【文档说明】上海市松江一中2021-2022学年高三下学期3月阶段测试数学试题 含解析.docx，共(20)页，941.948 KB，由小赞的店铺上传

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2021学年第二学期松江一中高三数学阶段二测试卷一．填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知集合(),3A=−、()2,B=+，则AB=_______．【答案】(2,3)【解析】【分析】根

据交集的定义直接求解即可【详解】因为(),3A=−、()2,B=+，所以(2,3)AB=，故答案为：(2,3)2.已知二项式()521x+，则展开式中含x项的系数为_______．【答案】10【解析】【分析】利用展开式的通项计算可得.【详解】解：二项式()521x+展开

式的通项为()555155C2C2rrrrrrTxx−−−+==，令51r−=，解得4r=，所以展开式中含x项的系数为415C210=.故答案为：103.已知复数11iz=+，其中i是虚数单位，则z=_______．【答案】22【

解析】【分析】先化简复数z，结合复数模的计算公式求解即可.【详解】由题意得，()()11i1i1i11i1i22z−===−++−，所以22112222z=+−=.故答案为：224.若()13lim42nann→+−=+，则=a______

_.【答案】3【解析】【分析】在所求分式的分子和分母中同时除以n，然后利用数列极限的运算法则化简求解即可．【详解】()()311310limlim1422101nnaananann→→+−+−+−===+=+++，解得3a=.故答案为：3.【点睛】本题考查数列极限的运算法则

的应用，是基本知识的考查．5.若不等式6ax的解集为()1,t−，则实数t等于___________【答案】1【解析】【分析】根据不等式的解集求出a后，再由不等式的解求出t。【详解】∵不等式6ax的解集为()1,t−，∴6a−=，

6a=，不妨取6a=，由66x得666x−，11x−，∴1t=。故答案为：1【点睛】本题考查已知不等式的解集求参数，解题关键是掌握不等式的解集与相应方程根的关系。6.已知函数()2()lg45fxaxx=−+在()1,2上为减函数，则实数a的

取值集合为_________.【答案】3[,1]4【解析】【分析】讨论a＝0、a＞0和a＜0时，函数f（x）在（1，2）上为减函数实数a满足的条件即可．【详解】a＝0时，函数f（x）＝lg（﹣4x+5），应满足﹣4x+5＞0，解得x54＜，不满足题意；a＞0时，由题意知

224850aa−+，解得34a≤1；a＜0时，由题意知214850aa−+，此时无解；综上，函数f（x）＝lg（ax2﹣4x+5）在（1，2）上为减函数，实数a的取值集合是[34，1]．故答案为[34，1]．【点睛】本题考查了对数函数的性质与应用问题，也考查

了分类讨论思想的应用问题，是中档题．7.若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K的概率为_________.(结果用最简分数表示).【答案】1169【解析】【详解】由题意，得从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K的

概率为4415252169P==；故答案为1169.8.设等差数列na的前n项和为nS，若23a=−，510S=−，则nS的最小值为______．【答案】10−【解析】【分析】用基本量法求出数列的通项公式，由通项公

式可得nS取最小值时的n值，从而得nS的最小值．【详解】设数列公差为d，则由已知得2151351010aadSad=+=−=+=−，解得141ad=−=，∴1(1)4(1)5naandnn=+−=−+−=−，50n

an=−，5n，又50a=，、∴nS的最小值为5410SS==−．故答案为：10−．．【点睛】本题考查等差数列的前n项和的最值．首项为负且递增的等差数列{}na，满足0na的最大的n使得nS最小，首项为正且递减的等差数列{}na，满足0

na的最大的n使得nS最大，当然也可把nS表示为n的二次函数，由二次函数知识求得最值．9.已知P为双曲线221916xy−=的右支上一点，M，N分别是圆22(5)4xy++=和22(5)1xy−+=上的点，则PMPN−的最大值为________

.【答案】9【解析】【分析】先由已知条件可知双曲线的两个焦点为两个圆的圆心,再利用平面几何知识把||||PMPN−转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离,结合双曲线的定义即可求||||PMPN−的最大值

.【详解】221916xy−=，29a=，216b=，则225c=故双曲线的两个焦点为1(5,0)F−，2(5,0)F，1(5,0)F−，2(5,0)F也分别是两个圆的圆心，半径分别为1221rr==，，所以max1||2PMPF=+，min2||1PNPF=−则m

axmaxmin(||||)||||PMPNPMPN−=−=()()1221PFPF+−−123PFPF=−+233=9=+，故答案为：910.已知Mm、分别是函数222sin24()2cosxxxfxxx+

++=+的最大值、最小值，则Mm+=_________．【答案】2【解析】【分析】先由和角正弦公式化简()fx，令2sin()cos2xxgxxx+=+，得()gx是奇函数，再由奇函数的性质即可求出

最值之和.【详解】由22cos0xx+可得定义域为R，222sincos2sin()12coscos2xxxxxxfxxxxx++++==+++，令2sin()cos2xxgxxx+=+，则()2sin()cos2xxgxgxxx−−−==−+，则函数2sin()

cos2xxgxxx+=+是奇函数，设其最大值为A，则其最小值为A−，所以1MA=+，1mA=−+，从而2Mm+=．故答案：2.11.如图，在ABC中，D是BC的中点，,EF是,AD上的两个三等分点，4=BACA，1BFCF=−，则BECEuuruur的值是_______

.【答案】78【解析】【详解】因为222211436=42244ADBCFDBCBACABCADBCAD−−=−−−==（）（），2211114123234FDBCBFCFBCADBCAD−=−−−==−（）（），因此22513,82

FDBC==，2222114167.22448EDBCFDBCBECEBCEDBCED−−=−−−===（）（）【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向

量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简.对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．12.已知平面上两个点集()()22,|12,R,RMxyxyxyxy=+++，(),|11,R,RNxyxayxy=

−+−，若MN，则实数a的取值范围为___________..【答案】16,310−+【解析】【分析】根据抛物线的定义可知集合M是以原点()0,0为焦点，以直线10xy++=为准线的抛物线上及为其凹口内侧的点集，集

合N是以(),1a为中心的正方形内部的点，数形结合先求出MN=时实数a的取值范围，再求其补集即可求解.【详解】由()2212xyxy+++可得()()221002xyxy++−+−，点(),xy到直线10xy++=的距离大于等于点(),xy到点()0,0的距离，所以点(

),xy的轨迹是以原点()0,0为焦点，以直线10xy++=为准线的抛物线上及其凹口内侧的部分，即集合M是以原点()0,0为焦点，以直线10xy++=为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，由1xy+可得：001xyxy+或001xyxy

−+或001xyxy−或001xyxy−−，作出其表示的平面区域如图所示：将该图象向上平移一个单位可得11xy+−的图象如图：将其向左或右平移a个单位可得11xay−+−的表示的平面区域，作出()2

212xyxy++=+对应的抛物线如图：将1y=代入()2212xyxy++=+得2420xx−−=，解得：26x=，所以26116a−−=−时，MN=，将2y=代入()2212xyxy++=+得2610xx−−=，解得：310x=，当310a+时，MN=，综上所述：当1631

0a−+，即16,310a−+时，MN，故答案为：16,310−+.二．选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.体积相等的正方体、球、等边圆柱（轴截面为正方形的圆柱）全面积分别为1S、2S、3S，

那么它们的大小关系为（）A.123SSSB.132SSSC.213SSSD.231SSS【答案】D【解析】【分析】由题意求出正方体,球,及圆柱体积,通过相等,即可得到棱长,球半径,及圆柱半径和母线长,求出三者的表面积即可得到大

小关系【详解】设球的半径为R,正方体的棱长为a,圆柱的底面半径是r,所以球的体积为:343R,正方体的体积为:3a,圆柱的体积为:32r;故333423aRr==,所以()132ar=，1332Rr

=的216Sa=，224SR=,236Sr=;因为()()222222323331366266640rrSarrS−===−−−，13SS因为22332222223333464640222SSRrr

rr−=−=−=−所以23SS综上，231SSS故选:D14.设mR且0m，“不等式4+4mm”成立的一个充分不必要条件是A.0mB.1m>

C.2mD.2m【答案】C【解析】【分析】根据基本不等式的性质，结合充分不必要条件的定义进行判断即可．【详解】当m＜0时，不等式m+4m＞4不成立，当m＞0时，m+4m≥24mm=4，当且仅当m=4m，即m=2时，取等号，A．当m=2时，满足m＞0，但不等式m+

4m＞4不成立，不是充分条件，B．当m=2时，满足m＞1，但不等式m+4m＞4不成立，不是充分条件，C．当m＞2时，不等式m+4m＞4成立，反之不一定成立，充分不必要条件，满足条件．D．当m=2时，满足m≥2，但不等式m+4m＞

4不成立，不是充分条件，故选C．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据基本不等式的性质是解决本题的关键．15.在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，B是A、C的等差中项，则ac+与2b的大小关系是（）是A.2a

cb+B.2acb+C.2acb+D.2acb+【答案】D【解析】【分析】根据等差中项的性质及内角和的性质求出B，再由余弦定理及基本不等式计算可得.【详解】解：依题意，在ABC中B是A、C的等差中项，所以2A+C=B，又ACB++=，所以3B=，由余弦定理2222cosbac

acB=+−()22222233acacacacacacac=+−=++−=+−，又22acac+，当且仅当ac=时取等号，所以2332acac+−−，所以()()()222213324acacacacac++−+−=+，即()2214bac+，

即()224bac+，所以2acb+；故选：D16.阅读材料：空间直角坐标系Oxyz−中，过点()000,,Pxyz且一个法向量为(),,nabc=的平面的方程为()()()0000axxbyyczz−+−+−=，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的

方程为3570xyz−+−=，直线l是两平面370xy−+=与4210yz++=的交线，则直线l与平面所成角的大小为（）A.10arcsin35B.7arcsin5C.7arcsin15D.14arcsin55【答案】A【解析】【分析】求出直线l的方向向量，平面的法向量

，再根据空间向量法求出线面角的正弦值，即可得解．【详解】解：平面的方程为3570xyz−+−=，平面的法向量可取()3,5,1m=−平面370xy−+=的法向量为()1,3,0a=−，平面4210yz++=的法向量为()0,4,2b=，设两平面的交线l的方向向

量为(,,)nxyz=，由30420naxynbyz=−==+=，令3x=，则1y=，2z=−，所以()3,1,2n=−，则直线l与平面所成角的大小为，210sincos,351435mnmnmn====．10ar

csin35=，故选：A．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的解题步骤．17.如图，已知圆锥的侧面积为15，底面半径OA和OB互相垂直，且3OA=，P是母线BS的中点.（1）求圆锥的体积；（2）求异面直

线SO与PA所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）12.（2）35arctan4.【解析】【详解】试题分析：（1）根据圆锥的侧面积求出5BS=，从而求出4SO=，由此能求出圆锥的体积；（2）取OB中点H，

连结PHAH、，由P是SB的中点知PH∥SO，则APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角，由此能求出异面直线SO与PA所成角的大小．试题解析：（1）由题意，15OASB=得5BS=，故2222534SOSBOB=−=−=，从而体积2211341233VO

ASO===.（2）如图，取OB中点H，连结PHAH、.由P是SB的中点知PH∥SO，则APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角.由SO⊥平面OABPH⊥平面OABPHAH⊥.在OAH中，由OAOB⊥得22352AHOAOH=+=；在RtAPH中，9

0AHP=，122PHSB==，352AH=则35tan4AHAPHPH==，∴异面直线SO与PA所成角的大小35arctan4.18.已知函数()21fxxxa=−−−，0a，（1）当0a=时，求不等式()1fx的解集；（2）若()fx的图象与x轴围成的三角形面积大

于32，求a的取值范围.【答案】（1）02xx；（2）(),1−−.【解析】【分析】（1）将0a=代入，根据零点分段去掉绝对值，分别求出x的范围在合并．（2）由0a，按照零点分段对函数去掉

绝对值，求出三角形的三个顶点坐标，根据三角形面积公式求出的代数式大于32，解出a的取值范围即可．【详解】解（1）当0a=时，()1fx化为2110xx−−−.当0x时，不等式化为0x，无解；当102x时，不等式化为0x，解得102x；当12x时，不等式化

为2x，解得122x；综上，()1fx的解集为02xx.（2）由题设可得()1,,131,,211,.2xaxafxxaaxxax−+−=−++−+所以()fx的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为1,03a+，()1,0a−，11,22a

−，该三角形的面积为111(1)()232aaa+−−−=()2126a−.由题设()212362a−，且0a，解得1a−.所以a的取值范围是(),1−−.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法

，需掌握零点分段法，属于中档题．19.如图，游客从某旅游景区的景点A处下上至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50/minm．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留

1min后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130/minm，山路AC长为1260m，经测量12cos13A=，3cos5C=．（1）求索道AB的长；（2）问：乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距

离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？【答案】（1）=1040ABm（2）3537（3）1250625[,]4314（单位：m/min）【解析】【详解】（1）在ABC中，因为12cos13A=，3cos5C

=，所以5sin13A=，4sin5C=，从而sinsin()BAC=−+sin()AC=+5312463sincossincos13513565ACCA=+=+=．由正弦定理sinsinABACCB=，得

12604sin104063sin565ACABCB===（m）．（2）假设乙出发mint后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050)mt+，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得22212(10050)(13

0)2130(10050)13dtttt=++−+2200(377050)tt=−+，由于10400130t，即08t，故当35min37t=时，甲、乙两游客距离最短．（3）由正弦定理sinsinBCACAB=，得12605sin50063sin1365ACBCAB===（m）

．乙从B出发时，甲已走了50(281)550++=（m），还需走710m才能到达C．设乙步行的速度为/minvm，由题意得5007103350v−−，解得12506254314v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在1250625,4

314（单位：/minm）范围内．考点：正弦、余弦定理在实际问题中的应用.【方法点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在实际问题中的应用，考查了考生分析问题和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答应用问题，首先要读懂题意，设出变

量建立题目中的各个量与变量的关系，建立函数关系和不等关系求解.本题解得时，利用正余弦定理建立各边长的关系，通过二次函数和解不等式求解，充分体现了数学在实际问题中的应用.20.如图，已知点()1,0F为抛物线22ypx=()0p的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点A在第一象限，点C在抛物

线上，使得ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧，记AFG，CQG的面积分别为1S，2S．（1）求p的值及抛物线的准线方程；（2）设A点纵坐标为2t，求12SS关于t的函数关系式；（3

）求12SS的最小值及此时点G的坐标．【答案】（1）2p=，准线方程1x=−（2）2142221StSt−=−−（3）12SS的最小值为312+，点G的坐标为()2,0G【解析】【分析】（1）由焦点坐标确定p的值和准线方程即可；（2）设

出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，再用2t代换1y并化简即可；（3）根据已求的函数关系式，结合基本不等式即可求得12SS的最小值和点G的坐标.【小问1详解】因为点()1,0F为抛物线22ypx=()0p

的焦点，所以12p=，即2p=，准线方程1x=−.小问2详解】【设()()1122,,,AxyBxy，设直线AB的方程为()1,0ykxk=−，与抛物线方程24yx=联立可得：()2222240kxkxk−++=，故：1212

242,1xxxxk+=+=，()()()1212121242,444yykxxyyxxk+=+−==−=−，设点C的坐标为()33,Cxy，由重心坐标公式可得：1233Gxxxx++=321423xk++=，1233Gyyyy++=3143yk=+，令0Gy=

可得：34yk=−，则233244yxk==.即222144123382Gkxkk+++==，由斜率公式可得：131322311313444ACyyyykyyxxyy−−===−+−，直线AC的方程为：()33134yyxxyy−

=−+，令0y=可得：()()231331331334444Qyyyyyyyyyxx−+−+=+=+=−，故()11112218121323118223GFySxxyykk+−=−=−=，且()()32213311822423QGyy

ySxxyk+=−−=−−−，由于34yk=−，代入上式可得：12222833ySkkk=−−，由12124,4yyyyk+==−可得1144yyk−=，则12144yky=−，则()()()221112212111

2281233222284433yySySyykkkyk−==−+−−−()212142488168yy=−−++−，令12yt=，得()()()224221442222442222114444ttStttStttt−

−−===−−−−+.即12SS关于t的函数关系式为2142221StSt−=−−.【小问3详解】设()220mtm=−＞，则21422211322221314323424StmStmmmmmm−=−=−=−−=+−+++++

，当且仅当3mm=，即3m=，622t+=，162y=+时等号成立，即12SS的最小值为312+，此时121424yky==−，281223Gxk+==，则点G的坐标为()2,0G.【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系，本题主要考查

了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.已知数列na，从中选取第1i项、第2i项、…、第mi项()12...miii，若12...mi

iiaaa，则称新数列12miiiaaa，，，为na的长度为m的递增子列．规定：数列na的任意一项都是na的长度为1的递增子列．（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列na的长度为p的递增子列的末项的最小值为0ma，长度为q

的递增子列的末项的最小值为0na.若pq，求证：00mnaa；（Ⅲ）设无穷数列na的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若na的长度为s的递增子列末项的最小值为21s−，且长度为s末项为21s

−的递增子列恰有12s−个()1,2,...s=，求数列na的通项公式．【答案】(Ⅰ)1,3,5,6；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ)见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可；(Ⅱ)

利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可；(Ⅲ)观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式，然后证明通项公式满足题中所有的条件即可.【详解】(Ⅰ)满足题意的一个长度为4的递增子列为：1,3,5,6.(Ⅱ)对于每一个长度为q的递增子列12,,qaaa，都能从其中找到若干个长

度为p的递增子列12,,paaa，此时pqaa，设所有长度为q的子列的末项分别为：123,,,qqqaaa，所有长度为p的子列的末项分别为：123,,,pppaaa，则0123min,,,n

qqqaaaa=，注意到长度为p的子列可能无法进一步找到长度为q的子列，故0123min,,,mpppaaaa，据此可得：00mnaa.(Ⅲ)满足题意一个数列的通项公式可以是1,2,1,4,3,6,5,8,7,1,nnnann−==+为偶数为奇数，下面说明此

数列满足题意.很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等.长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1，下面用数学归纳法证明长度为s末项为2s-1的递增子列恰有12s−个()1,2,s=：当1n=时命题显然成立，假设当nk=时命题成立，即长度为k末项为2

k-1的递增子列恰有12k−个，则当1nk=+时，对于nk=时得到的每一个子列121,,,,21ksssaaak−−，可构造：()121,,,,21,211ksssaaakk−−+−和()121,,,,2,211ksssaaak

k−+−两个满足题意的递增子列，则长度为k+1末项为2k+1的递增子列恰有()1112222kkk+−−==个，综上可得，数列1,2,1,4,3,6,5,8,7,1,nnnann−==+为偶数为奇数是一个满足题意的数列的通项公式.注：当3s=时，所有满足题意的数

列为：2,3,5,1,3,5,2,4,5,1,4,5，当4s=时，数列2,3,5对应的两个递增子列为：2,3,5,7和2,3,6,7.的【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，

有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com