【文档说明】重庆市西南大学附属中学校2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题 含答案.docx，共(17)页，753.825 KB，由小赞的店铺上传

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秘密★启用前2022~2023学年度上期学情调研高三数学试题卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号码填写在答题卡上。2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。3.考试结束后，

将答题卡交回。一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合22150Axxx=−−∣，3,1,1,3,5B=−−，则AB=（）A．1,3B．3,1,

1−−C．1,1−D．1,1,3−2．已知等差数列na，246aa+=，则其前5项的和5S=A．5B．6C．15D．303．设等比数列na满足123aa+=，133aa−=−，则4a=（）A．8

B．16C．24D．484．设1653a=，b=153()5−，c=ln23，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．a＞c＞b5．已知正项等比数列na的前n项和为nS，1252aa+=，34458a

a+=，则5S=（）A．1058B．21116C．534D．2726．设等差数列na的前n项和为nS，且满足190S，200S，则11Sa，22Sa，33Sa，，1919Sa中最大项为()A．88SaB

．99SaC．1100SaD．1111Sa7．设P是ABC所在平面内一点，且2BPPC=，则AP=（）A．1322ABAC+uuuruuurB．3122ABAC+uuuruuurC．1233ABAC+D．2133ABAC+8．设0a，0b，若

3是3a与9b的等比中项，则12ab+的最小值为（）A．92B．3C．322+D．4二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知1iz=−（）A．虚部为1B

．2zz=C．2z=D．2zz+=10．已知等比数列na的前n项和为nS，且214Sa=，2a是11a+与312a的等差中项，数列nb满足1nnnnabSS+=，数列nb的前n项和为nT，则下列命题正确的是（）A．数列

na的通项公式为13nna−=B．31nnS=−C．nT的取值范围是11,86D．数列nb的通项公式()()11233131nnnnb−+=−−11．下列说法正确的是（）A．22

coscos33+=−B．函数()fx在(,0−单调递增，在()0,+单调递增，则()fx在R上是单调递增.C．函数(2)yfx=+与(2)yfx=−关于0x=对称.D．函数()fx是R上的增函数，若121216()()(

)()logsin6fxfxfxfx+=−+−+成立，则120xx+12．定义在(0,)+上的函数()fx的导函数为()fx，且()()2(32)()xxfxxfx++恒成立，则必有（）A．(3)20(1)ffB．(2)6(1)ffC．13(1)

162ffD．(3)3(2)ff三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13．如果复数()2iR1iaa−+为实数，则=a__________.14．已知数列na满足1112,2n

nnaaa−+==+，则6a=______．15．已知是实系数一元二次方程22(21)10xmxm−−++=的一个虚数根，且||5，若向量(21,3)amm=−−，则向量||a的取值范围为_________16．若对任意的正实数x，均有()112lnaxaexxx+

+恒成立，则是实数a的最小值为______.四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等比数列na的前n项和为nS，且22a=，5416SS−=，等差数列nb满足：223baa=+，334baa=+.（1）求nb；（2）若n

nncab=+，求数列nc的前n项和nT.18．已知函数()sin()cossincos()2fxxxxx=+−−，（1）求函数()fx的最小正周期；（2）在ABC中，已知A为锐角，()1fA=,2,3

BCB==,求AC边的长.19．某产品按质量分10个档次，生产最低档次的利润是8元/件；每提高一个档次，利润每件增加2元，每提高一个档次，产量减少3件，在相同时间内，最低档次的产品可生产60件．问：在相同时间内，生产第几档次的产品可获得最大利润？（最低档次为第一档次）2

0．已知函数()()cos3(0,0,0π)fxAxA=++的最小值为1，最小正周期为π，且()fx的图象关于直线π3x=对称.(1)求()fx的解析式；(2)将曲线()=yfx向左平移π12个单位长度，得到曲线()=ygx，求曲线()=ygx的对称中心的坐标.21．已知数列n

a满足111,31nnaaa+==+.(1)证明12na+是等比数列，并求na的通项公式；(2)证明：121113...2naaa+++.22．已知椭圆()22122:10xyCabab+=的左右焦点分别为1F，2F，抛物线()221:12Cyx=−−

的顶点为B，且经过1F，2F，椭圆1C的上顶点A满足2OBOA=.（1）求椭圆1C的方程；（2）设点M满足1112FMFOFB=+，点N为抛物线2C上一动点，抛物线2C在N处的切线与椭圆交于P，Q两点，求MPQ面积的最大值.参考答案1．D首先化简集合532Ax

x=−∣，然后根据交集运算即可求得结果.解22150xx−−可得532x−，所以532Axx=−∣.所以533,1,1,3,51,1,32ABxx=−−−=−∣.故选：D.2．C152455()5()5615.222aaa

aS++====选C.3．A利用等比数列的通项公式即可求解.设等比数列na的公比为q，则1121133aaqaaq+=−=−，解得11,2aq==所以3418aaq==.故选：A本题考查了等比数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题

.4．B利用指数函数、对数函数的单调性求解11553553b−==,a=1653,b>a>0,c=2ln3<ln1=0，∴b>a>c故选：B.与指数函数与对数函数有关的比较大小问题，可利用指数函数和对数函数的单调性，比较大小.5．B设公比为(0)qq，由

等比数列的定义可得12342()qaaaa+=+，由此可以算出公比q的值．把q的值代入1252aa+=中，从而求出首项1a的值，然后利用等比数列的求和公式求出5S的值．设公比为(0)qq，有34124538522aaqaa+===+，113522aa+=，可得11a=，所以55312

312S−=−21116=．故选：B．6．C根据所给条件可分析等差数列递减，且10110aa，据此可得出前n项和的变化规律，利用不等式性质得解.因为190S，200S，所以10,0ad，且10

110,0aa，所以，128910110aaaaaa12891011SSSSSS所以，8910121289100SSSSSaaaaa当1119n时，0nnSa所以，3191212319,,,,SSSSaaaa

中最大项为1100Sa，故选：C．7．C由平面向量的线性运算法则求解．由向量的运算法则可得：APABBP=−，ACAPPC=−，∵2BPPC=，∴2APABACAP−=−（），所以1233APABAC

=+，故选：C.8．A由题得22ab+=，再利用基本不等式求最值得解.因为3是3a与9b的等比中项，所以223393,22ababab+==+=.所以12112112122=()2()(2)(5)222ababa

bababba++=++=++1229(52)22abba+=当且仅当23ab==时取等.故选：A本题主要考查基本不等式求最值，考查等比中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．BCD根据虚部的定义即可判断A；根据

共轭复数及复数的乘法运算即可判断B；根据复数的模的计算公式即可判断C；根据复数的加法运算即可判断D.解：因为1iz=−，所以虚部为1−，故A错误；2iz=+，()()1i1i2zz=−+=，故B正确；112z=+=，故C正确；1i1i2zz+=−++=，故D正确.故

选：BCD.10．BCD根据已知条件求出等比数列na的首项和公比，利用等比数列的通项公式与求和公式可判断AB选项的正误；求出数列nb的通项公式，利用裂项求和法结合数列的单调性可判断CD选项的正误.设等比数列na的公比为

q，则21114Saaqa=+=，可得3q=，因为()2131212aaa=++，即1111612aa=+，解得12a=，11123nnnaaq−−==，A错；()2133113nnnS−==−−，B对；()()()()()()11111313123111133313131313131nnn

nnnnnnnb+−+++−−−===−−−−−−−，D对；22334111111111133131313131313131nnnT+=−+−+−++−−−−−−

−−−()111166331n+=−−，0nb，所以，数列nT为单调递增数列，则118nTT=，故1186nT，C对.故选：BCD.11．ACD对于A，运用三角函数的诱导公式可判断；对于B，由函数的单调性的定义可判断.对于C，设函数()

fx上任意一点()ab，，得出(2)yfx=+上的对应点为()2ab−，，再得出()(2)2yfxfx=−−=−的对应点为()+2ab−，，由两点的位置关系可判断.对于D，设()()()gxfxfx=−−，则有函数()gx是R上的增函数，

再得1122()()>()()fxfxfxfx−−−−，即有12()>()gxgx−，由此可判断.解：对于A，22coscos33+=−，故A正确；对于B，函数()fx在(,0−单调递增，在()0,+单调递增，则()fx在R上不一定单调

递增，故B不正确.对于C，设函数()fx上任意一点()ab，，则将函数()fx向左平移2个单位得函数(2)yfx=+，此时对应点为()2ab−，，将函数()fx关于y轴对称得函数()yfx=−，此时对应点为()ab−，，再将函数()yfx

=−的图象向右平移2个单位得()(2)2yfxfx=−−=−，此时对应点为()+2ab−，，而点()2ab−，与()+2ab−，有()()2++20aa−−=，所以点()2ab−，与()+2ab−，关于0x=对称，所以

函数(2)yfx=+与(2)yfx=−关于0x=对称，故C正确.对于D，设()()()gxfxfx=−−，因为函数()fx是R上的增函数，所以函数()gx是R上的增函数，因为1116661logsinlog>log1062

==，所以1212()()>()()fxfxfxfx+−+−，即1122()()>()()fxfxfxfx−−−−，所以12()>()gxgx−，所以12>xx−，即120xx+，故D正确.故选：ACD.12．BD首先根据条件构造函数()()32fxgxxx=+，0x，根据()()()(

)()()322232320fxxxfxxxgxxx+−++=得到()gx在()0,+上单调递减，从而得到()()()11232gggg，再化简即可得到答案.由()()()()232xxfxxfx++及0x，得()()()()32232xxf

xxxfx++.设函数()()32fxgxxx=+，0x，则()()()()()()322232320fxxxfxxxgxxx+−++=，所以()gx在()0,+上单调递减，从而()()()11232gggg，即()()()112323212368ffff

，所以()()3181ff，()()261ff，()131162ff，()()332ff.故选：BD13．2−利用复数的运算法则有：()()()()()()21222111

2aiiaaiaiiii−−−−+−==++−，满足题意时，虚部202a+−=，解方程可得：2a=−.14．33由递推关系，结合关系式616554433221=aaaaaaaaaaaa−−+−+−+−+−可求6a.由

题设知，112nnnaa−+−=，所以655443322161aaaaaaaaaaaa−+−+−+−+−=−432102222231=++++=，又12a=，所以633a=．故答案为：33.15．5135,4根据已知条件一元二次方程根的特征可知，−也是22(21

)10xmxm−−++=的虚数根，结合已知条件，利用根与系数之间的关系和判别式求出m的取值范围，然后再利用向量的模长公式和一元二次函数性质即可求解.不妨设iab=+，iab−=−，因为是实系数一元二次方程22(21)10xmxm−−++=的一个虚数根，所

以−也是22(21)10xmxm−−++=的一个虚数根，从而2222||15abm−=+==+①，又因为22(21)10xmxm−−++=无实根，所以22[(21)]4(1)0mm=−−−+②，由①②可得，324m−，因为(21,3)amm=−

−，所以2222||(21)(3)5(1)5ammm=−+−=−+，由一元二次函数性质易知，当1m=时，2||a→有最小值5；当34m=−时，2325||16a→=；当2m=时，2||10a→=，故当324m−时，23255||16a

→，即5135||4a→，故向量||a的取值范围为：5135,4.故答案为：5135,4.16．2e由题意可得0a，对原不等式化简()()22ln11lnaxaxeex

x++，构造函数()()1lnFxxx=+，求导，讨论函数的单调区间，可得()Fx在()0,+上单调递增，进而()()22axaxFeFxex，利用参变分离的方法，求出参数的取值范围.由()112lnaxaxxxe

++，可知当1x时，()100axaea+且()()()222121ln1lnaxaxexxxx++=+()()22ln11lnaxaxeexx++令()()1lnFxxx=+，()1lnxFxxx+=+，()22111−

=−=xFxxxx()Fx在(0,1)单调递减，在(1,)+单调递增，()()120=FxF，∴()Fx在()0,+上单调递增0x时，0ax，20x，而()()22axaxFeFxex∴2lnaxx，2lnxax设2l

n()xhxx=，222ln'()−=xhxx，当(0,),'()0xehx，单调递增当(+),'()0，xehx，单调递减max2()()hxhee==，所以2ae故答案为：2e本题考查了导数的综合应用，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于难题.17

．（1）66nbn=−；（2）22331nnTnn=+−+（1）首先根据已知条件得到12nna−=，从而得到2223233342262212baabaa=+=+==+=+=，再解方程组即可.（2）首先根据（1）得到1266nncn−=+−，再利用分组求和求

解nT即可.（1）54516SaS−==，所以35282aqqa===，即21222nnna−−==.所以2112232313346022621262212bdbbaabddbaa+===+=+=+===+=+=

，所以66nbn=−.（2）1266nnnncabn−=+=+−，()()()()01212026212266nnTn−=+++++++−…()()0112220666nn−=+++++++−……()266122331122nnnnnn−−=+=+−+−.18

．（1）T=；（2）6AC=.（1）化简可得21()=sin2242fxx++，可得()fx的最小正周期；（2）由()1fA=，可得sincos4AAA==，，由正弦定理可得AC的长.解：（1）由题意得()sincossinco

s()2fxxxxx=+−−，可得21+cos2sin221()cossincossin222242xxfxxxxx=+=+=++，可得T=；（2）由题意：()1fA=，可得2()cossin

cos1fAAAA=+=，22sincos1cossinAAAA=−=，sincos,(0,),24AAAA==，由正弦定理得2sinsinsinsin34ACBCACBA==即，可得6AC=.19．9档次的产品．先探

求10个档次的产品的每件利润关系式26nan=+，以及10个档次的产品相同时间内的产量关系式633nbn=−，可得利润()()26633ynn=+−，最后根据二次函数性质求最大值.10个档次的产品的每件利润构成等差数列：8，10，12，…，()82126nann=

+−=+()110n，10个档次的产品相同时间内的产量构成等差数列：60，57，54，…，()6031633nbnn=−−=−()110n，∴在相同时间内，生产第n个档次的产品获得的利润为()()26633ynn=+−()2696144n=−−+．当9n=时，max6144864y

==（元）∴生产低9档次的产品可获得最大利润．20．(1)()π2cos233fxx=++(2)(),32πkkZ（1）根据函数的最小值及最小正周期，求出2A==，再根据函数图象关于π3x=对称，结合0π，求出π3

=，从而求出函数解析式；（2）先求出平移后的解析式，再用整体法求解对称中心.（1）依题意可得312ππA−==解得2A==，则()()2cos23fxx=++，因为()fx的图象关于直线π3x=对称，所以()π2π3kk+=Z，又

0π，所以π3=.故()π2cos233fxx=++.（2）依题意可得()πππ2cos232sin231236gxfxxx=+=+++=−+，令()2πxkk=Z，得()π2

kxk=Z，故曲线()=ygx的对称中心的坐标为(),32πkkZ.21．（1）证明见解析，113322nna−+=；（2）证明见解析.试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之

后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出1na，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式.试题解析：（1）证明：由131nnaa+=+得1113()22nnaa++=+，所以112312nnaa++=+，所以1

2na+是等比数列，首项为11322a+=，公比为3，所以12na+=1332n−，解得na=312n−.（2）由（1）知：na=312n−，所以1231nna=−，因为当1n时，13123nn−−，所以1113123nn−−，于是11

a+21a+1na≤1+13+⋯+13𝑛−1=31(1)23n−32，所以11a+21a+1na32.【易错点】对第（1）问，构造数列证明等比数列不熟练；对第（2）问，想不到当1n时，13123nn−−，而找不到思路，容易想到用

数学归纳法证明而走弯路.考点：本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识，考查同学们的逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.数列是高考的热点问题之一，熟练数列的基础知识是解决好该类问题的关键.22．（1）2212xy+=；（2）64.（1）

求得抛物线的顶点，求得F1，可得c=1，再由向量共线的坐标表示，可得b=1，进而得到a，即有椭圆方程；（2）运用向量共线的坐标表示，求得PQ的斜率，设出PQ的方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结

合点到直线的距离公式，由三角形的面积公式，运用二次函数的最值求法，可得最大值．（1）由抛物线()221:12Cyx=−−，可得10,2B，()11,0F−，设椭圆的焦距为2c，则有1c=，又由2OBOA=

可得()0,1A，1b=，2a=，故椭圆1C的方程为2212xy+=.（2）设点211,22Ntt−+，由()2112yx=−−得，|PQxtkyt===−.直线21122PQytxt=−++：，联立222121122xyytxt+

==−++消去y整理得，()()4222223212102tttxttx+−+−++=，由0，得2323t+，设()11,Pxy，()22,Qxy，由根与系数关系可得，()21222121ttxxt++=+，()4212223•221tt

xxt+−=+，42122212621ttxxt−++−=+，42221222126=11?21ttPQtxxtt−+++−=++.设(),xy，由1112FMFOFB=+得0,1,4xy==故10,4M.而点10,4M到直线PQ的距离为：2

2221112124411ttdtt++==++.()22422324121266•=2884MPQtttSPQd−−+−++==，2323t+，故当23t=时，()max64MPQS=.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结

论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用二次函数的性质求三角形面积最值的.获得更多资源请扫码加入享学资

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