【文档说明】【精准解析】四川省泸县第二中学2020届高三下学期第一次在线月考数学（文）试题.doc，共(22)页，1.753 MB，由小赞的店铺上传

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2020年春四川省泸县第二中学高三第一学月考试文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净

后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（2017·成都市二诊）已知集合2{|40}A

xxx=−，{|11}Bxx=−，则AB=（）A.[1,1]−B.[1,4)−C.(0,1]D.(0,4)【答案】B【解析】【分析】解不等式240xx−可得A，从而可求AB.【详解】()0,4A

=，故)1,4AB=−，故选B.【点睛】本题考察集合的运算-并，为基础题.2.已知复数(2)1aiizi+=−是纯虚数，其中a是实数，则z等于（）A.2iB.2i−C.iD.i−【答案】A【解析】【分析】对复数z进行化简，由于

z为纯虚数，则化简后的复数形式中，实部为0，得到a的值，从而得到复数z.【详解】()()()()()221222111122aiiaiiaiaaziiiii+−+−−+−+====+−++−因为z为纯虚数，所以202a−=，得2a=所以2zi=.故选A项【点睛】本题考查复数的四则运算

，纯虚数的概念，属于简单题.3.（2017·合肥市质检）某校高三年级共有学生900人，编号为1，2，3，…，900，现用系统抽样的方法抽取一个容量为45的样本，则抽取的45人中，编号落在区间[481,72

0]的人数为（）A.10B.11C.12D.13【答案】C【解析】【分析】因用系统抽样的方法抽取，所以900人分成45组，每组20人，每组取1人，因此可用等差数列的通项公式计算落在区间481,720的人数.【详解】900人

分成45组，每组20人，每组取1人，其编号构成等差数列，故编号落在区间481,720的人数为70148111220−+=，故选C.【点睛】抽样方法共有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种，（1）简单随机抽样是每个个体等可能被抽取；（2）系

统抽样是均匀分组，按规则抽取（通常每组抽取的序号成等差数列）；（3）分层抽样就是按比例抽取.4.已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的焦距为42，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为（）A.2B.4C

.6D.8【答案】B【解析】【详解】因为双曲线22221(0,0)xyabab−=的两条渐近线为byxa=，因为两条渐近线互相垂直，所以21ba−=−，得ab=因为双曲线焦距为42，所以22c=由222cab=+可知228a=，所以2a=，所以实轴长为24a=.

故选B项.【点睛】本题考查双曲线的渐近线，实轴长等几何特性，属于简单题.5.下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为y=0.8x-155，后因某未知原因第五组数据的y值模糊不清，此位置数据记为m（如下所示），则利用回

归方程可求得实数m的值为（）x196197200203204y1367mA.8.3B.8C.8.1D.8.2【答案】B【解析】【分析】根据回归直线经过样本数据中心点，求出xy、的平均数，即可求出m值．【详解】根据题意可得1(196197200203204)2005x=++++=，1

17(1367)55mym+=++++=.∵线性回归方程为0.8155yx=−∴170.820015555m+=−=∴8m=故选B.【点睛】本题考查的知识是线性回归方程.解答本题的关键利用回归直线过样本中心点(),xy.6.

函数()()sin(0,0)fxAxA=+的部分图像如图所示，则74f的值为（）A.62−B.32−C.22−D.1−【答案】C【解析】【分析】根据()fx的最值得出A，根据周期得出，利用特殊点计算，从而得出()fx的解析式，再计算74f.

【详解】由函数的最小值可知：2A=，函数的周期：74123T=−=，则222T===，当712x=时，()7322122xkkZ+=+=+，据此可得：()23kkZ=+，令0k=可得：3=，则函

数的解析式为：()2sin23fxx=+，771122sin22sin46432f=+==−.故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题.7.已知3log6p=，5log10q=，7log14r=，则p，q，

r的大小关系为（）A.qprB.prqC.pqrD.rqp【答案】C【解析】【分析】利用对数运算的公式化简,,pqr为形式相同的表达式，由此判断出,,pqr的大小关系.【详解】依题意得31+log2p=，51log2q=+，71log2r=+，而357lo

g2log2log2，所以pqr，故选C.【点睛】本小题主要考查对数的运算公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.8.已知奇函数()fx满足()(4)fxfx=+，当(0,1)x时，()2xfx=，则()2log12f=（）A.43−B.2332C.34D.3

8−【答案】A【解析】【分析】利用周期性和奇函数的性质可得，()()()222log12log1244log12fff=−=−−，再根据指数运算和对数运算即可求得结果.【详解】由题意()(4)fxfx=+，故函数()fx是周期为4的函

数，由23log124，则21log1240−−，即204log121−，又函数()fx是定义在R上的奇函数，则()()()2244log12222log1224log12log1244log12223fff−=−=−−=−=−=−，故选A.【点睛】本题主要考查对数函数，奇函

数，周期函数，以及抽象函数的性质，综合性较强，属中档题.9.已知F是抛物线2:2(0)Cypxq=的焦点，过点(2,1)R的直线l与抛物线C交于A，B两点，R为线段AB的中点，若5FAFB+=，则直线l的斜率为()A.3B.1

C.2D.12【答案】B【解析】【分析】根据5FAFB+=求得p的值，利用点差法求得直线l的斜率.【详解】由于()2,1R为AB中点，根据抛物线的定义225ABFAFBxxpp+=++=+=，解得1p

=，抛物线方程为22yx=.设()()1122,,,AxyBxy，则2211222,2yxyx==，两式相减并化简得21211222121yyxxyy−===−+，即直线l的斜率为1，故选B.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查利用点差法求解有关弦的中点问题，属于中档题.10.若函数(

)()cos03fxx=−的最小正周期为2，则()fx在0,4上的值域为（）A.31,22−B.1,12−C.3,12−D.1,12【答案】B【解析】【分析】先

根据最小正周期求出,得到函数解析式,再根据定义域为0,4求出函数值域.【详解】解：因为22T==,所以4=,()cos43fxx=−因为0,4x,所以24,333x−−,()1cos4123fxx−=−

所以()1,12fx−.故选：B【点睛】本题考查三角函数的周期与值域,考查运算求解能力.11.已知球O的半径为R，,,ABC三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为12R，2ABAC==，120BAC=,则球O的表面积为A.169B.1

63C.649D.643【答案】D【解析】在ABC中，2120ABACBAC===，，144222()232BC=+−−=，由正弦定理可得平面ABC截球所得圆的半径（即ABC的外接圆半径），232322r==，

又∵球心到平面ABC的距离12dR=，∴球的O半径22116443RRR=+=，，故球O的表面积26443SR==，故选D【点睛】本题考查的知识点是球的体积和表面积，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的关键．12.已知函数2()fxxax=−

，()ln(1)gxbax=+−，存在实数(1)aa，使()yfx=的图象与()ygx=的图象无公共点，则实数b的取值范围为（）A.(,0]−B.3,ln24−+C.3ln2,4++D.31,ln24+【答

案】B【解析】试题分析：()yfx=的图象与()ygx=的图象无公共点,则等价为()()0fxgx−或()()0fxgx−恒成立,即()2ln10xaxbax−−−−或()2ln10xaxbax−−−−恒成立,

即()2ln1xaxaxb−−−或()2ln1xaxaxb−−−恒成立,设()()2ln1hxxaxax=−−−,则函数()hx的定义域为()1,+函数的导数()222'211axxahxxaxx+−=−−=−−,当1a时,

2322a+,故21,2ax+时,()'0hx,2,2ax++时,()'0hx,即当22ax+=时,函数()hx取得极小值同时也是最小值221ln242aaaha+=−+−,设()221ln242aaaGaha+==−+−,则(

)Ga在)1,+上为减函数,()Ga最大的值为()31ln24G=+,故()hx的最小值23ln224ah++,则若()2ln1xaxaxb−−−，则3ln24b+,若()2ln1xaxaxb−−−恒成立,则不成立,综上3ln24b+，故选B．考点：1、利

用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题．【方法点晴】本题主要考查利用导数函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()afx恒成立(min()afx即可)或()afx恒成立（max()afx即可）；②数形结合；

③讨论最值min()0fx或max()0fx恒成立；④讨论参数．本题是利用方法①求得b的取值范围的．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量AB，AC的夹角为120，5AB=，2AC=，APABAC=+.若APBC⊥，则=____

______．【答案】103【解析】【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件和向量数量积的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】向量APBC⊥uuuruuur，则0APBC=，即：()()0ABACACAB+−=，整理可得：()2210ABA

BACAC−+−+=，其中225AB=，52cos1205ABAC==−，24AC=，据此有：()()251540−+−−+=，解得：301093==.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能

力和计算求解能力.14.设等比数列{}na的前n项和为nS.若637SS=−，则4332aaaa+=+__________．【答案】-2【解析】【分析】先根据637SS=−求出等比数列na的公比q，然后化简4332aaaa++可得结果．

【详解】设等比数列na的公比为q．①当1q=时，637SS=−不成立．②当1q时，由637SS=−得61317(1)(1)11aaqqqq=−−−−−，整理得317q+=−，即38q=−，解得2q=−．所以43333222(1)2(1)qqaaaaqaaaa++===+

=−+．故答案为2−．【点睛】利用公式求等比数列的前n项和时，在公比q不确定的情况下，一定要注意对公比取值的分类讨论，即解题时分为1q=和1q两种情况求解，考查计算能力，属于基础题．15.将函数()3cossinfxxx=−的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于直线6x=对称，

则的最小正值为__________．【答案】3【解析】【分析】求出()fx平移后的解析式()gx，根据余弦函数的对称轴公式列出方程解出【详解】()3132cossin2cos226fxcosxsinxxxx=−=−=+将()fx向右平移

个单位长度后得到函数()()2cos6gxfxx=−=+−()gx的图象关于直线6x=对称66k+−=解得3k=−当0k=时，取得最小正值为3故答案为3【点睛】本题主要考查的是函数()sinyAx

=+的图像变换以及三角函数的应用，易错点有两个方面：一是三角函数图象平移法则应用错误；二是不会利用对称轴进行转化，纠错方法是正确理解三角函数“左加右减，上加下减”的平移法则，熟记正弦函数，余弦函数的对称轴求解方法，并通过训练提高应用能力16.（2017.福建省质检）椭圆222

2:1(0)xyCabab+=的右焦点与抛物线2:4Eyx=的焦点F重合，点P是椭圆C和抛物线E的一个公共点，点(0,1)Q满足QFQP⊥，则C的离心率为__________．【答案】2-1.【解析】【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，再由题意求出

椭圆与抛物线的交点，结合椭圆定义求出椭圆的实半轴，代入离心率公式求得答案．【详解】如图，由抛物线E：y2=4x，得2P=4，p=2，∴F（1，0），又Q（0，1）且QF⊥QP，∴QP所在直线斜率为1，则QP所在直线

方程为y=x+1，联立214yxyx=+=，解得P（1，2），则2a=2222(11)(02)(11)(02)−−+−+−+−=222+，∴a=21+，则e=12121=−+．故答案为21−．【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得,ac的值，直接代入公式cea=求解；（2）列出关

于,,abc的齐次方程(或不等式)，然后根据222bac=−，消去b后转化成关于e的方程(或不等式)求解．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，

考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.锐角ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，ABC的面积为23tan6sinaCA，（1）求sincosBC的值；（2）若6cossin3BC=，3a=，求bc+的最大值.【答案】（1）3sincos3BC=（2）6【

解析】【分析】（1）由三角形面积公式得213tansin26sinaCSabCA==，化简整理得3sincos3BC=．（2）由（1）结论及3cossin6BC=，可得()3sinsinsincoscossin2ABCBCBC=+=+=，可求得1cos2A=，由余弦定理可得2

21922bcbc=+−，结合均值定理可得，()22932bcbc+++，即6bc+．【详解】依题意，得213tansin26sinaCabCA=，即3sincos3bACa=由正弦定理得：3sinsincos

3sinBACA=∵()0,A，∴sin0A∴3sincos3BC=（2）∵()sinsinsincoscossinABCBCBC=+=+，∴333sin362A=+=∵A为锐角，∴1cos2A=，由余

弦定理得221922bcbc=+−，即()293bcbc+=+，∴()22932bcbc+++，整理得：()2194bc+，即6bc+，当且仅当3bc==时取等号故bc+的最大值为6.【点睛】本题考查

了三角形的面积公式，正弦定理，余弦定理及均值定理，解题时需注意面积公式的选择，考查综合运用知识解题的能力，属中档题．18.在三棱柱111ABCABC−中，已知侧棱与底面垂直，90CAB=，且1AC=，2AB=，E为1

BB的中点，M为AC上一点，23AMAC=．()I若三棱锥11ACME−的体积为26，求1AA的长;()Ⅱ证明：1CBP平面1AEM．【答案】（1）122AA=．（2）见解析．【解析】【分析】（1）因1111ACMEECAMVV−−=，而11CAMS可求，故能求得1AA.（2）连接1A

B交1AE于F，连接MF，可证明1//MFCB即可证明1//CB平面1AME.【详解】（1）设1AAh=，∵111111111,22ACAEEACMACMhVVSACh−−===，三棱锥11EACM−的高为2，∴11122326EACMhV−==，解得22h=，即1

22AA=.（2）如图，连接1AB交1AE于F，连接MF.∵E为1BB的中点，∴123AFAB=，又23AMAC=，∴1//MFCB，而MF平面1AEM，1CB平面1AEM，∴1//CB平面1AEM

.【点睛】点到平面的距离的计算，可利用题设中的线面垂直，也可以利用已知的面面垂直构建线面垂直.线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关

键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行.19.随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活．在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式

．某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数iy（单位：人）与时间it（单位：年）的数据，列表如下：it12345iy2427416479（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系，请计算相关系数r并

加以说明（计算结果精确到0.01）．（若||0.75r，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式()()()()12211niiinniiiittyyrttyy===−−=−−()()12211niiinniiiityntyttyy===−=

−−，参考数据569575.47（2）建立y关于t的回归方程，并预测第六年该公司的网购人数（计算结果精确到整数）．（参考公式：()()()1122211ˆnniiiiiinniiiittyytyntybtttnt====−−−==−−，ˆˆaybt=−【答案】

(1)见解析；(2)网购人数约为91人【解析】【分析】（1）由已知数据求得r值，由r值接近1可得y与t的线性相关程度很高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．（2）求出ˆb与ˆa的值，得到线性回归方程，取t＝6求得y值得答案

．【详解】（1）由题知3t=，47y=，51852iiity==，()2110niitt=−=，()212278niiyy=−=，则()()()()12211niiinniiiittyyrttyy===−−=−−()()12211niiinniiiityntyt

tyy===−−−1471471470.970.75150.942278025695==.故y与t的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合.（2）由（1）得122114.ˆ7niiiniityntybtnt==−==−，4714.739ˆ2.a=−=.所以

y与t的回归方程为14.72.9yt=+.将6t=带入回归方程，得91.191y=，所以预测第6年该公司的网购人数约为91人.【点睛】本题考查线性回归方程，考查学生读取图表的能力及运算求解能力，是中档题．20.已知函数()sinfxxax=−.（1）对于(0,1)x，()0

fx恒成立，求实数a的取值范围；（2）当1a=时，令()()sinln1hxfxxx=−++，求()hx的最大值；【答案】（1）sin1a（2）0【解析】【分析】（1）由()0fx，得sin0xax−，参变分离得sinxax，

令sin()xgxx=，利用导数求出函数()gx在(0,1)x上的最小值即可求出参数的取值范围；（2）当1a=时，求出()hx的解析式，求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而得到函数的最大值；【详解】解：（1）由()0fx，得：sin0xax−，因为01x，所以

sinxax，令sin()xgxx=，()2cossin'xxxgxx−=，再令()cossinmxxxx=−，()'cossincossin0mxxxxxxx=−−=−，所以()mx在()0,1上单调递减，所以()()0mxm，所以()'0gx，则()gx在()0,1上单调

递减，所以()(1)sin1gxg=，所以sin1a.（2）当1a=时，()sinfxxx=−，∴()ln1hxxx=−+，()11'1xhxxx−=−=，由()'0hx=，解得1x=，当()0,1x时，()'0hx，()hx在(

)0,1上单调递增；当()1,x+时，()'0hx，()hx在()1,+上单调递减；∴()max(1)0hxh==.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，属于中档题.21.设直线l与抛物线22xy=交于A，B两点，与椭圆22143xy+=交于C，D两点，直线OA，OB

，OC，OD（O为坐标原点）的斜率分别为1k，2k，3k，4k，若OAOB⊥.（1）是否存在实数t，满足1234()kktkk+=+，并说明理由；（2）求OCD面积的最大值.【答案】(1)答案见解析；(2)3.【解析】【分析】设直线l方程为ykxb=+，()11,Axy，

()22,Bxy，()33,Cxy，()44,Dxy，联立直线方程与抛物线方程可得122xxk+=，122xxb=−，由直线垂直的充分必要条件可得2b=.联立直线方程与椭圆方程可得3421634kxxk+=−+，342

434xxk=+.（1）由斜率公式计算可得123416kkkk+=−+.（2）由弦长公式可得22234241143134kCDkxxkk−=+−=++.且点O到直线CD的距离221dk=+，故2214143234OCDkS

CDdk−==+，换元后结合均值不等式的结论可知OCD面积的最大值为3.【详解】设直线l方程为ykxb=+，()11,Axy，()22,Bxy，()33,Cxy，()44,Dxy，联立ykxb=+和22xy=，得2220xkxb−−=，则122xxk+=，122xxb=−，214

80kb=+.由OAOB⊥，所以12120xxyy+=，得2b=.联立2ykx=+和223412xy+=，得()22341640kxkx+++=，所以3421634kxxk+=−+，342434xxk=+.由22192480k=−，得214k.（

1）因为121212yykkkxx+=+=，3434346yykkkxx+=+=−，所以123416kkkk+=−+.（2）根据弦长公式2341CDkxx=+−，得：2224143134kCDkk−=++.根据点O到直线CD的距离公式

，得221dk=+，所以2214143234OCDkSCDdk−==+，设2410kt−=，则24334OCDtSt=+，所以当2t=，即55k=时，OCDS有最大值3.【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助

根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第

一题计分.22.在极坐标系中，已知曲线1C：2cos=和曲线2C：cos3=，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系.（1）求曲线1C和曲线2C的直角坐标方程；（2）若点P是曲线1C上一动点，过点

P作线段OP的垂线交曲线2C于点Q，求线段PQ长度的最小值.【答案】(1)1C的直角坐标方程为22(1)1xy−+=，2C的直角坐标方程为3x=.(2)22.【解析】【分析】（1）极坐标方程化为直角坐标方程可得1C的直角坐标方程为()2211xy−+=，2C的直角坐标

方程为3x=.（2）由几何关系可得直线PQ的参数方程为2xtcosytsin=+=（t为参数），据此可得2APcos=，1AQcos=，结合均值不等式的结论可得当且仅当12coscos=时，线段PQ长度

取得最小值为22.【详解】（1）1C的极坐标方程即22cos=，则其直角坐标方程为222xyx+=，整理可得直角坐标方程为()2211xy−+=，2C的极坐标方程化为直角坐标方程可得其直角坐标方程为3x=.（2）设曲线1C与x轴异于原点的交点为A，∵PQO

P⊥，∴PQ过点()2,0A，设直线PQ的参数方程为2xtcosytsin=+=（t为参数），代入1C可得220ttcos+=，解得10t=或22tcos=−，可知22APtcos==，代入2C可得23tcos+=，解得1'tc

os=，可知1'AQtcos==，所以1222PQAPAQcoscos=+=+，当且仅当12coscos=时取等号，所以线段PQ长度的最小值为22.【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式

cossinxy==，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式222tanxyyx=+=，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生2，cos,sin以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数来表示动点坐标，

从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|21||1|fxxx=−++.（1）解不等式()3fx；（2）记函数()fx的最小值为m，若,,abc均为正实数，且1322abcm++=，求222abc++的最小值

.【答案】（1）{|11}xxx−或（2）914【解析】【分析】（1）分12x，112x−，1x−三种情况去绝对值解不等式即可；（2）由柯西不等式，有()()()222222212323abcabc++++++．可得a2+b2+c2的最小值．【详解】（1）()3,112,

1213,2xxfxxxxx−−=−−所以()3fx等价于133xx−−或11223xx−−或1233xx，解得1x−或1x，所以不

等式的解集为{|1xx−或1}x（2）由（1）可知，当12x=时，()fx取得最小值32，所以32m=，即133222abc++=故233abc++=，由柯西不等式()()()2222222123239abcabc++++++=，整理得222914abc++，当

且仅当123abc==，即314a=，614b=，914c=时等号成立所以222abc++的最小值为914.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，柯西不等式的应用，属于中档题.