【文档说明】吉林省梅河口市第五中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(18)页，1.337 MB，由小赞的店铺上传

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数学试题（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合1,1,3,5,7A=−，()2log3Bxyx==−，则AB=（）A.1,3,5,7B.1,5,7C.3,5,7D.

5,7【答案】D【解析】【分析】求解集合B,再利用集合的交集定义求解即可.【详解】∵()2log33Bxyxxx==−=，∴5,7AB=．故选:D.【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,难度容易.2.命题“正方形的两条对角线相等”的否定为（）A.每个正方形的对角

线都不相等B.存在不是正方形的四边形对角线不相等C.存在对角线不相等的正方形D.每个不是正方形的四边形对角线都相等【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题得到答案.【详解】解：命题：“正方形的两条对角线相等”可改写为“所有的正方形，其两条对角线相等”是全称命题，根据全称命题的否定为特

称命题，可知其否定为“有些正方形，其两条对角线不相等”即“存在对角线不相等的正方形”故选：C．【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.3.设向量()(),2,2,3axxb=+=，且ab⊥，则x=（）A.1B.1−C.6

5D.65−【答案】D【解析】【分析】由题得()232560xxx++=+=，解方程即得解.【详解】由题得()232560xxx++=+=，解之得65x=−.故选：D【点睛】本题主要考查向量垂直的数量积表示，意在考查学生对这些知识的理

解掌握水平.4.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若60A=，abc=2，则ABC为（）A.直角三角形B.锐角非等边三角形C.钝角三角形D.等边三角形【答案】D【解析】【分析】由余弦定理可得bc

=，又60A=，故ABC为等边三角形．【详解】在ABC中，60A=，abc=2，由余弦定理得222222cosabcbcAbcbcbc=+−=+−=，()20bc−=bc=，又60A=，故ABC为等边三角形.故选D【点睛】本题

考查余弦定理在判断三角形形状的应用，属于基础题．5.设0.3341(),10,1010abclog===，则()A.acbB.bacC.cbaD.abc【答案】A【解析】【分析】利用有界性分别得出0.3341()1,102,110210log，从而得出

a，b，c的大小关系．【详解】0.3011()()11010=，331082=，4441log4log10log162==，acb．故选：A．【点睛】考查指数函数、对数函数的单调性，幂函数的单调性，以及增函数、减函数的

定义．6.设na是公差大于0的等差数列，nS为数列na的前n项和，则“20a”是“1nSSn+”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件、必要条件以及等差数列的性质判断即

可.【详解】解：由na是公差大于0的等差数列，nS为数列na的前n项和，若20a，则10na+，又11nSSnna++=−，1nSSn+，故充分性成立；若1nSSn+，则1n10SSnna++

−=，20a，故必要性成立；综上可得，“20a”是“1nSSn+”的充要条件.故选：C【点睛】本题考查等差数列的性质以及充分条件必要条件的判定，属于基础题.7.已知函数()lnfxxaxb=

++的图象在点(1,)ab+处的切线方程是32yx=−，则ab−=（）A.2B.3C.-2D.-3【答案】B【解析】【分析】根据(1)3f=求出2,a=再根据(1,)ab+也在直线32yx=−上，求出b的值，即得解.【详解】因为1()fxax=+，所以(1)3f=所以13,2aa+==

，又(1,)ab+也在直线32yx=−上，所以1ab+=，解得2,1,ab==−所以3ab−=.故选：B【点睛】本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.如图，AB是圆O的一条直径，C，

D是半圆弧的两个三等分点，则AB=（）A.ACAD−B.22ACAD−C.ADAC−D.22ADAC−【答案】D【解析】【分析】本题是用,ACAD当基底向量，来表示AB，所以先在ACD中根据向量减法的三角形法则，用,ACAD表示CD，再探

究CD、AB的线性关系即可．【详解】因为C，D是半圆弧的两个三等分点，所以//CDAB，且2ABCD=，所以()2222ABCDADACADAC==−=−.【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力与数形结合的数学方法.9.将函数()cosyx=+的图象向左平移3个

单位长度，然后将各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的对称中心为（）A.()2,03kk+ZB.()2,04kk+ZC.()2,02kk+ZD.()()2,

0kk+Z【答案】A【解析】【分析】根据题意利用诱导公式化简,进行先平移再伸缩的变换,即可得到1cos23yx=−+,利用余弦函数的图象和性质即可解得.【详解】将函数()coscosyxx=+=−的图象向左平移3

个单位长度得到cos3yx=−+的图象，然后各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到1cos23yx=−+的图象，令()1232xkk+=+Z，得()23xkk=+Z，所以对称中心为()2,03kk+Z．

故选:A.【点睛】本题考查了诱导公式化简函数解析式,考查了三角函数的图象的变换与性质,难度较易.10.设定义在R上的函数()fx满足()cos2fxfxx+=+，当0x时，()12fx=，则74f=（）A.12B.22C.122−D.1222−【答案】C【解析】

【分析】由已知化简可得7335coscos4444ff=++,)304，,代入()fx则有3142f=,进而求得74f的值.【详解】7553351221coscoscos24444442222f

ff=+=++=−−=−．故选:C.【点睛】本题考查解决抽象函数的常用方法:赋值法,考查推理能力,难度较易.11.已知定义在R上的函数()()522222xxxxfx−−=−−−−，则不等式()()2324fxfx++−

−的解集为（）A.()0,1B.(0,1C.(,1−D.)1,+【答案】C【解析】【分析】设()()22gxfx++=，判断()gx为奇函数，且在R上为减函数，不等式转化为()()214gxgx+−+，计算得到答案.【详解】()()()52222222xxxfxx−−

=−−−−−−，令()()52222xxxxgxxf−+=−−+−=，则()()()()552222xxxxgxxxxx−−=−−−−−=−−−−−()gx=−，即()gx为奇函数，且在R上为减函数.不等式()()2324fxfx++

−−，等价于()()()()2122422fxfx+++−−++，即()()()2144gxgxgx+−−=−+，则214xx+−+，解得1x.故选：C【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，构造函

数()()22gxfx++=是解题的关键.12.若函数()()3220fxxaxbxcb=−+−有两个极值点1x，2x，且()11fxx=−，()222fxx=−，则关于x的方程()()()23220fxafxb++=的不同的实根的个数是（）A.6B.5C.4D.3【答案】B【

解析】【分析】求导()fx,由题意1x，2x是2322=0xaxb−+的两个根，从而得到1-x，2-x是方程()()()23220fxafxb++=的两根,做出草图,由图象得出答案.【详解】()2322fxxaxb=−+，()fx有两个极值点1x，2x，所以1

x，2x是()0fx=的两个根，由0b，可知两根一正一负，又当()fx的值取为1x−，2x−时，方程()()()23220fxafxb++=成立．当120xx时，作出()fx的简图如图1所示，当

()1fxx=−时有两根，当()2fxx=−时有三根，所以方程()()()23220fxafxb++=有五个根；同理当120xx时，作出()fx的简图如图2所示，也有当()1fxx=−时有两根，当()2fxx=−时有三根．综上，方程()()()23220fxafxb++=有五个根．故

选:B.【点睛】本题考查了方程的解的个数与函数图象交点个数的关系,重点考查了数形结合的数学思想方法,难度较大.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.已知()tan3+=，1tantan2=，则tantan+=_______

__．【答案】32【解析】【分析】利用正切的和角公式变形,代入即可.【详解】()()13tantantan1tantan3122+=+−=−=．故答案为:32.【点睛】本题考查正切的和角

公式,考查学生的计算能力,难度容易.14.已知1e，2e是夹角为120°的两个单位向量，则122aee=+和212bee=−的夹角的余弦值为_________．【答案】217【解析】【分析】首先利用数量积公式求得3ab=,3a=7b=,利用夹角公式代

入即可.【详解】设a与b的夹角为，因为()()221221122243abeeeeee=+−=−+=，()2221212122443aeeeeee=+=++=，222112447beeee=+−=，所以321cos737abab===．故答案为:

217.【点睛】本题考查单位向量的概念,向量数量积的计算公式及运算,向量的数乘运算.较易.15.用max{,,}abc表示,,abc三个数中的最大值，设2()maxln,1,4(0)fxxxxxx=−−−，则()fx的最小值为_______.【答案】0【解析】【分析】将2()maxln,

1,4(0)fxxxxxx=−−−中三个函数的图像均画出来,再分析取最大值的函数图像,从而求得最小值.【详解】分别画出lnyx=−,1yx=−,24yxx=−的图象,取它们中的最大部分,得出()fx的图象如图所示,故最小值为0.故答案为0【点睛】本题主要考查数形结合的思想与

常见函数的图像等,需要注意的是在画图过程中需要求解函数之间的交点坐标从而画出准确的图像,属于中等题型.16.在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且()2coscos0abCcB++=，则sinsinAB的最大值为_________．【答案】14【

解析】【分析】()2coscos0abCcB++=利用正弦定理边化角化简可求得23C=,则有3AB+=,则11sinsinsinsinsin23264ABAAA=−=+−借助正弦函数

图象和性质即可求出.【详解】因为()()2coscos2sincossin20abCcBACBCR++=++=，所以1cos2C=−，所以23C=．所以11sinsinsinsinsin23264ABAAA=−=+−，因为03A

，所以当6A=时，sinsinAB取得最小值14．故答案为:14.【点睛】本题考查正弦定理,三角函数的图象和性质,属于常考题.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

．17.已知全集U=R，集合2|340Axxx=+−，|11Bxmxm=−+.（1）若1m=，求()UABð；（2）若BA，求m的取值范围.【答案】（1）()|40UBAxx=−I

ð；（2）3,0−【解析】【分析】（1）分别求出UBð和A,再取交集，即可．（2）因为BA且11mm−+恒成立，所以1411mm−−+，解出即可．【详解】解：（1）若1m=，则|02Bxx=，所以|0UB

xx=ð或2x，又因为|41Axx=−，所以()|40UBAxx=−Ið．（2）由（1）得，|41Axx=−，又因为BA，所以1411mm−−+，解得3,0m−．【点睛】本题考查了交、补集的混合运算，考查了利用集合间的关系求参

数的取值问题，解答此题的关键是对集合端点值的取舍，是基础题．18.已知函数()232cossinsin2cos162fxxxxx=+++−．（1）求()fx的最小正周期；（2）求()fx的单调递增区间．【答案】（1）；（2）(),3

6kkk−+Z.【解析】【分析】(1)使用二倍角公式和辅助角公式化简()fx利用周期公式即可求得;(2)由正弦函数的单调增区间,利用整体代入法即可求得.【详解】解：（1）()23sin22cos13sin2cos22sin26fxxxxxx=+−=+=+

，最小正周期为22=．（2）由222262kxk−++，kZ，得36kxk−+，kZ，所以()fx的单调递增区间为(),36kkk−+Z．【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质,考查了学生的计算能力,较易.19.ABC的内角A，

B，C的对边分别为a，b，c，已知0ccosBbsinC−=，2cosAcosA=．()1求C；()2若2a=，求，ABC的面积ABCS【答案】(1)12．(2)333−．【解析】【分析】()1由已知利用正弦

定理，同角三角函数基本关系式可求1tanB=，结合范围()0,B，可求4B=，由已知利用二倍角的余弦函数公式可得2210cosAcosA−−=，结合范围()0,A，可求A，根据三角形的内角和定理即可解得C的值．()2由()1及

正弦定理可得b的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinC的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】()1由已知可得ccosBbsinC=，又由正弦定理bcsinBsinC=，可得ccosBcsinB=，即1ta

nB=，()0,B，4B=，2221cosAcosAcosA==−，即2210cosAcosA−−=，又()0,A，12cosA=−，或1(舍去)，可得23A=，12CAB=−−=．(

)223A=，4B=，2a=，由正弦定理absinAsinB=，可得22262332asinBbsinA===，()321262sin22224sinCABsinAcosBcosAsinB−=+=+=+−=

，11266233222343ABCSabsinC−−===．【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形的内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于

中档题．20.已知函数()2e21xfxx=−−．（1）证明：()0fx．（2）()00,x+，使得()001fxax−成立，求a的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）()2e2,−+.【解析】【分析】(1)求导,可证得()fx在(),0-

?上单调递减,在()0,+?上单调递增,且()()min00fxf==,即可证得结论.(2)由题意可知即为2e2xxax−在()0,x+内有解,即2e2xxax−有解,构造()2e2xxgxx−=,通过求导求得()mingx,即a大

于()gx在()0,x+的最小值即可.【详解】（1）证明：()22e2xfx=−，令()0fx¢=，得0x=．当(),0x−时，()0fx¢<；当()0,x+时，()0fx¢>．所以()fx在(

),0-?上单调递减，在()0,+?上单调递增，且()()min00fxf==，所以()2e210xfxx=−−恒成立．（2）解：()00,x+，使得()001fxax−成立，即2e2xxax−在()0,x+内有解

，即2e2xxax−有解，令()22e2e2xxxgxxx−==−，即a大于()gx在()0,x+的最小值．()()2221exxgxx−=，当10,2x时，()0gx¢<，()gx为减函数；当1,2x+时，()0gx¢>，(

)gx为增函数，()min12e22gxg==−，所以2e2a−，即a的取值范围是()2e2,−+．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值,利用导数解决能成立问题中参数取值范围问题,考查考生的推理论证能力和运算求解能力,难度较大.21.已知二次函数()

fx满足(0)2f=，且(1)()23fxfxx+−=+.（1）求()fx的解析式；（2）设函数()()2hxfxtx=−，当[1,)x+时，求()hx的最小值；（3）设函数12()loggxxm=+，若对任意1[1,4

]x，总存在2[1,4]x，使得()()12fxgx成立，求m的取值范围.【答案】（1）2()22fxxx=++；（2）min252,2,()21,2.tthxttt−=−++„；（3）7m【解析】【分析】(1)根据二次函数()fx,则可设2()(0)f

xaxbxca=++,再根据题中所给的条件列出对应的等式对比得出所求的系数即可.(2)根据(1)中所求的()fx求得2()2(1)2hxxtx=+−+,再分析对称轴与区间[1,)+的位置关系进行分类讨论求解()

hx的最小值即可.(3)根据题意可知需求()fx与()gx在区间上的最小值.再根据对数函数与二次函数的单调性求解最小值即可.【详解】(1)设2()(0)fxaxbxca=++.①∵(0)2f=,∴(0)2fc==,又∵(1)()1fxfxx+−=+,∴22(1)(1)2

223axbxaxbxx++++−−−=+,可得223axabx++=+,∴21,3,aab=+=解得12ab==，，即2()22fxxx=++.(2)由题意知,2()2(1)2hxxtx=+−+,[1,)x+,对称轴为1xt=−.①当11t−„,即2t„时,函数h(x)在[1,

)+上单调递增,即min()(1)52hxht==−；②当11t−,即2t时,函数h(x)在[1,1)t−上单调递减,在[1,)t−+上单调递增,即2min()(1)21hxhttt=−=−++.综上,min252,2,()21,2.

tthxttt−=−++„(3)由题意可知minmin()()fxgx,∵函数()fx在[1,4]上单调递增,故最小值为min()(1)5fxf==,函数()gx在[1,4]上单调递减,故最小值为min()(4)2gxgm==−+,∴52m−+,解得7m

.【点睛】本题主要考查利用待定系数法求解二次函数解析式的方法,二次函数对称轴与区间关系求解最值的问题,以及恒成立和能成立的问题等.属于中等题型.22.已知函数()12cossin2fxxxxx=−+，()fx为()fx的导函数．（1）证明：()

fx在0,2上存在唯一零点．（2）若0,2x，()fxax恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）1,2−−.【解析】【分析】(1)求出()fx¢,设()()gxfx=，求()gx,由()

gx的单调性及零点存在定理说明()gx在区间0,2上存在唯一零点,即证得()fx¢在0,2上存在唯一零点.(2)将恒成立问题,转化为函数的最值问题,利用导数研究函数的单调性,从而求得最值即可.【详解】（1）证明：设()()gxfx=，则()1

3sincos2gxxxx=−−，()sin4cosgxxxx=−．令()()sin4coshxgxxxx==−，则()5sincoshxxxx=+．∵当0,2x时，()0hx，则()gx为增函数，且()040g=−，022g=

，∴存在00,2x，使得()00gx=，∴当()00,xx时，()0gx¢<；当0,2xx时，()0gx¢>．即()gx在()00,x上单调递减，在0,2x上单调递增．又∵()1002g=，5022g=−

，∴()gx在区间0,2上存在唯一零点，即()fx¢在区间0,2上存在唯一零点．（2）解：当0x=时，()020fa=；当0,2x时，()2cos1sin2xfxaxaxx−+．设(

)2cos1sin2xpxxx=−+，0,2x，即()222sin2coscosxxxxxpxx−−−=，∵0,2x，∴()0px，∴()px在0,2上单调递减，∴()min122pxp==−，∴12a−．综上所述，a的取

值范围为1,2−−．【点睛】本题考查导数的运算、零点存在性定理的应用,以及利用导数证明不等式恒成立问题,难度较大.