【文档说明】山东省泰安肥城市2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.667 MB，由小赞的店铺上传

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绝密★启用前试卷类型：A高一数学试题本试卷共22题，满分150分，共6页.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设23zi=−+

，则在复平面内z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】首先求出复数的共轭复数，再根据复数的几何意义判断复数在复平面内所在的象限得选项.【详解】解：因为23zi=−+

，所以23zi=−−，在复平面内表示的点的坐标为()2,3−−位于第三象限，故选：C.【点睛】本题考查复数的共轭复数的计算，复数的几何意义，属于基础题.2.下列向量的运算结果不正确．．．的是（）A.0ABBCCA++=B.0ABBDDA−−=C.0OAODAD−+=D.0ABACBDCD

−+−=【答案】B【解析】【分析】根据向量的加减法法则逐个分析判断即可.【详解】对于A，0ABBCCAACCA++=+=，所以A正确，对于B，()2ABBDDAABBDDAABBAAB−−=−−=−=，所以B错误，对于C，0OAODADOAADOD

ODOD−+=+−=−=，所以C正确，对于D，()0ABACBDCDABADADBDACCD−+−=+−+=−=，所以D正确，故选：B3.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=5，1sin3A=，则sinB=（

）A.59B.1C.53D.15【答案】A【解析】【分析】直接由正弦定理得解.【详解】由正弦定理得3555=,3sin,sin1sin393BBB==.故选：A4.为了得到函数πsin5yx=−的图象，只要把πsin5yx=+的图象上所有的点（）A.向右平行

移动π5个单位长度B.向右平行移动25个单位长度C.向左平行移动π5个单位长度D.向左平行移动25个单位长度【答案】B【解析】【分析】根据三角函数图象变换规律求解即可【详解】因为ππ2π555xx+−−=，所以只要把πsin5yx=+的图象上所有的点向右平

行移动25个单位长度，可得πsin5yx=−的图象，故选：B5.湖南岳阳市岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳

阳楼著称于世.如图，为了测量岳阳楼的高度CD，选取了与底部水平的直线AC，测得30,6220,DACDBACB===米，则岳阳楼的高度CD为（）A.83米B.93米C.103米D.113米【答案】D【解析】【分析】根据角度结合三角

函数解三角形即可.【详解】因为30,6220,DACDBACB===，所以0,232AADBBBD===，又可得30,22cos30113BDCCD===米.故选：D.6.在ABC中，AD为BC边上的中线，点E为AD的中点，则EB=

（）A.1344ABAC−B.3144ABAC−C.1344ABAC+D.3144ABAC+【答案】B【解析】【分析】根据向量的线性运算即可求解.【详解】∵在ABC中，AD为BC边上的中线，点E为AD的

中点，∴()1113122244EBABAEABADABABACABAC=−=−=−+=−，故选:B.7.已知1tan2=−，则sin22cos24cos24sin2+=−（）A.114B.114−C.52D.52−【答案

】A【解析】【分析】由三角恒等变换及齐次式弦化切，即可求值.【详解】2222221sin22cos22sincos2cos2sintan1tan1474cos24sin24cos4sin8sincos22tan4tan142++−+−====−

−−−−.故选：A．8.已知(),ABab=，向量AB绕着A点顺时针方向旋转角得到AP，则AP=（）A.()cossin,cossinbaba−+B.()cossin,cossinabba+−C.()cossin,cossinbaba+−D.()c

ossin,cossinabab−+【答案】B【解析】【分析】作,OCABODAP==，设点C在角终边上，则2222cos,sinababab==++，然后利用两角差的正弦和余弦公式可求得点D的坐标，即可得答案.【详解】作,OCABODAP==，设点C在角的终边上，则2222c

os,sinababab==++，则()22cosDxab=+−()22coscossinsinab=++cossinab=+，()22sinDyab=+−()22sincoscossinab=+−cossinba=−，所以()cossin,

cossinODAPabba==+−，的故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若1z，2z是方程210xax++=的两个虚数根，则（）

A.a的取值范围为22−,B.1z的共轭复数是2zC.121zz=D.12az+为纯虚数【答案】BCD【解析】【分析】1z，2z是方程210xax++=的两个虚数根，则Δ0，得22a−，则根据一元二次方

程方程的求根公式可知1z的共轭复数是2z，【详解】由240a=−，得22a−，A错误；因为原方程根为24i2aax−−=，所以1z的共轭复数是2z，B正确；21224i4i212zzaaaa−+−−−=−=

，C正确；因为12az+等于24i2a−或24i2a−−，所以12az+为纯虚数，D正确.故选：BCD.10.已知向量()(),2,2,1ABkAC==，则（）A.当1k=−时，ABAC⊥B.当4k=时，,,ABC三点共线C.当1k=时，2BC=D.当1k

−时，BAC是锐角的【答案】ABC【解析】【分析】根据向量的模、向量的数量积、向量的共线定理判断即可；【详解】ABAC⊥，所以220,1kk+==−，选项A正确；,,ABC三点共线，所以122,k=

4,k=选项B正确；1k=，()()()2,11,21,1BCACAB=−=−=−，2BC=，选项C正确；当4k=时，,,ABC三点共线，由B可知，选项D错误；故选：ABC.11.ABC中，,,abc分别为内角,,A

BC的对边，则（）A.若coscosabBA=，则ABC为等腰直角三角形B.若sinsinabBA=，则ABC为等腰三角形C.若222abcbc=+−，则π6C=D.若sincoscbAaB=+，则π4A=【答案】BD【解析】【分析】对于A，化简后利用正弦定理统一成角的形式，再化简可

得答案，对于B，化简后利用正弦定理统一成边的形式，再化简可得答案，对于C，利用余弦定理求解，对于D，利用正弦定理统一成角的形式，化简后可得答案.【详解】对于A，由coscosabBA=，得coscosaAbB=，由正

弦定理得sincossincosAABB=，所以2sincos2sincosAABB=，所以sin2sin2AB=，因为(),0,πAB，所以()2,20,2πAB，所以22AB=或22πAB+=，所以AB=或π2AB+=，所以ABC为等腰三角形或

直角三角形，所以A错误，对于B，由sinsinabBA=，得sinsinaAbB=，由正弦定理得22ab=，所以ab=，所以ABC为等腰三角形，所以B正确，对于C，由222abcbc=+−，得222bcabc+−=，所以由余弦定理得2221c

os222bcabcAbcbc+−===，因为()0,πA，所以π3A=，所以C错误，对于D，因为sincoscbAaB=+，所以由正弦定理得sinsinsinsincosCBAAB=+，所以sin()sinsinsincosABBAAB+=+，所以sincoscossins

insinsincosABABBAAB+=+，所以cossinsinsinABBA=，因为sin0B，所以cossinAA=，因为()0,πA，所以π4A=，所以D正确，故选：BD12.某简谐运动的图象如图所示.若,AB两点经过x秒后分别运动到图象上,EF两点，则（）A.ABGB

EFGB=B.ABAGEFAGC.AEGBBFGB=D.ABEFBFAG【答案】ACD【解析】【分析】简谐运动的图象求出三角函数的表达式，设出,EF两点的坐标，利用数量积的坐标表示逐一验证四个选项即可得正确答案.【详解】设()

sinfxAx=，由图知1A=，2π4T==，解得π2=，所以()πsin2fxx=，假设00π,sin2Exx，则()00π1,sin12Fxx++即00π1,cos2Fxx+

，()1,1AB=，()1,0GB=，00ππ1,cossin22EFxx=−，()0,1AG=，00π,sin2AExx=，00π,cos12BFxx=−对于选项A：11101ABGB=+=，00ππ

cossin121102EFxBxG−=+=，所以ABGBEFGB=，故选项A正确；对于选项B：10111ABAG=+=，000ππππcossin2cos2224xxxEFAG−==+，显然EFAG最

大值为2，所以ABAGEFAG不一定成立，故选项B错误；对于选项C：0AEGBx=，0BFGBx=，所以AEGBBFGB=，故选项C正确；对于选项D：0ππcoss1in22ABExxF=+−，0πcos12FAGxB=−所以00ππππcos

sincos12sin21222ABEFBxxAGxFx−−−=−−=+，因为πsin12x，所以π2sin02x−，即0ABEFBFAG−，所以ABEFBFAG，故选

项D正确，故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知,Rab，复数2ii2iab+=+，则ab+=______.【答案】65【解析】【分析】利用复数的概念以及复数的四则运算计算求解.【详解】因为()()()2i2i2i24ii2i2i2i55ab−

+===+++−，所以65ab+=.故答案为：65.14.已知向量21,ee是平面内的一组基底，若向量1242aee=−与122bee=−+共线，则=______.【答案】1【解析】【分析】根据向量共线求解即可；【详解】因为向量21

,ee是平面内一组基底，1242aee=−与122bee=−+共线，所以,bat=即1242ee−12)(2tee=−+所以24,2,tt−==−解得：1,=故答案为：1.15.已知函数()()()3sincosf

xxx=+++是偶函数，写出满足条件的角的一个取值______.【答案】π3（只需写出满足π+π,Z3kk=的一个值）【解析】【分析】先利用三角函数恒等变换公式变形得()π2sin6fxx=++，再由其

为偶函数得πππ,Z62kk+=+，从而可求得结果【详解】()()()π3sincos2sin6fxxxx=+++=++，因为()()()3sincosfxxx=+++是偶函数，所以πππ,Z62kk+

=+，得ππ,Z3kk=+，故答案为：π3（只需写出满足π+π,Z3kk=的一个值）16.如图，在等边三角形ABC中，2AB=，点N为AC的中点，点M是边CB（包括端点）上的一个动点，则AMNM的最小值为______.【

答案】2316【解析】的【分析】根据已知，利用图形以及向量的线性运算、数量积运算、二次函数进行计算求解.【详解】因为等边三角形ABC中，2AB=，点N为AC的中点，设,(01)MBCB=，则()

()AMNMMAMNMBBAMCCNMBMCMBCNBAMCBACN==++=+++()()11CBCBCBCNBABCBACN=−++−+()244211=−++−+225234534816=−+=−+所以当58=时，AMNM取最小值

，最小值为2316.故答案为：2316.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数()()2sincossin2cosiz=+++，其中()0,.（1）当=时，z表示实数；当=时，z表示纯虚数.求()tan

−的值.（2）复数z的长度记作||z，求||z的最大值.【答案】（1）34−（2）3【解析】【分析】（1）由题意可得sin2cos0+=，2sincos0+=，且sin2cos0+，从而可求出tan,tan，然后利用两角差的正切公式可求得结果，（2）由题意可得()(

)2222sincossin2cosz=+++，化简后利用正弦函数的性质可求得其最大值.【小问1详解】因为当=时，z表示实数，所以sin2cos0+=，所以tan2=-.又因为当=时z表示纯虚数，所以2sincos0

+=，且sin2cos0+所以1tan2=−.从而()12tantan32tan11tantan4122−+−−===−++.【小问2详解】因为()()2222sincossin2cosz

=+++()225sincos8sincos54sin2=++=+.当π4=时，sin2=1，则2z取得最大值9，此时z的最大值为3.18.已知梯形ABCD中，//ABCD，2ABCD=，三个顶点()()()4,2,2,4,1,2ABC.（1）求顶点D的

坐标；（2）求AB在AD上的投影向量.【答案】（1）()2,1（2）42,55−−或25AD【解析】【分析】（1）设顶点(),Dxy，利用=2ABDC即可求解；（2）利用向量的数量积公式求得ABAD与的夹角为，再利用投影向量

公式即可求解.【小问1详解】设顶点(),Dxy，已知三个顶点()()()4,2,2,4,1,2ABC,所以()()2,2,1,2ABDCxy=−=−−.因为//ABCD且2ABCD=，所以=2ABDC，即()()2,221,2xy−=−−.所以()()212222xy

−=−−=，解得：21xy==.即顶点D的坐标为顶点()2,1.【小问2详解】可求得()()2,2,2,1ABAD=−=−−，则设ABAD与的夹角为，则210cos10225ABADABAD==

=．设()52,15ADeAD==−−,所以AB在AD上的投影向量为()10542cos222,1,10555ABe=−−=−−或25AD.19.ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，3cossin3aCaCb+=.（1）求A；（2）若点D在BC边的延长上，且

CADBAC=，证明：111ACABAD=+.【答案】（1）3A=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式即可求解；（2）利用等面积法知ABDABCACDSSS=+△△△，代入化简得sinsinsinBADBACCADA

CADAB=+，进而得解.【小问1详解】因为3cossin3aCaCb+=，由正弦定理得3sincossinsin3sinACACB+=，又()sinsinsincoscossinBACACAC=+=+，所以化简为sinsin3sincosACCA=.又sin0C，所以tan3A=.因为(

)0,A，所以3A=.【小问2详解】因为ABDABCACDSSS=+△△△，所以111sinsinsin222ABADBADABACBACACADCAD=+，所以sinsinsinBADBACCADACADAB

=+.由（1）可知：3BAC=，所以23πBAD=所以23sinsin32BAD==，3sinsin2BACCAD==，所以111ACABAD=+.20.在直角坐标系xOy中，以Ox为始边分别作角，，其终边分别与单位圆交于点A，B．（1）证明：()coscoscossinsin

−=+；（2）已知，为锐角，1cos7=，()11cos14+=−，求cos的值．【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）设aOA=，bOB=，根据三角函数的定义、平面向量数量积的

定义和坐标表示，结合三角恒等变换计算即可求解；（2）根据题意和同角三角函数关系求出sin，()sin+，结合两角差的余弦公式计算即可求解.【小问1详解】由三角函数的定义知，()cos,sinA=，

()cos,sinB=，设()cos,sinaOA==，()cos,sinbOB==，设a与b的夹角为，则=−，得()()coscosabab=−=−，又coscossinsinab=+，所以coscoscossinsin

=+，的又2π,Zkk=+，得2π,Zkk−=，因此()()coscos2cosk−==，所以()coscoscossinsin−=+；【小问2详解】由，为锐角，得0π+，由1cos7=，()11cos14+=−

，得243sin1cos7=−=，()()253sin1cos14+=−+=，所以()()()1coscoscoscossinsin2=+−=+++=.21.筒车是我国古代发明的一

种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个半径为4米的圆，筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当0=t时，筒车上的某个盛

水筒M位于点()02,23P−处，经过t秒后运动到点(),Pxy，点P的纵坐标满足()()sinyftAt==+π0,0,2t.已知筒车的轴心O距离水面的高度为2米，设盛水筒M到水面的距离为h（单位：米）（盛水筒M在水面下时，则h为负数）.（1）将距离h表示成旋转时

间t的函数；（2）求筒车在0,240秒的旋转运动过程中，盛水筒M位于水面以下的时间有多长？【答案】（1）()ππ24sin2603hftt=+=−+，0t（2）70秒钟【解析】【分析】（1）结合三角函数图像的性质以及点位置

坐标判断求解即可；（2）令()ππ24sin20603hftt=+=−+，求解t的范围，计算即可；【小问1详解】由题意可知4A=,由于2π=120T=,所以得π=60.因为0=t时,4si

n23y==−,所以3sin2=−.由π2，可求得π=3−，从而()ππ4sin603tft=−.所以()ππ24sin2603hftt=+=−+，其中0t【小问2详解】当盛水筒M位于水面以下时，应满足0h，即ππ1

sin6032t−−.可列不等式7πππ11π2π2π,66036ktkk+−+Z，解得90+120130120,ktkk+Z.因为0,240t，所以当0k=时，()90,130t；当1k=时，(210

,240t.由()()1309024021070−+−=，可得盛水筒M位于水面以下的时间有70秒钟..22.如图在五边形ABCDE中，93310CDABBC===，2π3ABCBCD==，AED=π3.（1）求线段AD的长；（2）设DAE

=，ADEV的面积记为S，则有()=Sf，求()f的表达式，并求S的最大值.【答案】（1）335AD=（2）931π1sin225264S=−+，最大值是273100【解析】【分析】（1）解法一

：根据题意可求出,,ABBCBCCDABCD，而ADABBCCD=++，两边平方化简可求得结果，解法二：连接AC，在ABC中利用余弦定理可求得AC，在RtACD△中可求得AD，（2）在ADEV中由正弦定理可求得,AEDE，从而可表示出ADEV的

面积，化简后利用正弦函数的性质可求得其最大值.【小问1详解】解法一：由题意可得AB与BC的夹角是π3，BC与CD的夹角是π3，AB与CD的夹角是2π3，又知39,1010ABBCCD===，所以3319391273912

7,,101022001010220010102200ABBCBCCDABCD=====−=−.因为ADABBCCD=++，所以有()22222=+2+2+2ADABBCCDABBCCDABBCBCCDABCD=++++9981

9272727=+++2+10010010020020020025−=，所以335AD=.解法二：连接AC，在ABC中，222272cos100ACABBCABBCABC=+−=，所以3310AC=.因为ABBC=，所以π6BACACB==，因为

2π3BCD=，所以π2ACD=，即ACCD⊥.在RtACD△中，22223393310105ADACCD=+=+=.【小问2详解】在ADEV中，因为π,3DAEAED==，所以2π3ADE=−.由正弦定理得6s

insinsin5ADAEDEAEDADEDAE===，所以62π6sin,sin535AEDE=−=，所以1π932πsinsinsin23253SAEDE==−932

π2πsinsincoscossin2533=−29331sincossin2522=+93311sin2cos225444=−+931π1sin225264=−+

，因为2π03，所以ππ7π2666−−，所以当ππ262−=，即π3=时，93112732524100S=+=获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com