【文档说明】上海市格致中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题 含解析.docx，共(17)页，970.615 KB，由小赞的店铺上传

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上海市格致中学2021-2022学年高一下期中数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分48分）1.已知向量(3,1)a=−与(,2)bx=共线，则x=_______．【答案】6−【解析】【分析】利用向量共线的坐标表示即可求解.【详解】因为向量(3,1)a=−与(,2)bx=共线，

所以()3210x−−=，故6x=−．故答案为：6−.2.已知是第四象限角，化简21sin−=_______．【答案】cos【解析】【分析】根据同角的平方关系即可化简得到结果.【详解】因为221sincoscos−==，且是第四象限角，则cos0，即coscos=，所以2

1sincos−=故答案为:cos3.已知扇形的圆心角18=，扇形的面积为，则该扇形的弧长的值是______.【答案】3【解析】【分析】先结合212Sr=求出r，再由lr=求解即可【详解】由21262SSrr===，则6183lr===故答案为：3【点睛

】本题考查扇形的弧长和面积公式的使用，属于基础题4.已知(1,2),(2,2)ab=−=−，则ab−的单位向量的坐标为_______．【答案】34,55−【解析】【分析】先由向量的线性运算求得(3,4)ab−=−，再由模的坐标表示求得5a

b−=，从而求得所求.【详解】因为(1,2),(2,2)ab=−=−，所以(3,4)ab−=−，故223(4)5ab−=+−=，则ab−的单位向量的坐标为34,55abab−−=−．故答案为：34,55−.5.若函数2sincos4=+

+yxax的最小值为1，则实数=a__________.【答案】5【解析】【分析】由辅助角公式得2sincosxax+的最小值为4a−+，由此可求得a值．【详解】2sincos44sin()4yxaxax=++=+++，其中tan2a=，且终边过点(2,)a．所以min441ya=−+

+=，解得5a=．故答案为：5．【点睛】本题考查三角函数辅助角公式，掌握辅助角公式对解题关键．设()sincosfxaxbx=+，则22()sin()fxabx=++，其中tanba=，角终边过点(,)ab．由此易求得函数的最值，易研究函数的其他性质．6.若

关于x的方程12cos2ax=无解，则a的取值范围是_____．【答案】(),1−−【解析】【分析】先由三角函数的值域得到2cos2,2yx=−，再由方程12cos2ax=无解得到

212a或212a−，解之即可.【详解】因为2cos2,2yx=−，所以由方程12cos2ax=无解可得212a或212a−，因为指数函数12xy=

在R上单调递减，且102xy=恒成立，所以由111222a−=得1a−，由212a−可知a，综上：1a−，则(),1a−−.故答案为：(),1−−.7.在ABC中，4a=，5b=，6c=，

则sin2sinAC=__________．【答案】1【解析】【详解】试题分析：222sin22sincos2cos44cos1sinsin332AAAaAbcaACCcbc+−=====考点：正余

弦定理解三角形8.已知ABAC⊥，1ABt=，ACt=,若点P是ABC所在平面内一点，且4ABACAPABAC=+，则PBPC的最大值等于________.【答案】13【解析】【分析】建立直角坐标系，由向量式的几何意义易得P的坐标，可化PBPC为1174tt−+

，再利用基本不等式求得它的最大值.【详解】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得()0,0A,1,0Bt,()0,Ct,4ABACAPABAC=+()1,4P,11,4PBt=−−，()1,4PCt=−−11P

BPCt=−−()144174ttt−=−+1172413tt−=,当且仅当14tt=，即12t=时，取等号PBPC的最大值为13,故答案为：13.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算,

涉及基本不等式求最值,属中档题.9.若1122llogsinsi2nog+=，且()coscos1279=，求()cos22+=____________.【答案】4972【解析】【分析】将等式化简可得1sinsin4=,2c

oscos3−=,可得()11cos12+=,进而利用二倍角公式求解即可【详解】由题,()111222loglogsinsinlgs2oinsin+==,即211sinsin24==，又()coscos1279=,则3coscos233−=,即2coscos

3−=,则()2111coscoscossinsin3412+=−=−−=−,所以()()()221149cos22cos22cos1211272+=+=+−=−−=故答案为4972

【点睛】本题考查对数、指数的计算法则,考查和角公式,考查余弦的二倍角公式,考查运算能力10.将函数()2sin3fxx=−(ω>0)的图像向左平移3个单位，得到函数y＝g(x)的图象．若y＝g(x)在0,4上为增函数，则ω的最大值为_______

_．【答案】2【解析】【详解】试题分析：根据“左加右减”原则，向左平移3个单位，可知()2sin2sin33gxxx=+−=，y＝g(x)在0,4上为增函数，可知周期

44T，所以1244，即2，的最大值为2．考点：三角函数的性质与图像的平移．11.设abc、、是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若():():()1:1:2abbcca=，则

ab的值为_______.【答案】132−【解析】【分析】利用():():()1:1:2abbcca=可设abk=，设,ab的夹角为，则,bc的夹角为，,ac的夹角为2或22−，利用得2aca

b=，建立方程关系求解即可.【详解】():():()1:1:2abbcca=，设abk=，则,2bckack==，abc、、是同一平面上的三个两两不同的单位向量，设,ab的夹角为，则,bc的夹角为，,ac的夹角为2或22−

，cos22()2cosacab===，22cos2cos10−−=，解得13cos2−=，或13cos2+=（舍去）.所以13cos2ab−==.故答案为：132−．【点睛】本题考查向量的数量积以及三角恒等变换求值，考查了转化与化归思想，属于

中档题.12.已知1A、2A、3A、4A、5A五个点，满足1120(1,2,3)nnnnAAAAn+++==，112||||21(1,2,3)nnnnAAAAnn+++=−=，则15||AA的最小值为______．【答案】263##263【解析】【分析】根据题意设出合理的向量

模，再将其置于坐标系中，利用坐标表示出15||AA，再用基本不等式求解出最值即可.【详解】由题意设12||AAx=，则23||1AAx=，3445||3,||35AAxAAx==，设1(0,0)A，如图，因为求15|

|AA的最小值，则2(,0)Ax，31(,)Axx，41(2,)Axx−，52(2,)3Axx−−，所以215224||9843AAxx=+，当且仅当22449xx=，即13x=时取等号，所以15||AA的最小值为263．故答案为：263.【点睛】关键点睛：首先是对向量模的合理假设

，然后为了进一步降低计算的复杂性，我们选择利用坐标法将涉及的各个点用坐标表示，最后得到212254||94xAAx=+，再利用基本不等式即可求出最值.二、选择题（本大题共有4小题，满分16分，每题4分）13.设m，n为非零向量，则“存在正数，使得mn=”是“0mn

”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据共线定理定理和平面向量的数量积的定义，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，存在正

数，使得=mn，所以m，n同向，所以||||cos,0mnmnmn=，即充分性是成立的，反之，当非零向量,ab夹角为锐角时，满足0mn，而=mn不成立，即必要性不成立，所以“存在正数，使得=mn”是“0mn”的充分不必要条件.故选A.【点睛】本题主要考查了以共线向量和向

量的数量积为背景的充分条件、必要条件的判定，着重考查了分析问题和解答问题的能力.14.函数π3tan34yx=−的一个对称中心是（）A.π,03B.π,06C.π,04−D.π,02−【答案】C【解析】【分析】求解出对称中

心为ππ,0,Z612kk+，对k赋值则可判断.【详解】令ππ3,Z42kxk−=，解得ππ,Z612kxk=+，所以函数π3tan34yx=−图象的对称中心是ππ,0,Z612kk+，令2k

=−,得函数π3tan34yx=−图像的一个对称中心是π,04−，故选：C.15.将函数sin(0)yx=的图象向左平移π6个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对

应函数的解析式是（）A.πsin6yx=+B.πsin6yx=−C.πsin23yx=+D.πsin23yx=−【答案】C【解析】【分析】依题意可得，7ππ3π2π,Z1262k

k+=+，从而可求得，结合平移后的函数图象可确定的取值范围，继而可得的值，最后得函数的解析式．【详解】解：函数sin(0)yx=的图象向左平移π6个单位，为ππsinsin66yxx=+=+，由图象得：7ππ3π2π,Z12

62kk+=+①，解得：82,Z3kk=+，又有图可知，最小正周期2πT=满足12π7π21232π7π412，即121877②结合①②得：2=平移后的图象所对应的函数的解析式为：πsin23yx

=+.故选：C．16.设,,,ABCD是平面直角坐标系中不同的四点，若(),ACABR=(),ADABR=且112+=，则称,CD是关于,AB的“好点对”．已知,MN是关于,AB的

“好点对”,则下面说法正确的是A.M可能是线段AB的中点B.,MN可能同时在线段BA延长线上C.,MN可能同时在线段AB上D.,MN不可能同时在线段AB的延长线上【答案】D【解析】【详解】试题分析：解：若M是线段AB的中点，则12=,从而112

0==这是不可能的，所以选项A不正确.若,MN同时在线段BA延长线上，则有1,1−−，与112+=矛盾，所以选项B不正确.若,MN同时在线段AB上，则有01,01，所以112+与112+=矛盾，所

以选项C不正确.若,MN同时在线段AB的延长线上，则有1,1，所以1102+与112+=矛盾，所以选项D正确.故选：D考点：数乘向量的概念与性质.三、解答题（本大题共4题，满分56分）17.已知25cos()5+=，1tan7=，且

π,0,2．（1）求22cos2sinsincos−+的值；（2）求2+的值．【答案】（1）2725（2）π4【解析】【分析】（1）利用22sincos1+=将所求式子转化为齐次分式，从而利

用sintancos=即可得解；（2）先由25cos()5+=及π,0,2求得5sin()5+=，从而得到1tan()2+=，再利用正切的和差公式求得1tan3=，进而得解.【小问1详解】因为1t

an7=，所以222222cos2sinsincoscos2sinsincossincos−+−+=+2212tantan27tan125−+==+．【小问2详解】因π,0,2，所以0π+，又因为25cos()5+=，所以π02

+，()25sin()1cos5+=−+=，所以1tan()2+=，又1tan7=，所以由tantan1tan()1tantan2++==−，解得1tan3=，所以1

1tan()tan23tan(2)tan[()]111tan()tan16++++=++===−+−，又π02+，π02，故02π+，所以π24+=．18.已知向量()cos,1mx=−r，向量13sin,2nx=−，函数()(

)fxmnm=+rrr．（1）求函数()fx的最小正周期T，以及()fx在π0,2上的单调区间；为（2）已知,,abc分别为ABC内角A、B、C的对边，且A为锐角，1a=，3c=，(A)f恰是()

fx在π0,2上的最大值，求ABC的面积．【答案】（1）()fx的最小正周期πT=.()fx在π0,6上递增，在ππ,62上单减.（2）32或34.【解析】【分析】（1）先求出()π

sin226fxx=++，即可求出最小正周期和单调区间；（2）先求出角A，再利用正弦定理求出角C，即可求出B，进而求出ABC的面积．【小问1详解】因为向量()cos,1mx=−r，向量13sin,2nx=−，函数()()fxmnm=+rrr，所以()()fxmnm

=+rrr()3cos3sin,cos,12xxx=+−−23cos3sincos2xxx=++31cos2sin2222xx=++πsin226x=++所以函数()fx的最小正周期2ππ2T

==.令π26tx=+，因为π0,2x，所以π7π,66t.因为sinyt=在ππ,62上递增，在π7π,26上单减，所以()fx在π0,6

上递增，在ππ,62上单减.小问2详解】由题意及（1）中的单调性，可得：π6A=.在ABC中，1a=，3c=，由正弦定理sinsinacAC=得：13πsinsin6C=，解得：3sin2C=.所以π3C=或2π3C=

.当π3C=时，π2B=,所以ABC的面积113sin131222ABCSacB==创?;当2π3C=时，π6B=,所以ABC的面积1113sin132224ABCSacB===.故ABC的面积为32

或34.19.如图，梯形ABCD，2DA=，π3CDA=，2=DACB，E为AB中点，(0)DPDC=．（1）当13=时，用向量,DCDA表示的向量PE；（2）若||(=DCtt为大于零的常数），求||PE的最小值，并指出相应的实数的值．【答案】（1

）3146PEDADC=+（2）334；1324=+t【解析】【分析】（1）结合图形，先证得四边形ABCF是平行四边形，从而利用向量的线性运算即可得解.（2）结合（1）中的结论，得到PE关于的表达式，进而利用向量的数量积运算求模得到2PE关于的二次表达式，从而可求得||PE的最小值及相应的

值.【小问1详解】过C作//CFAB交AD于F，如图，【因为2=DACB，所以//DABC，2DABC=，则四边形ABCF是平行四边形，故22DABCAF==，即F是AD的中点，所以111111222242===−=−BEBACFDFDCDADC，当13=

时，23=PCDC，所以211131324246=++=++−=+PEPCCBBEDCDADADCDADC．.【小问2详解】因为DPDC=，所以(1)=−PCDC，所以111(1)242PEPCCBBEDCDADADC=++=−++−1324DCDA=−+，因

为2cos60DCDAtt==，22=DCt，24=DA，所以22221931132724222416PEttt=−++−=−++，所以当1324t−=−，即1324=+t时，2PE取得最小值2716．所以PE的

最小值为334，此时1324=+t．20.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2fxAx=+在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：x23−π31x2x10π3x+0π2π322πsin()x+0101−0

()fx0302y0（1）请利用上表中的数据，写出1x、2y的值，并求函数()fx的解析式；（2）将函数()fx图象向右平移2π3个单位，再把所得图象上各店的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()gx的图象，若|()|2gxm−在,42上恒成立，求实数m的取值

范围；（3）在（2）的条件下，若23()()()13=+−Fxgxagx在(0,2019π)x上恰有奇数个零点，求实数a与零点个数n的值．【答案】（1）14π3x=，23y=−，函数()fx的解析式为1π()3sin23fxx=+；（2）632,22−+

；（3）2a=,()Fx在(0,2019π)共有3029个不同的零点.【解析】【分析】（1）利用“五点法”列方程求出1x、2y的值，进而求出解析式；（2）先利用图像变换求出()3singxx=，列不等式组即可求出

实数m的取值范围；（3）令sintx=,考虑方程2310tat+−=的根的情况，11,1t−或21,1t−，分类讨论：①1211tt−，②12(1,1),1,1tt−−和2

1(1,1),1,1tt−−，③21t=，④11t=−,分别求解.【小问1详解】由“五点法”及表格数据分析可得：3A=.所以23y=−.由2π03ππ32−+=+=，解得：12π3

==，所以1π()3sin23fxx=+.的由11ππ23x+=，解得：14π3x=.综上所述：14π3x=，23y=−，函数()fx解析式为1π()3sin23fxx=+.【小问2详解】由（1）知1π()3sin23fxx

=+,将函数()fx的图象向右平移2π3个单位，得到ππ3sin()3sin2332xxy=−+=，再把所得图象上各店的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()gx的图象，所以()3singxx=.当ππ,42

x时，6()3sin,32tgxx==.因为|()|2gxm−在ππ,42上恒成立，所以||2tm−在6,32t上恒成立，所以||2mt−在6,32t上恒成立，所以22tmt−+在6,32t上恒成立，所以6

3222m−+.即实数m的取值范围为632,22−+.【小问3详解】由（2）可知：2()3sinsin1Fxxax=+−，()Fx周期为2πT=.当(0,2πx时,令sintx=,考虑

方程2310tat+−=根的情况：因为2120a=+，所以方程2310tat+−=在R上必有两个不同的实数根1212,,tttttt==.因为()Fx在(0,2019π)有奇数个零点,所以11,1t−或21,1t−.①若1

211tt−，则方程12sin,sintxtx==在(0,2π共有4个不同的实数根,在(0,π)有0个或2个实数根.的的所以()0Fx=在(0,2019π)有20191440362−=个根或201914240382−+=个根，与()Fx有奇数个零点相矛

盾，舍去；②若12(1,1),1,1tt−−，则1sintx=在在(0,2π共有2个不同的实数根,在(0,π)有0个或2个实数根.所以()0Fx=在(0,2019π)有20191220182−

=个根或201912220202−+=个根，与()Fx有奇数个零点相矛盾，舍去.同理：21(1,1),1,1tt−−也不符合题意，舍去.所以11t=−或21t=③若21t=,则2a=−,方程2310tat+−=的根121,13tt=−=.方程1sin,1sin3xx−

==在(0,2π共有3个不同的实数根,而在(0,π)上1sin3x−=无解，1sinx=有一个不同的根,,所以()0Fx=在(0,2019π)在201913130282−+=个根，与()Fx有奇数个零点相矛盾，舍去.④若

11t=−,则2a=,此时2310tat+−=的根为211,13tt==−.方程1sin,1sin3xx=−=在(0,2π共有3个不同的实数根,而在(0,π)上1sin3x=有两个不同的根,1sinx−=无解

,所以()0Fx=在(0,2019π)在201913230292−+=个根，符合题意.综上所述：2a=,()Fx在(0,2019π)共有3029个不同的零点.