【文档说明】湖南省衡阳市第八中学2023-2024学年高三上学期10月第二次月考数学试题+含答案.docx，共(22)页，1.655 MB，由管理员店铺上传

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衡阳市八中2024届高三第2次月考数学试题命题人：刘瑶审题人：颜军注意事项：本试卷满分为150分，时量为120分钟一､单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1.若集合202,1AxxBxx==∣∣，则AB=（）A.{01}xx∣B.{12}xx∣

C.{02}xx∣D.{0xx∣或1}x−2.在复平面内，复数12i2i−+对应的点的坐标为（）A.43,55−B.43,55C.()0,1−D.()0,13.定义在R上的偶函数()fx满足：

对任意的)()1212,0,xxxx+，有()()21210fxfxxx−−，则（）A.()()()123fff−B.()()()213fff−C.()()()312fff−D.()(

)()321fff−4.已知等差数列na的公差为d，前n项和为nS，则“0d”是“322nnnnSSSS−−”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条

件5.某校高三有1000人参加考试，统计发现数学成绩近似服从正态分布(2105,N），且成绩优良（不低于120分）的人数为360，则此次考试数学成绩及格（不低于90分）的人数约为（）A.360B.640C.720D.

7806.椭圆()222133xyaa+=的左､右焦点分别为12,,FFA为上顶点，若12AFF的面积为3，则12AFF的周长为（）A.8B.7C.6D.57.设函数()()()elnxfxaxmaxx=−−（其中e为自然对数的底数），若存在实数a使得()0fx恒成立，

则实数m的取值范围是（）A.21,e+B.1,e+C.()2e,+D.21,e−8.如图，在三棱锥SABC−中，22,2SASCACABBC=====，二面角SACB−−的正

切值是2，则三棱锥SABC−外接球的表面积是（）A.12B.4C.43D.433二､多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分）9.已知向量()()1,3,2,4ab==−，则下列结论正确的是（）A.()aba+⊥B.210ab+=C.向量,

ab的夹角为34D.b在a方向上的投影向量是10a10.设等比数列na的前n项和为nS，前n项积为nT，若满足()()1740402023202401,1,110aaaaa−−，则下列选项正确的是（）A.na为递减数列B.202320241SS+C.当20

23n=时，nT最小D.当1nT时，n的最小值为404711.已知函数()cos22sinfxxx=+，则（）A.函数()fx在区间,62上单调递增B.直线2x=是函数()fx图象的一条对称轴C.函数()fx的值域为31,2D.方程()()()0,2fxax

=最多有8个根，且这些根之和为812.已知直线():2lykx=+交y轴于点P，圆()22:21Mxy−+=，过点P作圆M的两条切线，切点分别为,AB，直线AB与MP交于点C，则（）A.若直线l与圆M相切，则1515k=B.当2k=时，四边形P

AMB的面积为219C.直线AB经过一定点D.已知点7,04Q，则CQ为定值三､填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13.在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数e2.71828.小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2,7,1,8,2,8进行

某种排列得到密码.如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有__________个.14.曲线()()exfxxa=+在点()()0,0f处的切线与直线12yx=−垂直，则a

=__________.15.底面ABCD为菱形且侧棱AE⊥底面ABCD的四棱柱被一平面花取后得到如图所示的几何体.若4,3DADHDBAECG=====.则三棱雃FBEG−的体积为__________.16.设0a，平行于x轴的直线:lya=分别与函数2xy=和12xy+=的图像交

于点,AB，若函数2xy=的图像上存在点C，满足ABC为等边三角形，则a=__________.四､解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，若ABC的面积

为3,12ABAC=−且cb.（1）求角A的大小；（2）设M为BC的中点，且32AM=，求a的长度.18.某工艺品加工厂加工某工艺品需要经过,,abc三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序加工合格率分别为311,,422.三道工序都合格的工艺

品为特等品；恰有两道工序合格的工艺品为一等品；恰有一道工序合格的工艺品为二等品；其余为废品.（1）求加工一件工艺品不是废品的概率；（2）若每个工艺品为特等品可获利300元，一等品可获利100元，二等品将使工厂亏损20元，废品将使工

厂亏损100元，记一件工艺品经过三道工序后最终获利X元，求X的分布列和数学期望.19.在图1中，ABC为等腰直角三角形，90,22,BABACD==为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且2ECBE=，沿AC将ACD进行折

叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接,,FOFBFE，使得4FB=.（1）证明：FO⊥平面ABC.（2）求二面角EFAC−−的余弦值.20.若数列nA满足21nnAA+=，则称数列nA为“平方递推数列”.已知数列na中，19a=，点()1,nnaa+在函数()22fxxx=

+的图象上，其中n为正整数，（1）证明：数列1na+是“平方递推数列”，且数列()lg1na+为等比数列；（2）设()lg1,24nnnbacn=+=+，定义,,,,aababbab=，且记nnndbc=，求数列nd的前n项和nS.21

.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的右焦点，右顶点分别为(),,0,,1FABbAF=，点M在线段AB上，且满足3BMMA=，直线OM的斜率为1,O为坐标原点.（1）求双曲线C的方程.（2）过点F的直线l与双曲线C的右支相交于,P

Q两点，在x轴上是否存在与F不同的定点E，使得EPFQEQFP=恒成立？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.22.已知函数()1ln,0fxxaxax=−−.（1）讨论()fx极值点的

个数：（2）若()fx恰有三个零点()123123,,tttttt和两个极值点()1212,xxxx.（i）证明：()()120fxfx+=；（ii）若mn，且lnlnmmnn=，证明：()()1231eln1mmnnttt−

−+.参考答案：123456789101112ACDCBCAAACBCBCDACD13.3614.115.83316.632+4.C【详解】因为数列na是公差为d的等差数列，所以()()()321113312215132222nnnnnnnnSSnadnadnad−−−−=+−−=+，

()()()21112211312222nnnnnnnnSSnadnadnad−−−−=+−−=+，所以()2322nnnnSSSSnd−−−=，若等差数列na的公差0d，则20nd，所以322nnnnSSSS−−，故充分性成立；若

322nnnnSSSS−−，则()23220nnnnSSSSnd−−−=，所以0d，故必要性成立，所以“0d”是“322nnnnSSSS−−”的充分必要条件，故选：C.5.B【详解】因为()()360901201000PX

PX==，所以()()640901901000PXPX=−=，所以此次考试数学成绩及格（不低于90分）的人数约为64010006401000=.故选：B6.C【详解】设椭圆()222133xyaa+=的半短轴长为b，半焦距为c，则123,bAFF=的面积12132SF

Fbc==由题知33c=，所以221,2cabc==+=，由椭圆的定义知1224AFAFa+==，又1222FFc==，所以12AFF的周长为426+=.故选：C.7.A【分析】由题意可得eln0xmxaaxx−−，令()()lne,xxmgxhxxx=

=，函数()ygx=和函数()yhx=的图象，一个在直线ya=上方，一个在直线ya=下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，即可得出答案.【详解】函数()fx的定义域为()0,+，由()0fx，得()()eln0x

axmaxx−−，所以eln0xmxaaxx−−，令()()lne,xxmgxhxxx==，由题意知，函数()ygx=和函数()yhx=的图象，一个在直线ya=上方，一个在直ya=下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，由()()ln0xgxxx=，得(

)21lnxgxx−=，所以当()0,ex时，()()0,gxgx单调递增，当()e,x+时，()()0,gxgx单调递减，所以()()()maxlne1e,egxggx====没有最小值，由()(

)e0xmhxxx=，得()()22e1eexxxmxmxmhxxx−−==，当0m时，在()0,1x上()()0,hxhx单调递增，在()1,x+上()()0,hxhx单调递减，所以()hx有最大值，无最小值，不合题意，当0m时，在()0,1x上()()

0,hxhx单调递减，在()1,x+上()()0,hxhx单调递增，所以()()min1hxhme==，所以()()1ehg即1eem，所以21em，即m的取值范围为21,e+.故选：A.8.A【分析】利用二面角S

ACB−−的正切值求得SB，由此判断出2BSBABC===，且,,BSBABC两两垂直，由此将三棱锥补形成正方体，利用正方体的外接球半径，求得外接球的表面积.【详解】设E是AC的中点，连接,EBES，由于,SASCABBC=

=，所以,ACSEACBE⊥⊥，所以SEB是二面角SACB−−的平面角，所以tan2SEB=，由22sintancossincos1SEBSEBSEBSEBSEB=+=得3cos3SEB=.在SAC中，()()22222226SESAAE

=−=−=，在ABE中，()2222222BEABAE=−=−=，在SEB中，由余弦定理得：222cos2SBSEBESEBESEB=+−=，所以2BSBABC===，由于22SASCAC===，所以,,BSBABC两两垂直.由此将三棱锥补形成正方体如下图所示，正方体的

边长为2，则体对角线长为23.设正方体外接球的半径为R，则3R=，所以外接球的表面积为24212R=，故选：A.9.AC【详解】对于A，()3,1ab+=−，由()()31130aba+=+−=，则()aba+⊥，故A正确；对于B，()()()22221,32,44,

2,24225abab+=+−=+=+=，故B错误；对于C，()()2222123410,1310,2425abab=+−=−=+==+−=，则102cos,21025ababab−===，即向量,ab的夹角为34，故C正确；对于D，b在a方向上的投影向量是21010ab

aaaa−==−，故D错误.故选：AC.10.BC【详解】A.由条件可知，110,aa与7a同号，所以70a，则40400a，而4039404010aaq=，则公比0q，若01q，数列单调递减，则740400,1aa，那么740401aa，与已知

矛盾，若1q=，则17404001aaa==，则那么740401aa，与已知矛盾，只有当1q，才存在q，使740401aa，所以等比数列na单调递增，故A错误；B.因为()()2023202

4110,naaa−−单调递增，所以202320241,1aa，则2024202420231aSS=−，即202320241SS+，故B正确；C.因为1q，且202320241,1aa，所以当2023n=时，nT最小，故C正确；D

.根据等比数列的性质可知，274040140461404520231,1aaaaaaa==，所以当1nT时，n的最小值为4046，故D错误.故选：BC11.BCD【分析】根据函数的周期性与对称性，结合复合函数的单调性作出图象即可解决

问题.【详解】()()()()()cos22sin,,cos22sincos22sinfxxxxfxxxxxfx=+−=−+−=+=R，则()fx是偶函数，图象关于y轴对称.()()()()()cos22sincos22sin

,fxxxxxfxfx+=+++=+=是周期函数，周期T=.又cos22sincos22cos222fxxxxx−=−+−=−+且cos22sincos22cos222fxxxxx+=+++=−+，2

2fxfx−=+，即()fx图象关于2x=轴对称，故直线,2kxk=Z都是()fx的对称轴.当0,2x时，sin0x，则()2213cos22sin2sin2sin12sin22fxxxxxx=+=−++=−−+

，令sintx=，则()fx可看成由213222yt=−−+与sintx=复合而成的函数，sin,0,2txx=单调递增，当0,6x，则21130,,2222ty

t=−−+单调递增，则()fx单调递增；当,62x，则2113,1,2222tyt=−−+单调递减，则()fx单调递减：且()()()minmax301,26

2fxfffxf=====.结合以上性质，作出函数()cos22sin,0,2fxxxx=+的大致图象.选项A，函数()fx在区间,62上单调递减，故A项错误；选项B，直线2x=是函数()fx图象的一条对称轴

，故B项正确；选项C，当0,x时，函数()fx的值域为31,2，由函数周期T=，函数()fx的值域为31,2，故C项正确：选项D，如图可知，方程()fxa=最多有8个根，设为()1,2,3,,

8ixi=，不妨设1238xxxx，当()0,2x时，函数()fx的图象关于x=对称，则()()()()8182736451428iixxxxxxxxx==+++++++==，即这些根之和为8，故D项正确.故选：

BCD.12.ACD【分析】根据圆心到直线距离等于半径建立等式，解出k即可判断A；根据k求出()0,4P，进而求出PM，根据相切可得四边形面积等于两个全等的直角三角形面积和，根据三角形面积公式即可求出结果；根据相切可知,,,AMBP四点共圆，且PM为直径，求出圆的方程即可得弦所在的直线方程，进

而判断C；根据直线AB过定点及PMAB⊥可得90MCN=，即C在以MN为直径的圆上，求出圆的方程可发现圆心为点Q，即可判断D.【详解】解：对于A，若直线l与圆M相切，则圆心到直线的距离2411kk=+，解得1515k=，所以A正确；对于B，当2k=时，

()()0,4,2,0,16425PMPM=+=，因为,PAPB为圆的两条切线，所以90PAMPBM==，所以四边形PAMB的面积221119PAMSSAMPAPM===−=，所以B错误；对于

C，因为()()0,2,2,0PkM，且90PAMPBM==，所以,,,AMBP四点共圆，且PM为直径，所以该圆圆心为()1,k，半径为224412kk+=+，所以圆的方程为：()()22211xykk−+−=+，因为AB是该圆和圆M的相交

弦，所以直线AB的方程为两圆方程相堿，即()()()222221211xykxyk−+−−−−=+−，化简可得：:2230ABxky−++=，所以直线AB经过定点3,02N，所以C正确：对于D，因为PMAB⊥，所以

90MCA=，因为3,02N在直线AB上，所以90MCN=即点C在以MN为直径的圆上，因为()32,0,,02MN，所以圆心为7,04，半径为11424=，所以圆的方程

为：2271416xy−+=，圆心为7,04Q，因为点C在该圆上，所以14CQ=为定值14，所以D正确.故选：ACD13.36.【详解】如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，两

个2捆绑看作一个元素与7，1全排列，排好后有4个空位，两个8插入其中的2个空位中，注意到两个2，两个8均为相同元素，那么小明可以设置的不同密码共有3234AC36=.故答案为：36.14.1【详解】()fx在()()0,0f处的切线与直线12yx=−垂直，()02f=，又()()()()ee

1e,012xxxfxxaxafa=++=++=+=，解得：1a=.故答案为：1.15.833【详解】设,ACBDOEGHFP==，由已知可得：平面ADHE∥平面BCGF，因为平面ADHE平面EFGHEH=，平面BCGF平面EFGHFG=，所以EHFG∥，同理

可得：EFHG∥，所以四边形EFGH为平行四边形，所以P为EG的中点，O为AC的中点，所以OPAE∥，所以3,4OPDH==，所以2BF=.所以142BFGSBFBC==.因为,EAFBFB∥平面,BCGFEA女平面BCGF，所以EA∥平面BCGF，所以点A到平面B

CGF的距离等于点E到平面BCGF的距离，为23.所以1832333FBEGEBGFABGFBFGVVVS−−−====.【点睛】求三棱锥的体积的时候，要注意利用图形的特点，看把哪个点当成顶点更好计算.16.632+【详解】直线:lya=，由2xa=，得2lo

gxa=，即点()2log,Aaa，由12xa+=，得2log1xa=−，即点()2log1,Baa−，于是1AB=，如图，取AB的中点D，连接CD，由正ABC，得3,2CDABCD⊥=，显然点C不可能在直线l上方，因此点213log,2

2Caa−−，而点C在函数2xy=的图象上，则21log2322aa−−=，即322aa−=，解得()32236342222a+===+−−，所以632a=+.故答案为：632+17.（1）23A=，（2）7a=【详解】（1）因为ABC

的面积为32，所以13sin22bcA=，即sin3bcA=，因为1ABAC=−，所以cos1bcA=−，所以sin3cosbcAbcA=−，得tan3A=−，因为()0,A，所以23A=（2）因为23A=，

所以2sin33bc=，得2bc=，在ABC中，由余弦定理得222222cos2abcbcAbc=+−=++，在ABM中，311,,222AMBMBCaABc====，由余弦定理得222223144cos231222acAMBMA

BAMBAMBMa+−+−==，在ACM中，311,,222AMCMBCaACb====，由余弦定理得222223144cos231222abAMCMACAMCAMCMa+−+−==，因为AMBAMC+=，所以cosc

os0AMBAMC+=，所以22223131444403131222222acabaa+−+−+=，所以22231022acb+−−=，得2223122bca+=+，所以2231222aa=++，得27a=，所以7a=18.（1）1516；（2）分布列见解析，数学期

望为1752..【详解】（1）记“加工一件工艺品为废品”为事件A，则()311111142216PA=−−−=，则加工一件工艺品不是废品的的概率()()15116PAPA=−=.（2）由题意可知随机变量

X的所有可能取值为-100，-20，100，300，()()13111111115100,201642242242216PXPX=−==−=++=，()()31131111173113100,30

04224224221642216PXPX==++====，则随机变量X的分布列为：X-100-20100300P116516716316故()()()157317510020100300161616162EX=−+−++

=.19.（1）证明见解析（2）32【详解】（1）证明：连接OB，因为ABC为等腰直角三角形，90,22BAB==，所以4AC=，因为O为AC边的中点，所以122OBAC==，在等边三角形FAC中，4AFACFC===，因为O.为AC边的中点，所

以FOAC⊥，则2223FOAFAO=−=，又4FB=，所以222FOOBFB+=，即FOOB⊥，因为,ACOBOAC=平面,ABCOB平面ABC，所以FO⊥平面ABC.（2）方法一：因为ABC是等腰直角三角形，90,ABCO=为边AC中

点，所以OBAC⊥，由（1）得FO⊥平面ABC，则以O为坐标原点，,,OBOCOF的方向分别为,,xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()420,2,0,,,0,0,0,2333AEF−，所以()480,2,

23,,,033AFAE==设平面FAE的法向量为(),,nxyz=，由00AFnAEn==，得223048033yzxy+=+=，令1z=，得()23,3,1n=−，易知平面FAC的一个法

向量为()1,0,0m=，设二面角EFAC−−的大小为，则3cos2mnmn==，由图可知二面角EFAC−−为锐角，所以二面角EFAC−−的余弦值为32.方法二：作EMAC⊥，垂足为M，作MNAF⊥，垂足为N，连接EN，因为FO⊥平面,ABCEM平面ABC，所以EMFO⊥，又因为,,A

CFOOACFO=平面AFC，所以EM⊥平面ACF，又AF平面AFC，所以EMAF⊥，又,,,MNAFMNEMMMNEM⊥=平面EMN，所以AF⊥平面EMN，又EN平面EMN，所以AFEN⊥，又平面AFC平面AEFAF=，所以二面角EFAC−−的

平面角为ENM，因为EMOB∥，所以23EMECCMOBBCOC===，所以412,333EMOMOC===，在RtAMN中，2860,233FACAMAOOM==+=+=，所以843sin6033MN==，所以22224438333ENEMMN

=+=+=，所以3cos2MNENMEN==，即二面角EFAC−−的余弦值为32.20.（1）证明见解析（2）*2*21,4N,521,4N.nnnnSnnnn−=+−且且【详解】（1）点()1,nnaa+在函数()22fxx

x=+的图象上，212nnnaaa+=+，()2111,1nnnaaa++=++是“平方递推数列”.因为()()1lg1lg9110a+=+=，对()2111nnaa++=+两边同时取对数得()()1lg12lg1nnaa++=+，数列()lg1na+是以1为首项，2为

公比的等比数列.（2）由（1）知()11lg1122nnnnba−−=+==，由数列,nnbc的通项公式得，当4n时，nnbc；当4n时，nnbc.又由**,,,,nnnaababdbcbab==，得1**2,4,,24,4,nnnnNdnnnN

−=+当4n且*nN时，1122112nnnnSbb−=++==−−；当4n且*nN时，123456nnSbbbbccc=+++++++()()()4241424215212nnnn−++=−+=+−

，综上，*2*21,4N,521,4N.nnnnSnnnn−=+−且且21.（1）()22123yx−=存在，1,02E【分析】（1）由1,3AFBMMA==，直线OM的斜率为1，求得,,abc之间的关系式，解得,ab的值，进而求出双曲线的方程；（2）设直线

PQ的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由等式成立，可得EF为PEQ的角平分线，可得直线,EPEQ的斜率之和为0，整理可得参数的值，即求出E的坐标.【详解】（1）设()2220cabc=+，所以()()(),0,,0,0,FcAaBb，因为点M在线段AB上，且满足3BMMA

=∣，所以点31,3131Mab++，因为直线OM的斜率为1，所以1311331ba+=+，所以3ba=，因为1AF=，所以1ca−=，解得1,3,2abc===.所以双曲线C的方程为2213yx−=.（2）假设在x轴上存在与F不同的定点E，使得EPFQEQF

P=恒成立，当直线l的斜率不存在时，E在x轴上任意位置，都有EPFQEQFP=；当直线l的斜率存在且不为0时，设(),0Et，直线l的方程为2xky=+，直线l与双曲线C的右支相交于,PQ两点，则3333k−且0k，设()()1122,,,PxyQxy，由22132y

xxky−==+，得()2222311290,310,36360kykykk−++=−=+，所以121222129,3131kyyyykk+=−=−−，因为EPFQEQFP=，即EPFPEQFQ=，所以EF平分,0EPEQ

PEQkk+=，有12120yyxtxt+=−−，即1212022yykytkyt+=+−+−，得()()1212220kyytyy+−+=，所以()229122203131kktkk+−−=−−，由0k，解得12t=.

综上所述，存在与F不同的定点E，使得EPFQEQFP=恒成立，且1,02E.【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x（或y）建立一元二次方程，然后借助根与系

数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，要强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系､弦长､斜率､三角形的面积等问题.22

.（1）当12a时，()fx无极值点；当102a时，所以()fx有两个极值点；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【分析】（1）先求导，对a进行讨论，研究单调性可得函数的极值：（2）（i）由（1）知：102a，且121xx=，又得出()1ffx

x=−，即可得证；（ii）易得1231ttt=，令()ln,0hxxxx=，可得101emn，要证明：()()1231eln1mmnnttt−−+，只需证：()()ln11ln1lnln1mmnn−+−+++，只需证：1ln1mn−+（显然，易证ln1

)nn+，即证明：1mn+，又因为lnlnmmnn=，所以lnmnnnn+−，令()1ln,1exxxxx=−，利用导数证明()1n即可.【详解】（1）由题知：()()22210aaxxafxaxxxx−+=−−=，设函数()2gxaxxa=−+，当12a时，()gx开口向上

，2140a=−，所以()()0,fxfx在()0,+上单调递减，无极值点；当102a时，()0gx=在()0,+上有两个解2212114114,22aaxxaa−−+−==，又因为121xx=，所以()fx在()10,x上单调递减，在()12,xx上单调递增

，在()2,x+上单调递减.所以()fx有两个极值点.综上：当12a时，()fx无极值点；当102a时，所以()fx有两个极值点.（2）（i）由（1）知：102a，且121xx=，又因为()1111lnlnfaxxaxfxxxxx=

−−=−−−=−，所以()()()121110fxfxfxfx+=+=.（ii）由（i）知：()1122311,0,12ffxatxtxtx=−=，所

以131tt=，所以1231ttt=.令()()ln,0,ln1hxxxxhxx==+，所以()hx在10,e上单调递减，在1,e+上单调递增.因为1x时，()0;01hxx时，()0hx.所以101emn.所以，要证明：()(

)1231eln1mmnnttt−−+，只需证：()()1eln1mmnn−−+，只需证：()()ln1elnln1mmnn−−+，只需证：()()ln1lnlnln1mmnn−−++，只需证：()()ln11ln

1lnln1mmnn−+−+++，又因为()lntxxx=+在()0,+上单调递增，所以只需证：1ln1mn−+.令()()1ln11evxxxx=−+，所以()1110xvxxx−=−=，所以函数

()vx在1,1e上单调递减；所以()()10vxv=，即ln1nn+.所以，要证：1ln1mn−+，只需证：1mn−，即证明：1mn+.因为10em，所以ln1m−，所以lnmmm

−.又因为lnlnmmnn=，所以lnmnn−，所以lnmnnnn+−.令()1ln,1exxxxx=−，则()ln0xx=−，所以()x在1,1e上单调递增，所以()()11n

=，所以1mn+，所以()()1231eln1mmnnttt−−+成立.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()fxgx（或()()fxgx）转化为证明()()0fxgx−（或()()0fxgx−），进而

构造辅助函数()()()hxfxgx=−；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见结论放缩；获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com