【文档说明】吉林省长春外国语学校2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题.docx，共(8)页，885.936 KB，由管理员店铺上传

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1长春外国语学校2020-2021学年第二学期期末考试高一年级数学试卷出题人：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。考试结束后，将答题卡交回。注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非

选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠，不要

弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设2zi=−（i是虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四

象限2．“点P在直线m上，m在平面内”可表示为（）A．,PmmB．,PmmC．,PmmD．,Pmm3．已知向量(2,1),(1,2)ab==−，则a与b的夹角大小为（）A．0B．45C．60

D．904．设正方体的表面积为24，那么其内切球的体积是（）A．43B．6C．83D．3235．在ABC中，已知2b=，45B=，6c=，则角C为（）A．60B．150C．60或1

20D．1206．如果从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么下列各组中的两个事件是“互斥而不对立”是（）A．“至少有一个黑球”与“都是红球”B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球

”7.已知样本数据为1234,,,xxxx，该样本平均数为2021，方差为1，现加入一个数2021，得到新样本的平均数为x，方差为2s，则（）A．22021,1xsB．22021,1xs=C．22021,1xs

D．22021,1xs=8．在正三棱柱111ABCABC−中，1AB=，13AA=，点D是侧棱1BB的中点，则直线1CD与平面ABC所成角的正弦值为()A．32B．217C．77D．2779．如图，四棱锥SABCD−的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列

结论中错误的是()A．ACSB⊥B．平面SCD⊥平面SADC．SA和SC与平面SBD所成的角相等D．异面直线AB与SC所成的角和异面直线CD与SA所成的角相等10．已知,,abc是三个平面向量，则下列叙述正确的是（）A．若ab=rr，则ab=B．若abac=，且0a，则b

c=C．若//,//abbc，则//acD．若ab⊥，则abab+=−211．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即先赢2局者为胜.根据以往二人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为23，则本次比赛中甲获胜

的概率为（）A．727B．49C．1627D．202712．已知正方体1111ABCDABCD−中，以下结论错误的有（）A．点P在直线BC1上运动时，三棱锥A-D1PC的体积不变B．点P在直线BC1上运动时，直线AP与平面AD1C所成角的大小不变C．点P在直线BC1上运动时，二面角P-AD

1-C的大小不变D．M是平面1111DCBA上到点D和C1距离相等的点，则点M的轨迹是过点D1的直线第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．圆柱的底面半径与高都等于2，则圆柱体积为

_________．14．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在学习强国平台上的学习积分依次为35，35，40，38，52，则这5名党员教师学习积分的方差为_______________15．甲､乙两人下棋，甲获胜的概率为15，和棋的概率为12，则乙不输的概率为___

________.16．已知三棱柱111,ABCABC−侧棱1AA⊥底面,,ABCEF分别是1,ABAA的中点，且12,,4ACBCACBCAA==⊥=，过点E作一个截面与平面1BFC平行﹐则截面的周长为________________________．三、解答题(本大题共6小题，

共70分)17．(10分)平面内给定三个向量(3,2)a=，(1,2)b=−，(4,1)c=.（1）求满足ambnc=−的实数m，n；（2）若()//(2)akcba+−，求实数k的值.18．(12分)如图，正方体1111ABCDABCD−中

，F为AC与BD的交点，E为1DD的中点．（1）求证：1//BD平面AEC；（2）求异面直线AC与1BD所成的角．319.(12分)某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以)160,180，)180,200，)200,220

，)220,240，)240,260，)260,280，280,300分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求理科综合分数的众数和中位数；（3）在理科综合分数为)240,260，280,300的2组学生中，用分层抽样的方法抽取4名学生，

从这4名学生中随机抽取2人，求这2人理科综合分数都在区间)240,260上的概率？20.(12分)在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若1sincossincos2aBCcBAb+=，且cb.（1）求角B的值；（2）若6A=，且ABC的面积为43，求BC边上的中线AM的

长.21．(12分)乒乓球比赛规则规定，一局比赛，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球

的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（1）求开球第3次发球时，甲比分领先的概率；（2）求开球第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；22．(12分)如图所示，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF

所在平面互相垂直，1AB=，2AD=，ADC60=，1AF=，M是线段EF的中点.（1）求证：ACBF⊥；（2）求直线AD与平面BDF所成角的余弦值；（3）设点P为一动点，若点P从M出发，沿棱按照→→MEC的路线运动到点C，求这一过程中形成的三棱锥PBFD−的

体积的最小值.41.B2.B3.D4.A5.C6.D7.B8.B9.D10.D11.D12.B13.814.39.615.4516.32225++12.B【详解】因为11ADPCPADCVV−−=，11//BCAD，

且1BC平面1ADC，1AD平面1ADC，所以1//BC平面1ADC，所以1BC上的点到平面1ADC的距离相等，所以三棱锥1ADPC−的体积不变，故A正确；由图可知，当点P在直线1BC上运动时，直线AB与平面1ADC所8成角和直线1AC与平面1ADC所成角不相等，故B

错误；因为AP平面11BCDA，所以二面角1PADC−−的大小等于平面11BCDA与平面1ADC所成角的大小，所以二面角1PADC−−的大小不变，故C正确；因为M是平面1111DCBA上到点D和1C距离相等的点，所以点M的轨迹是平面1111DCBA与线段1DC的垂直平分线1DC所在平

面的交线，即点M的轨迹是平面1111DCBA与平面11ADC的交线11AD，所以点M的轨迹是过点1D的直线，故D正确16.如图，取AF中点G，分别在1CC，BC上取点H，M，使1111,44HCCCBMBC==，连接,,,EGGHHMEM，又,FG分别是1,AAAF中点，11

4FGAA=，又1111//,AACCAACC=，11//,FGHCFGHC=，四边形1FGHC为平行四边形，1/GHFF，1GHFC=，//GH平面1BFC，1111113,,//,444HCCCBMBCMHBCMHBC===，//MH平面1BFC，又MHGHH=，平

面//EGHM平面1BFC，又1AA⊥平面ABC，2ACBC==，,EF分别是1,ABAA的中点，1,4ACBCAA⊥=，122,2ABAFAF===，2211322EGBFAFAB==+=，22111122GHFCAFA

C==+=，2211113335442HMBCBBBC==+=，在BEM△中，11,242BMBCBE===，45EBM=，22211252cos452224224EMBMBEBMBE=+−=+−=，52EM=，所求截面的周长为3532253222522EGG

HHMEM+++=+++=++.故答案为：32225++.517.解：（1）因为(3,2)a=，(1,2)b=−，(4,1)c=，且ambnc=−(3，2)(1ambncm==−=−，2)(4n−，1)(4mn

=−−，2)mn−.4322mnmn−−=−=，解得59m=，89n=−.（2）(3akc+=，2)(4k+，1)(34k=+，2)k+.22(1ba−=−，2)(3−，2)(5=−，2).5(2)2(34)0kk−+

−+=，解得1613k=−.18.【详解】（1）联结EF，由E为1DD的中点，F为BD的中点知，1//BDEF，又1BD平面AEC，EF平面AEC，故1//BD平面AEC（2）在正方形ABCD中，ACBD⊥，又1DD⊥平面ABCD，AC

平面ABCD，则1DDAC⊥，又1DDBDD=I，故AC⊥平面1BDD，又1BD平面1BDD，故1ACBD⊥，即异面直线AC与1BD所成的角为219.【答案】（1）0.0075；（2）众数为230，中位数为224；（

3）5．【分析】（1）根据频率和为1计算出x的值；（2）根据频率分布直方图中小矩形的高度可直接判断出众数，计算频率之和为0.5时对应的数据即为中位数；（3）先根据频率分布直方图计算出四组用户的频率之比，然后利用样本容量乘以对应的比例即可求得应

抽取的户数.【详解】（1）因为()0.0020.00250.0050.00950.0110.0125201x++++++=，解得0.0075x=，所以直方图中x的值为0.0075.（2）理科综合分数的众数是220240230

2+=，∵()0.0020.00950.011200.450.5++=，∴理科综合分数的中位数在)220,240内，设中位数为a，则()()0.0020.00950.011200.01252200.5a+++

−=，解得224a=，即中位数为224．（3）1P=220.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若1sincossincos2aBCcBAb+=，且cb.（1）求角B的值；6（2）若6A=，且ABC的面积为43，求BC边

上的中线AM的长.【答案】（1）6；（2）27.【分析】（1）先由正弦定理边角互化，计算求得sinB；（2）由（1）可知ABC是等腰三角形，根据面积公式求边长a，AMC中，再根据余弦定理求中线AM的长.【解析】（1）∵1sincos2aBAb=，由正弦定理边角互化得1sinsincossi

nsincossin2ABCCBAB+=，由于(0,),sin0BB，∴1sincossincos2ACCA+=，即1sin()2AC+=，得1sin2B=.又cb，∴02B，∴6B=.（2

）由（1）知6B=，若6A=，故ab=，则2112sinsin43223ABCSabCa===，∴4a=，4a=−（舍）又在AMC中，22222cos3AMACMCACMC=+−，∴222221121()2cos42242()282232AMACAC

ACAC=+−=+−−=，∴27AM=.21.（1）0.36（2）0.35222．（2021·浙江丽水市·高二月考）如图所示，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，1AB=，2AD=，ADC60=，1AF=，M是线段EF的中点.（1）求证

：ACBF⊥；（2）求直线AD与平面BDF所成角的余弦值；（3）设点P为一动点，若点P从M出发，沿棱按照→→MEC的路线运动到点C，求这一过程中形成的三棱锥PBFD−的体积的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）37020；（3）36.7【分析】（1）利

用余弦定理求出AC，利用勾股定理可得出ABAC⊥，由已知可得出AFAC⊥，利用线面垂直的判定定理可得出AC⊥平面ABF，由此可得出ACBF⊥；（2）设点A在平面BDF内的射影为点O，连接DO，可得出ADO为直线AD与平面BDF所成角，利用等体积法计算出AO，可求得si

nADO，再利用同角三角函数的基本关系可求得直线AD与平面BDF所成角的余弦值；（3）设AC与BD相交于N，连接FN、CM，推导出//FNCM，可得出//CM平面BDF，结合图形可知，当点P在M或C时，三棱锥PBFD−的体积最小，可

得()minPBFDCBFDFBCDVVV−−−==，利用锥体体积公式可求得结果.【详解】（1）在平行四边形ABCD中，ADC60=，1CDAB==，2AD=，由余弦定理可得2222cos3ACADCDADCDADC=+−=，3AC=，2BCAD==，222

ABACBC+=，90BAC=，ABAC⊥，因为四边形ACEF为矩形，则AFAC⊥，ABAFA=QI，AC⊥平面ABF，BF平面ABF，所以ACBF⊥；（2）在ABD△中，1AB=，2AD=，180120BADADC=−=，由余弦定理可得2222cos7BDABADABADBAD=

+−=，ABAC⊥，平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD平面ACEFAC=，ABÌ平面ABCD，AB⊥平面ACEF，AF平面ACEF，ABAF⊥，则222BFABAF=+=，AFAC⊥，ABACA=，AF⊥平面ABCD，ADQ平面ABCD，ADA

F⊥，225DFADAF=+=，222BFDFBD+=，由勾股定理的逆定理知90BFD=o，11022BDFSBFDF==△，设点A在平面BFD内的射影为O，连接DO，则ADO为直线AD与平面BDF所成角，1322ABD

ABCSSABAC===△△，由ABDFFABDVV−−=，可得1133BDFABDAOSAFS=△△，可得3130210102ABDBDFAFSAOS===△△，又2AD=，30130sin10220AOADOAD=

==，2370cos1sin20ADOADO=−=，因此，直线AD与平面BDF所成角的余弦值为37020；（3）设AC与BD相交于N，连接FN、CM，8因为四边形ABCD为平行四边形，且ACBDN=，则N为AC的中点，//ACEF且ACEF=，M为EF的中点，

//CNFM且CNFM=，所以，四边形CMFN为平行四边形，则//CMFN，FN平面BDF，CM平面BDF，//CM平面BDF，由图可知，当点P在M或C时，三棱锥PBFD−的体积最小，()min11321sin1201326P

BFDCBFDFBCDVVV−−−====.