3,62−D.1,8−【答案】C【解析】【分析】利用换元法构造函数，结合单调性求函数值域，结合题意即可求解.【详解】设(),0t

xt=，则()()()22222144111,044441tktktttkttkftttttttttt−+++++−−===+=+++++++++，令41utt=++，则11kyu−=+，因为0t，所以，441215utttt=+++=，当且仅当2t=时等号成立，当10k−

，即1k时，函数y在)5,+上单调递减，则41,5ky+，当10k−=，即1k=时，1y，当10k−，即1k时，函数y在)5,+上单调递增，则4,15ky+，所以，当1k时，()()1228

25kfxfx++，()3415kfx+，由于对任意的1x，2x，()30,x+，都有()()()1230fxfxfx+−成立，所以，425k+，解得16k，当1k=时，()()()1231fxfxfx=

==，显然符合题意，当1k时，()()122825kfxfx++，()3415kfx+，由题意知，2815k+，解得，312k−，综上可得，k的取值范围为3,62−，故选：C.二、选择题：本题共

3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知关于x的不等式20axbxc++的解集为|2xx−或4x，则（）A.0aB.不等式0bxc+的解集为4xx−C.0abc++D.不等式20c

xbxa−+的解集为14xx−或𝑥>12}【答案】ABD【解析】【分析】由题意可知不等式对应的二次函数的图像的开口方向，−2和4是方程20axbxc++=的两根，再结合韦达定理可得b＝−2a，c＝−8a，代入选项B和D，解不等式即

可；当x＝1时，有0abc++，从而判断选项C．【详解】由题意可知0a，A选项正确；24−，是方程20axbxc++=的两根，24,24.2,8bcbacaaa−+=−−=−=−=−，则90abca++=−

，C选项错误；不等式0bxc+即为280axa−−，解得<4x−，B选项正确；不等式20cxbxa−+即为2820axaxa−++，即28210xx−−，解得14x−或12x，D选项正确．故选：ABD

．10.已知函数()22,1,12xxfxxx+−=−，关于函数()fx的结论正确的是（）A.()fx的定义域为RB.()fx的值域为(,4)−C.若()3fx=，则x的值是3D.()1fx的解集为(1,1

)−【答案】BC【解析】【分析】根据分段函数的形式可求其定义域和值域，从而判断A、B的正误，再分段求C、D中对应的方程的解和不等式的解后可判断C、D的正误．【详解】由题意知函数()fx的定义域为(,2)−，故A错误；当1x−时，()fx的取值范围是(,1]−当12x−时，(

)fx的取值范围是[0,4)，因此()fx的值域为(,4)−，故B正确；当1x−时，23x+=，解得1x=（舍去)，当12x−时，23x=，解得3x=或3x=−（舍去），故C正确；当1x−时

，21x+，解得1x−，当12x−时，21x，解得-11x−，因此()1fx的解集为(,1)(1,1)−−−，故D错误.故选：BC．【点睛】本题考查分段函数的性质，对于与分段函数相关的不等

式或方程的解的问题，一般用分段讨论的方法，本题属于中档题．11.已知0,0,ababab+=，则（）A.4ab+B.4abC.49ab+D.221223ab+【答案】ACD【解析】【分析】根据基本不等式2abab+

，22abab+可对A、B判断；由abab+=，可得111ab+=，利用基本不等式“1”的应用即可对C、D判断.【详解】对A、B：因为22ababab++=，所以4,4abab+，当且仅当2ab==时，等号成立，故A正确，B错误；对C：若abab+=，则11

1ab+=，所以()1144445529abababababbaba+=++=+++=，当且仅当4abba=，即3,32ba==时，等号成立，故C正确.对D：若abab+=，则111ab+=，所以2222212123211abbb

bb+=−+=−+，由0,0ab及111ab+=，可知101b，则当113b=，即3,32ab==时，22321121321333bb−+−+=，故D正确.故选:ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题

5分，共15分.12.已知命题p：21,2,1xxa+，命题q：1,1x−，使得210xa+−成立，若p是真命题，q是假命题，则实数a的取值范围为_____.【答案】(,1−−【解析】【分析】根据p是真命题可得()2min1ax+，再

分析当q是真命题时()min12121ax−=−=−，进而求得q是假命题时a的取值范围即可【详解】命题p：21,2,1xxa+恒成立，若p是真命题，则：()2min12ax+=，命题q：1,1x−，使得210xa+−成立，若命题q为真命

题，则()min12121ax−=−=−.所以命题q是假命题时，1a−，综上，参数a的取值范围为：1a−，即(,1a−−故答案为：(,1−−13.函数()11gxxx=−+的单调递减区间为______.【答案】1,12【解析】【分析】

将绝对值函数转化为分段函数形式，作出函数图像，结合图像可知单调递减区间.【详解】()221,1111,1xxxgxxxxxx−+=−+=−++画出函数图象，如图可知，当1x时，函数在1,2−上

单调递增，在1,12上单调递减，当1x时，函数在(1,+∞)上单调递增，综上所述函数的单调递减区间为1,12.故答案为：1,1214.若关于x的不等式22(21)xax−的解集中的整数恰有2个，则实数a的取值范围是_

________________．【答案】925,49【解析】【分析】先根据判别式确定a的范围，运用求根公式求出方程()2221xax−＜的根，再根据解的情况确定a的范围.【详解】由不等式(

)2221xax−＜得：()24410axx−−+＜，因为解集中只有2个整数，必有40,aa−＞＜4，并且()Δ16440,0aa=−−＞＞，04a＜＜，由求根公式得方程()24410axx−−+=的解为()1241

1,2422xxaaa−===−+−，11104,42ax＜＜＜＜，即不等式()24410axx−−+＜的2个整数解必定为1和2，1232a−＜，解得92549a＜；故答案为：925,49.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

.15.已知全集UR=，集合2280Axxx=−−，2313xBxx−=−，11Cxaxa=−+.（1）求集合()UABð；（2）若BCB=，求实数a的取值范围.【答案】（1）20xx−或34x；（2）1a.【解析】【分析】（

1）先求出集合,AB，再根据补集定义求出UBð，进一步根据交集运算求出()UABð；（2）由BCB=可知CB，分C=和C两种情况讨论可求出.【详解】（1）228024Axxxxx=−−=−，23100333xxBxx

xxxx−===−−，0UBxx=ð或3x，()20UBAxx=−ð或34x；（2）BCB=，CB，当11aa−+，即0a时，C=，满足题意；当C时，满足111013aaaa−+−

+，解得01a，综上，1a.【点睛】本题考查集合的补集交集运算，其中涉及一元二次不等式和分式不等式的求解，考查根据集合的包含关系求参数，属于基础题.16.设函数()()212fxaxaxa=+−+−.（1）若关于x的不等式()2f

x−有实数解，求实数a的取值范围；（2）若不等式()6fx−对于实数1,1a−时恒成立，求实数x的取值范围.【答案】（1）)1,−+（2）1,3−【解析】【分析】（1）将给定的不等式等价转化成()210axaxa+−+，按0a=与0a并结合二次函数的性质讨论存在

实数使不等式成立即可；（2）将给定的不等式等价转化成()210xxax−++，根据给定条件借助一次函数的性质即可作答.【小问1详解】依题意，()2fx−有实数解，即不等式()210axaxa+−+有实数解，当0a=时，0x有实数解，则0a=，当0a时，取0x=，则()210axaxa

a+−+=成立，即()210axaxa+−+有实数解，于是得0a，当0a时，二次函数()21yaxaxa=+−+的图象开口向下，要0y有解，当且仅当()221Δ14013aaa=−−−，从而得10a−，综上

，1a−，所以实数a的取值范围是)1,−+.【小问2详解】不等式()6fx−对于实数1,1−a时恒成立，即1,1a−，()2140xxax−+++，显然210xx−+，函数()()214gaxxax=−+++在1,1−a上递增，从而得()10g−，即2230xx−

++，解得13x−，所以实数x的取值范围是1,3−.17.某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为2240m，体育馆高5m，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右

两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为x米．（1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？（2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为115212000500aax+++元(0)a，若无论前墙的长度为多少米，乙工

程队都能竞标成功，试求a的取值范围．【答案】（1）当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元（2）当036a时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功【解析】【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解；（2）根据

题意可知1200115250032400012000500axaxx+++++对任意的0x恒成立，分离参数可得23(4)1xax++对任意的0x恒成立，分类常数结合基本不等式求出2(4)1xx

++的最小值，即可得解.【小问1详解】因为体育馆前墙长为x米，地面面积为2240m，所以体育馆的左右两侧墙的长度均为240x米(0)x，设甲工程队报价为y元，所以24012005250215052240005003240

00yxxxx=++=++，因为400150022400084000yxx+=，当且仅当400xx=，即20x=时等号成立，所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；【小问2详解】根据题意可知120011525003240001200

0500axaxx+++++对任意的0x恒成立，即()2324481xxax+++对任意的0x恒成立，所以23(4)1xax++对任意的0x恒成立，因0a，为()()()22(1)619(4)9916216121111xxxxxxxxx+++++==

+++++=++++，当且仅当911xx+=+，即2x=时等号成立，所以036a，故当036a时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．18已知函数()2121487fxxx−=−+，()()1gxxfx=.（1）求函数()fx的值域；

（2）试判断()gx在区间)2,+的单调性，并证明；（3）对130,2x，总22,xm，使()()129fxgx=成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）10,3（2）()gx在区间)2,+是增函数，证明见解析（3）)4,+【解析

】【分析】（1）利用换元法可得函数解析式，再结合二次函数的值域情况可得最值；（2）代入可得函数()gx的解析式，再利用定义法证明函数单调性；（3）设函数()9fx在30,2x上的值域为集合A，函数()gx在2,xm上的值域为B，易知AB

，根据集合间的关系可得参数范围.【小问1详解】()2121487fxxx−=−+，24870xx−+恒成立，设21tx=−，则12tx+=，即()2211241148722fttttt==−+++−+

，.即()()22112413fxxxx==−+−+，又()210x−，所以()()2110,313fxx=−+，即()fx的值域10,3；小问2详解】由（1）知，()2124

fxxx=−+，则()()()2124420xxgxxxxfxxx−+===+−，()gx在区间)2,+是增函数，证明如下：)12,2,xx+，且12xx，则()()()121212121244442

2gxgxxxxxxxxx−=+−−+−=−+−()()()()21121212121244xxxxxxxxxxxx−−−=−+=，122xx，120xx−，124xx，120xx，1240xx−，则()()120gxgx−，即()()1

2gxgx()gx在区间)2,+是增函数；【小问3详解】由（1）（2）知()2124fxxx=−+，则()()420gxxxx=+−当30,2x时，()()221111,244313fxx

xx==−+−+，【则()99,34fx，记集合9,34A=，当2,xm时，由（2）知()gx在区间2,m单调递增，()42,2gxmm+−，记集合42,2Bmm=+−，对130,2x，总22,xm

，使()()129fxgx=成立，AB，则423mm+−，又2m，()()2540140mmmm−+−−，即()()140mm−−，解得1m≤或4m，综上所述4m，即实数m的取值范围是)4,+.19.高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数

学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数yx=称为高斯函数，其中x表示不超过实数x的最大整数，如1.21=，1.22−=−.（1）求5522x−的解集和2211150xx−+的解集；（2）

设方程102x−=的解集为A，集合22211150Bxxkxk=−+，若AB=R，求k的取值范围；（3）若22210xxa−−+的解集为03xx，求a的范围.【答案】（1）23xx−，34xx（2）1

1,62−（3）()2,11,2−−【解析】【分析】（1）由[𝑥]表示不超过实数x的最大整数可得x的范围；（2）根据高斯函数的定义求得集合A，从而得出集合B的可能情形，根据集合的情形求解.（3）不等式可化为

()()110xaxa+−−−，分0a=，0a，0a三类讨论解集情况可得.【小问1详解】由题意得1xxx+，且xZ，由5522x−，即22x−，所以23x−，

故5522x−的解集为23xx−；由2211150xx−+，即()()3250xx−−，532x，则3x=，所以34x，所以2211150xx−+的解集为34xx.【小问2详解】102

x−=，则1012x−，1322x−，即13,22A=−，令2221115xkxk−+，13xk=，252xk=，当0k=时，RB=，此时AB=R，成立；当0k时，12xx，此时(5,3,2Bkk=−+，又AB

=R，则01325322kkk−，解得106k−；当0k时，12xx，此时)5,3,2Bkk=−+，又AB=R，则05122332kkk−，解得102k，综上所述，1162k−，即11,62k

−；【小问3详解】不等式22210xxa−−+，即()()110xaxa+−−−，由方程()()110xaxa+−−−=可得1xa=−或1a+.①若0a=，不等式

为2210xx−+，即1x=，所以01x，显然不符合题意；②若0a，11aa−+，由()()110xaxa+−−−，解得11axa−+，因为不等式的解集为110313xaxaxxxx−

+==−，所以110213aa−−+，解得12a，③若0a，11aa+−，由()()110xaxa+−−−，解得11axa+−，因为不等式解集为110313xaxaxxxx+−=

=−所以110213aa−+−，解得21a−−，综上所述，21a−−或12a故a的范围为()2,11,2−−.