【文档说明】陕西省西安市长安区2021届高三下学期5月第二次模拟考试文科数学试题含答案.doc，共(12)页，690.000 KB，由管理员店铺上传

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长安区2021年高三年级第二次模拟试题文科数学本试卷分为选择题和非选择题两部分，总分150分。考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、

准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域

书写的答案无效。4.保持答题卡清洁，不折叠、不破损。5.若做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合2{|2},{|}MxyxxNxxa==−=

，若MN，则实数a的取值范围是（）A．2aB．2aC．2aD．2a2．若复数z满足：3321izii−+=+（i为虚数单位），则z等于（）A．2i−B．2+iC．23i−D．2+3i3.已知“x>2”是“3x＋1

<1”的()条件.A充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要4．设524a=，3log10b=，则（）A．acbB．bacC．abcD．bca5．函数ππlncos22yxx=−的图象是()A．B．C．D．6．等差数列na中，12020

a=，前n项和为nS，若101221210SS−=−，则2020S=（）A．1010B．2020C．1011D．20217．对具有线性相关关系的变量,xy，测得一组数据如右表所示，由最小二乘法求得回归方程为0.952.6

yx=+，则表中看不清的数据为（）A．4.8B．5.2C．5.8D．6.28.在△ABC中，D是BC的中点，已知2AD=，22AC=，3cos4B=，则△ABC的面积为（）A．3B．5C．6D．79．秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现

代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法的程序框图如图所示，若输入的102,,...naaaa分别为，若，根据该算法计算当时多项式的值，则输出的结果为（）A．78B．88C．98D．10810．已知某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．13

B．23C．16D．5611.设F是双曲线C：)0,0(12222=−babyax的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若FBFA=3，则双曲线C的渐近线方程是（）A.xy2=B.xy22=C.xy3=D.xy33=12．已知四棱锥ABC

DP−的底面ABCD是矩形，其中2=AD，3=AB，面ABCD面⊥PAD，PDPA=，且直线PB与CD所成角的余弦值为13133，则四棱锥ABCDP−的外接球表面积为（）A.328B.332C.343D.364二．填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13

．已知(1,2)a=−−,(4,2)b=−,25c=,()10acb+=−,则b与c的夹角的余弦值为__________．14．设,xy满足约束条件1,1,22,xyxyxy−−+−，则2+3zxy=的取值范围为__________．15．任取一个正

整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若5m=，则经过______

__次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m的可能取值组成的集合为________．16．已知)(xf是定义域为R的函数)(xf的导函数，若对任意实数x都有1)()(−xfxf，且有2)1(=f，则不等式11)(−−

xexf的解集为__________．二、解答题：共70分。解答题应写出文字说明、证明或演算步骤。第17-21题为必考题，每小题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17.（本题12分）已知函数),0)(

sin()(+=xxf经过点),1,12(−)1,127(，且在区间)127,12(上单调.（1）求函数)(xf的解析式.（2）设))(3(*Nnnnfan=，求数列}{na的前60项和60S.18.(本题12分)为加强环境

保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：SO2PM2.5[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35

,75]6812(75,115]3710(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：SO2PM2.5[0,150](150,475][0,7

5](75,115](3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.82819．(本题12分)

如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAB是边长为2的等边三角形．梯形ABCD满足BC＝CD＝1，AB∥CD，AB⊥BC.(1)求证：PD⊥AB；(2)若PD＝2，求点D到平面PBC的距离．20.(本题12分)已知()ln1mfxnxx=++（m，n为常数），在1x=处的切线方程为20xy+−=．

（Ⅰ）求()fx的解析式并写出定义域；（Ⅱ）若1,1xe，使得对1,22t上恒有()3222fxttat−−+成立，求实数a的取值范围；21.（本题12分）已知点)0,2(1−A，)0,2(2A，动点),(yxP满足直线

PA1与PA2的斜率之积为41−，记动点P的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线.（2）曲线C与y轴正半轴的交点为点B，点M是曲线C上的一点（点M不在坐标轴上），若直线BA1与直线MA2交于点G，直线MA1与直线BA2交于点Q，求证：BGQ为等腰三角形.请考生在第22、23题中任

选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22.在直角坐标系xoy，直线l的参数方程为)(31为参数ttytx=+−=，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标为2cos3582−

=.（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程.（2）已知点)0,1(−P，曲线C与直线l交于BA,两点，求PBPA+的值.23.已知22)1()(−−−−=xaxxxf，Ra.（1）当2=a时，求不等式0)(xf的解集.（2）求)3()2(ff+的取值范围.长安区2021年高

三年级第二次模拟试题数学（文科）评分细则72,2()122122kkkZ+=−+=+一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1--5:BDACB;6--10:BADCB;11--12:AC三

、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.12−14．2,1815．5,16．),1(+四、解答题：共70分。解答题应写出文字说明、证明或演算步骤。第17-21题为必考题，每小题考生都必须作答。第22、23

题为选考题，考生根据要求作答。17．解（Ⅰ）由题可得，解得2=，22()3kkZ=−，∵||，∴23=−..........................（4分）所以函数)(xf的解析式为)

322sin()(−=xxf..............................（5分）（Ⅱ）))(3232sin(*Nnnnan−=，3.)}32-32n{sin(的周期为数列...（7分）又01=a，32=a，3233−=a，)23(3,23)

13(,031323−=−==−−nanaannn（9分）2331323−=++−−nnnaaa...............................................（10分）310)(2

032160−=++=aaaS..........................................（12分）(18.解(1)由表格可知，该市100天中，空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度

不超过150的天数为32＋6＋18＋8＝64，...（2分）所以该市一天中，空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的概率的估计值为64100＝0.64....（4分）(2)由所给数据，可得2×2列联表为：SO2PM2.5[

0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010...（8分）(3)根据2×2列联表中的数据可得K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝100×(64×10－16×10)280×20×74×

26＝3600481≈7.4844>6.635，...（11分）因此根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关（12分）19.(1)证明如图，取AB的中点O，连接OP，OD，因为△PAB是边

长为2的等边三角形，所以PO⊥AB，（1分）OB＝12AB＝1，因为BO＝CD＝1，AB∥CD，所以四边形OBCD为平行四边形，又因为AB⊥BC，所以DO⊥AB....（2分）因为DO∩PO＝O，且OD，OP⊂平面POD，所以AB⊥平面POD，...（4分）又PD⊂平面POD，所以PD⊥AB...

.（5分）(2)解设点D到平面PBC的距离为h，由DO＝BC＝1，PO＝PB2－OB2＝3，PD＝2，得DO2＋PO2＝PD2＝4，所以DO⊥PO，...（6分）又因为DO⊥AB，且AB∩PO＝O，所以DO⊥平面PAB.因为CB∥DO，所以CB⊥平面PAB，...（8分

）又PB⊂平面PAB，所以CB⊥BP.同理可得PO⊥平面ABCD....（10分）由VD－PBC＝VP－DBC可得，13×h×12×BC×PB＝13×PO×12×BC×DC，所以h＝32....（12分）20.解：（Ⅰ）()

()'21mnfxxx=−++，由条件可得()'11f=−及在1x=处的切线方程为20xy+−=，得12,2mn==−，所以()21ln12fxxx=−+，x∈（0，+∞）。...（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在1,1e上单调递减，∴f（x）在1,1e上的最小值为

f（1）=1，故只需t3﹣t2﹣2at+2≤1，即212attt−+对12,2t恒成立，令()21mtttt=−+，易得m（t）在12,1单调递减，[1，2]上单调递增，而()()751242,2,mm==∴()5222,am=∴54,a，即a的取值范围为)54,

+。...（12分）21.解（1）设动点),(yxP，因为直线PA1与PA2的斜率之积为41−，所以)2(4122−=−+xxyxy.............................................（2分）化简得曲线C的方程为)

2(1422=+xyx................................（3分）曲线C表示焦点在x轴上的椭圆（不含左右顶点）...........................（4分）（2）方

法1：易得()12,0A−，()22,0A，()0,1B，11:12AByx=+，21:12AByx=−+，设直线()11:2,02AMykxkk=+，联立()22244ykxxy=++=，得()2

22241161640kxkxk+++−=，有韦达定理得228241Mkxk−+=+，2441Mkyk=+，....................................................（6分）2124MAMMykxk==−−，直线(

)21:24AMyxk=−−，联立()2112ykxyx=+=−+，得244,2121kkQkk−++；...................................................

.......（8分）联立()124112yxkyx=−−=+，得)122,1242(++−kkkG，.....................................................（10分）PQx⊥轴且PQ的中点N为24,121kk−

+，//BNx轴，BN为BQG的中线且PQBN⊥，BQG为等腰三角形．........................................................................................

............（12分）方法2：设点)2)(,(000xyxM)2)(2(20001++=xxxyyMA方程为直线)2)(2(20002−−=xxxyyMA方程为直线..........

.....................................................（5分）)224,22)22(2(121)2(2000000000+−+−−++=−−=xyyxyyxGxyxxyy得)

224,22)22(2(121)2(2000000000+++++−+−=+−=xyyxyyxQxyxxyy得.................................（7分）22222222),(0000000000+++

−=+−−+yxyxxyyxyxM在椭圆上，可证点又，所以有QGxx=.（9分）又可得QP,的中点N的纵坐标又),(00yxM在椭圆，1484)1(8)224224(2122002000000000=+−++=++++−=+=xyyyyyxyxyyyyyGQN............（11分）/

/BNx轴，BN为BQG的中线且PQBN⊥，BQG为等腰三角形．.................................................................................................

...（12分）22.解（1）直线l参数方程消去参数t，可得313xy=−+，整理得330xy−+=，即直线l的普通方程为330xy−+=；...................................（2分）曲线C化为直角坐标方程可得22234xyy++=

，整理得2214xy+=，即曲线C的直角坐标方程为2214xy+=；.....................................................（5分）（2）直线l的参数方程可化为)()2(23)2(211为参数ttytx=+−=，令tu2=得到)

(23211为参数uuyux=+−=代入椭圆方程1422=+yx得0124132=−−uu，................（7分）13421=+uu，131221−=uu131084)(21221

21=−+=−=+uuuuuuPBPA（10分）23.解（1）当2=a时，−+−+−=−−=)2(65)2(652)3()(22xxxxxxxxxf0)(xf，即−+−+−20652652

2xxxxxx或解得32x，所以不等式的解集是}32xx.....................................................................................................

..........（5分）（2）+−−−=−−+−=+)2(63)32(2)3(1032322)3()2(aaxaaaaaff，..................................（7分）关于a的分段函数在)3,(−上单调递减，在),3(+上单调递

增................................（8分）所以当3=a时，)3()2(ff+取最小值1−，无最大值，所以取值范围为),1[+−..（10分）