【文档说明】北京市东城区2023-2024学年高一上学期期末统一检测数学试卷 Word版含解析.docx，共(15)页，775.835 KB，由小赞的店铺上传

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东城区2023-2024学年度第一学期期末统一检测高一数学2024.1本试卷共4页，满分100分.考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共30分）一、选择题：共1

0小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合NA=,22Bxx=−，则AB=（）A.1B.0,1C.1,0,1−D.2,1,0,1,2−−【答案】B【解析】【分析】根据集合的交运算法则直接计算即可.【详解】因为集合NA

=,22Bxx=−，所以0,1AB=，故选：B.2.下列函数中，与1yx=−是同一函数的是（）A.331yx=−B.()21yx=−C.211xyx−=+D.21yx=−【答案】A【解析】【分析】根据函数的定义域与对应关系逐项判断即可得答案.【详解】函数1yx=−的定义域为

R，对于A，函数3311yxx=−=−的定义域为R，且对应关系与函数1yx=−相同，故A正确；对于B，函数()21yx=−的定义域为R，但是()211yxx=−=−，对应关系与函数1yx=−不相同，故B错误；对于C，函数2

11xyx−=+的定义域为()(),11,−−−+，定义域不同，则不是同一函数，故C错误；对于D，函数21yx=−的定义域为R，且1yx=−，则对应关系与函数1yx=−不相同，故D错误.故选：A.3.下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A.()

3fxx=B.()2xfx=C.()1fxx=−D.()tanfxx=【答案】A【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性以及奇偶性即可求解.【详解】对于A，()()()()33,fxxxfxfx−=−=

−=−为奇函数，且为单调递增的幂函数，故A正确，对于B，()2xfx=为非奇非偶函数，故不符合，对于C，()1fxx=−为反比例函数，在()0,+和(),0−均为单调递增函数，但在定义域内不是单调递增，故不符

合，对于D，()tanfxx=在πππ,π,Z22kkk++-单调递增，但在定义域内不是单调递增，故不符合，故选：A4.下列命题中正确的是（）A.若ab，则11abB.若ab，则22acbcC.若22ab，则abD.若22abcc，则ab【答

案】D【解析】【分析】取特殊值结合不等式的性质，逐项判断即可.【详解】对于A,若取2,2ab==−，则1122−，即11ab，故A错误；对于B，令0c=，则有22acbc=，故B错误；对于C，令2,1ab=−=，则有ab，故C错误；对于D，根据不

等式性质可知D正确，故选:D.5.若1sin2=，π,π2，则()cosπ−的值为（）A.32−B.12−C.32D.12【答案】C【解析】【分析】根据同角三角函数的平方关系及诱导公式进行计算即可.【详解】因为1sin2=，π,π2，所以23

cos1sin2=−−=−，则()3cosπcos2−=−=，故选：C6.下列函数中，满足对任意的1x，()20,x+，都有()()()1212fxxfxfx=的是（）A.()12fxx=B.()lnfxx=C.()22fxx=D.()3fxx=−【答案】A【解析】【分析】根据各项函

数解析式，结合指对数运算性质或特例判断是否满足题设，即可得答案.【详解】对于A：若()12fxx=，则()()121212fxxxx=，()()()111222121212fxfxxxxx==，()()()1212fx

xfxfx=，成立；对于B：若()lnfxx=，由()()()1212fxxfxfx=，得()1212lnlnlnxxxx=，取121,2xx==，得ln20=不成立；对于C：若()22fxx=，由()()()1

212fxxfxfx=，得2222121224xxxx=，取121xx==，得24=不成立；对于D：若()3fxx=−，由()()()1212fxxfxfx=，得33331212xxxx−=，取121xx==，得11−=不成立..故选：A7.已知0.13a−=，13log5b=−，3lo

g2c=，则（）.A.abcB.b<c<aC.cbaD.acb【答案】D【解析】【分析】通过化简,,abc，并比较与1大小即可得出结论.【详解】由题意，0.131a−=，13333log5log5log4log21bc=−=

==，所以acb.故选：D.8.“角与的终边关于直线yx=对称”是“()sin1+=”的（）A.充分必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据终边关于yx=对称，得两角的关系，再由()sin1+=，得两角满足的关

系，根据充分必要条件的定义即可求解.【详解】角与的终边关于直线yx=对称,则π+=+2π,Z2kk,()sin1+=,则π+=+2π,Z2kk，“角与的终边关于直线yx=对称”是“()

sin1+=”的充分必要条件.故选:A9.某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间t（单位：年）之间的关系为0ektyy=．其中0y为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的75%．若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的10%，

则n的值约为（）（参考数据：lg20.301，lg30.477）A.20B.16C.12D.7【答案】B【解析】的【分析】由23e4k=可得2ln32ln2k=−，再代入1e10nk=，求解即可.【详解】根据题意可得2003e4kyy=，则23e4k=，32lnln32

ln24k==−，则经过n年时，有001e10nkyy=，即1e10nk=，则1lnln1010nk==−，所以lg101822lg32lg20.47720.301nnkk−−===−−，则16n=.故选：B.10.已知()fx是定义在5,5−上的偶函数，当50x−时，()fx的

图象如图所示，则不等式()0sinfxx的解集为（）A.()()(π,20,2π,5−−B.()()π,22,π−−C.)()()5,π2,02,π−−−D.)(5,2π,5−−【答案】C【解析】【分析】由已知结合偶函数的对称性可确定05x时函数性质，然后

结合分式不等式的求法可求．【详解】因为()fx是定义在[5−,5]上的偶函数，当50x−时，()fx单调递减，(2)0f−=，所以05x时，函数单调递增，()20f=,所以()0fx的解集[5−,2)(2−,5]

，()0fx的解集(2,2)−，当55x−时，sin0x的解集[5−,π)(0−,π)，sin0x时的解集(π−,0)(π,5]，则不等式()0sinfxx可转化为()0sin0fxx或()0si

n0fxx，解得5πx−−或20x−或2πx．故选：C．第二部分（非选择题共70分）二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分.11.函数1ln1yxx=++的定义域为______.【答案】()

0,+【解析】【分析】根据已知列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】要使函数1ln1yxx=++有意义，则应有010xx+，解得0x，所以函数1ln1yxx=++的定义域为()0,+.故答案为：()0,+.12.设0a，则4aaa++的最小值为__________.

【答案】5【解析】【详解】4aaa++441125aaaa=+++=，当且仅当2a=时取等号点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等

式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.13.已知23xya==，若111xy+=，则=a______．【答案】6【解析】【分析】先由指数式化为对数式可得2logx

a=，3logya=，再利用111xy+=即可求a的值.【详解】由23xya==，可得：2logxa=，3logya=，所以11log2log3log61aaaxy+=+==，则6a=，故答案为：614.在平面直角坐标系中，

角的终边不在坐标轴上，则使得tansincos成立的一个值为____________．【答案】π4-（答案不唯一）【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解.【详解】不妨考虑第四象限角，由sincos

tan1，取π4=-，此时22tan1,sin,cos22=−=-=，故答案为：π4-（答案不唯一）15.已知函数()()5log133xfx=−，则()2f______2（用“”“”“=”填空）；()fx的零点为__

____.【答案】①.②.3log12【解析】【分析】根据对数运算性质及对数的单调性比较大小，根据对数运算及指对互化求解函数的零点.【详解】()()25552log133log4log52f=−==，由()5l

og1330x−=得1331x−=，所以312x=，所以3log12x=，所以函数()fx的零点为3log12.故答案为：，3log1216.已知符号x表示不超过x的最大整数，若函数()xfxx=

（0x），给出下列四个结论：①当()0,1x时，()0fx=；②()fx为偶函数；③()fx在)1,2单调递减；④若方程()fxa=有且仅有3个根，则a的取值范围是3443,,4532

.其中所有正确结论的序号是______.【答案】①③④【解析】【分析】根据新定义分析()fx得到()fx的图象，即可判断①②③；将方程()fxa=有且仅有3个根转化为()fx与ya=的图象有3个交点，然后结合图象即可判断

④.【详解】因为符号x表示不超过x的最大整数，若函数()()0xfxxx=，所以当()0,1x时，0x=，则()0fx=；当)1,2x时，1x=，则()11,12fxx=；当)2,3x时，2x

=，则()22,13fxx=，当)3,4x时，3x=，则()33,14fxx=；当)4,5x时，4x=，则()44,15fxx=；当)5,6x时，5x=，则()

55,16fxx=；L当)1,0−x时，1x=−，则())11,fxx=−+；当)2,1x−−时，2x=−，则())21,2fxx=−；当)3,2x−−时，3x=−，则()3

31,2fxx=−；当)4,3x−−时，4x=−，则()441,3fxx=−；所以函数()()0xfxxx=的图象如图所示：对于①，由上面的图象可知，①是正确的，对于②，由上面的图象可知，②是错误的，对于③，由上面的图象可知，③是

正确的，对于④，由上面的图象可知43,3A−，32,2B−，34,4C，45,5D，因为方程()fxa=有且仅有3个根，等价于()fx与ya=的图象有3个交点，结合图象可知，当344

5a或4332a.故答案为：①③④.三、解答题：共5小题，共46分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.设全集U=R，集合220Axxx=+−，R1Bxxm=+．（1）求UAð；（2

）当1m=时，求AB；（3）若xA，都有xB，直接写出一个满足条件的m值．【答案】（1）{|2UAxx=−ð或1}x（2）|1ABxx=（3）3（答案不唯一）【解析】【分析】（1）解出集合A,直接求解

即可；（2）根据集合的并运算直接求解即可；（3）根据条件可知AB，列出条件，可解得m的范围，在范围内写出一个值即可.【小问1详解】因为220|21Axxxxx=+−=−，U=R，所以{|2UAxx=−ð或1}x.【小问2详解】当1m=时，R1|0Bxxmxx=+=

，则|1ABxx=.【小问3详解】R1|1Bxxmxxm=+=−，若xA，都有xB，则AB,所以11m−，则m>2，故m的值可以为3（答案不唯一）.18.已知函数()()22log4,022,2xxfxxxax=−−．（1）当1a

=时，①求()()1ff的值；②求()fx的图象与直线2y=的交点坐标；（2）若()fx的值域为R，求实数a的取值范围．【答案】18.()()1121,2,3,2−；19.)3,−+【解析】【分析】（1）①直接利用代入法即可求解；②令()2fx=分别求出x，即可求解；

（2）分别求出两段函数的值域，然后并集为R即可求解.【小问1详解】①当02x时，2()log(4)fxx=，所以2(1)log42f==，当2x时，2()21fxxx=−−，所以(2)1f=−，所

以((1))1ff=−；②当02x时，2()log(4)2fxx==，得242x=，解得1x=；当2x时，2()212fxxx=−−=，即2230xx−−=，解得3x=或-1（舍去），所以函数()fx的图象与直线2y=的

交点坐标为(1,2),(3,2)；【小问2详解】当02x时，048x，所以22log(4)log83x=，即当02x时，()(,3)fx−；当2x时，22()2(1)1fxxxaxa=−−=−−−，由2(1)1x−，得2()(1)111fxxaaa=−−−−−=

−，即当2x时，()[,)fxa−+，所以(,3)[,)Ra−−+=，得3a−，解得3a−，即实数a的取值范围为[3,)−+.19.已知函数()()sinfxAx=+（0A，0，π2

）的部分图象如图所示．（1）求()fx的解析式及单调递减区间；（2）当ππ,123x−时，求()fx最小值及此时x的值．【答案】（1）()π2sin23fxx=+；π7ππ,π,Z1212kkk++（2）0；π3x=【解析】【分析】（1）结合图象

，根据最小值可求得A,根据周期可求得，利于图象上点7π,212−可求得，继而求得解析式，整体代换可求得单调减区间；（2）根据变量范围，结合函数单调区间可直接求得()fx的最小值及此时x的值.【小问1详解】根据函数的最小值可知2A=,又2π7

ππ4π123T==−=,所以2=，的此时()()2sin2fxx=+，又过点7π,212−，所以7π22sin6−=+，所以7πsin16+=−，结合π2，所以π3=，故()π2sin23fxx=+

.令ππ3π2π22π,Z232kxkk+++,得π7πππ,Z1212kxkk++，所以()fx的递减区间为π7ππ,π,Z1212kkk++.【小问2详解】当ππ,123x−时,ππ2π63x+，所以当

ππ,2π33xx=+=时，()fx取最小值0，此时π3x=.20.已知()fx是定义在R上的奇函数，当0x时()32xxfx−=+．（1）求()fx的解析式；（2）根据定义证明()fx在)0,+上单调递减，并指出()fx在定义域内的单调性；（3

）若对任意的xR，不等式()()222430fkxfxx−+−−恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）3,02()3,02xxxfxxxx−+=−（2）证明见详解；()fx在R上的单调递减（3）(),1−−【解析】【分析

】（1）当0x时，利于奇函数的定义求解即可；（2）根据单调函数的定义证明即可，利于奇函数的性质可判断函数的单调性；（3）根据奇函数的定义及函数的单调性，转化不等式为2430xxk++−恒成立，利于Δ0，解不等式即可.【小问1详解】依题

()fx是定义在R上的奇函数，当0x时()32xfxx−=+，当0x时，0x−，则()()3322xxfxfxxx=−−=−=−+−，所以3,02()3,02xxxfxxxx−+=−.小问2详解】当)0,x+时，()32xfxx−=+，任取)12,0,x

x+，且12xx，则()()()()()()2112121212123232332222xxxxxxfxfxxxxx+−+−−=+=++++()()()2112622xxxx−=++，因为)12,0,xx+，且12xx，所以21120,20,20xxxx−++，故

()()120fxfx−，即()()12fxfx，所以()fx在)0,+上单调递减，根据奇函数的性质可知()fx在R上的单调递减.【小问3详解】【因为()()222430fkxfxx−+−−，化为()()22243fkxfxx−−−−，即()()222

43fkxfxx−−++，根据()fx在R上的单调递减，则22243kxxx−−++，在xR时恒成立，即2430xxk++−恒成立，故()Δ16430k=−−，解得1k−，故实数k的取值范围为(),

1−−.21.某地要建设一座购物中心，为了减少能源损耗，计划对其外墙建造可使用30年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层的建造成本为9万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度工（单位：cm）满足关系：45mPx=+（010

x）．若不建隔热层，每年能源消耗费用为6万元．设S为隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和．（1）求出S关于x的函数解析式；（2）若使隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和S控制在90万元以内，隔

热层的厚度不能超过多少厘米？隔热层的厚度为整数）【答案】（1）900945Sxx=++,010x（2）6【解析】【分析】（1）利于给定条件，求出m值，进而可得能源消耗费用与隔热层建造成本之和.（2）根据条件建立不等式，解出后进一步分析即可.【小问1

详解】依题意，当0x=时，65mP==，所以30m=，所以3045Px=+，010x，则900945Sxx=++（万元），010x.【小问2详解】的若90099045Sxx=++，不等式化为2435500x

x−+，解得355173551788x−+又355176.958+，所以隔热层的厚度不能超过6厘米.