【文档说明】陕西省西安市长安区2021届高三下学期5月第二次模拟考试理科数学试题含答案.doc，共(16)页，1.216 MB，由小赞的店铺上传

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长安区2021年高三年级第二次模拟试题理科数学本试卷分为选择题和非选择题两部分，总分150分。考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2.选择题答案使用2B铅笔

填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。4.保持答题卡清洁，不折叠、不破损。5.若做选考题时，考生按照题目要求作答

，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合}02{2−=xxxM，}{axxN=，若NM，则实数a的取值范围是（）A.2aB.2aC.2aD.

2a2．若复数z满足：3321izii−+=+（i为虚数单位），则z等于（）A．2i−B．2+iC．23i−D．2+3i3.已知“x>2”是“3x＋1<1”的()条件.A充分不必要B．必要不充分C．充要

D．既不充分也不必要4．设245=a，10log3=b，11log31−=c，则（）A．acbB．bacC．abcD．bca5．函数xycosln=，)2,2(−x的图像是（）A．B．C．D．6．设ml,是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是（）A.若⊥m

ml,，则⊥lB.若mll⊥⊥,，则//mC.若mll//,⊥，则⊥mD.若//,//ml，则ml//7．在2122nxx+的展开式中，21x的系数是14，则2x的系数是（）A．28B．5

6C．112D．2248.等差数列na中，12020a=，前n项和为nS，若101221210SS−=−，则2020S=（）A．1010B．2020C．1011D．20219.在△ABC中，D是BC的中点，已知2AD=

，22AC=，3cos4B=，则△ABC的面积为（）A．3B．5C．6D．710.2019年10月，德国爆发出“芳香烃门”事件，即一家权威的检测机构在德国销售的奶粉中随机抽检了16款(德国4款，法国8款，荷兰4款)，其中8款检测出芳香烃矿物油成分，此成分会严重危害婴幼儿的成长，有些奶粉

已经远销至中国．A地区闻讯后，立即组织相关检测员对这8款品牌的奶粉进行抽检，已知该地区有6家婴幼儿用品商店在售这几种品牌的奶粉，甲、乙、丙3名检测员分别负责进行检测，每人至少抽检1家商店，且检测过的商店不重复检测，则甲检测员至少检测3家商店的概率为（）A．518B．718C

．512D．71211.已知双曲线C：)0,0(12222=−babyax的左、右焦点分别为1F，2F，过点1F且斜率为724−的直线与双曲线在第二象限的交点为A，若0)(2121=+AFAFFF，则双曲线C的渐近线方

程是（）A、xy34=B、xy43=C、xy3=D、xy33=12.已知四棱锥ABCDP−的底面ABCD是矩形，其中2=AD，3=AB，面ABCD面⊥PAD，PDPA=，且直线PB与CD所成角的余弦值为13133，则四棱锥ABCDP−的外接球表面积为（）

A.328B.332C.343D.364二．填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知(1,2)a=−−,(4,2)b=−,25c=,()10acb+=−,则b与c的夹角的余弦值为__________．14．设,xy满足约束条件1,

1,22,xyxyxy−−+−，则2+3zxy=的取值范围为__________．15．任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“

角谷猜想”等），若5m=，则经过________次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m的所有可能取值组成的集合为________．16．已知)(xf是定义域为R的函数)(xf的导函数，若对任意实数x都有1)()(−xfxf，且有2)1(=f，则不等式11)(−−xexf的解集为_

_________．二、解答题：共70分。解答题应写出文字说明、证明或演算步骤。第17-21题为必考题，每小题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17、（本题12分）已知函数),

0)(sin()(+=xxf经过点),1,12(−)1,127(，且在区间)127,12(上单调.（1）求函数)(xf的解析式.（2）设))(3(*Nnnnfan=，求数列}{na的前60项和60S.18.已知等腰梯形ABCD，//ABCD，222ABADC

D===，沿AC将△ACD折起，使得平面ABC⊥平面ACD，连接BD，得到三棱锥DABC−.（1）求证：BC⊥平面ACD；（2）求二面角ABDC−−的正弦值.19.（本题12分）为了迎接十四运，提高智慧城市水平，西安公交公司近期推出支付宝和微信扫码支付乘

车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表下所

示：x1234567y611213466101196根据以上数据，绘制了散点图.（1）根据散点图判断，在推广期内，yabx=+与xycd=（,cd均为大于零的常数），哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及

表1中的数据，建立y与x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下表：支付方式现金乘车卡扫码比例10％60％30％西安公交六公司车队为缓解周边居民出行压力，以90万元的单价购进了一批新车，根

据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为0.66万元.已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有16的概率享受7折优惠

，有13的概率享受8折优惠，有12的概率享受9折优惠.预计该车队每辆车每个月有2万人次乘车，根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，请你估计这批车辆需要几年（结果取整数

年）才能盈利？参考数据：yv71iiixy=71iiixv=0.541062.141.54253550.123.47其中其中lgiivy=，7117iivv==，参考公式：对于一组数据11(,)uv，22(,)uv，，(,)nnuv，其回归直线ˆˆvu=+

的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆniiiniiuvnuvunu==−=−，ˆˆvu=−.20、（本题12分）已知点)0,2(1−A，)0,2(2A，动点),(yxP满足直线PA1与PA2的斜率之积为41−，记动点P的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线

.（2）曲线C与y轴正半轴的交点为点B，点M是曲线C上的一点（点M不在坐标轴上），若直线BA1与直线MA2交于点G，直线MA1与直线BA2交于点Q，求证：BGQ为等腰三角形.21、（本题12分）已知函数()ln(0)bfxaxxa=+．（1）当2b=时，求函数()fx的

单调区间；（2）当0ab+=，0b时，对任意121,,xxee，都有()()12e2fxfx−−成立，求实数b的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，作答

时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22、在直角坐标系xoy，直线l的参数方程为)(31为参数ttytx=+−=，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标为2cos3582−=.（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程.（2）已

知点)0,1(−P，曲线C与直线l交于BA,两点，求PBPA+的值.23、已知22)1()(−−−−=xaxxxf，Ra.（1）当2=a时，求不等式0)(xf的解集.（2）求)3()2(ff+的取值范围.72,2()1

22122kkkZ+=−+=+长安区2021年高三年级第二次模拟试题数学（理科）评分细则一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1--5:BDACB;6--10:CDBDA;11--12:AC三、填空题：本题共4小

题，每小题5分，共20分。13.12−14．2,1815．5,16．),1(+四、解答题：共70分。解答题应写出文字说明、证明或演算步骤。第17-21题为必考题，每小题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考

生根据要求作答。17．解（Ⅰ）由题可得，解得2=，22()3kkZ=−，∵||，∴23=−..........................（4分）所以函数)(xf的解析式为)322sin()(−=xxf..............................（5分）

（Ⅱ）))(3232sin(*Nnnnan−=，3.)}32-32n{sin(的周期为数列...（7分）又01=a，32=a，3233−=a，)23(3,23)13(,031323−=−==−−nanaannn（9分）233

1323−=++−−nnnaaa...............................................（10分）310)(2032160−=++=aaaS...................

.......................（12分）18、（1）等腰梯形ABCD，//ABCD，222ABADCD===，知：1===ADDCCB且60BDAB==，120D=，即Rt△ACB中90ACB=∴BCCA⊥，又面ABC面ACDCA=，BC面ABC，而面

ABC⊥面ACD∴BC⊥面ACD........................................................................................................

..........（4分）（2）如下图示，构建以C为原点，CB为x轴、CA为y轴、过C点垂直于面ABC的直线为z轴的空间直角坐标系，由题意知：(0,3,0)A，(1,0,0)B，31(0,,)22D，则31(0,,)22AD=−，(1,3,0)AB=−，31(0,,)22CD=，(1,

0,0)CB=-----------（6分）令(,,)mxyz=为面ABD的一个法向量，则3102230yzxy−+=−=，若y=1，有(3,1,3)m=.......................................................

.....（8分）令(,,)nxyz=为面CBD的一个法向量，则310220yzx+==，若y=1，有(0,1,3)n=−.................................................................（10分）m与n的夹角为，则7

7cos−==nmnm，故742sin=所以二面角CBDA−−的正弦值为742........................................................................（12分）19、（1）根据散点图判断，在推广期内，xy

cd=（,cd均为大于零的常数），适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型............................................（2分）（2）根据（1）的判断结果xycd=，两边取对数得l

glglgycdx=+，......................................（3分）其中lgiivy=，7111.547iivv===，7721150,12,4,140iiiiixxvx=====，71221lg0.2ˆ5

iiiniixvnxvdxnx==−===−，ˆˆlg0.54cvx==−=，所以lg0.540.25yx=+。所以0.540.250.25103.4710xxy+==。......

..................................（6分）当8x=时，0.540.2582103.4710347y+===。所以活动推出第8天使用扫码支付的人次3470人....................................

........................（7分）（3）设一名乘客一次乘车的费用为元，根据题意得可能取值为：1.4、1.6、1.8、211(1.4)0.30.05,(1.6)0.60.30.763pp=====+=，1(1.8)0

.30.15,(2)0.12pp=====，()1.40.051.60.71.80.1520.11.66E=+++=。......................（10分）假设这批车需要n

（n+N）年才能开始盈利，则nn+1266.09012266.1解得82.2n，所以需要3年才能盈利....（12分）（1）20、（1）设动点),(yxP，因为直线PA1与PA2的斜率之积为41−，所以)2(4122−=−+xxy

xy或)0(y.......................................（2分）化简得曲线C的方程为)2(1422=+xyx................................（3分）曲线C表示焦点在

x轴上的椭圆（不含左右顶点）...........................（4分）（2）方法1：易得()12,0A−，()22,0A，()0,1B，11:12AByx=+，21:12AByx=−+，设直线()11:2,02

AMykxkk=+，联立()22244ykxxy=++=，得()222241161640kxkxk+++−=，有韦达定理得228241Mkxk−+=+，2441Mkyk=+，......................................

..............（6分）2124MAMMykxk==−−，直线()21:24AMyxk=−−，联立()2112ykxyx=+=−+，得244,2121kkQkk−++

；..........................................................（8分）联立()124112yxkyx=−−=+，得)122,1242(++−kkkG，..

...................................................（10分）PQx⊥轴且PQ的中点N为24,121kk−+，//BNx轴，BN为BQG的

中线且PQBN⊥，BQG为等腰三角形．....................................................................................................（12分）方法2：设点)2)

(,(000xyxM)2)(2(20001++=xxxyyMA方程为直线)2)(2(20002−−=xxxyyMA方程为直线..............................................

.................（5分）)224,22)22(2(121)2(2000000000+−+−−++=−−=xyyxyyxGxyxxyy得)224,22)22(2(121)2(2000000000+++++−

+−=+−=xyyxyyxQxyxxyy得.................................（7分）22222222),(0000000000+++−=+−−+yxyxxyyxyxM在椭圆上，可证点又，所以有QGxx=.（9分）又可

得QP,的中点N的纵坐标又),(00yxM在椭圆，1484)1(8)224224(2122002000000000=+−++=++++−=+=xyyyyyxyxyyyyyGQN............（11分）//BNx轴，BN为BQG的中线且PQBN⊥，BQG为等腰三角形．..

..................................................................................................（12分）21、【详解】(1)函数()fx的定义域为()0,+

．当2b=时，()2lnfxaxx=+，所以()22'xafxx+=．①当0a时，()'0fx，所以函数()fx在()0,+上单调递增．②当0a时，令()'0fx=，解得：2ax=−，当02ax−时，()'0fx，所以

函数()fx在0,2a−上单调递减；当2ax−时，()'0fx，所以函数()fx在,2a−+上单调递增．.....（4分）综上所述，当0a时，函数()fx的单调递增区间为()0,+，无单调递减区间

；当0a时，函数()fx单调递减区间为0,2a−，单调递增区间为,2a−+．（5分）(2)对任意1x，21,xee，有()()122fxfxe−−成立，()()12()()maxminfx

fxfxfx−−，2)()(minmax−−exfxf成立.....................................................................................（6分）0ab+=，0b时，()()()1l

n.'bbbxfxbxxfxx−=−+=．当01x时，()'0fx，当1x时，()'0fx，()fx在1,1e单调递减，在1,e单调递增，1)1()(min==fxf，be

bef−+=)1(，bebef+−=)(...................................................（8分）设()()12bbgbfefeebe−=−=−−，(0)b，()'2220bbbbgbeeee−−=+−−=．()gb在(

)0,+递增，()()00gbg=，()1.fefe可得()()bmaxfxfebe==−+，..........................................

..（10分）12bbee−+−−，即10bebe−−+，设()1bbebe=−−+，(0)b，()'10bbe=−在()0,b+恒成立．()b在()0,+单调递增，且()10=，不等式10bebe−−+的解集为(0,1．实数b的取值范围为(0,1．...

................................（12分）22、（1）直线l参数方程消去参数t，可得313xy=−+，整理得330xy−+=，即直线l的普通方程为330xy−+=；...................................（2分）曲线C化为直角坐标方程

可得22234xyy++=，整理得2214xy+=，即曲线C的直角坐标方程为2214xy+=；.....................................................（5分）（2）直线l的参数方程可化为)()2(23)2(211为参数

ttytx=+−=，令tu2=得到)(23211为参数uuyux=+−=代入椭圆方程1422=+yx得0124132=−−uu，................（7分）13421=+uu

，131221−=uu131084)(2122121=−+=−=+uuuuuuPBPA（10分）23、（1）当2=a时，−+−+−=−−=)2(65)2(652)3()(22xxxxxxxxxf0)(xf，即−+−+−2065206522xxxxxx或

解得3x或2=x，所以不等式的解集是}23=xxx或................................................................................................

.........（5分）（2）+−−−=−−+−=+)2(63)32(2)3(1032322)3()2(aaxaaaaaff，..................................（7分）关于a的分段函数在)3,(−上单

调递减，在),3(+上单调递增................................（8分）所以当3=a时，)3()2(ff+取最小值1−，无最大值，所以取值范围为),1[+−..（10分）