【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题5.6 诱导公式-重难点题型检测 Word版含解析.docx，共(10)页，30.887 KB，由管理员店铺上传

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专题5.6诱导公式-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·黑龙江·高三开学考试）平面直角坐标系中，角𝛼的终边经过点𝑃(1,√3)，则cos(𝛼+𝜋2)

=（）A．−√32B．−12C．√32D．12【解题思路】根据给定条件，利用三角函数定义结合诱导公式计算作答.【解答过程】依题意，点𝑃(1,√3)到原点距离𝑟=√12+(√3)2=2，所以cos(𝛼+𝜋2)=−sin𝛼=−√32.故选：A.2．（3分

）（2022·黑龙江·高三阶段练习）已知tan𝛼=−3，则sin(π+𝛼)⋅cos(π−𝛼)=（）A．−910B．−310C．310D．910【解题思路】利用三角函数诱导公式化简可得sin(π+𝛼)⋅cos(π−𝛼)=sin𝛼cos𝛼，继而将sin𝛼cos𝛼化为sin𝛼cos�

�sin2𝛼+cos2𝛼，根据三角函数齐次式法求值，可得答案.【解答过程】由题意得sin(π+𝛼)⋅cos(π−𝛼)=sin𝛼cos𝛼=sin𝛼cos𝛼sin2𝛼+cos2𝛼=tan𝛼tan2𝛼+1=−3(−3)2+1

=−310，故选：B.3．（3分）（2022·江苏南通·高一期末）若𝛼，𝛽的终边（均不在y轴上）关于x轴对称，则（）A．sin𝛼+sin𝛽=0B．cos𝛼+cos𝛽=0C．sin2𝛼+sin2𝛽=0D．tan𝛼−tan𝛽=

0【解题思路】因为𝛼，𝛽的终边（均不在𝑦轴上）关于𝑥轴对称，则𝛼+𝛽=2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，然后利用诱导公式对应各个选项逐个判断即可求解．【解答过程】因为𝛼，𝛽的终边（均不在𝑦轴上）关于𝑥轴对称，则𝛼+𝛽=2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，选项𝐴:sin𝛼+sin�

�=sin𝛼+sin(2𝑘𝜋−𝛼)=sin𝛼−sin𝛼=0，故𝐴正确，选项𝐵:cos𝛼+cos𝛽=cos𝛼+cos(2𝑘𝜋−𝛼)=2cos𝛼≠0，故𝐵错误，选项𝐶:sin2𝛼+sin2𝛽=sin2𝛼+sin2(2𝑘𝜋

−𝛼)=2sin2𝛼≠0，故𝐶错误，选项𝐷:tan𝛼−tan𝛽=tan𝛼−tan(2𝑘𝜋−𝛼)=tan𝛼+tan𝛼=2tan𝛼≠0，故𝐷错误，故选：𝐴．4．（3分）（2022·全国·高三专题练习）若cos(𝛼+𝜋)=−23，则

sin(−𝛼−3𝜋2)=（）A．23B．−23C．√53D．−√53【解题思路】利用诱导公式即可得到结果.【解答过程】∵cos(𝛼+𝜋)=−cos𝛼=−23，∴cos𝛼=23，∴sin(−𝛼−3𝜋2)=cos𝛼=23.故选：A.5．（3分

）（2022·广东·高二阶段练习）如果sin𝛼=13，那么sin(π+𝛼)−cos(π2−𝛼)等于（）A．−2√23B．−23C．23D．2√23【解题思路】根据诱导公式化简即可得解.【解答过程】∵sin𝛼=

13，∴sin(π+𝛼)−cos(π2−𝛼)=−sin𝛼−sin𝛼=−2sin𝛼=−23.故选：B.6．（3分）（2022·河北·高一开学考试）在△𝐴𝐵𝐶中，下列关系一定成立的是（）A．sin𝐴+sin𝐶=sin𝐵B．sin(𝐴+𝐵)=cos𝐶C．cos(𝐵+𝐶)

=−cos𝐴D．tan(𝐴+𝐶)=tan𝐵【解题思路】利用三角形的内角和定理和诱导公式依次判断各个选项即可.【解答过程】对于A，若𝐴=𝐵=𝐶=𝜋3，则sin𝐴+sin𝐶=√3≠sin𝐵，A错误；对于B，

sin(𝐴+𝐵)=sin(𝜋−𝐶)=sin𝐶，B错误；对于C，cos(𝐵+𝐶)=cos(𝜋−𝐴)=−cos𝐴，C正确；对于D，tan(𝐴+𝐶)=tan(𝜋−𝐵)=−tan𝐵，D错误.故选：C.7．（3分）（2022·辽宁·高三

阶段练习）已知点𝐴是单位圆与𝑥轴正半轴的交点，点𝐵在第二象限.记∠𝐴𝑂𝐵=𝜃且sin𝜃=45.则sin(𝜋+𝜃)+2sin(𝜋2−𝜃)2tan(𝜋−𝜃)=（）A．320B．34C．−310D．−34【解题思路】利用同角三角函数平方和商数关系可求得cos𝜃,t

an𝜃，利用诱导公式化简所求式子，代入已知三角函数值即可求得结果.【解答过程】由题意知：𝜃∈(𝜋2,𝜋)，∴cos𝜃=−√1−sin2𝜃=−35，tan𝜃=sin𝜃cos𝜃=−43，∴sin(𝜋+𝜃)+2sin(𝜋2−𝜃)2tan(𝜋−𝜃)=−sin𝜃+2cos𝜃

−2tan𝜃=−45−6583=−34.故选：D.8．（3分）（2021·全国·高一专题练习）已知𝛼=−37𝜋6，则2sin(𝜋+𝛼)⋅cos(𝜋−𝛼)−cos(2𝜋−𝛼)1+sin2(𝜋−𝛼)+sin(𝜋+𝛼)−cos2(2𝜋+𝛼

)的值为（）A．−√3B．−√32C．√32D．12【解题思路】由诱导公式化简后计算【解答过程】由诱导公式化简原式得−2sin𝛼(−cos𝛼)−cos𝛼1+sin2𝛼−sin𝛼−cos2𝛼=cos𝛼(2sin𝛼−1)sin𝛼(2sin𝛼−1)=cos𝛼sin𝛼=1t

an𝛼，当𝛼=−37𝜋6时，tan𝛼=tan(−37𝜋6)=tan(−𝜋6)=−√33，1tan𝛼=−√3，故选：A.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·全国·高一单元测试）已知𝑥

∈𝐑，则下列等式恒成立的是（）A．sin(−𝑥)=sin𝑥B．sin(3𝜋2−𝑥)=cos𝑥C．cos(𝜋2+𝑥)=−sin𝑥D．tan(𝑥+𝜋)=tan𝑥【解题思路】由三角函数的诱导公式化简可得.【解答过程

】∵sin(−𝑥)=−sin𝑥，故A不成立；∵sin(3𝜋2−𝑥)=−cos𝑥，故B不成立；∵cos(𝜋2+𝑥)=−sin𝑥，故C成立；∵tan(𝑥+𝜋)=tan𝑥，故D成立.故选：CD.10．（4分）（2022·山东东营·高一期中）在平面直角坐标系中，角𝛼的始

边为𝑥的正半轴，终边经过点(−1,2)，则下列式子正确的是（）A．sin𝛼+cos𝛼sin𝛼−7cos𝛼=−19B．cos(5𝜋−𝛼)=−√55C．2sin2𝛼+sin𝛼cos𝛼−3cos2𝛼=35D．若𝛼为钝角，则𝜋2<

𝛼<2𝜋3【解题思路】根据终边上的点求出三角函数值进行计算，诱导公式，余弦函数在第二象限单调递减即可解决.【解答过程】解：因为角𝛼终边经过点(−1,2)，则sin𝛼=2√(−1)2+22=2√55,cos𝛼=−1√(−1)2+22=−√55,对于A：s

in𝛼+cos𝛼sin𝛼−7cos𝛼=2√55−√552√55+7√55=19，故A错误；对于B：cos(5𝜋−𝛼)=−cos𝛼=√55，故B错误；对于C：2sin2𝛼+sin𝛼cos𝛼−3cos2𝛼=2×45+2√55×(−√55)−3×15=35，故C正确；对于D：

因为当𝛼∈[𝜋2,𝜋]，𝑦=cos𝛼单调递减，而−12<cos𝛼=−√55<0，即cos2𝜋3<cos𝛼<cos𝜋2，所以𝜋2<𝛼<2𝜋3，故D正确.故选：CD.11．（4分）（2022·全国·高一课时练习）已知sin(𝑥+𝜋4)=−√55

,𝑥∈(𝜋2,𝜋)，则（）A．cos(𝑥+𝜋4)=−2√55B．tan(𝑥+𝜋4)=2C．cos(𝜋4−𝑥)=−√55D．sin(𝜋4−𝑥)=2√55【解题思路】依题意，可得𝑥+𝜋4∈(𝜋,5𝜋4)，再结合s

in(𝑥+𝜋4)=−√55，利用同角三角函数间的关系及诱导公式，对四个选项逐一判断可得答案．【解答过程】解：∵𝑥∈(𝜋2,𝜋),∴𝑥+𝜋4∈(3𝜋4,5𝜋4)，又sin(𝑥+𝜋4)=−√55,∴𝑥+𝜋4∈(

𝜋,5𝜋4)，∴cos(𝑥+𝜋4)=−√1−sin2(𝑥+𝜋4)=−2√55，故A正确；∴tan(𝑥+𝜋4)=sin(𝑥+𝜋4)cos(𝑥+𝜋4)=12，故B错误；又cos(𝜋4−𝑥)=cos[𝜋2−(𝑥+𝜋4)

]=sin(𝑥+𝜋4)=−√55，故C正确；sin(𝜋4−𝑥)=sin[𝜋2−(𝑥+𝜋4)]=cos(𝑥+𝜋4)=−2√55≠2√55，故D错误，故选：AC．12．（4分）（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中

，下列关系式恒成立的有（）A．sin(𝐴+𝐵)=sin𝐶B．cos(𝐴+𝐵2)=sin𝐶2C．sin(2𝐴+2𝐵)+sin2𝐶=0D．cos(2𝐴+2𝐵)+cos2𝐶=0【解题思路】结合三角形的内角和定理和诱导公式，准确运算

，即可求解.【解答过程】对于A中，由sin(𝐴+𝐵)=sin(𝜋−𝐶)=sin𝐶，所以A正确；对于B中由cos(𝐴+𝐵2)=cos(𝜋2−𝐶2)=sin𝐶2，所以B正确；对于C中，由sin(2𝐴+2𝐵)+sin2𝐶=sin[2(𝐴+𝐵

)]+sin2𝐶=sin[2(𝜋−𝐶)]+sin2𝐶=sin(2𝜋−2𝐶)+sin2𝐶=−sin2𝐶+sin2𝐶=0，所以C正确；对于D中，cos(2𝐴+2𝐵)+cos2𝐶=c

os[2(𝐴+𝐵)]+cos2𝐶=cos[2(𝜋−𝐶)]+cos2𝐶=cos(2𝜋−2𝐶)+cos2𝐶=cos2𝐶+cos2𝐶=2cos2𝐶，所以D错误．故选：ABC.三．填空题（共4小题，满分16分，每小

题4分）13．（4分）（2022·全国·高一）cos330°+sin(−30°)+tan83𝜋+cos90°=−√3+12．【解题思路】根据诱导公式及特殊角三角函数值，即可求解.【解答过程】cos330°

+sin(−30°)+tan83𝜋+cos90°=cos(360°−30°)−sin30°+tan(3𝜋−𝜋3)=cos30°−12−tan𝜋3=√32−12−√3=−√3+12.故答案为：−√3+12.14．（4分）（202

2·湖北·高一阶段练习）若sin(𝜋6+𝛼)=13，则sin(5𝜋6−𝛼)+cos(2𝜋3+𝛼)=0．【解题思路】根据诱导公式计算．【解答过程】sin(5𝜋6−𝛼)+cos(2𝜋3+𝛼)

=sin[𝜋−(𝜋6+𝛼)]+cos[𝜋2+(𝜋6+𝛼)]=sin(𝜋6+𝛼)−sin(𝜋6+𝛼)=0，故答案为：0.15．（4分）（2022·全国·高一课时练习）化简：cos(𝜃+4𝜋)cos2(𝜃+𝜋)sin2(𝜃+3

𝜋)sin(𝜃−4𝜋)sin(5𝜋+𝜃)cos2(−𝜃−𝜋)=−cos𝜃．【解题思路】利用诱导公式进行化简即得.【解答过程】原式=cos𝜃⋅cos2𝜃⋅sin2𝜃sin𝜃⋅(−sin𝜃)⋅cos2𝜃=−cos𝜃.故答案为：−cos𝜃.16．（

4分）（2022·上海市高三阶段练习（理））已知△𝐴𝐵𝐶，若存在△𝐴1𝐵1𝐶1，满足cos𝐴sin𝐴1=cos𝐵sin𝐵1=cos𝐶sin𝐶1=1，则称△𝐴1𝐵1𝐶1是△𝐴𝐵𝐶的一个“友好”三角形．在满足下述条件的三角形中，存在“

友好”三角形的是②：（请写出符合要求的条件的序号）①𝐴=90°，𝐵=60°，𝐶=30°；②𝐴=75°，𝐵=60°，𝐶=45°；③𝐴=75°，𝐵=75°，𝐶=30°．【解题思路】满足cos𝐴sin�

�1=cos𝐵sin𝐵1=cos𝐶sin𝐶1=1,根据诱导公式，则有𝐴1=𝜋2±𝐴,𝐵1=𝜋2±𝐵,𝐶1=𝜋2±𝐶.逐一验证选项即可．【解答过程】满足cos𝐴sin𝐴1=cos𝐵sin𝐵1=cos

𝐶sin𝐶1=1,则有𝐴1=𝜋2±𝐴,𝐵1=𝜋2±𝐵,𝐶1=𝜋2±𝐶．对于①,cos𝐴=cos90°=0,显然不成立．对于②，可取𝐴1=15°,𝐵1=30°,𝐶1=135

°满足题意．对于③，由𝐴=75°,𝐵=75°，则𝐴1,𝐵1可取的角为15°或165°,若有一个角为165°,另一个角15°,此时△𝐴1𝐵1𝐶1大于180°,不合题意,故𝐴1=𝐵1=15°,𝐶1=60°或𝐶1=120°,不合题意.所以③

不满足．故答案为②．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2021·全国·高一专题练习）求证：2sin(𝜃−3𝜋2)cos(𝜃+𝜋2)−11−2sin2𝜃=tan(9𝜋+𝜃)+1tan(𝜋+𝜃)−1.【解题思路】左边由诱导公式平方关系化简变形，右边用诱

导公式，商数关系化简变形可证．【解答过程】左边=−2cos𝜃⋅sin𝜃−1sin2𝜃+cos2𝜃−2sin2𝜃=−(sin𝜃+cos𝜃)2(cos𝜃+sin𝜃)(cos𝜃−sin𝜃)=sin𝜃+cos𝜃sin𝜃−cos𝜃，右边=tan

(8𝜋+𝜋+𝜃)+1tan(𝜋+𝜃)−1=tan(𝜋+𝜃)+1tan(𝜋+𝜃)−1=tan𝜃+1tan𝜃−1=sin𝜃cos𝜃+1sin𝜃cos𝜃−1=sin𝜃+cos𝜃sin𝜃−cos𝜃，所以等式成立.18．

（6分）（2022·福建省高三阶段练习）已知角𝜃是第二象限角，其终边与以原点为圆心的单位圆交于点𝑃(−1213,𝑦).(1)写出三角函数sin𝜃，cos𝜃的值；(2)求sin(𝜋2−𝜃)⋅tan𝜃+sin(𝜋−𝜃)cos(−𝜃)的值．【解题思路】（1）先利用单位圆解出𝑃的

坐标，然后根据三角函数定义求解;（2）先根据诱导公式化简解析式，即可得到答案【解答过程】（1）因为角𝜃的终边与以原点为圆心的单位圆交于点𝑃(−1213,𝑦)，所以(−1213)2+𝑦2=1，解得𝑦=±513，因为角𝜃是第二象限角，所以𝑦=513，所以角𝜃的终边与以原点为圆心的单位圆

交于点𝑃(−1213,513)，∴sin𝜃=𝑦=513，cos𝜃=𝑥=−1213；（2）sin(𝜋2−𝜃)⋅tan𝜃+sin(𝜋−𝜃)cos(−𝜃)=cos𝜃⋅tan𝜃+sin𝜃cos𝜃=2sin𝜃cos𝜃=2tan𝜃=2⋅𝑦𝑥=2×

513−1213=−56.19．（8分）（2022·安徽·高三阶段练习）已知tan𝜃=32.(1)求sin𝜃(sin𝜃+cos𝜃)cos2𝜃−1的值；(2)求2sin3(π+𝜃)tan(3π−𝜃)sin(−𝜃)cos(π2+𝜃)cos(3π2−𝜃)的

值.【解题思路】（1）根据平方关系及商数关系化弦为切，即可得解；（2）利用诱导公式化简，再根据平方关系化弦为切即可得解.【解答过程】（1）解：sin𝜃(sin𝜃+cos𝜃)cos2𝜃−1=sin2𝜃+sin𝜃cos𝜃−

sin2𝜃=−1−cos𝜃sin𝜃=−1−1tan𝜃=−1−23=−53；（2）解：2sin3(π+𝜃)tan(3π−𝜃)sin(−𝜃)cos(π2+𝜃)cos(3π2−𝜃)=(−2sin3𝜃)(−

tan𝜃)(−sin𝜃)(−sin𝜃)(−sin𝜃)=−2sin2𝜃tan𝜃=−3sin2𝜃=−3sin2𝜃sin2𝜃+cos2𝜃=−3tan2𝜃tan2𝜃+1=−3×(32)2(32)2+1=−2713.20．（8分）（2022·全国

·高一课时练习）已知𝐴、𝐵、𝐶为△𝐴𝐵𝐶的三个内角，求证：sin(𝐴2+π4)=cos(𝐵+𝐶2−π4)【解题思路】利用三角形的内角和定理可得出𝐵+𝐶2=π−𝐴2，再结合诱导公式可证得原等式成立.【解答过程】证明：在△𝐴𝐵𝐶中，

𝐴+𝐵+𝐶=π，则𝐵+𝐶2=π−𝐴2.所以，cos(𝐵+𝐶2−π4)=cos(π−𝐴2−π4)=cos(π2−𝐴2−π4)=cos[π2−(𝐴2+π4)]=sin(𝐴2+π4)，故原等式得证.21．（8分）（20

22·全国·高三专题练习）已知𝑓(𝛼)=sin(𝛼−𝜋2)cos(3𝜋2+𝛼)tan(𝜋−𝛼)tan(−𝜋−𝛼)sin(−𝜋−𝛼)(1)化简𝑓(𝛼)(2)若cos(𝛼−3𝜋2)=15，α为第三象限角，求𝑓(𝛼)的值.【解题思路】（1）由诱导公式即可化简

；（2）先求得sin𝛼=−15，再根据同角三角函数关系即可求得𝑓(𝛼)=−cos𝛼.【解答过程】（1）原式=−cos𝛼×sin𝛼×（−tan𝛼）−tan𝛼×sin𝛼=−cos𝛼即𝑓(𝛼)=−cos𝛼.（2）由cos(𝛼−3𝜋2)=15，得−sin

𝛼=15，即sin𝛼=−15.∵𝛼为第三象限角，所以cos𝛼=−√1−(−15)2=−2√65，∴𝑓(𝛼)=−cos𝛼=2√65.22．（2022·山东·高二阶段练习）求值：(1)sin(−1200°)cos1290°+cos(

−1020°)sin(−1050°)；(2)设𝑓(𝛼)=2sin(𝜋+𝛼)cos(3𝜋−𝛼)+cos(4𝜋−𝛼)1+sin2𝛼+cos(3𝜋2+𝛼)−sin2(𝜋2+𝛼)(1+2sin𝛼≠0)，求𝑓(−23𝜋6)．【解题思路】利用三角函数的诱导公式化简求值即

可.【解答过程】（1）原式=−sin1200°cos1290°−cos1020°sin1050°=−sin(3×360°+120°)cos(3×360°+210°)−cos(3×360°−60°)sin(

3×360°−30°)=−sin120°cos210°−cos(−60°)sin(−30°)=−sin（180°−60°）cos（180°+30°）−cos60°(−sin30°)=sin60°cos30°+cos60°sin30°=√

32×√32+12×12=1；（2）∵1+2sin𝛼≠0，∴𝑓(𝛼)=−2sin𝛼(−cos𝛼)+cos𝛼1+sin2𝛼+sin𝛼−cos2𝛼=2sin𝛼cos𝛼+cos𝛼2sin

2𝛼+sin𝛼=cos𝛼(2sin𝛼+1)sin𝛼(2sin𝛼+1)=cos𝛼sin𝛼，又∵sin(−23𝜋6)=sin(−4𝜋+𝜋6)=sin𝜋6=12，∵cos(−23𝜋6)=cos

𝜋6=√32，∴𝑓(−23𝜋6)=cos(−23𝜋6)sin(−23𝜋6)=√3212=√3.