【文档说明】八年级数学第9讲 乘法公式-【暑假辅导班】新八年级数学暑假精品课程（华师大版）（解析版）.doc，共(12)页，573.500 KB，由管理员店铺上传

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1第9讲乘法公式【学习目标】掌握平方差公式跟完全平方知识和应用【基础知识】考点一、平方差公式平方差公式：22()()ababab+−=−两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.考点诠释：在这里，ba,既可

以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1

）位置变化：如()()abba+−+利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如(35)(35)xyxy+−（3）指数变化：如3232()()mnmn+−（4）符号变化：如()()abab−−−（5）增项变化：如()()mnpmnp++−+（6）增因式变化：如2244()(

)()()abababab−+++考点二、完全平方公式完全平方公式：()2222abaabb+=++2222)(bababa+−=−两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.考

点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222ababab+=+−()22abab=−+()()224ababab+=−+2考点三、添括号法则添括号时，如果括

号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.考点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.要点四、补充公式2()()()xpxqxpqxpq++=++

+；2233()()abaabbab+=m；33223()33abaababb=+；2222()222abcabcabacbc++=+++++.【考点剖析】考点一：平方差公式的应用例1．下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能

?能用平方差公式计算的，写出计算结果．(1)()()2332abba−−；(2)()()2323abab−++；(3)()()2323abab−−−+；(4)()()2323abab+−；(5)()()2323abab−−−；(6)()()2323abab+−−．【思路

】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式.【答案】解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算．(2)()()2323abab−++＝()23b－()22a＝2294ba−．(3)()()2

323abab−−−+＝()22a−－()23b＝2249ab−．(4)()()2323abab+−＝()22a－()23b＝2249ab−．(5)()()2323abab−−−＝()23b−－()22a＝2294ba−．【总结】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反

项（系数为相反数的同类项）．举一反三：3【变式】计算：（1）332222xxyy+−；（2）(2)(2)xx−+−−；（3）(32)(23)xyyx−−−．【答案】解：（1）原式2222392244xxyy=−=−．（2）原式2

22(2)4xx=−−=−．（3）原式22(32)(23)(32)(32)94xyyxxyxyxy=−+−=+−=−．2、计算：(1)59.9×60.1；(2)102×98．【答案】解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝22600.1−＝3600－0.01＝3

599.99(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝221002−＝10000－4＝9996．【总结】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样可顺利地利用平方差公式来计算．举一

反三：【变式】怎样简便就怎样计算：（1）1232﹣124×122（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）【答案】解：（1）1232﹣124×122=1232﹣（123+1）（123﹣1）=1232﹣（1232﹣1）=1232﹣1232+1=1；（2）（2a+b）（4a2

+b2）（2a﹣b）=（2a+b）（2a﹣b）（4a2+b2）=（4a2﹣b2）（4a2+b2）4=（4a2）2﹣（b2）2=16a4﹣b4．考点二：完全平方公式的应用例2．计算：(1)()23ab+；(2)()232a−+；(3)()22xy−；(4)()223xy−−．【思路】

此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.【答案】解：(1)()()22222332396abaabbaabb+=++=++．(2)()()()222223223222334129aaaaaa−+=−=−

+=−+．(3)()()22222222244xyxxyyxxyy−=−+=−+．(4)()()()()2222222323222334129xyxyxxyyxxyy−−=+=++=++．【总结】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符

号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负．(2)注意()()22abab−−=+之间的转化．图a是由4个长为m，宽为n的长方形拼成的，图b是由这四个长方形拼成的正方形，中间

的空隙，恰好是一个小正方形．（1）用m、n表示图b中小正方形的边长为．（2）用两种不同方法表示出图b中阴影部分的面积；（3）观察图b，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n）2，（m﹣n

）2，mn；（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．【答案】5解：（1）图b中小正方形的边长为m﹣n．故答案为m﹣n；（2）方法①：（m﹣n）（m﹣n）=（m﹣n）2；方法②：（

m+n）2﹣4mn；（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（4）由（3）得：（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，∵a+b=7，ab=5，∴（a﹣b）2=72﹣4×5=49﹣20=29．【总结】本题考查了完全平方公式的应用，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代

数式表示其他相关的量．已知7ab+=，ab＝12．求下列各式的值：(1)22aabb−+；(2)2()ab−．【答案】解：(1)∵22aabb−+＝22ab+－ab＝()2ab+－3ab＝27－3×12＝13

．(2)∵()2ab−＝()2ab+－4ab＝27－4×12＝1.【总结】由乘方公式常见的变形：①()2ab+－()2ab−＝4ab；②22ab+＝()2ab+－2ab＝()2ab−＋2ab．解答本题关键是不求出,ab的值，主要

利用完全平方公式的整体变换求代数式的值．举一反三：【变式】已知2()7ab+=，2()4ab−=，求22ab+和ab的值．【答案】解：由2()7ab+=，得2227aabb++=；①由2()4ab−=，得22

24aabb−+=．②①＋②得222()11ab+=，∴22112ab+=．①－②得43ab=，∴34ab=．6【真题演练】1.在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（）A.))((nmnm+−−B.()()3333xyxy−+C.))((baba−−−D.()()2222cddc−+

【答案】A；【解析】A中m和m−符号相反，n和n−符号相反，而平方差公式中需要有一项是符号相同的，另一项互为相反数.2．若xy+＝6，xy−＝5，则22xy−等于()．A.11B.15C.30D.60

【答案】C；【解析】()()22xyxyxy−=+−＝6×5＝30.3．下列计算正确的是()．A.()()55mm−+＝225m−B.()()1313mm−+＝213m−C.()()24343916nnn−−−+=−+D.(2abn−)(2abn+)＝224abn−【答案

】C；【解析】()()55mm−+＝225m−；()()1313mm−+＝219m−；(2abn−)(2abn+)＝2224abn−.4．下列多项式不是完全平方式的是()．A.244xx−−B.mm++241C.2296aabb++D.24129tt++

【答案】A；【解析】2211()42mmm++=+；22296(3)aabbab++=+；224129(23)ttt++=+.5．已知关于x的二次三项式4x2﹣mx+25是完全平方式，则常数m的值为（）A．10B．±10C．﹣20D．±20

【答案】D；7【解析】解：∵关于x的二次三项式4x2﹣mx+25是完全平方式，∴﹣m=±20，即m=±20．故选：D．6．下列等式不能恒成立的是()．A.()222396xyxxyy−=−+B.()(

)22abccab+−=−−C.22241)21(nmnmnm+−=−D.()()()2244xyxyxyxy−+−=−【答案】D；【解析】()()()()22222xyxyxyxy−+−=−.二.填空题7．若2216xax++是一个完全平方式，则a＝______．【答案】±4；【

解析】222216244xaxxx++=+，所以4a=.8.若2294xy+＝()232xyM++,则M＝______．【答案】12xy−；【解析】2294xy+＝()23212xyxy+−.9.若xy+＝3，xy＝1，则22xy+＝_______.【答案】7；【

解析】()2222xyxyxy+=++，22927xy+=−=.10.（1+x）（1﹣x）（1+x2）（1+x4）=．【答案】1﹣x8；【解析】解：（1+x）（1﹣x）（1+x2）（1+x4）=（1﹣x2）（1+x2）（1+x4）=（1﹣x4）

（1+x4）=1﹣x8，故答案为：1﹣x8811.()25(2)(2)21xxx−+−−=___________.【答案】2421xx+−；【解析】()()()22225(2)(2)2154441421xxxxxxxx−+−−=−−−+=+−.12.若()212x−=，则代数式225xx−+的值

为________.【答案】6；【解析】因为()212x−=，所以2221,256xxxx−=−+=.三.解答题13.用平方差公式或完全平方公式计算（必须写出运算过程）．（1）69×71；（2）992．【解析】解：（1）原

式=（70﹣1）×（70+1）=4900﹣1=4899；（2）原式=（100﹣1）2=10000﹣200+1=9801．14.先化简，再求值：22)1(2)1)(1(5)1(3−+−+−+aaaa，其中3=a．

【解析】解：223(1)5(1)(1)2(1)aaaa+−+−+−()()()22232151221210aaaaaa=++−−+−+=+当3,=231016a=+=时原式.15.已知：2225,7xyxy+=+=，且,xy求xy−的值.【解析】解：∵()2222xyxyxy+=+

+，且2225,7xyxy+=+=∴27252xy=+，∴12xy=，∵()2222252121xyxyxy−=+−=−=∴1xy−=∵,xy即0xy−9∴1xy−=.【过关检测】一.选择题1．下列各多项式相乘，可以用平方差公式

的有()．①()()2552abxxab−++②()()axyaxy−−−③()()abcabc−−−④()()mnmn+−−A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】B；【解析】①，②，③可用平方差公式.2.若2

14xkx++是完全平方式，则k值是（）A.2B.1C.4D.1【答案】B；【解析】2221112224xxxkx+=+，所以k＝±1.3.下面计算()()77abab−++−−−正确的是()．A.原式＝(－7＋a＋b)[－7－(a＋b)]

＝－27－()2ab+B.原式＝(－7＋a＋b)[－7－(a＋b)]＝27＋()2ab+C.原式＝[－(7－a－b)][－(7＋a＋b)]＝27－()2ab+D.原式＝[－(7＋a)＋b][－(7＋a)－b]＝()227ab+−【答案

】C4．(a＋3)(2a＋9)(a－3)的计算结果是()．A.4a＋81B.－4a－81C.4a－81D.81－4a【答案】C；【解析】(a＋3)(2a＋9)(a－3)＝224(9)(9)81aaa−+=−.105．

下列式子不能成立的有()个．①()()22xyyx−=−②()22224abab−=−③()()()32abbaab−=−−④()()()()xyxyxyxy+−=−−−+⑤()22112xxx−+=−−A.1B.2C.3D.4【答案】B；【解析】②，③

不成立.6．计算20152﹣2014×2016的结果是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【答案】D；【解析】解：原式=20152﹣（2015﹣1）×（2015+1）=20152﹣（20152﹣1）=20152﹣20152+1=1，故选D.二.填空题

7．多项式28xxk−+是一个完全平方式，则k＝______．【答案】16；【解析】2228244xxkxx−+=−+，∴k＝16.8.已知15aa+=，则221aa+的结果是_______.【答案】23；【解析】21()25,aa+=222211225,23aaaa++=+=.9

.若把代数式223xx−−化为()2xmk−+的形式，其中m，k为常数，则m＋k＝_______.【答案】－3；【解析】()22223211314xxxxx−−=−+−−=−−，m＝1，k＝－4.10.若A=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1

，则A的末位数字是．【答案】6；【解析】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，=（24﹣1

）（24+1）（28+1）+1，11=（28﹣1）（28+1）+1，=（216﹣1）（216+1）+1，=232﹣1+1，因为232的末位数字是6，所以原式末位数字是6．故答案为：6．11．对于任意的正整数n，能整除代数式()()()()31313

3nnnn+−−−+的最小正整数是_______.【答案】10；【解析】利用平方差公式化简得10()21n−，故能被10整除.12.如果()()221221abab+++−＝63，那么a＋b的值为_______.【答案】±4；【解析】()()221221abab+

++−()222163,228,4ababab=+−=+=+=.三.解答题13.计算下列各值.22(1)10199+()()()2222(2)224mmm+−+(3)()()abcabc+−−+2(4)(321)xy−+【解析】解：（1）原式＝()()2210011001=1000020

01100002001=20002++−+++−+（2）原式＝()()()22222484441632256mmmmm−+=−=−+（3）原式＝()222222abcabcbc−−=−−+（4）原式＝()()222(32

1)3212322322xyxyxyxy−+=++−+−229412641xyxyxy=+−+−+14.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4=22﹣0

2，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4、12、20都是这种“神秘数”．（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？试说明理由；（2）试说明神秘数能被4整除；（3）两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由．12【解析】解：（1）是，理由如下：∵28=82﹣62，2012=5042﹣5

022，∴28是“神秘数”；2012是“神秘数”；（2）“神秘数”是4的倍数．理由如下：（2k+2）2﹣（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）=2（4k+2）=4（2k+1），∴“神秘数”是4的倍数；（3）设

两个连续的奇数为：2k+1，2k﹣1，则（2k+1）2﹣（2k﹣1）2=8k，而由（2）知“神秘数”是4的倍数，但不是8的倍数，所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．15.已知：()26,90,ababca−=+−+=求abc++的值.【解析】解：∵6,ab−=

∴6ab=+∵()290,abca+−+=∴()()2690,bbca++−+=∴()()2230,bca++−=∴3,bca=−=∴()363,3ac=−+==∴()3333abc++=+−+=.