【文档说明】北京市第四中学2024-2025学年高三上学期期中测试数学试卷 Word版含解析.docx，共(19)页，987.017 KB，由小赞的店铺上传

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数学学科试卷（试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.1.已知全集RU=，集合240Axx=−，1Bxx=，则()UAB=ð（）A.()1,2B.()2,2

−C.(),2−D.()2,1−【答案】D【解析】【分析】先求出集合A，然后求出UBð，进而求得()UABð.【详解】由240x−，得22x−，所以|22Axx=−,因为|1Bxx=，所以|1UBxx=ð,所以()|21UABxx=−ð.故选：

D.2.不等式111xx−的解集为（）A.(0,)+B.(1,)+C.(0,1)D.10,2【答案】C【解析】【分析】根据题意，由条件可得10(1)xx−−，即可得到结果.【详解】111xx−，则11101(1)xxxx−−=−−，

解得01x，故原不等式的解集为()0,1．故选：C3.已知边长为2的正方形ABCD中，AC与BD交于点E，则AEBC=（）A.2B.2−C.1D.1−【答案】A【解析】【分析】找基底分别表示,AEBC，然后计算即可.【详解】由题可知，111222AE

ACABAD==+,BCAD=,所以2111122222AEBCABADADABADAD=+=+=故选：A4.已知函数()23fxxx=−−，则当0x时，()fx有（）A.最大值32

2+B.最小值322+C.最大值322−D.最小值322−【答案】B【解析】【分析】由基本不等式即可求解.【详解】由题意当0x时，()()23322fxxx=+−+−+，等号成立当且仅当2x=−

.故选：B.5.设,abR，则“ab”是“22ab”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【详解】若0,2ab==−，则22ab，故不充分；若2,0ab=−=，则22ab，而ab，故不必要，故选D.考点：本小题主要考查不等式

的性质，熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键.6.在平面直角坐标系xOy中，角与角的终边关于y轴对称.若2cos23=，则cos=（）A.19B.19−C.459D.459−【答案】A【解析】【分析

】根据对称得2k=+−，再结合二倍角的余弦公式和诱导公式即可.【详解】由题意2,Zkk+=+，即2k=+−，而2221cos2cos121239=−=−=−，()1coscos2cos9k=+−=−=．故

选：A．7.近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物的释放对大气臭氧层的破坏作用.科学研究表明，臭氧含量Q与时间t（单位：年）的关系为0etaQQ−=，其中0Q是臭氧的初始含量，a为常数.经过测算，如果不对氟化物的使用和

释放进行控制，经过280年将有一半的臭氧消失.如果继续不对氟化物的使用和释放进行控制，再．经过n年，臭氧含量只剩下初始含量的20%，n约为（）（参考数据：ln20.7，ln102.3）A.280B.300C.360D.640【答案】

C【解析】【分析】根据题意建立等式，然后化简求解即可.【详解】由题可知，28028000000.5,0ee.2anaQQQQ−−+==，即280280ln2,ln5naa+==，两式相比得280ln5ln10ln2280ln2ln2n+−==解得360n故

选：C8.已知函数()1,2,xxxafxxa+=，若()fx的值域为R,则实数a的取值范围是（）A.(,0]−B.[0,1]C.[0,)+D.(,1]−【答案】B【解析】【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数a的取值进行分类讨论即可.

【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数1yx=+和()2xgx=的图象如下图所示：由图可知，当0x=或1x=时，两图象相交，若()fx的值域是R，以实数a为分界点，可进行如下分类讨论：当a<0时，显然两图象之间不连续

，即值域不为R；同理当1a,值域也不是R；当01a时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是R；综上可知，实数a的取值范围是01a.故选：B9.已知0a，记sinyx=在,2aa的最小值为as，在2,3aa的最小值为at，则下列情况不可能的是（）A

.0as，0atB.0as，0atC.0as，0atD.0as，0at【答案】D【解析】【分析】先取特殊值，判断可能得选项，然后综合选项得到答案即可.【详解】由题可知，0a，区间,2aa与2,3aa的区间长度相同；取π6a=，则ππππ,2,,2,3,63

32aaaa==，此时0as，0at，故A可能；取7π6a=，则7π7π7π7π,2,,2,3,6332aaaa==，此时0as，0at，故B可能；取5π12a=，则

5π5π5π5π,2,,2,3,12664aaaa==，此时0as，0at，故C可能；由三角函数性质可知，假设0as，0at成立，必然有πa，所以区间,2aa与2,3aa的区间长度大

于π，根据sinyx=的函数图象可知，当区间长度大于π，sinyx=在区间,2aa与2,3aa上的取值必然有正有负，此时0as，0at，故与假设矛盾，故D不可能.故选：D10.已知在数列na中，1aa=，命题:p对任意的正整数n，都有12nnnaaa+=−．

若对于区间M中的任一实数a，命题p为真命题，则区间M可以是（）A.()3,4B.()2,3C.3216,115D.832,311【答案】D【解析】【分析】根据递推关系分析式子要有意义，数列中的项不能取那些值即可求解.

【详解】p为真命题，则2na，由2na从后往前推，14na−，283na−,3165na−,43211na−,,nka−,而8(2,3)3，排除，16(3,4)5,排除，由蛛网图可知3nka−→,而63321,115，na之前的项会趋向于3，所以

C项排除.因为()24832,,311nnaa−−=，已经越过不能取的值，故正确.故选：D二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知复数5i2iz=−，则z=______.【答案】5【解析】【分析】根据复数除法和模的公式即可.【详解】()()()5i2i5i10i

512i2i2i2i5z+−====−+−−+，则()()22125z=−+−=.故答案为：5.12.已知函数()33log,0,,0.xxfxxx=若()()273ffa=，则a=______.【答案】3【解析】【分析】首先求出()273f=，再对a分类讨论即可.

详解】()327log273f==，则()33fa=，()1fa=，当0a时，由3log1a=，得3a=；的【当0a时，由31a=，得1a=.（舍去）故答案为：313.已知幂函数yx=的图像经过()0,0A，()1,1B，()1,1C−，()4,2D中的三个点，写出满足条件

的一个的值为______.【答案】1N21,Z2kk=−（取该集合中的任意一个元素均算正确）【解析】【分析】分类讨论过点D和不过点D的幂函数即可.【详解】幂函数都经过点()1,1B；若该幂函数经过点D，可得1242

==，该幂函数方程为yx=，过点()0,0A，()1,1B，()4,2D；若该幂函数不过点D，则12，此时过点()0,0A，()1,1B，()1,1C−，显然N21,Zkk=−.故答案为：1N21,Z

2kk=−（取该集合中的任意一个元素均算正确）14.在ABCV中，1tan4A=，3tan5B=.（1）C=_____；（2）若ABCV的最长边的长为17，则最短边的长为______.【答案】①.3π4②.2【解析】【分析】（1）利用三角形三内角和为π计算即可；（2）先

确定最长边和最短边，然后利用正弦定理计算即可.【详解】（1）由题可知()tantantantan11tantanABCABAB+=−+=−=−−所以3π4C=；（2）由题可知，最长边为边17c=，最短

边为边a；易知172sin,sin172AC==由正弦定理可知，sin2sincaAC==故答案为：3π4；215.以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数()x组成的集合：对于函数()x，存

在一个正数M，使得函数()x的值域包含于区间,MM−.例如，当()31xx=，()2sinxx=时，()1xA，()2xB.给出下列命题：①“函数()fxA”的充要条件是“tR，关于x的方程()

fxt=都有实数解”；②“函数()fxB”的充要条件是“()fx既有最大值，也有最小值”；③若函数()fx，()gx的定义域相同，且()fxA，()()fxgxB，则()gxB；④若函数()fx，()gx的定义域相同，且()fx

A，()gxB，则()()fxgxB+.其中，正确命题的序号是______.【答案】①③④【解析】【分析】①中，根据函数的定义域、值域的定义，转化成用简易逻辑语言表示出来；②中举反例保证函数的值域为

集合,MM−的子集，但值域是一个开区间，从而说明函数没有最值；③根据反证法可判断；④中根据函数的值域，可以发现()()fxgx+R，从而发现命题正确；【详解】对①，“()fxA”即函数()fx值域为R，“tR，关于x的方程()fxt=都有实数解”表示的是函数可以在R中任意

取值，命题①是真命题；对②，若函数()fxB，即存在一个正数M，使得函数()fx的值域包含于区间,MM−．()MfxM−．例如：函数()fx满足2()5fx−，则有5()5fx−，此时，()fx无最大值，无最小值．命题②是假

命题；对③，若函数()fx，()gx的定义域相同，且()fxA，()()fxgxB，则()fx值域为R，即()(,)fx−+，()()fxgxM，若()gxB，则对任意的正实数()1uu，总存在1X，当1xX时，()gxu，而()fxA

，故存在2X，当2xX时，()fxu，故当12max,xXX时，有()()2fxgxuu，这与()()fxgxM矛盾，故()gxB,故命题③是真命题．对④，若函数()fx，()gx的定义域相同，且()fxA，()gxB，则()fx值域为R，即()(,)fx−+，并且

存在一个正数M，使得()MgxM−，()()fxgx+R，则()()fxgxB+．命题④是真命题．故答案为：①③④【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等

解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.三、解答题共6小题，共85分.16.已知函数()sincoscossinfxxx=+，其中0，π2.记()fx的最小正

周期为T，()32fT=−.（1）求的值；（2）若()fx与x轴相邻交点间的距离为π2，求()fx在区间π0,2上的最大值和最小值.【答案】（1）π3=−（2）()fx的最小值为32−,()fx的最大值为

1【解析】【分析】（1）首先利用和差公式进行化简，再结合正弦型函数的周期性以及()32fT=−即可求得的值；（2）首先根据题意得出()fx的最小正周期，进而可得()πsin23fxx=−，再利用正弦函数的图像与性质即可

求得最值.【小问1详解】由两角和与差的正弦公式可得()()sincoscossinsinfxxxx=+=+,由于0，则()fx的最小正周期为2πT=，()()23sinsin2πsin

2fT=+=+==−,因为π2，所以π3=−；【小问2详解】因为()fx与x轴相邻的两交点间的距离为π2，所以()πsin3fxx=−的最小正周期为π，所以2π2

π==，即()πsin23fxx=−，当π0,2x时，ππ2π2,333x−−，结合正弦函数的图像与性质可得：当ππ233x−=−即𝑥=0时，()fx取最小值32−,当ππ232x−=即5π12x=时，(

)fx取最大值1.17.在ABCV中，2cos2cAba=−.（1）求C的大小；（2）若3c=，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABCV存在，求AC边上中线的长.条件①：ABCV

的面积为23；条件②：1ba−=；条件③：1sinsin2BA−=.注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）π3（2）选①时三角形不存在；选②时AC边上的中线的长为1；选③时AC边上的中线的长为1.【解析】

【分析】（1）由正弦定理及sinsincoscossinBACAC=+得到1cos2C=，结合()0,πC，得到π3C=；（2）选①，由三角形面积和余弦定理得到2211ab+=，由222abab+推出矛盾；选②，先求得2ab=，则可

得1,2ab==，再利用余弦定理求解即可得中线长.选③，根据三角恒等变换得到π6A=，ABCV是以AC为斜边的直角三角形，由正弦定理得到AC，求出中线.【小问1详解】由正弦定理sinsinsinabcABC==及2co

s2cAba=−，得2sincos2sinsinCABA=−.（i）因为πABC++=，所以()sinsinsincoscossinBACACAC=+=+.（ii）由（i）（ii）得2sincossin0AC

A−=.因为()0,πA，所以sin0A.所以1cos2C=.因为()0,πC，所以π3C=.【小问2详解】选①，ABCV的面积为23，即1sin232abC=，即3234ab=，解得8ab=，因为3c=，由余弦定理得222cos2abcCab+−=，即22311

62ab+−=，解得2211ab+=，由基本不等式得222abab+，但1128，故此时三角形不存在，不能选①，选条件②：1ba−=，两边平方得2221abab+−=，（iii）由余弦定理得223122abab+−=，即223abab+−

=，（iiii）联立（iii）（iiii）得2ab=，所以1,2ab==，设AC边上的中线长为d，由余弦定理得2222cos42babdaC=+−2242baba=+−1=.所以AC边上的中线的长为1.选条件③：1sinsin2BA−=.由（1）知，π33ππ2BAA=−−

=−.所以2π31sinsinsinsincossinsin322BAAAAAA−=−−=+−31cossin22AA=−π=sin3A−.所以π1sin32A−=

.因为2π0,3A，所以πππ,333A−−.所以π3π6A−=，即π6A=.所以ABCV是以AC为斜边的直角三角形.因为3c=，所以32πsinsin3ABACC===.所以AC边上的中线

的长为112AC=.18.已知函数()()2121ln22fxxxxx=+−−.（1）求()fx的单调区间；（2）若关于x的不等式()fxxa−+有解，求实数a的取值范围.【答案】（1）()fx的单调递增区间为(0,1)，(

)fx的单调递减区间(1,)+（2）22ln2a−【解析】【分析】（1）求出函数的定义域，1()2lnfxxxx=+−，设1()2lnhxxxx=+−，2'2(1)()0−=−xhxx恒成立，由(1)0h=，利用导数与函数单调性的关系即可求解.（2）令1()2lngxxax=+−，

利用导数求出()gx的最小值，使()min0gx，解不等式即可求解.【小问1详解】定义域为{|0}xx，1()2lnfxxxx=+−，设1()2lnhxxxx=+−2'2(1)()0−=−xhxx恒成立所以()hx在()0,+上是减函数，且(1)0h=则当(

0,1)x时，()0hx，即()0fx，则当(1,)x+时，()0hx，即()0fx，所以()fx的单调递增区间为(0,1)，()fx的单调递减区间(1,)+【小问2详解】由（1）

知1()2lnfxxxx=+−，所以1()2ln+−=+−fxxaxax，令1()2lngxxax=+−，222121()xgxxxx−=−=，当10,2x时，()0gx，当1,2x+时，()0gx

，所以()gx在()0,+上的最小值为112ln222ln222gaa=+−=−−，所以若关于x的不等式()0gx有解，则22ln20a−−，即22ln2a−19.已知椭圆C：22221xyab+=（0ab）的左顶点为A，C的长轴长为4，焦距为23.过定点(),

0Tt（2t）作与x轴不重合的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ分别与y轴交于点M，N.（1）求C的方程；（2）是否存在点T，使得OMON等于定值13？若存在，求t的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）2214xy+=（2）存在，1t=或4t=【解析】【分析】（

1）由题可知，24,223ac==，然后利用,,abc的关系求解即可.（2）先设直线PQ的方程为xmyt=+，()()1122,,,PxyQxy，然后直线方程与椭圆方程联立，计算得到212122224,44mttyyyymm−−+==++，然后求出1120,2yMx+，

2220,2yNx+，再计算OMON的值，化简最后求出t即可.【小问1详解】由题可知，24,223ac==得222,3,1acbac===−=所以椭圆C的方程为2214xy+=【小问2详解】由题可知，直线PQ不能水平，𝐴(−2,0).设直线

PQ的方程为xmyt=+，()()1122,,,PxyQxy联立()22222142404xymymtytxmyt+=+++−==+所以Δ=(2𝑚𝑡)2−4(𝑚2+4)(𝑡2−4)=16(𝑚2−𝑡2+4)>0212122224,44mttyyyymm−−+==

++直线AP方程为𝑦=𝑦1𝑥1+2(𝑥+2)所以1120,2yMx+，同理2220,2yNx+所以()()121212122242222yyyyOMONxxmytmyt==++++++()()()()()221

222222121222444442222244tyymtmtmyymtyytmmttmm−+==−−+++++++++++()()()()22242222224tttmtmttm−−==+−−+++若13OMON=，得4t=或1t=当4t=时，Δ=16(𝑚

2−12)>0，得23m或23m−，成立当1t=时，Δ=16(𝑚2+3)>0恒成立，所以存在点T，使得OMON等于定值13，1t=或4t=.20.已知函数()exfxxax=−，Ra.（1）当ea=时，求曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(1,𝑓(1))处的切线方程；（2）若函数

()fx是单调递增函数，求a的取值范围；（3）当0a时，是否存在三个实数123xxx且()()()123fxfxfx==？若存在，求a取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）eeyx=−（2）21ea−（3）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）按照求具体

函数在某点处的切线方程的方法求解即可；（2）先求导，然后利用导函数大于等于零恒成立，参变分离，求参数的范围即可；（3）先判断函数()exfxxax=−的单调性的情况，然后再判断不存在即可.【小问1详解】由题得()eexfxxx=−所以()

()10,eeexxffxx==+−所以()1ef=所以在点(1,𝑓(1))处的切线方程为eeyx=−.【小问2详解】由题得()()1exfxxa=+−要使函数()fx是单调递增函数，则()()1e0xfxxa

=+−恒成立，即()1exax+恒成立，令()()1exgxx=+得()minagx，()()2exgxx=+令()()2e0xgxx=+=，得2x=−显然，当2x−时，()0gx，所以函数()()1exgxx=+单调递减；当2x−时，()0gx，所以函数()()1e

xgxx=+单调递增；故()()2min12egxg=−=−的所以21ea−【小问3详解】不存在，理由如下，由题得()()1exfxxa=+−因为0a，显然当1x−时，()()1e0xfxxa=+−，𝑓′(𝑎)=(1+𝑎)e𝑎−𝑎>0由（2）可知，()()fx

gxa=−在()2,−+单调递增，所以()()1exfxxa=+−在R上由唯一的零点)01,xa−当0xx时，𝑓′(𝑥)<0，所以()fx单调递减；当0xx时，𝑓′(𝑥)>0，所以()fx单调递增；所以当0a时，不存在三个实

数123xxx且()()()123fxfxfx==.21.已知集合1,2,3,,An=，其中*Nn，1A，2A，…，mA是A的互不相同的子集.记iA的元素个数为iM（1,2,,im=），ijAA的

元素个数为ijN（1ijm）.（1）若4n=，3m=，11,2A=，21,3A=，13231NN==，写出所有满足条件的集合3A（结论不要求证明）；（2）若5n=，且对任意的1ijm，都有0ijN，求m的最大值；（3）若

给定整数7n，3iM≤（1,2,,im=）且对任意1ijm，都有1ijN=，求m的最大值.【答案】（1）3{1}A=或3{1,4}A=或3{2,3}A=或3{2,3,4}A=（2）max16=m（3）maxm

n=【解析】【分析】（1）根据新定义对交集情况分类讨论即可；（2）将集合{1,2,3,4,5}A=的子集进行两两配对得到16组，写出选择A的16个含有元素1的子集即可得到maxm；（3）分1~mAA中有一元集合和没有一元集合但有二元集合，以及1~mAA均为三元集合讨论即可.【小问1详解】因为132

31NN==，则13AA和23AA的元素个数均为1，又因为124,1,2,1,3nAA===，则1,2,3,4A=，若131AA=，231AA=，则3{1}A=或3{1,4}A=；若132

AA=，233AA=，则3{2,3}A=或3{2,3,4}A=；综上3{1}A=或3{1,4}A=或3{2,3}A=或3{2,3,4}A=.【小问2详解】集合{1,2,3,4,5}A=共有32个不同的子集，将其两两配对成16组,(1,2,,16)i

iBCi=，使得,iiiiBCBCA==，则,iiBC不能同时被选中为子集(1,2,,)jAjm=，故16m.选择A16个含有元素1的子集:12316{1},{1,2},{1,3},AAAAA

====，符合题意.综上，max16=m.【小问3详解】结论:maxmn=，令123{1},{1,2},{1,3},,{1,}nAAAAn====，集合1~nAA符合题意.证明如下：①若1~mAA中有一元集合，不妨设1{1}A=，则其它子集中都有元素1，且元素2~n都至

多属于1个子集，所以除1A外的子集至多有1n−个，故mn.②若1~mAA中没有一元集合，但有二元集合，不妨设1{1,2}A=.其它子集分两类:1,jjBb=或1,,(1,2,,)jjbbjs=，和2,jjCc=或2,,(1,2,,)jjccjt=，

其中,,jjstbb互不相同，,jjcc互不相同且均不为1，2.若0t=，则2sn−，有11mstnn=++−若1t，则由11jBC=得每个集合jB中都恰包含1C中的1个元素（不是2)，的且互不相同，因为1C中除2外至多还有2个元素，所以2s.所以

1122mstn=++++.③若1~mAA均为三元集合，不妨设1{1,2,3}A=.将其它子集分为三类：1,,(1,2,,),2,,(1,2,,),3,,(1,2,,)jjjjjjjjjBbbjsCc

cjtDddjr======，其中str.若0tr==，则32ns−(除1，2，3外，其它元素两个一组与1构成集合1~sBB)，所以3112nmsn−=++.若1t，不妨设1{2,4,5}C=，则由1

1jBC=得每个集合jB中都或者有4、或者有5，又12,,,sBBB中除1外无其它公共元素，所以2s.所以112227mstrn=++++++=.综上，maxmn=.【点睛】关键点点睛：本题第三

问的关键是充分理解集合新定义，然后对1~mAA中集合元素个数进行分类讨论；当1~mAA均为三元集合时，不妨设1{1,2,3}A=，再将其它子集分为三类讨论.