【文档说明】四川省绵阳市绵阳南山中学实验学校2022年高三上学期12月月考数学理科试题 含解析.docx，共(20)页，1.221 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-329ca8d4472730c3dbfdc339bf746f04.html

以下为本文档部分文字说明：

绵阳南山中学实验学校2023届补习年级理科数学（英才）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合(){,|20}Mxyxy=+=，(){,

|30}Nxyxy=+−=，则MN=（）A.3,6−B.()3,6−C.()3,6−D.{(3,6)}−【答案】C【解析】【分析】根据题意得到解方程组2030xyxy+=+−=，最后将解答写成点集即可.【详解】集合{(,)20}Mxyxy=+=∣，{(,)

30}Nxyxy=+−=∣，20(,)30xyMNxyxy+==+−=∣，解方程组得36xy=−=，故()3,6MN=−故选：C.2.已知直线280xy+−=与直线()3130xay+−+=平行，则a的值为（）A.12−B.12

C.5−D.7【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行的系数对应关系即可求解【详解】因为直线1:280lxy+−=与直线()2:3130lxay+−+=平行，所以238113a−=−，解得12a=−.故选：A3.已知a，bR，则下列命题正确的是（）A.若ab，则abB.若ab

，则abC.若ab，则22abD.若ab，则22ab【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质和特殊值的思路即可判断各选项.【详解】对于A，当0ba时，ab，故A错；对于B，当1a=，1b=-时，满足ab，但ab=，故B错；对于C，当ab时

，ab，所以22ab，故C正确；对于D，当4a=−，1b=时，满足ab，但22ab，故D错.故选：C.4.圆1C：229()(2)xmy－＋＋＝与圆2C：224()(1)xym＋＋－＝外切，则m的值为（）A.2B

.－5C.2或－5D.－1或－2【答案】C【解析】【分析】先求出两圆的圆心坐标和半径，利用两圆的圆心距等于两圆的半径之和，列方程解m的值.【详解】由圆1C：229()(2)xmy－＋＋＝与圆2C：224()(1)xym＋＋－＝，得()1,2Cm−，

()21,Cm−，圆1C的半径为3，圆2C的半径为2，因为两圆外切，所以()()221232mm++−−=+，化简得23100mm+−=，所以()()520mm+−=，所以5m=−或2m=，故选：C.5.如图，在ABC中，1,2ANACP=是BN

的中点，若APmABnAC=+，则mn+=（）A.12B.1C.32D.34【答案】D【解析】【分析】利用向量的线性运算求得1124AABAPC=+，由此求得,mn，进而求得mn+.【详解】因为P是BN的中点，所以12BPBN=．所以11()22APABBPABBNABA

NAB=+=+=+−11112224ABANABAC=+=+，所以11,24mn==，所以34mn+=．故选：D6.若圆C：()()22221212640xymxmymm+−−+−+−+=过坐标原点，则实数m的值为（）A.2或1B.-

2或-1C.2D.-1【答案】C【解析】【分析】根据圆的一般方程的定义，结合过原点列方程即可求解.【详解】∵()()22221212640xymxmymm+−−+−+−+=表示圆，∴()()()222212142640mmmm−−+−−−+

∴1m.又圆C过原点，∴22640mm−+=，∴2m=或1m=（舍去）；2m=.故选:C.7.北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创隙积术，是研究某种物品按一定规律堆积起来求其总数问题.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，发展了隙积术的成果

，对高阶等差数列求和问题提出了一些新的垛积公式.高阶等差数列的前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.现有二阶等差数列：2，3，5，8，12，17，23…则该数列的第41项为（）A.782B.822C.780D.820【答案】B【解

析】【分析】利用等差数列的通项公式和累加法求通项可求解.【详解】设该数列为na,由题可知,数列1nnaa+−是以211aa−=为首项,1为公差的等差数列,所以11(1)1nnaann+−=+−=,所以()()()213211112nnnaaaaaaaan+

+−+−++−=−=+++,所以11(1),2nnnaa++−=所以1(1)2,2nnna++=+所以4140412822,2a=+=故选:B.8.函数()eecos24xxfxx−+=在4,4−上的图象大

致是（）．AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊值求得正确答案.【详解】()()()eeeecos2cos244xxxxfxxxfx−−++−=−==，所以()fx是偶函数

，图象关于y轴对称，排除AB选项.5π83π2，所以cos80，所以()44ee4cos804f−+=，排除C选项.所以D选项正确.故选：D9.已知函数()()πsin034fxAx=+的最小正周期为T

，若24Tf=，把()fx的图象向左.平移π2个单位长度，得到奇函数()gx的图象，则π2f−=（）A.2−B.2C.2−D.2【答案】A【解析】【分析】根据平移得()gx的表达式，由()gx为奇函数以及03可得

32=，进而由24Tf=可得2A=，由()3π2sin24fxx=+代入即可求值.【详解】∴()ππ2sin+24gxx=+，∵()gx为奇函数，∴()00g=，即()πππZ24kk+=，∴()12Z2kk=−．又03，∴3

2=，∵2π4π=3T=，∴π3π=sin2434TffA==，∴2A=，∴()3π2sin24fxx=+，∴ππ2sin222f−=−=−

．故选:A．10.已知π2sin44−=，则sin1tan−的值为（）A.34−B.34C.316−D.316【答案】A【解析】【分析】根据正弦的和差角公式可得1sincos2−=，平方可得3sincos8=，进而化切为

弦即可求解.【详解】由π2sin44−=，得()22sincos24−=，∴1sincos2−=，所以112sinc4os−=，∴3sincos8=，所以sinsinsincos3sin1

tancossin41cos===−−−−，故选：A．11.已知函数()23fxxx=+，xR.若方程()10fxax−−=恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（）A.()0,1B.()9

,+C.()()0,19,+D.()1,9【答案】C【解析】【分析】分析23yxx=+、|1|yax=−的性质，将问题化为()fx与|1|yax=−（0a）有4个交点，进而只需保证23yxx=+与(1)yax=−（0a）相

交求参数范围即可.【详解】由23yxx=+开口向上且对称轴为32x=−，而(1)yax=−恒过点(1,0)，所以2()|3|fxxx=+的图象只需将23yxx=+函数值为负的部分翻折到x轴上方，对应|1|yax=−关于1x=对称，当0a时图象在

x轴上方，当0a=时图象为x轴，当0a时图象在x轴下方，所以要使()fx与|1|yax=−有4个交点，则0a.综上，2()|3|fxxx=+与|1|yax=−的示意图象如下图：当|1|yax=−左侧与()fx在(

3,0)x−上相交有4个交点，或|1|yax=−在1x=两侧与()fx各有2个交点，由图知：只需保证23yxx=+与(1)yax=−（0a）相交即可，令23(1)xxax+=−，则2(3)0xaxa+−+=，故2(3)4(9)(1)0aaaa=−−=−−

，所以01a或9a.故选：C12.已知正数,,xyz满足3412xyz==，则（）A.3412xyzB.436yxzC.24xyzD.4xyz+【答案】B【解析】【分析】令3412xyzk===，1k，得到lnlnln,,ln3ln4ln12kkkxyz==

=，A选项，3ln4ln12ln3,4,12ln3ln4ln12kkkxyz===，由于ln0k，所以只需比较3412,,ln3ln4ln12的大小，构造函数()lnxfxx=，ex，求导得到函数单调性，进而比较出1243zyx；B选项

，化简得到6ln6ln6ln12ln3ln4kkz==+，作差比较出36xz，结合1243zyx得到436yxz，B正确；利用换底公式及对数运算法则得到111xyz+=，xyzxy=+，利用作差法比较24xyz，4xyz+，CD错误

.【详解】因为,,xyz为正数，令3412xyzk===，则1k，则3412lnlnlnlog,log,logln3ln4ln12kkkxkykzk======，则3ln4ln12ln3,4,12ln3ln4ln12kkkxyz===，

因为ln0k，所以只需比较3412,,ln3ln4ln12的大小，构造()lnxfxx=，ex，()()2ln1lnxfxx−=，当ex时，()()2ln10lnxfxx−=，故()lnx

fxx=在ex上单调递增，所以()()()1243fff，即1243ln12ln4ln3，所以1243zyx，A错误；6ln6ln6ln12ln3ln4kkz==+，()3ln6ln12ln

4ln3363ln3ln0ln3ln3ln4ln3ln3ln4ln3ln3ln4kkxzkk−−=−=−=+++，结合刚才求出的1243zyx，故436yxz，B正确；由换底公式可得：111

log3,log4,log12kkkxyz===，因为log3log4log12kkk+=，所以111xyz+=，即xyzxy=+，因为xy，所以()()()()2222224440xyxyxyxyxyxyxyzxyxyxyxy+−−

−=−==+++，故24xyz，C错误；因为xy，所以()2404xyxyxyzxxyxyy−=−++=+−+，所以4xyz+，D错误.故选：B【点睛】构造函数比较大小是高考热点，

需要观察式子特点，构造出合适的函数，利用导函数研究其单调性，从而根据单调性比较出大小关系，经常用到的函数有lne1,1ln,ee,xxxyxyxxyxyx=−−=−−=−=等.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知点(),Mab在圆22:4Oxy+=外，则直线4axby+=

与圆O的位置关系是______．【答案】相交【解析】【分析】由M在圆外,得到OM大于半径,列出不等式,再利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线4axby+=的距离d,根据列出的不等式判断d与r的大小即可确定出直线与

圆的位置关系.【详解】点(),Mab在圆22:4Oxy+=外，224ab+圆心(0,0)到直线4axby+=的距离:2242drab==+,直线4axby+=与圆O相交.故答案为：相交.14.已知||3a=，||23b=，3=ab，则a与b的夹角

是___________.【答案】π3【解析】【分析】根据平面向量的模和数量积计算，即可直接得出结果.【详解】31cos,2||||323ababab===，因为,[0,π]ab，所以π,3ab=，a与b的夹角是π3.故答案为：

π3.15.已知数列na是各项均为正数的等比数列，nS是它的前n项和，若3564aa=，且5628aa+=，则6S=______．【答案】126【解析】分析】利用等比数列性质求出4a，再结合5628aa+=求出公比及首项，利用前n项

和公式计算作答.【详解】设正项等比数列na公比为(0)qq，由3564aa=，得243564aaa==，而40a，解得48a=，又5628aa+=，则24428aqaq+=，于是2210qq+−=，而0q

，解得12q=，41364aaq==，所以66164(1)2126112S−==−.故答案为：12616.已知函数222,0()2,0xxxfxxxx−+=−，若关于x的不等式()()20fxafx+恰有1个整数解，则实数a的最大值是______．【答

案】8【的【解析】【分析】数形结合，结合函数的图像即可得出结论.【详解】函数()fx的图象,如图所示,关于x的不等式()()20fxafx+，当0a时,()0afx−,由于关于x的不等式2()()0fxafx+恰有1个整数解,因此其整数解为3

,又(3)963f=−+=−,所以30,(4)8aaf−−−=−,则38a,所以实数a的最大值为8,故答案为：8.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知函数()()2ππ2sin2co

ssincos44fxxxxx=++−−．（1）求函数()fx的对称中心及最小正周期；（2）若π3π,88−，()65f=，求tan的值．【答案】（1）函数()fx的对称中心为18,2k+

，Zk，函数()fx的最小正周期为；（2）1tan2=.【解析】【分析】(1)根据三角恒等变换公式化简函数()fx的解析式，结合正弦函数性质求函数()fx的对称中心及最小正周期；(2)由(1)可得2sin2410−=，结合两角差正弦

函数，二倍角公式，同角关系化简可求tan.【小问1详解】()()2ππ2sin2cossincos44fxxxxx=++−−πππ1cos22cos2sin244xxx=−++−−ππ1sin22s

incos44xxx=++−−π1sin2sin22xx=++−，1sin2cos2xx=+−，2sin214x=−+，令24xk−=，Zk，可得28kx=+，Zk，又()2sin1128kf

k+=+=，所以函数()fx的对称中心为18,2k+，Zk，函数()fx的最小正周期22T==；【小问2详解】因为()65f=，所以62sin2145−+=，所以2sin2410−=，所以2

22sin2cos22210−=，所以1sin2cos25−=，所以()222210sincos5cossinsincos−−=+，所以224sin10sincos6cos0+−=，因为π3π,88−

，所以cos0，故22tan5tan30+−=，所以()()2tan1tan30−+=，所以tan3=−或1tan2=，又π3π,88−，故1tan2=.18.已知等差数列

na的前n项和为nS，公差d不等于零，23Sa=，412aaa=（1）求数列na的通项公式；（2）设2nnnab=，求证1211112nbbbn+++−（nN且2n）【答案】（1）2(N)nann+=（2）证明见解析【解析】【分析

】（1）由已知，根据题意，由23Sa=，412aaa=可直接列式求解1,ad，从而求解数列na的通项公式；（2）由已知，将第（1）问中数列na的通项代入2nnnab=，然后放缩通项得到()211

1111nnnnn=−−−，然后再使用裂项相消即可完成证明.【小问1详解】由已知，等差数列na的前n项和为nS，23Sa=，412aaa=，所以11111223()adadadaad+=++

=+所以12ad==，所以()2212(N)nannn+=+−=.【小问2详解】由题意，2nbn=.故2221211111112nbbbn+++=+++又对nN且2n…时，()2111111nnnnn=−−−∴()12111111112231nbbbnn+++

++++−1111111122231nnn=+−+−++−=−−得证.19.已知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,,abcABC的周长为()sinsinsinCcbcAB−+−.（1）求A；（2）若4,2,bcM==是AC的中点

，点N满足2NCBN=，设AN交BM于点O，求cosMON的值.【答案】（1）π3A=；（2）33.【解析】【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理进行求解即可；（2）根据平面向量夹角公式，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量基本定理进行

求解即可.小问1详解】因为ABC,,,abcABC的周长为()sinsinsinCcbcAB−+−，所以有()()222sinsinsinccbCabccbcababcbcABab−++=−++==+−−−，由2221

cos222bcabcAbcbc+−===，因为(0,π)A，所以π3A=；【小问2详解】因为M是AC的中点，所以12BMBAAMABAC=+=−+，因为4,2bc==，π3BAC=，【所以22211114164222442BMABACABACA

BAC=−+=+−=+−=，因为2NCBN=，所以1121()3333ANABBNABBCABACABABAC=+=+=+−=+，因为4,2bc==，π3BAC=，所以2222141441414341

642,3399999923ANABACABACABAC=+=++=++=2212121218()()41623336333BMANABACABACABAC=−++=−+=−+=，833coscos,cos,34323ANBMMONOMON

ANBMANBM=====.20.将圆224xy+=上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）设点(0,1)A，点P为曲线E上任一点，求PA的最大值．【答案】（1）2214xy+=（2）433【解析】【分析】（1）在曲线E上任取一个动

点(),Mxy，即可得到(),2Mxy在圆224xy+=上，代入圆的方程，整理可得；（2）设(),Pxy，根据两点间的距离公式表示出2PA，根据二次函数的性质求出2PA的最大值，即可得解.【小问1详解】解：在曲线E上任取一个动点(),Mx

y，则(),2Mxy在圆224xy+=上，所以()2224xy+=，即2214xy+=，所以曲线E的方程为2214xy+=.【小问2详解】解：设(),Pxy，则()()222221441PAxyyy

=+−=−+−22116325333yyy=−−+=−++，所以当13y=−时()2max163PA=，所以()max433PA=，即PA的最大值为433.21.已知函数()exxfx=，()ln

xgxx=，（1）求()fx和()gx的极值；（2）证明：()()222exxgxfxx+−【答案】（1）()fx的极大值1e，无极小值；()gx极大值1e，无极小值（2）证明见解析【解析】【分析】（1

）先求出()fx和()gx的单调性，再根据单调性求得极值；（2）构造()()()()2222eln20xhxxgxfxxxxxxx=+−+=+−+，求出其单调性进而求得最小值为()0hx，证明()00hx

即可．【小问1详解】解：()exxfx=Q，()lnxgxx=，()1exxfx−=，()21lnxgxx−=，当1x时，()0fx¢>，当1x时，()0fx，所以()fx在(),1−单调递增，在()1,+单调递减，所以当1x=时，()fx取得极大值1e，无极小值；当0e

x时，()0gx，当ex时，()0gx，所以()gx在()0,e单调递增，在()e,+单调递减，当ex=时，()gx有极大值1e，无极小值．【小问2详解】解：令()()()()2222eln20xhxxgxf

xxxxxxx=+−+=+−+，则()()22ln0hxxxx=−，令()()22ln0rxxxx=−，则()3140rxxx=+在0x上恒成立，所以()rx在()0,+上单调递增，又()221ln1201r=−=−，()2222eln

e10eer=−=−，所以存在()01,ex，使得()00rx=，即()()00202ln1,exxx=，所以()00,xx时，()0rx，()0hx，()hx单调递减，()0,xx+时，()0rx，()0hx，()hx单调递增，()()()

()000000002min00002224ln2221,ehxhxxxxxxxxxxxx==+−+=+−+=−+，令()()()421,emxxxx=−+，则()2410mxx=−−在()1,e上恒成立，所以()mx在

()1,e上单调递减，所以()()4e2e0emxm=−+，所以()()00min0420hxhxxx==−+，所以()()222exxgxfxx+−．【点睛】本题的易错点为必须说明无极小值；难点是（2）中结合零点存在定理估计()01,ex，进而证得()00hx，这里的0x我

们称之为“隐零点”；如果0x的范围不合适，可以借助二分法去缩小0x的范围，直至证得()00hx．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．22.在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为21222xtyt=

+=（t为参数），曲线C的参数方程为3sin3cos3sin3cosxy=+=−（为参数）．（1）求直线l与曲线C的普通方程，并说明C是什么曲线？（2）设M，N是直线l与曲线C的公共点，点P的坐标为()1,0，求PMPN−的值．【答

案】（1）见解析（2）=2PMPN−【解析】【分析】（1）消去参数即可得到直线l与曲线C的普通方程即可说明曲线C.（2）将直线参数方程代入圆的普通方程即可得到1t与2t，根据参数的几何意义讨论求得PMPN−的值.【小问1详解】由题意可得：直线l的参数方程为21222xtyt=+=

消去参数t得：1yx=−.曲线C的参数方程为3sin3cos3sin3cosxy=+=−.消去参数得：226xy+=曲线C表示以原点为圆心，以6为半径的圆.【小问2详解】由（1）知：

将直线的参数方程21222xtyt=+=代入226xy+=得：2250tt+−=可知122tt+=−，125tt=−，故1t与2t异号.不妨设1=0PMt,20PNt=易知12tt，故PMP

N−=120tt−PMPN−=()1212==2tttt−−+同理1=0PNt，20PMt=易知12tt，故PMPN−=210tt−PMPN−=21=tt−21=2tt+−综上：=2PMPN−23.已知函数()121fxxx

=++−．（1）求不等式()8fx的解集；（2）设函数()()1gxfxx=−−的最小值为m，且正实数a，b，c满足abcm++=，求证：2222abcbca++．【答案】（1）7,33−（2）证明见详解【解析】【分析】（1）分段

讨论去绝对值即可求解；（2）利用绝对值不等式可求得2m=，再利用基本不等式即可证明.【小问1详解】由题意可得：()31,11213,1131,1xxfxxxxxxx−=++−=−−−+−，当1x时，则()318fxx=−，解得23x；当11x−时，则()38f

xx=−，解得11x−；当1x−时，则()318fxx=−+，解得713x−−；综上所述：不等式()8fx的解集为7,33−.【小问2详解】∵()()1112gxfxxxx=++−−−=，当且仅当1,1x−时等号成立，∴函数

()gx最小值为2m=，则2abc++=，又∵2222aabbabb+=，当且仅当2abb=，即ab=时等号成立；2222bbccbcc+=，当且仅当2bcc=，即bc=时等号成立；2222ccaacaa+=，当且仅当2caa=，即ac=时等号成立；上式相加

可得：222222abcbcaabcbca+++++++，当且仅当abc==时等号成立，∴2222abcabcbca++++=.的获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com