【文档说明】北京市东城区第六十六中学2019-2020学年九年级上学期期中数学试题（解析版）【精准解析】.doc，共(25)页，1.018 MB，由管理员店铺上传

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2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1.抛物线y=2（x+3）2+5的顶点坐标是（）A.（3，5）B.（﹣3，5）C.（3，﹣5）D.（﹣3，﹣5）【答案】B【解析】解：抛物线y=2（x+3）2+5的顶点坐标是（﹣3，5），

故选B．2.已知⊙O的半径为5，OP＝7，则点P在（）A.⊙O内B.⊙O上C.⊙O外D.不确定【答案】C【解析】【分析】比较OP与半径的大小即可判断.【详解】∵r＝5，d＝OP＝7，∴d＞r，∴点P在⊙O外，故选C．【点睛】此题主要考查

点与圆的位置关系，熟练掌握，即可解题.3.如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，若AB＝10，OE＝3，则弦CD的长为（）A.4B.8C.34D.234【答案】B【解析】【分析】2连接OC，由AB的长求出半径OC的长，根据AB与CD垂直，利用垂径定理得到E为

CD的中点，在直角三角形COE中，由OC与OE的长，利用勾股定理求出CE的长，即可确定出CD的长．【详解】连接OC，∵直径AB＝10，∴OC＝5，∵AB⊥CD，∴E为CD的中点，即CE＝DE＝12CD，在Rt△OCE中，OC＝5，OE＝

3，根据勾股定理得：CE＝22OCOE−＝4，则CD＝2CE＝8．故选B．【点睛】此题主要考查垂径定理以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.4.若抛物线y＝ax2+2x﹣10的对称轴是直线x＝﹣2，则a的值为（）A.3B.2C.1D.0.5【答案】D【解析

】【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴方程得到x＝﹣22a＝﹣1a＝﹣2，然后求出a即可．【详解】抛物线y＝ax2﹣2x﹣a+1的对称轴是直线x＝﹣22a＝﹣1a，∴x＝﹣22a＝﹣1a＝﹣2，∴a＝0.5故选D．【点睛】此题主要考查抛物

线对称轴的运用，熟练掌握，即可解题.35.在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（）A.点AB.点BC.点CD.点D【答案】B【解析】【分析】根据旋转

中心的确认方法，作对应点连线的垂直平分线，再找到交点即可得到.【详解】解：∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，∴连接PP1、NN1、MM1，作PP1的垂直平分线过B、D、C，作NN1的垂直平分线过B、A，作MM1的垂直平分线

过B，∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B．故选B．【点睛】此题主要考查旋转中心的确认，解题的关键是熟知旋转的性质特点.6.如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝50°，则∠BCD的度数为（）4A.40°B.50°C.35°D.5

5°【答案】A【解析】【分析】连接AC，由圆周角定理可求得∠ACB＝90°，∠ACD＝∠ABD，则可求得答案．【详解】如图，连接AC，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABD＝50°，∴∠ACD＝∠ABD＝50°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣50°＝40°，故选A．【

点睛】此题主要考查圆周角定理的运用，熟练掌握，即可解题.7.如图,△ABC和△ADE均为正三角形,则图中可看作是旋转关系的三角形是（）A.△ABC和△ADEB.△ABC和△ABDC.△ABD和△ACED.△ACE和△ADE【答案】C【解析】根据旋转的性质可知，可看作是旋转

关系的三角形是△ABD和△ACE，即为△ABD绕点A逆时针旋转60度得到△ACE．故选C．58.在平面直角坐标系中，以点（2，1）为圆心，1为半径的圆必定（）A.与x轴相切、与y轴相离B.与x轴、y轴都相离C.与x轴相离、与y轴相切D.与x轴、y轴都相切【答案】

A【解析】【分析】先求出点（2，1）到x轴的距离是1，到y轴的距离是2，再根据直线与圆的位置关系的内容得出即可．【详解】∵点（2，1）到x轴的距离是1，到y轴的距离是2，∴在平面直角坐标系中，以点（2，1）为圆心，1为半径的圆必定与x轴相切，与y轴相离，故选A．【点

睛】此题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握，即可解题.9.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为x＝1，有下列结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＜0；④a+b≥m（am+

b），其中正确的结论有（）A.①②B.②③C.①④D.②④【答案】C【解析】【分析】①根据抛物线的开口方向确定a的符号，对称轴在y轴右侧确定b的符号，抛物线与y轴的交点位置确定c的符号即可；②根据x＝﹣1时y的取值范围即可判断；③根据x＝2时y的取值范围即可判断；④当x＝1时，y

取得最大值a+b+c，即除此之外x取任何值都小于a+b+c，进而判断④.【详解】①根据图象可知：a＜0，c＞0，对称轴在y轴右侧，∴b＞0，∴abc＜0．6∴①正确；②根据图象可知：当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，即b＞a

+c．∴②错误；③观察图象可知：当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0．∴③错误．④当x＝1时，y取得最大值a+b+c，即除此之外x取任何值都小于a+b+c，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥m（am+b），④正确，故选C．【点睛】此题主要考查

二次函数图象的性质，熟练掌握，即可解题.10.如图，过半径为6的⊙O上一点A作⊙O的切线，P为⊙O上的一个动点，作PH⊥于点H，连接PA．如果PA=，AH=y，那么下列图象中，能大致表示与的函数关系的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【详

解】试题分析：作直径AB，连接BP．∵l是切线，∴∠PAH=∠B，∵AB是直径，∴∠APB=90°，∵PH⊥AH，∴∠BPA=∠AHP，∴△APB∽△PHA，∴AB：AP=PA：PH，∴12：x=x：，∴，观察

图象，只有C符合，故选C．7考点：1．动点问题；2．函数的图象．二、填空题（每小题2分，共12分）11.半径为6cm的圆中，72°的圆心角所对的弧长为_____．【答案】125πcm．【解析】【分析】直接利用弧长公式计算．【详解】72°的圆心角所对的弧长＝726180＝125π（cm）．

故答案为125πcm．【点睛】此题主要考查弧长公式的运用，熟练掌握，即可解题.12.请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，－1）的抛物线的表达式：______【答案】y=x2-1（答案不唯一）．【解析】试题分析：抛物线开口向上，二次项系数大于0，然后写出即可．抛物线的解析式为y

=x2﹣1．考点：二次函数的性质．13.草坪上的自动喷水装置的旋转角为200，且它的喷灌区域是一个扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积为5平方米，则这个扇形的半径是__米．【答案】3【解析】【分析】根据已知得出自动喷水装置它能喷灌的草坪是扇形，面积为5π平方米，圆心

角为200°，利用扇形面积公式S扇形=²360nR求出即可．【详解】解：∵草坪上的自动喷水装置它能喷灌的草坪是扇形，面积为5π平方米，圆心角为200°，8∴它能喷灌的草坪的面积为：200?360R=5πm?．解得：R=3，

故答案为3．【点睛】此题主要考查了扇形面积求法.14.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE．B、E在C、D的同侧，若AB＝2，则BE＝_____．【答案】1【解析】【分析】由等腰直角三角形AB

C中，AB＝2，由勾股定理可知AC＝22AB＝1，再证△ADC≌△BDE，从而推出BE＝AC＝1．【详解】∵等腰直角三角形ABC中，AB＝2，∴AC＝22AB＝1，∵等边△ABD和等边△DCE，∴AD＝BD，CD＝ED，∠ADB＝∠CDE，∴∠ADC＝∠BDE，在△ADC和△BDE

中，ADBDADCBDECDED===，∴△ADC≌△BDE（SAS），∴BE＝AC＝1．【点睛】此题主要考查勾股定理的运用以及三角形全等的判定，熟练掌握，即可解题.915.如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆

”．已知点A，B，C，D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2-2x-3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为________.【答案】3+3【解析】【详解】连接AC，BC，∵抛物线的解析式为y＝x2－2x－3，∴点D的坐标为(0，

−3)，∴OD的长为3，设y=0，则0=x2－2x－3，解得：x=−1或3，∴A(−1，0)，B(3，0)∴AO=1，BO=3，∵AB为半圆的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCO=90°.∵CO⊥AB，∴

∠AOC=∠BOC=90°,∴∠ACO+∠CAO=90°,∴∠CAO=∠BOC,10∴△AOC∽△COB,∴COAOOBCO=,∴CO2=AO·BO=1×3=3，∴CO=3，∴CD=CO+OD=3+3，点睛

：本题主要考查的是二次函数的图像与性质，相似三角形的判定与性质，解答本题主要应用了二次函数与坐标轴的交点，圆周角定理的推论，求得点D的坐标以及OC的长是解答本题的关键.16.如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O

所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA．（1）点O到直线l距离的最大值为_____；（2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为_____．【答案】(1).7(2).21【解析】【分析】（1）如图1，当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O

到直线l距离的最大，于是得到结论；（2）如图2，根据已知条件得到线段MN是⊙O的直径，根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）如图1，∵l⊥PA，∴当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，最大值为AO+AP＝5+2＝7；（2）如图2，

∵M，N是直线l与⊙O的公共点，当线段MN的长度最大时，线段MN是⊙O的直径，∵l⊥PA，∴∠APO＝90°，∵AP＝2，OA＝5，∴OP＝22OAPA−＝21，11故答案为7,21【点睛】此题主要考查点到直线的距离以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.三、解答题（17-20题每题4分；21-

24题每题5分，25题7分，26题7分，27题8分，共58分）17.已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：x…012345…y…30﹣10m8…（1）m的值为；（2）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为；（3）这个二

次函数的解析式为；（4）当0＜x＜3时，则y的取值范围为．【答案】（1）3；（2）直线x＝2；（3）y＝x2﹣4x+3；（4）﹣1≤y＜3．【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称性求得即可；（2）根据表中x、y的对应值可知，当x＝1与x＝3时y的值相等，所以此两点关于抛物线的对称轴

对称，由中点坐标公式即可得出对称轴的直线方程；（3）利用待定系数法求得即可；（4）利用图象即可求得．【详解】（1）∵点（0，3）关于直线x＝2的对称点为（4，3），∴m＝3，故答案为3；12（2）∵由表中x、y的对应值可知，当x＝1与x＝3时y的值相等，∴对称轴是直线x＝132

+＝2，故答案为直线x＝2；（3）∵抛物线的顶点为（2，﹣1），∴设解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，代入点（0，3）得，3＝4a﹣1，解得a＝1，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3，故答案为y＝x2﹣4x+3；（4）∵a＝1，顶

点为（2，﹣1），如图所示，由图象可知，当0＜x＜3时，则y的取值范围为﹣1≤y＜3故答案为﹣1≤y＜3．【点睛】此题主要考查抛物线性质的综合应用，熟练掌握，即可解题.18.李雷为了修复一块圆形的镜子，需要找出镜子残片的圆心和半径．（1）请利用尺规作图，找到圆形残片的圆心O（保留作图痕迹）；（2

）写出你作图的依据：．【答案】（1）详见解析；（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆，线段垂直平分线上的点到线段的两端点距离相等．【解析】【分析】（1）利用不在同一直线上的三点能确定一个圆，进而得出答案；13（2）结合确定圆的条件以及线段垂直平分线的

性质得出答案．【详解】（1）如图点O即为所求．（2）作图依据：不在同一直线上的三个点确定一个圆，线段垂直平分线上的点到线段的两端点距离相等．故答案为不在同一直线上的三个点确定一个圆，线段垂直平分线上的点到线段的两端点距离相等．【点

睛】此题主要考查确定圆的条件以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握，即可解题.19.如图，抛物线经过点A、B、C．（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线和x轴的另一个交点为D，求△ODC的面积．【答案】（1）223yxx

=−−．（2）6ODCS=．【解析】【分析】（1）由题意可知顶点()4C−1，，设出二次函数的顶点式，把A点坐标代入，即可得解；（2）根据解析式即可得出对称轴，根据对称性得出D点坐标，即可求出△ODC的面积．【详解】解：（1）由题意知()1,0A−，()

4C−1，，设抛物线的解析式为()214yax=−−．把()1,0A−代入，解得a=1．14∴()221423yxxx=−−=−−．（2）∵对称轴x=1，∴点D的坐标为()3,0．∴143=62ODCS=．点评：本题主要考查了利用待定系数

法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式.20.如图，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BAD＝36°，点C为弧AD的中点，连接OC，AC．（1）补全图形，并写出作图的方法或依据；（2）求∠ACO的度数．【

答案】（1）详见解析；（2）63°．【解析】【分析】（1）利用垂径定理确定C点；（2）先利用互余计算出∠AOC＝54°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠ACO的度数．【详解】（1）过点O作AD的垂线交⊙O于C，根据垂

径定理得到C点为»AD的中点，连接OC、AC，如图，（2）∵OC⊥AD，∴∠AOC＝90°﹣∠BAD＝90°﹣36°＝54°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO＝12（180°﹣54°）＝63°．【点睛】此题主要考查垂径定理以及等腰三角形的性质，熟练掌握，即可解题.1521.已

知：如图，AB是⊙O的弦，∠OAB=45°，C是优弧AB上的一点，BD∥OA，交CA延长线于点D，连接BC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AC=，∠CAB=75°，求⊙O的半径．【答案】（1）见解析；（2）4．【解

析】试题分析：（1）连接OB，如图．根据题意得，∠1=∠OAB=45°．由AO∥DB，得∠2=∠OAB=45°．则∠1+∠2=90°．即BD⊥OB于B．从而得出CD是⊙O的切线．（2）作OE⊥AC于点

E．由OE⊥AC，AC=，求得AE，由∠BAC=75°，∠OAB=45°，得出∠3．在Rt△OAE中，求得OA即可．（1）证明：连接OB，如图．∵OA=OB，∠OAB=45°，∴∠1=∠OAB=45°．∵AO∥DB，∴∠2=∠OAB=45°．∴∠1+∠2=90°．∴BD⊥OB于B．∴又点B

在⊙O上．∴BD是⊙O的切线．（2）解：作OE⊥AC于点E．16∵OE⊥AC，AC=，∴AE==．∵∠BAC=75°，∠OAB=45°，∴∠3=∠BAC﹣∠OAB=30°．∴在Rt△OAE中，解法二：如图延长AO与⊙O交于点F，

连接FC．∴∠ACF=90°．在Rt△ACF中，．∴AO==4．22.廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图.已知水面AB宽40米，抛物线最高点C到水面AB的距离为10米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E

，F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EF.（结果保留根号）【答案】85EFm=.17【解析】【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式.已知抛物线上距水面AB高为8米的E、F两点,可知E、F两点纵坐标为8,把y=8代入抛物线解析式,可求E、F两点的横坐标,根据抛物线的对称性求EF长.【详解

】如图，以AB所在直线为x轴、线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，由题意知，A(−20，0)，B(20，0)，C(0，10).设过点A，B，C的抛物线方程为：y=a(x+20)(x−20)(a<0).把点C(0，10)的坐标代入，得10=a(0+20)(0−20)，解得：

a=−140，则该抛物线的解析式为：y=−140(x+20)(x−20)=−140x2+10，把y=8代入,得−140x2+10=8，即x2=80，∴x1=45，x2=−45，所以两盏警示灯之间的水平距离为：EF=|x1−x2|=|45−(−45)|=85(m).【点睛】本题考查的是

二次函数在实际生活中的应用,注意利用函数对称的性质来解决问题.23.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点E，在弦BC上取一点F，使AF＝AE，连接AF并延长交⊙O于点D．18（1）求证：∠B＝∠CAD；（2）若CE＝2，∠B＝30°，求AD的长

．【答案】（1）详见解析；（2）6．【解析】【分析】（1）根据切线的性质和圆周角的定理得∠BAE＝∠ACB＝90°，进而求得∠B＝∠CAE，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠CAD＝∠CAE，即可证得结论；（

2）连接BD，易证得∠BAD＝30°，解直角三角形求得AE，进而求得AB，然后即可求得AD．【详解】（1）证明：∵AE是⊙O的切线，∴∠BAE＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠CAE＝90°，

∠BAC+∠B＝90°，∴∠B＝∠CAE，∵AF＝AE，∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠CAE．∴∠B＝∠CAD；（2）解：连接BD．∵∠ABC＝∠CAD＝∠CAE＝30°，∴∠DAE＝60°，∵∠BAE＝90°，∴∠BAD＝30°，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴cos∠BA

D＝ADAB，∴ADAB＝32，∵∠ACE＝90°，∠CAE＝30°，CE＝2，∴AE＝2CE＝4，∵∠BAE＝90°，∠ABC＝30°，19∴cot∠ABC＝ABAE，即3＝AB4，∴AB＝43，∴43AD＝32，∴AD＝6．【点睛

】此题主要考查切线的性质和圆周角定理的运用以及解直角三角形，熟练掌握，即可解题.24.如图，将小旗ACDB放于平面直角坐标系中，得到各顶点的坐标为A（﹣6，12），B（﹣6，0），C（0，6），D（﹣6，6）．以点B为旋转中心，在平面直角坐标系内将小旗顺时针旋转90°．（1）画出

旋转后的小旗A′C′D′B′；（2）写出点A′，C′，D′的坐标；（3）求出线段BA旋转到B′A′时所扫过的扇形的面积．【答案】（1）见解析；（2）点A′（6，0），C′（0，﹣6），D′（0，0）；（3）【解析】【分析】（1）根据平面直角坐标系找出A′、C′、D′、B′

的位置，然后顺次连接即可．（2）根据旋转的性质分别写出点A′，C′，D′的坐标即可．（3）先求出AB的长，再利用扇形面积公式列式计算即可得解．【详解】解：（1）小旗A′C′D′B′如图所示；20（2）由图象可知，点A′（6，0），C′（0，﹣6），D′（0，0）．（

3）∵A（﹣6，12），B（﹣6，0），∴AB=12．∴线段BA旋转到B′A′时所扫过的扇形的面积=．25.有这样一个问题：探究函数y＝21xx−的图象与性质：小宏根据学习函数的经验，对函数y＝21xx−的图象与性质进行了探究．下面是小宏的探究过程

，请补充完整：（1）函数y＝21xx−的自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值x…﹣3﹣2﹣1﹣12﹣131312123…y…﹣83﹣320m83﹣83﹣32032n…求m，n的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对应值为坐

标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出该函数的性质（两条即可）：①②．21【答案】（1）x≠0；（2）m=32，n=83；（3）详见解析；（4）①x＜0时，函数y随x的增大而增大；②函数图象关于原点对称．【解析】【分析】（1）根据分母不能为0即可写出自变量的取

值范围、（2）分别求出x＝﹣12、3时的函数值即可．（3）根据描出的点即可画出图象．（4）利用图象写两个性质即可．【详解】（1）函数y＝21xx−的自变量x的取值范围x≠0，故答案为x≠0．（2）当x＝﹣12时，m＝211212−−−＝32，当x＝3时，n＝2313−＝83．（3）函

数图象如图所示，22（4）性质①x＜0时，函数y随x的增大而增大．②函数图象关于原点对称．【点睛】此题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握，即可解题.26.已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）图象的对称轴是直线x＝2，且经过点P（3，0）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若y≤

0，请直接写出x的取值范围；（3）若抛物线y＝ax2+bx+3﹣t（a≠0，t为实数）在0＜x＜3.5的范围内与x轴有公共点，求出t的取值范围．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）1≤x≤3；（3）﹣1≤t＜3．【解析

】【分析】（1）利用对称性得到抛物线经过点（1，0）．然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可；（3）对于抛物线y＝x2﹣4x+3﹣t，当△＝（﹣4）2﹣4（3﹣t）＝0

时，满足条件，此时t＝﹣1，当△＝（﹣4）2﹣4（3﹣t）＞0时，若x＝0，y＝x2﹣4x+3﹣t＞0，满足条件，此时﹣1＜t＜3，然后综合两种情况即可．【详解】（1）∵对称轴为x＝2，点B（3，0），∴抛物线经过点（1，0

）．将（1，0）、（3，0）代入得：9a+3b+3＝0且a+b+3＝0解得a＝1，b＝﹣4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）由（1）得知抛物线过点（1，0）和（3，0），且a＝1，可判定开口向上，故当1≤x≤3时，y≤0；23（3）由（1）可知y＝ax2+

bx+3﹣t的解析式为y＝x2﹣4x+3﹣t，当△＝（﹣4）2﹣4（3﹣t）＝0时，解得t＝﹣1，抛物线与x轴的交点为（2，0）；当△＝（﹣4）2﹣4（3﹣t）＞0时，解得t＞﹣1，若x＝0，y＝x2﹣4x+3﹣t＞0，抛物线y＝ax

2+bx+3﹣t（a≠0，t为实数）在0＜x＜3.5的范围内与x轴有公共点，即t＜3，∴t的范围为﹣1≤t＜3．【点睛】此题主要考查抛物线的对称性、待定系数法求解析式以及根的判别式的运用，熟练掌握，即可解题.

27.定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2＝ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y＝2x2﹣2x+2是黄金抛物线．（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；（2）若抛物线y＝a

x2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；（3）将黄金抛物线y＝2x2﹣2x+2沿对称轴向下平移3个单位．①直接写出平移后的新抛物线的解析式；②设

①中的新抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明．【答案】（1）如y＝x2，y＝x2﹣x+

1，y＝x2+2x+4等（答案不唯一）；（2）详见解析；（3）①y＝2x2﹣2x﹣1；②符合条件的点P的坐标：（0，﹣1），（1，﹣1），（﹣12，12），（32，12）．【解析】【分析】（1）按照黄金抛物线的定义给a、b、c赋值即可；24（2）将a

c＝b2代入判别式当中，消去ac，然后对b分等于0和不等于0两种情讨论即可；（3）①根据“上加下减”写出平移后的抛物线解析式即可；②根据所给的限制条件，只能画出四种图形，分别写出相应的P点坐标即可；【详解】（1）答：如y＝x2，y

＝x2﹣x+1，y＝x2+2x+4等；（2）依题意得b2＝ac，∴△＝b2﹣4ac＝b2﹣4b2＝﹣3b2，∴当b＝0时，△＝0，此时抛物线与x轴有一个公共点，当b≠0时，△＜0，此时抛物线与x轴没有公共点；（3）①抛物线y＝2x

2﹣2x+2向下平移3个单位得到的新抛物线的解析式为y＝2x2﹣2x﹣1，②存在．如图：若BQ＝AO，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点P，P点的坐标为：（0，﹣1），（1，﹣1），此时，△AOB≌△BQP；若BQ＝BO，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点P

，令2x2﹣2x﹣1＝12，解得：x＝﹣12或x＝32，∴P点的坐标为：（﹣12，12），（32，12）．此时，△AOB≌△PQB；综上所述，有四个符合条件的点P的坐标：（0，﹣1），（1，﹣1），（﹣12，12），（32，12）．【点睛】此题主要考查新定义下抛物线的性质，熟练掌握

，即可解题.25