【文档说明】北京市第一六一中学2024-2025学年高三上学期10月阶段测试数学试卷 Word版含解析.docx，共(20)页，974.775 KB，由小赞的店铺上传

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北京一六一中学2024—2025学年度第一学期10月阶段测试高三数学试卷班级______姓名______学号______考生须知：1．本试卷共2页，满分150分，考试时长120分钟.2．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效.3．在答题纸上，选择题用2B铅笔作

答，非选择题用黑色字迹签字笔作答.4．考试结束后，将答题纸、试卷和草稿纸一并交回.一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．．.1.已知复

数2i1iz=−，则z=（）A.2B.22C.1D.12【答案】A【解析】【分析】先利用复数的运算法则化简复数z，再根据复数模长公式计算模长.【详解】∵222i2i(1i)2i2i2i21i1i(1i)(1i)1i

2z++-=====-+--+-，∴22||(1)12z=−+=.故选：A.2.已知0.53a=，3log2b=，2πcos3c=，则（）A.cabB.bacC.acbD.abc【答案】D【

解析】【分析】利用指数函数和对数函数单调性得到1a，()0,1b，由三角函数定义可得0c，比较出大小.【详解】0.531a=，()()333log2loglog0,11,3b==，由于2π3为第二象限角，故2πcos03c=，故abc.故选：D3.设集合2Ayyx==−，

2xByy==，则AB=（）A.()0,+B.(0,2C.)0,+D.R【答案】C【解析】【分析】根据函数值域得到)0,A=+，()0,B=+，由并集概念求出答案.【详解】)0,A=+，()20,xByy===+，故)0,AB

=+.故选：C4.设函数1()1xfxx−=+，则下列函数中为奇函数的是（）A.()11fx−−B.()11fx−+C.()11fx+−D.()11fx++【答案】B【解析】【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详

解】由题意可得12()111xfxxx−==−+++，对于A，()2112fxx−−=−不是奇函数；对于B，()211fxx−=+是奇函数；对于C，()21122fxx+−=−+，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，()2112fxx++=+，定义域不关于原点对

称，不是奇函数.故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.5.()621x−的展开式中含有3x项的系数是（）A.160B.160−C.20D.20−【答案】B【解析】【分析】写出()62

1x−的展开式的通项公式，得到3r=，求出34160Tx=−，得到答案.【详解】()621x−的展开式的通项公式为()()616C21rrrrTx−+=−，令6r3−=得，3r=，故()()333346C21160Txx=−=−，展开式中含有3x项

的系数是160−.故选：B6.函数()fx的部分图象大致如图所示，则()fx的解析式可能为（）A.()sineexxxfx−=+B.()eesinxxfxx−=−−C.()eesinxxfxx−+=D.()eesinxxfxx−=−+【答案】A【解析】【分析】结合图象可

知()fx为奇函数且(0)0f=，在(0,)+上先增后减.根据函数的奇偶性和(0)0f=，结合导数判断函数的单调性依次判断选项即可.【详解】由图可知，()fx的图象关于原点对称，则()fx为奇函数，且(0)0f=，在(0,)+上先增后减.A：sin()eexxxf

x−=+，函数的定义域为R，sin()(),(0)0eexxxfxfxf−−−==−=+，故A符合题意；B：()eesinxxfxx−=−−，函数的定义域为R，()e+ecosxxfxx−=−，由0x，得e1,1cos

1xx−，则()e+ecos210xxfxx−=−−，()fx在(0,)+上单调递增，故B不符合题意；C：ee()sinxxfxx−+=，当0x=时，sin0x=，函数显然没有意义，故C不符合题意；D：()eesinxxfxx−=−+，函数的

定义域为R，()e+ecosxxfxx−=+，由0x，得e1,1cos1xx−，则()e+ecos210xxfxx−=+−，()fx在(0,)+上单调递增，故D不符合题意.故选：A7.设M，

0N，01a，则“loglogaaMN”是“1MN+”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由01a，则logayx=

为减函数，可得“loglogaaMN”的充要条件为：0MN，进而再判断即可得到答案.【详解】当01a，则logayx=为减函数，又loglogaaMN，所以0MN，可得1MN+，即“loglogaaMN”是“1MN+”的充分条件，由“1MN+”不能推出“MN”，

故由“1MN+”不能推出“loglogaaMN”，即“loglogaaMN”是“1MN+”的不必要条件，所以“loglogaaMN”是“1MN+”的充分不必要条件，故选：A.8.设()(),0121,

1xxfxxx=−,若()()1fafa=+,则1fa=A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】【详解】由1x时()()21fxx=−增函数可知,若1a,则()()1fafa+,所以01a,由()(+1)fafa=得2(11)aa=+−,解得14a=

,则1(4)2(41)6ffa==−=,故选C.是【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范

围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．9.已知方程e20xx+−=，ln20xx+−=的根分别为,ab，则ab+的值为（）A.1B.2C.

3D.4【答案】B【解析】【分析】得到e20aa+−=，lnln20lne20bbbb+−=+−=，构造()e2xfxx=+−，故()()ln0fafb==，求导得到其单调递增，故lnab=，求出2ab+=.【详解】由题意得e20aa+−=，lnln20lne20bbb

b+−=+−=，令()e2xfxx=+−，则()()ln0fafb==，又()e10xfx=+恒成立，故()e2xfxx=+−在R上单调递增，故lnab=，所以ln202bbab+−=+=.故选：B10.汽车的“燃油效

率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（）．①消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米；②以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少；③甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油；④某城市机

动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油．A.②④B.①③C.①②D.③④【答案】A【解析】【分析】利用折线图以及横、纵坐标代表的意义逐一分析即可求解.【详解】从图中可以看出乙车的最高燃油效率大于5，故①错误；同样速度甲车消耗1升汽油行

驶的路程比乙车、丙车的多，所以行驶相同路程，甲车油耗最少，故②正确甲车以80千米/小时的速度行驶，1升汽油行驶10千米，所以行驶1小时，即行驶80千米，消耗8升汽油，故③错误；速度在80千米/小时以下时，相同条件下每消耗1升汽油，丙车行驶路程比乙车多，所以该市用丙车

比用乙车更省油，故④正确.故选：A二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．.11.函数11yx=+在0x=处的瞬时变化率等于______．【答案】-1【解析】【分析】求导，代入0x=，

求出1y=−，得到瞬时变化率.【详解】()211yx=−+，当0x=时，()21101y=−=−+，故11yx=+在0x=处的瞬时变化率等于-1故答案为：-112.函数()2139fxxx=++−的定义域为______．【答案】(3,3)(3,)-??【解析】【

分析】结合被开方数大于等于0和分母不为0可得函数的定义域.详解】由23090xx+−得，3x−且3x，∴函数()fx的定义域为(3,3)(3,)-??..【故答案为：(3,3)(3,)-??.13.若方程e0xaxa−+=有根，则实数a的取值范围是______．【答案】2ea

或0a，【解析】【分析】构造函数()e1xfxx=−，利用导数求解函数的单调性，进而结合函数图象即可得直线ya=与()fx有交点时，2ea或0a.【详解】由e0xaxa−+=得()e1xax=−，当1x=，方程显然无根，故1

x时，e1xax=−，令()e1xfxx=−，则()()()2e12xxfxx−=−，令()()()2e201xxfxx−=−，则2x，故()fx在()2,+单调递增，在()1,2以及(),1−单调递减，故2x=时，()fx取极小值()22

ef=，而当1x时，()e01xfxx=−，当x→+时，()fx→+，所以直线ya=与()fx有交点时，2ea或0a，故答案为：2ea或0a，14.已知奇函数()fx的定义域为()(),3fxfx+=−−R，且()20f=，则()5f=______；()

fx在0,6上的零点个数的最小值为______．【答案】①.0②.9【解析】【分析】由题意可得函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象关于3(,0)2对称，周期为3，由()5(2)ff=，可得第一空答案；列举出函数在0,6上的零点，即可得第

二空答案.【详解】解：因为()()3fxfx+=−−，所以函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象关于3(,0)2对称，则302f=，又()fx为𝑅上的奇函数，所以()()fxfx−=−，所以()()3()fxfxf

x+=−−=，所以函数𝑦=𝑓(𝑥)是周期函数，3为周期，所以()5(23)(2)0fff=+==；因为()20f=，所以()20f−=，()1(32)(2)0fff=−=−=，()4(13)(1)0fff=+==又()00f=，所以()3(30)(

0)0fff=+==，()6(33)(3)0fff=+==，又302f=，所以93330222fff=+==，所以函数在0,6上的零点至少有390,1,,

2,3,4,,5,6,22共9个.故答案为：0；915.函数()()1||xfxxx=+R，给出下列四个结论①()fx的值域是(1,1)−；②任意12,xxR且12xx，都有()()12120fxfxxx−−；③任意12,(0,)xx

+且12xx，都有()()121222fxfxxxf++；④规定()11()(),()()nnfxfxfxffx+==，其中nN，则1011212f=．其中，所有正确结论的序号是______________．【答案】①②④【解析】【分析】根据绝对值的性质，

结合分式型函数的性质、代入法逐一判断即可；【详解】①：当0x时，1()111xfxxx==−++，当0x时，该函数单调递增，所以有()()00fxf=，当0x时，因为11()111011fxxx−=−−=−

++，所以()10()1fxfx−，因此当0x时，()01fx；当0x时，1()111xfxxx==−−−，此时函数单调递增，所以有()()()00fxffx，()1()(1)011fxfxx−−=−−，所以有()10fx−

，所以()fx的值域是(1,1)−，故①正确；②：不妨设12xx，由()()()()()()1212121200fxfxfxfxfxfxxx−−−，所以该函数是实数集上的增函数，由①可知：该函数在0x时，单调递增，且()01

fx，当0x时，单调递增，且()10fx−，所以该函数是实数集上的增函数，符合题意，故②正确；③：当任意12,(0,)xx+且12xx时，令121,3xx==，()()()()1213135242228

fxfxff+++===，()122223xxff+==，显然5283，因此()()121222fxfxxxf++不成立，故③不正确；④：当0x时，()1xfxx=+，1()()1xfxfxx=+=，()211()()2111xxxfxffxxxx+===+++，(

)()()322131121xxxfxffxxxx+===+++，()()()433141131xxxfxffxxxx+===+++，于是有()1nxfxnx=+，因此101111212102121012f===++，故④正确，故答案为：①②④【点睛】关键点睛：利用分式型函数的性质是

解题的关键.二、解答题：本大题共6题，共85分.把答案写在答题纸中相应的黑色框区域内．．．．．．．．．．．．．．．．．．.16.已知函数()1sincoscos22fxxxx=+．（1）若π02，

且4sin5=，求()f的值；（2）求函数()fx的最小正周期，及函数()fx的单调递减区间．【答案】（1）1750（2）最小正周期π，π5ππ,π88kk++，kZ【解析】【分析】（1）根据同角三角函数关系得到3cos5=，由余弦二倍角公式得到7cos

225=−，从而得到()1750f=；（2）利用三角恒等变换得到()2πsin224fxx=+，利用2πT=得到最小正周期，并利用整体法求出函数的单调递减区间.【小问1详解】因为π02，且4sin5=，所以23cos1sin5=−=，227cos2coss

in25=−=−，所以()1431717sincoscos225522550f=+=+−=．【小问2详解】()112πsin2cos2sin22224fxxxx=+=+

，所以函数()fx的最小正周期2ππ2T==．由ππ3π2π22π242kxk+++，kZ，解得π5πππ88kxk++，kZ．所以函数()fx的单调递减区间π5ππ,π88kk++，kZ．17.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为矩形

，PD⊥平面ABCD，2PDAD==，4AB=，点E在线段AB上，且34AEAB=.（1）求证：CE⊥平面PBD；（2）求二面角PCEA−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）42121【解析】【分

析】(1)根据线面垂直的性质可得PDCE⊥，利用相似三角形的判定与性质可得BDCE⊥，结合线面垂直的判定定理即可得出结果；(2)根据题意和线面垂直的性质可得,,ADCDPD两两垂直，建立如图空间直角坐标系Dxyz−，求出各点、各线段的坐标，进而求出平面PCE和平面ACE的法向量，利用空

间向量的数量积表示即可求出结果.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD，CE平面ABCD，所以PDCE⊥.因为4AB=，34AEAB=，所以3AE=，1BE=.所以2ABBCADBE==.所以RtRtCBEBAD△∽△，所以BDCE⊥.又

因为PDCE⊥，PDBDD=，所以CE⊥平面PBD.【小问2详解】因为PD⊥平面ABCD，AD平面ABCD，CD平面ABCD，所以PDAD⊥，PDCD⊥.又因为ABCD是矩形，ADCD⊥，所以,,ADCDPD两两垂直，如图建立空间直角坐标系Dxyz

−，则()0,4,0C，()002P,,，()2,3,0E，所以()0,4,2PC=−，()2,1,0CE=−.设平面PCE的一个法向量为(),,nxyz=，则0,0,nCEnPC==即20,420.xyyz−=−=令1x=，则2y=，4z=.

于是()1,2,4n=.因为PD⊥平面ABCD，取平面ACE的法向量为()0,0,1m=.则4421cos,2111416mnmnmn===++.由图可知二面角PCEA−−为锐角，所以二面角PCEA−−的余弦值是42121.18.某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行

直播．比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7，8），[8，9

），[9，10]分组，绘成频率分布直方图如图：专家ABCDE评分9.69.59.68.99.7（1）求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；（2）从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随

机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数；试求E（X）与E（Y）的值；（3）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数x作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数1x和观众评分的平均数2x，用12

2xx+作为该选手最终得分．请直接写出x与122xx+的大小关系．【答案】（1）10.3,2；（2）见解析；（3）122xxx+＜.【解析】【分析】（1）由频率和为1可得a的值，用某场外观众评分不小于9的频率可估计概率；（2）计算概率可得分布列和期望．（

3）由两组数据的比重可直接作出判断.．【详解】（1）由图知10.20.50.3a=−−=，某场外观众评分不小于9的概率是12．（2）X的可能取值为2，3．P（X=2）=21413535CCC=；P（X

=3）=343525CC=．所以X的分布列为X23P3525所以E（X）=2×32123555+=．由题意可知，132YB～，，所以E（Y）=np=32．（3）122xxx+＜．【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望考查了超几何分布和二项分布，属中档题．19.已知函数()3211

132afxxxax+=−++．（1）若0a=，求函数()fx的极值；（2）若函数()fx在区间0,1的最大值为1，求实数a的取值范围；（3）若对任意1x，()20,x+，当12xx时，不等式()()()()121222fxfxax

ax−−−−恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）极大值(0)1f=，极小值5(1)6f=；（2）(,0−（3）221a−【解析】【分析】（1）求导，令导数等于0，结合单调性可求；（2）求导，

得到()()()1fxxxa=−−，讨论a与1的关系，利用导数，得出()fx的最大值，进而求出a的范围.（3）构造函数()()()2gxfxax=+−，由()()12gxgx可得到()gx的单调性，进而可求得a的范围

.【小问1详解】当0a=，()3211132fxxx=−+，()2fxxx=−，令()0fx=，则0x=或1x=，则当(,0],[1,)x−+时，()0fx，函数()fx单调递增，则当(0,1)x时，()0fx，函数()fx单调递减，所以在0x=时，取得极大值(0)1f=；在1

x=时，取得极小值5(1)6f=；【小问2详解】()()()1fxxxa=−−，令()0fx=，得1x=或xa=.当0a时，则0,1x时，()0fx，所以()fx在0,1上单调递减，()max()01;fxf==成立当01a时，当()0,xa时，

()0fx；当(),1xa时，()0fx.故()fx在()0,a上单调递增，在(),1a上单调递减；()()max()01fxfaf==，不合题意；当1a时，则0,1x时，()0fx，所以()fx0,1上单调递增，在()()max()1

01fxff==，不合题意.综上，实数a的取值范围是(,0−.【小问3详解】设()()()2gxfxax=+−，根据题意有，120xx，12()()gxgx，故()gx单调递增，则()32112132agxxxx+=−++

，()gx在()0,+上单调递增，则有0x时，()0gx恒成立.而()()212gxxax=−++，即()2120xax−++恒成立，参变分离可得，则有21axx++，而222xx+（当且仅当2x=时等号成立），所以min222xx+=，即有221a−.2

0.设椭圆()222210+=xyabab的左、右顶点分别为12,AA，右焦点()10F,，21AF=．（1）求椭圆方程及其离心率；（2）已知点P是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线2AP交y轴于点Q，若1APQ△的面积是2AFP△面积

的2倍，求直线2AP的方程．【答案】（1）椭圆方程为22143xy+=，离心率为12（2）()622yx=−【解析】【分析】（1）由题意可知22221,1,,cAFacbac==−==−解方程组即可求出椭圆方程与离心率.（2）设出直线2AP的方程，

与椭圆方程联立，消元，可求出点P的坐标.通过画图可得出11212APQAAQAAPSSS=−，再代入相关点的坐标，分别求得1APQ△和2AFP△的面积，根据122APQAFPSS=计算即可.【小问1详解】由题意可知，21,1,cAFac==−=解

得2,1,ac==222413bac=−=−=，则椭圆方程为22143xy+=，椭圆的离心率为12cea==.【小问2详解】由题意可知，直线2AP的斜率存在且不为0，()22,0A，设直线方程为()2ykx=−，取0x=，得()0,2Qk−，联立()222,1

,43ykxxy=−+=得()2222431616120kxkxk+−+−=，Δ0，221612243Pkxk−=+，得228643Pkxk−=+，则21243Pkyk−=+．1121232216121112424224343

APQAAQAAPkkkSSSkkk−−=−=−−=++，2226112124343AFPkkSkk−==++.因为1APQ△的面积是2AFP△面积的2倍，3221612624343kkkkk−=++，即223k=，得62k=，直线2AP的方程为()622yx=−．21.

已知集合12,,,nAxxx=，*Nn，3n，若xA，yAÎ，xyA+或xyA−，则称集合A具有“包容”性．（1）判断集合1,1,2,3−和集合1,0,1,2−是否具有“包容”性；（2）若集合1,,Bab=具有“包容”性，求22ab+的值；（3）若集合C具有“包容”性，且

集合C的子集有64个，1C，试确定集合C．【答案】（1）集合1,1,2,3−不具有“包容”性，集合1,0,1,2−具有“包容”性（2）1（3）2,1,0,1,2,3−−，1131,,0,,1,222−−，2112,,0,,,133

33−−，3,2,1,0,1,2−−−或311,1,,0,,1222−−−．【解析】【分析】（1）根据“包容”性定义，逐一判断即可；（2）根据“包容”性的定义，能得到01,,ab，分类讨论，得出a和b的值，即可得出结果；（3）由集合C的子集有64

个，推出集合C中共有6个元素，且0C，再由条件1C，推出集合中有正数也有负数，将这几个元素设出来，再通过对正数负数个数的讨论，即可求出结果.【小问1详解】（Ⅰ）集合1,1,2,3−中的3361,1,2,3+=−，3301,1,2,3−=−，所以集合

1,1,2,3−不具有“包容”性．集合1,0,1,2−中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合1,0,1,2−，所以集合1,0,1,2−具有“包容”性．【小问2详解】（Ⅱ）已知集合1,,Bab=具有“包容”性，

记max1,,mab=，则1m，易得21,,mab，从而必有01,,ab，不妨令0a=，则1,0,Bb=，0b且1b，则1,11,0,bbb+−，且1,11,0,bbb+

−，的①当11,0,bb+时，若10b+=，得1b=−，此时1,0,1B=−具有包容性；若11b+=，得0b=，舍去；若1bb+=，无解；②当11,0,bb+时，则1,11,0,bbb−−，由0b且1b，可知b无解，故1,0,1B=−．

综上，221ab+=．【小问3详解】（Ⅲ）因为集合C的子集有64个，所以集合C中共有6个元素，且0C，又1C，且C中既有正数也有负数，不妨设1112,,,,0,,,,kklCbbbaaa−−−−

，其中5kl+=，10laa，10kbbL，根据题意1111{,,}{,,,}lllkkaaaabbb−−−−−−−LL，且1112112{,,,}{,,,}kklbbbbbbaaa−−−−LL，从而()(),2,3kl=或()3,2．①当()(),3,2k

l=时，313212,,bbbbaa−−=，并且由313212{,}{,}bbbbbb−+−+=−−，得312bbb=+，由2112{,}aaaa−，得212aa=，由上可得2131322111(,)(,)(,)(2

,)bbbbbbaaaa=−−==，并且31213bbba=+=，综上可知111113,2,,0,,2Caaaaa=−−−；②当()(),2,3kl=时，同理可得11111{2,,0,,2,3}Caaaaa=−−．综上，C中有6个元素，且1C时，符合条件的集

合C有5个，分别是2,1,0,1,2,3−−，1131,,0,,1,222−−，2112,,0,,,13333−−，3,2,1,0,1,2−−−或311,1,,0,,1222−−−．【点睛】关键点点睛：本题是新定义题型，对于此类问题，

要先弄清楚新定义的性质，按照其要求，严格“照章办事”，逐条分析验证。此题中，确定出01,,ab后，分类讨论满足定义的几种情况，就能顺利地完成.