【文档说明】黑龙江省安达市重点高中2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 含答案.doc，共(11)页，1021.000 KB，由小赞的店铺上传

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安达市重点高中2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题1.已知复数1i11iz−=++，则其共轭复数z=（）A．1i−B．1i+C．2i−D．2i+2.已知向量(1,2)a→=，(2,2)b→=，则||ab→→+=(

)A．4B．5C．6D．73.“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，ABC△满足“勾3股4弦5”，且3AB=，E为AD上一

点，BEAC⊥.若BABEAC=+，则+的值为（）A．925−B．725C．1625D．14.南宋著名数学家秦九韶在其著作《数书九章》中创用了“三斜求积术”，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.

以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”翻译一下这段文字，即已知三角形的三边长，可求三角形的面积为222222142acbSac+−=−.若ABC△中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且2sinsincAC=，cos45

B=，abc，则用“三斜求积术”求得ABC△的面积为（）A．53B．1C．35D．3105.三棱柱111ABCABC−中，点M在AB上，且AMAB=，若1//BC平面1AMC，则=（）A．12B．13C．14D．236.已知ABC△是边长为4的等边三角形，且2,BDDCE=为AD中点

，则BEAC=（）A．2−B．43−C．23D．837.如图，空间四边形ABCD的对角线86ACBDMN==，，，分别为ABCD，的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90，则MN=（）A．3B．4C．5D．68.已知直线l两个不同的平面,，下列命题正确的是（）A．若//

l，l⊥，则⊥B．若//l，l//，则//C．若⊥，l⊥，则l//D．若⊥，//l，则l⊥9.为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”.如图

所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为7:8，则正六棱锥与正六棱柱的高的比值为（）A．32B．23C．34D．1210.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布

珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰髙程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影'A，'B，'C满足45ACB=，'''60A

BC=.由C点测得B点的仰角为15°，'BB与'CC的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面'''ABC的高度差''AACC−约为（31.732）()A.346B.373C.446D.473二、

填空题11.已知复数,,zabiabR=+（i为虚数单位）且32i1iz=+−，则||z=___________.12.已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为_______________

_.13.在四面体ABCD中，BCD△是边长为2的等边三角形，ABD△是以BD为斜边的等腰直角三角形，平面ABD⊥平面ABC，则四面体ABCD的外接球的表面积为____________.14.在ABC△中，3BC=，4AC=，90ACB=

，D在边AB上（不与端点重合）.延长CD到P，使得9CP=.当D为AB中点时，PD的长度为____________；若32PCmPAmPB=+−（m为常数0m且32m），则BD的长度是___

______.三、多项选择题15.ABC△的内角ABC、、的对边分别为abc、、，下列结论一定成立的有（）A．cos()cosABC+=B．若AB，则sinsinABC．若coscosaBbAa+=，则ABC△是等腰三角形D．若sin2sin2AB=，则ABC△是等腰三角形16

.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，14,2,,AAABBCMN===分别为棱111,CDCC的中点，则下列说法正确的是()A．AMNB、、、四点共面B．平面ADM⊥平面11CDDCC．直线BN与1BM所成角的为60D．//BN平面ADM四、解答题17.

已知向量(2,1)a=，(3,1)b=−（1）求向量a与b的夹角；（2）若(3,)()cmmR=，且(2)abc−⊥，求m的值.18.如图，在直三棱柱111ABCABC−中，190BACABACAA===，.（1）求证：1AB⊥平面1

1ABC；（2）若D为11BC的中点，求AD与平面111ABC所成角的正弦值.19.如图，在四棱锥EABCD−中，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，90AEB=，BEBC=，F为CE的中点，求证：（1）//AE平面BDF；（2）平面BDF⊥平面BCE．20.已知AB

C△的外接圆．．．的半径为2，内角,,ABC的对边分别为,,abc，又向量()sinsin,mACba=−−，2sinsin,sin4nACB=+，且mn⊥.（1）求角C；（2）求三角形ABC的面积S的最大值并求此时ABC△的周长.21.如图，在直角梯形

AEFB中，AEEF⊥,AEBFP，且2BFEFAE==，直角梯形11DEFC可以通过直角梯形AEFB以直线EF为轴旋转得到.（1）求证：平面11CDEF⊥平面1BCF；（2）若二面角1CEFB−−的大小为π3，求直线1DF与平面1AB

C所成角的正弦值.22.某农场有一块如图所示的空地，其中半圆O的直径为300米，A为直径延长线上的点300OA=米，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等腰直角ABC△，其中BC为斜边．（1）若23AOB=，求四边形OACB的面积；（2）现决定对四边形OACB区域地

块进行开发，将ABC△区域开发成垂钓中心，预计每平方米获利10元，将OAB△区域开发成亲子采摘中心，预计每平方米获利20元，则当AOB为多大时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大？安达市重点高中2020-2021学年高一下学期期末考试数学参考答案1.答案：B2.答案：B3.

答案：B4.答案：D5.答案：A6.答案：B7.答案：C8.答案：A9.答案：D10.答案：B解析：本题考查空间几何体、三角变换、正弦定理.由题意可知tan15100BC=.在ABC中，由正弦定理可知sin75sin45BCBA

=，则sin45100sin45100sin45200100(31)273sin75tan15sin75cos7531BABC=====+−，过B点作BMAA⊥于点M，易得273AMBMBA===，则100

273100373AACCAABBBBCCAM−=−+−=+=+=.11.答案：2612.答案：3π3解析：由题意得22π2π,1,213rrh===−=，圆锥的体积为2113ππ3π333rh==13.答案：6π14.答案：132.

185.15.答案：BC16.答案：BC解析：对于A，由图显然AMBN、是异面直线，故AMNB、、、四点不共面，故A错误；对于B，由题意AD⊥平面11CDDC，故平面ADM⊥平面11CDDC，故B正确；对于C，取CD的中点O，连接BOON、，可知三角形

BON为等边三角形，故C正确；对于D，//BN平面11AADD，显然BN与平面ADM不平行，故D错误；故选：BC17.答案：解：(1)()2,1a=，()3,1b=−，()23115ab=+−=，由题得2||215a=+=，22||3(1)10b=+−=

，设向量a与b的夹角为，则52cos2||||510abab===，0,，所以π4=，即向量a与b的夹角为π.4(2)()2,1a=，()3,1b=−，()24,3ab−=−，()2abc−⊥，()20abc−=，()3,cm=，()4330m−+

=，解得4.m=解析：18.答案：（1）证明：由题意知四边形11AABB是正方形，∴11ABBA⊥由1AA⊥平面111ABC得111AAAC⊥.又∵1111ACAB⊥，1111AAABA=，∴11AC⊥平面11AABB.又∵1AB平面11AAB

B，∴111ACAB⊥.又∵1111BAACA=，∴1AB⊥平面11ABC.（2）连接111ABCAD.设11ABACAA===.∵1AA⊥平面111ABC，∴1ADA是AD与平面111ABC所成的角.在等腰直角三角形111

ABC中，D为斜边11BC的中点，∴1111222ADBC==.在1RtADA△中，221162DADAAA+==.∴116in3sADAAAAD==，即AD与平面111ABC所成角的正弦值为63.解析：19.答案：（1）设AC与BD交于点O，连接FO，如图所示：因为,

OF分别为AC，EC的中点，所以//AEOF.又因为OF平面BDF，AE平面BDF，所以//AE平面BDF.（2）因为平面ABCD⊥平面ABEAB=，CBAB⊥，所以CB⊥平面ABE.又因为AE平面ABE，所以CBAE⊥.又因为90AEB=，所以AEEB⊥.所以AE

EBAECBAEEBCBB⊥⊥⊥=平面BCE.又因为//AEOF，所以FO⊥平面BCE，又因为FO平面BDF，所以平面BDF⊥平面BCE.解析：20.答案：（1）∵0mnmn⊥=，∴()()()2sinsinsinsinsin04ACACbaB−++−=，且222R=

，由正弦定理得：()22202242acbbaRRR−+−=，化简得：222cabab=+−.由余弦定理：2222coscababC=+−，∴12cos1cos2CC==，∵0πC，∴π3C=.（2）∵()22222sin6ababcRC+−===，∴2262abab

ababab=+−−=（当且仅当ab=时取“=”）133sin3242SabCab==，所以，max332S=，此时，ABC△为正三角形，此时三角形的周长为36.解析：21.答案：（1）证明：在直角梯形AEFB中，AEEF⊥，且直角梯形11DEFC是通过直角梯形AEFB以直线E

F为轴旋转而得，所以1DEEF⊥，所以BFEF⊥，1CFEF⊥.所以平面EF⊥1BCF.所以平面11CDEF⊥平面1BCF.（2）由（1）可知BFEF⊥,1CFEF⊥.因为二面角1CEFB−−为π3,所以1π3CFB=过点F作平面AEFB

的垂线，如图，建立空间直角坐标系Fxyz−.设24BFEFAE===，则：(4,0,0)E，1(0,2,23)C，1(4,1,3)D，(0,4,0)B，(4,2,0)A.所以(4,2,0)AB=−uuur，1(0,2,23

)CB=−uuur，1(0,2,23)CB=−uuur，1(4,1,3)FD=uuur.设平面1ABC的法向量为(,,)xyz=n,则10,0ABCB==uuuruuurnn即420,2230.xyy

z−+=−=令1z=，则3y=，32x=.于是3,3,12=n.所以直线1DF与平面1ABC所成角的正弦值114342859519252FFFD==uuur‖nn.解析：22.答案：（1）当23AOB=时，113300150112503(222AOBSOAOBA

OB===平方米)；在OAB中，由余弦定理得，2222cos157500ABOAOBOAOBAOB=+−=；2178750(2ABCSAB==平方米)，四边形OABC的面积为11250378750(AOBABCOACBSSS=+=+四边形平方米)；（2）设AO

B=，则()0,π，所以11sin300150sin22500sin22AOBSOAOBAOB===，在OAB△中，由余弦定理得，2222cos11250090000cosABOAOBOAOBAOB=+−=−；215625

045000cos2ABCSAB==−，不妨设垂钓中心和亲子中心获利之和为y元，则有2010AOBABCySS=+；化简得π450000sin562500450000cos4500002sin5625004y

=+−=−+；因为()0,π，所以当3π4=时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大．