【文档说明】江苏省淮宿七校2022-2023学年高一下学期期中数学试卷答案及评分标准.docx，共(9)页，631.847 KB，由小赞的店铺上传

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2022—2023学年第二学期高一年级期中考试数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．．）1．若i为虚数单位，则(1i2−)12

的值为BA．1B．－1C．iD．－i2．已知a、b是不共线的向量，且AB＝3a＋4b，BC＝－2a－6b，CD＝2a－4b，则DA．A、B、D三点共线B．A、B、C三点共线C．B、C、D三点共线D．A、C、D三点共线3．已知a＝(2，－1

)，b＝(－1，0)，若(a－tb)⊥(a＋b)，则实数t的值为DA．5B．2C．－1D．－34．设复数z满足|z－i|＋|z＋i|＝2，其中i为虚数单位，则|z|的最大值为AA．1B．2C．2D．35．海面上有相距10nmile

的A，B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离为DA．nmile310B．nmile3610C．nmile25D．nmile656．已知tan(α＋β)、tan(α－β

)是关于x的方程x2＋mx－4＝0的两根，且tanα＝23，则m的值为AA．－12B．－103C．4D．957．为了军事国防需要，现准备发射一颗通信卫星．通信卫星在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面．将地球看作是一个球(球心为O，半径为rkm)，

地球上一点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个仰角为θ的地面接收天线(仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角)，若点A的纬度为北纬30°，ta

nθ＝3－27，则该通信卫星的轨道高度(轨道高度是指卫星到地球表面的距离)为CA．2rB．3rC．6rD．7r8．已知△ABC中，AC＝2，sinA＝tanB，A∈(0，3]，则边AB的最小值为BA．2B．3C．2＋3D．52二、多项选择题（本大题共4小题，

每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，少选得2分，错选或不选得0分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．．）9．设函数xxxf2sincos2)(2+

=，则下列结论正确的是ADA．)(xf的最小正周期是B．4=x是)(xf的一个对称轴C．)(xf的最小值是2−D．若)(xf在],[ba上单调递减，则ab−最大值是210．如图，若△ABC的外接圆为⊙O，D为AB的中点，则下列说法一定成立的是BCDA．若⊙O的半径为定值，则AO·A

B为定值B．若CA、CB的长度为定值，则CO·AB为定值C．CA·OD＝CB·ODD．OA·OB＝OC2－12AB211．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC、BD的交点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是ACA．C1、O、A、M四点共面B．直

线C1O与直线A1C为异面直线C．直线A1A与直线OM相交D．D1、D、O、M四点共面12．在锐角三角形ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，且tanB是关于x的方程sinC·x2＋2(1－cosC)x－sinC＝0的一个根，则ACDA．－1tanB是方程的另一个根B

．tan2B·tan2C＝2C．角B的取值范围为(8，6)D．22()cab−的取值范围为(3，2＋2)三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．）13．写出同时满足条件

①：“(1＋i)·z∈R”、条件②：“|z|＞3”的一个复数z＝________．4－4i（答案不唯一）14．若sinα－sinβ＝－12，cosα－cosβ＝12，则cos(α－β)＝________．4315．空间有6个点，其中任意三点不共

线，且有五个点共面，则这6个点最多可以确定________个平面．1116．在△ABC中，若BC＝32AB，BD＝2DC，AB·AD＝2，则AD·BC＝________．3四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．

．．．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．(本小题满分10分)关于复数z＝a＋bi(a、b∈R，i为虚数单位)，有下列四个命题：①a＝2；②b＝3；③z·z＝4；④z＋z＝|z|；且上述四个命题中只有一个是假命题．(1)请问假命题是

哪一个，并求出复数z；(2)设复数z1、z2满足|z1|＝|z2|＝|z|，|z1＋z2|＝2，求|z1－z2|．解：(1)由③得，(a＋bi)(a－bi)＝4，即a2＋b2＝4；由④得，2a＝22ab+；因此①②③、①②④、①③④均有矛盾，所以假命

题为①，即②③④皆成立，所以a2＝1，即a＝±1，所以z＝±1＋3i；…5分(2)由(1)得，|z1|＝|z2|＝|z|＝2；设复数z1、z2在复平面内分别对应向量OA、OB，则|OA|＝|OB|＝2，|OA＋OB|＝2，所以OA2＋2OA·OB＋OB2＝4，即2OA·

OB＝－4；又|OA－OB|2＝OA2－2OA·OB＋OB2＝12，则|OA－OB|＝23，即|z1－z2|＝23．…10分18．(本小题满分12分)如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB＝CD，E、F分别为BC、AD的中点．(1)若

AB⊥CD，求EF与AB所成的角的大小；(2)若AB＝CD＝2，且异面直线AB与CD所成角的大小为60°，求线段EF的长．解：(1)取BD的中点G，连接EG、FG；因为E、F分别为BC、AD的中点，所以EG∥

CD，GF∥AB，且EG＝12CD，GF＝12AB；又AB＝CD，所以EG＝GF；因为AB⊥CD，所以EG⊥GF；在△EGF中，EG＝GF，EG⊥GF，所以△EGF为等腰直角三角形，得∠EFG＝45°；因为GF∥AB，所以E

F与AB所成的角即为∠EFG，即EF与AB所成的角的大小为45°；…4分(2)因为AB＝CD＝2，所以EG＝GF＝1；因为AB与CD所成角的大小为60°，所以∠EGF＝60°或120°；…6分在△EGF中，当

∠EGF＝60°时，此三角形为等边三角形，故EF＝1；…9分在△EGF中，当∠EGF＝120°时，由余弦定理得，EF2＝EG2＋GF2－2EG·GF·cos120°＝3，故EF＝3．…12分19．(本小题满分12分)在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且3a2＋b2＝

c2．(1)式子tanB－tanA－2tanA·tan2B的值为是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；(2)若C＝120°，求cosA的值．解：(1)在△ABC中，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab·cosC，又因为3a2＋b2＝c2，所以2a2＝－2ab·cosC，即

2a＝－2b·cosC，又由正弦定理得，2sinA＝－2sinB·cosC，又A＝π－B－C，则2sin(B＋C)＝－2sinB·cosC，即2sinB·cosC＋2cosB·sinC＝－2sinB·cosC，即4sinB·cosC＝－2cosB·

sinC，即tanC＝－2tanB；所以tanB－tanA－2tanA·tan2B＝tanB－tanA＋tanA·tanB·tanC＝tanB－tanA＋tanA＋tanB＋tanC＝2tanB＋tanC＝0，故为定值0；…6分(2)同(1)，由3

a2＋b2＝c2及余弦定理可得，2a＝－2b·cosC，又C＝120°，所以b＝2a，c＝7a；由余弦定理可得，cosA＝2222bcabc+−＝1475．…12分20．(本小题满分12分)在△ABC中，已知1cos2coscosBAB+＝4sinsinBA．(1)求tantanAB

的值；(2)求1tanA＋1tanB＋1tanC的最小值．解：(1)在△ABC中，因为1cos2coscosBAB+＝4sinsinBA，所以22coscoscosBAB＝4sinsinBA，即2coscosBA＝4sins

inBA，即tantanAB＝2；…4分(2)在△ABC中，tanA＝2tanB，A、B均为锐角；因为C＝π－A－B，所以tanC＝tan(π－A－B)＝－tan(A＋B)＝－tantan1tantanABAB+−＝－23tan12tanBB−；故1tanA＋1tan

B＋1tanC＝12tanB＋1tanB－212tan3tanBB−＝274tan6tanBB+＝76tanB＋2tan3B≥272tan6tan3BB＝273，当且仅当tanB＝72时取等号；所以1tanA＋1tanB＋1tanC的最小值为273．…12分21．

(本小题满分12分)已知锐角△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a(tanA＋tanC)＝2b·tanA．(1)求C的大小；(2)若△ABC的面积为32，求a的取值范围．解：(1)在锐角△ABC中，因为a(tanA＋tanC)＝2

b·tanA，所以a(sincosAA＋sincosCC)＝2b·sincosAA，即a(sincoscossincoscosACACAC+)＝2b·sincosAA，即a·sin()coscosACAC+＝2b·sincosAA，又B＝π－A－C，所以a·sincosc

osBAC＝2b·sincosAA，又由正弦定理得，sinsincosABC＝2sinA·sinB，又sinA、sinB≠0，所以cosC＝12，又C∈(0，π)，则C＝3；…4分(2)在锐角△ABC中，因为C＝3，S△ABC＝12ab·sinC＝32，所以ab＝

2，即b＝2a；因为a(tanA＋tanC)＝2b·tanA，所以tanA＝2234aa−；因为△ABC为锐角三角形，且C＝3，所以6＜A＜2，即tanA＞33；由2234aa−＞33得，1＜a＜2．…12分22．(本小

题满分12分)我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图(1)，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动．伞完全收拢时，伞圈D滑到D'的位置，且A、B、D'三点共线，AD'＝40cm，B为AD'的中点，当伞从完全张开到完全

收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24cm．(1)当伞完全张开时，求∠BAC的余弦值；(2)如图(2)，当∠BAC＝3时，在线段AB、AC上分别取点M、N，使得AN＝4AM＝4t，0＜t＜5，连接MN交AD于点G，若△AMN的面积为△ABC面积的425，求

AG·MN的值．解：(1)当伞完全张开时，AD＝40－24＝16cm；当伞完全收拢时，因为B为AD'的中点，所以AB＝BD'＝12AD'＝20cm，即AB＝BD＝20cm；在△ABD中，由余弦定理得，cos

∠BAD＝2222ABADBDABAD+−＝25；所以cos∠BAC＝cos2∠BAD＝2cos2∠BAD－1＝－1725；…4分(2)在△ABC中，因为AB＝AC＝20，∠BAC＝60°，所以△ABC是边长为20的等边三角形；因为AN＝4AM＝

4t，0＜t＜5，△AMN的面积为△ABC面积的425，所以由S△AMN＝425S△ABC得，12·t·4t·sin60°＝425·12·202·sin60°，即t＝4，所以AM＝15AB，AN＝45AC；设AD、BC交于点E，设AG＝λAE

，所以AG＝λ·12(AB＋AC)＝2·5·AM＋2·54·AN，又M、G、N共线，则2·5＋2·54＝1，即λ＝825，即AG＝425(AB＋AC)；所以AG·MN＝425(AB＋AC)·(45AC－15AB)＝2885．…12分获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xia

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