【文档说明】湖北省武汉部分重点中学5G联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题 含解析.docx,共(25)页,1.337 MB,由管理员店铺上传
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2023-2024学年度上学期武汉市重点中学5G联合体期中考试高二数学试卷命题学校:华科附中命题教师:何群审题教师:杨青考试时间:2023年11月10日试卷满分:150分★祝考试顺利★注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置
.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.1:10laxy−+=与2:2410lxy+−=平行,则=a()A.12B
.12−C.2−D.2【答案】B【解析】【分析】利用两条直线平行的充要条件,列式计算得解.【详解】由1:10laxy−+=与2:2410lxy+−=平行,得11241a−=−,所以12a=−.故选:B2.现有一个橡皮泥制作的圆柱,其底面半径、高均为1,将它重新制作成一个体积与高
均不变的圆锥,则该圆锥的底面积为()A.23B.3C.323+D.33【答案】B【解析】【分析】根据圆柱和圆锥的体积公式计算.【详解】设圆锥的底面积为S,则()211113S=π,解得3πS=.故选:B.3.从长度为1,3,5,7,9的5条线段中任取3条,这三条线段能构
成一个三角形的概率是()A.310B.12C.25D.35【答案】A【解析】【分析】列举出5条线段中任取3条的所有基本事件,求出构成三角形的基本事件的个数,由古典概型求概率的公式求解即可.【详解】从5条线段中任取3条的
所有基本事件有10个,即()()()()()()()()()()1,3,5,1,3,7,1,3,9,1,5,7,1,5,9,1,7,9,3,5,7,3,5,9,3,7,9,5,7,9,其中能构成三角形的基本事件有3个,即()()()3,5,7,3,7,9,
5,7,9,故所求概率310P=.故选:A.4.已知圆C:()()221225xy−+−=,直线l:310mxym−−+=与相交于A,B两点,则AB的最小值为()A.45B.2C.4D.25【答案】A【解析】【分析】根据直线l
的方程得到直线l恒过定点()3,1D,根据几何知识得到当AB与CD垂直时,弦长AB最小,然后根据垂直得到2m=,最后求弦长即可.【详解】由圆的方程可得圆心()1,2C,半径=5r,直线l的方程可整理为:()310mxy−−+=,令3010xy−=−+=,解得31xy==
,所以直线l恒过定点()3,1D,由题意知,当AB与CD垂直时,弦长AB最小,211132CDk−==−−,ABkm=,所以2m=,直线l:250xy−−=,点C到直线l的距离225541d−−==+,所以222225545ABrd=−=−=.故选:A.
5.已知空间向量()1,01a=−,,()1,1,0b=−,则向量a在向量b上的投影向量是()A.11,0,22−B.22,,022−C.()1,1,0−D.11,,022−【答案】D【解析】【分析】根据投影向量的公式计算.【详解】()()()(
)1,0,11,1,01,1,01,1,0111,,02211011022abbbb−−−−−===−++++rrrrr.故选:D.6.某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会,组织者欲使晚会气氛热烈、有趣,
策划整场晚会以转盘游戏的方式进行,每个节目开始时,两班各派一人先进行转盘游戏,胜者获得一件奖品,负者表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示),设计了一种游戏方案:两人同时各转动一个转盘一次,将转到的数字相
加,和为偶数时(1)班代表获胜,否则(2)班代表获胜.两班获胜的概率分别是()A.13,23B.37,47C.12,12D.13,12【答案】C【解析】【分析】利用独立事件概率乘法公式计算.【详解】设(1)班获胜为事件A,(2)班获胜为事件B,()2212134342PA=+=,
()()112PBPA=−=.故选:C.7.2022年10月7日21时10分,中国太原卫星发射中心在黄海海域使用长征十一号海射运载火箭,采用“一箭双星”方式,成功将微厘空间北斗低轨导航增强系统S5/S6试验卫星发射升空,卫星顺利进入预定轨
道,发射任务获得圆满成功,其中的“地球同步转移轨道”是一个以地心(地球的中心)2F为焦点的椭圆,如图,已知它的近地点(离地面最近的点)A距地面m天文单位,远地点(离地面最远的点)B距地面n天文单位,并且2,,FAB在同一直线上,地球半径约
为r天文单位,则卫星轨道的离心率为()A.2mnrmn+++B.2nmrmn−++C.nmmn−+D.2nmrmn−−+【答案】B【解析】【分析】求出22,AFmrBFnr=+=+,由椭圆性质得到22amnr=++,2cnm=−,求出离心率.【详
解】设椭圆方程为22221xyab+=,由题意得22,AFmrBFnr=+=+,则椭圆长轴长为2ABmrnrmnr=+++=++,即22amnr=++,设椭圆的左焦点为1F,由对称性可知,12BFAF=,由椭圆定义可知,21222cBFBFBFAFnrmrnm=−=−=+−−=
−,即离心率为2cnmamnr−=++.故选:B8.四棱柱1111ABCDABCD−中,侧棱1BB⊥底面ABCD,11ABBB==,底面ABCD中满足ABCD,BCCD⊥,2BCCD==,E为1DD上的动点,O为四棱锥111ACCDD−外接球的球心,则直线C
E与OB所成角的正弦值的最小值为()A.215B.23C.53D.4515【答案】C【解析】【分析】以1,,CDCBCC所在的直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系,设球心11,,2Oh,则由1OAOC=可求出311,,42O
,设(2,0,),[0,1]Eaa,然后表示出cos,CEOB,求出其最大值,从而可求出直线CE与OB所成角的正弦值的最小值.【详解】因为在四棱柱1111ABCDABCD−中,侧棱1BB⊥底面ABCD,所以四棱柱1111ABCDABCD−为直四棱柱,所以11,CCCBCCCD⊥
⊥,因BCCD⊥,所以1,,CDCBCC两两垂直,所以以C为原点,以1,,CDCBCC所在的直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系,因为11ABBB==,2BCCD==,ABCD,所以1111(0,0,0),(1,2,0),(0,2,0),(2,0,0),(0,0,1),(2,0,1)
,(1,2,1),(0,2,1)CABDCDAB,球心O在平面11CCDD的投影坐标为11,0,2,则设球心11,,2Oh,因为1OAOC=,所以22222211(11)(2)1122hh−+−+−=++,解得34h=,所以311,,42O
,设(2,0,),[0,1]Eaa,则51(2,0,),1,,42CEaOB==−−,所以2122cos,25141164aCEOBCEOBCEOBa−−==+++22122(4)23535444aaaa++==++,设4at+=([4,5]t),则2282
235435(4)4atat+=+−+为2235820ttt=−+22820351tt=−+22111352055t=−+所以当115t=,即5t=时,22111352055t−+有最大值2231355=,此时直线CE与OB所成的角最小,则其对应的正弦值也
最小,正弦值为225133−=故选:C二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知椭圆22:143xyC+=,1F,2F是
椭圆的左右焦点,P为椭圆上任意一点.下列说法中正确..的是()A.椭圆离心率为12B.1PF的最大值为3C.12π03FPFD.122PFPF+=【答案】ABC【解析】【分析】根据椭圆的方程求得2,3,1abc===,结合椭圆的几何性质,逐项判定,即可求解.【详解】由椭圆22
:143xyC+=,可得2,3ab==,则221cab=−=,对于A中,由椭圆C的离心率为12cea==,所以A正确;对于B中,由椭圆的几何性质,当点P为椭圆的右顶点时,可得1max3PFac=+=,所以B正确;对于C中,当点P为椭圆的短
轴的端点时,可得122PFPFa===,1222FFc==,所以12π3FPF=,根据椭圆的几何性质,可得12π03FPF,所以C正确;对于D中,由椭圆的定义,可得1224PFPFa+==,所以
D错误.故选:ABC.10.已知点M在直线:4lxy+=上移动,圆22:4Oxy+=,直线MP,MQ是圆O切线,切点为P,Q.设OMPQN=,则下列说法正确的是()A.PQOM⊥B.存在点M,使得120PMQ=C.四边形OPMQ的面积取值范围是)4,+D.当M的坐标
为()1,3时,PQ的方程为320xy+−=【答案】AC【解析】【分析】A选项,利用三角形全等可判断;B选项,由OMl⊥时,PMQ最大可判断;C选项,22OPMQOPMSSMP==,可求得2MP,进而可判断;D选项,设()11,Pxy,(
)22,Qxy,利用圆的切线方程,得到切线11:4PMxxyy+=,22:4MQxxyy+=,再将()1,3M代入求解即可判断.【详解】对于A选项,连接OP,OQ,因为MP,MQ为圆的切线,所以OPMP⊥,OQMQ⊥,OPOQ=,OMOM=,所以MPOMQO,所以OMPQ⊥
,故A正确;对于B选项,2sinOPPMOOMOM==,有当OM最小时,PMO最大,即2PMQPMO=最大,当OMl⊥时,此时OM最小,4222OM==,所以22sin222PMO=,的可得o45PMO,即o90PMQ,故B错误;对于C,四边形OPMQ的面积
22OPMQOPMSSMP==,又22224MPOMOPOM=−=−,又22OM,所以2MP,所以4OPMQS,即四边形OPMQ的面积得取值范围是)4,+,故C正确;对于D,设()11,Pxy,()22,Qxy,利用圆的切线方程
,得到切线11:4PMxxyy+=,22:4MQxxyy+=,将()1,3M代入可得,1134xy+=,2234xy+=,所以过P,Q两点的直线为340xy+−=,故D错误.故选:AC.11.在六月一号
儿童节,某商家为了吸引顾客举办了抽奖送礼物的活动,商家准备了两个方案.方案一:A盒中有6个大小和质地相同的球,其中2个红球和4个黄球,顾客从A盒中不放回地随机抽取两次,每次抽取一个球,顾客抽到的红球个数等于可获得礼物的数量
;方案二:顾客投掷一枚质地均匀的骰子两次,两次投掷中向上点数为3的倍数出现的次数等于可获得礼物的数量.每位顾客可以随机选择一种方案参加活动,则下列判断正确的是()A.方案一中顾客获得一个礼物的概率是815B.方案二中顾客获得一个礼物的
概率是49C.方案一中顾客获得礼物的机会小于方案二中顾客获得礼物的机会D.方案二中“第一次向上点数是1”和“两次向上点数之和为7”相互独立【答案】ABD【解析】【分析】借助古典概率和事件的相互独立性,计算出相应的概率,进而选到答案.【详解】A:方案一
中顾客获得一个礼物的概率是124428656515P=+=,故A正确;B:方案二中顾客获得一个礼物的概率是22442466669P=+=,故B正确;C:记方案一中顾客获得礼物的概率为343916515P=−=,
记方案二中顾客获得礼物的概率为44451669P=−=,43PP,故C错误;D:记方案二中“第一次向上点数是1”为事件E,两次向上点数之和为7为事件F,()()()1611,,636636PEPFPEF====,()()
()PEFPEPF=,所以方案二中“第一次向上点数是1”和“两次向上点数之和为7”相互独立,故D正确.故选:ABD.12.如图,在平行六面体1111ABCDABCD−中,1160DABDAABAA===,1ABA
DAA==,点M,N分别是棱11DC,11CB的中点,则下列说法中正确的是()A.1MNAC⊥B.向量AM,BC,1BB共面C.1AC⊥平面11BDDBD.若1AB=,则该平行六面体高为63【答案】ACD【解析】【分析
】A选项,利用向量的方法证明1MNAC⊥;B选项,根据向量共面的基本定理判断;C选项,利用向量的方法得到1ACBD⊥,11ACBB⊥,然后根据线面垂直的判定定理证明;D选项,将平行六面体的高转化为正四面体1AABD−的高,然后利用勾股定理计算
.【详解】设1ABADAAa===,由题意得111222MNDBABAD==−uuuruuuruuuruuur,11ACABADAA=++,()221111111111222222MNACABADABADAAABADABAAADAA=−++=−+−uuuruuuruuuru
uuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur2222111102244aaaa=−+−=,所以1MNAC⊥,故A正确;11111122AMADDDDCBCBBAB=++=+
+uuuruuuruuuruuuuruuuruuuruuur,若向量AM,BC,1BB共面,则存在唯一实数对,使得1AMBCBB=+uuuruuuruuur,即1112BCBBABBCBB++=+uuuruuuruuur
uuuruuur,而BC,1BB,AB不共面,则有0a=,显然不成立,所以向量AM,BC,1BB不共面,故B错;11ACAAABAD=−++,BDADAB=−,()()221111ACBDAAABADADABAAADAAABADAB=−++−=−++−uuuruu
uruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur222211022aaaa=−++−=,()2222111111111022ACBBAAABADAAAAABAAADAAaaa=−++=−++=−++=uuuruuuruuur
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur,所以1ACBD⊥,11ACBB⊥,因为1BDBBB=,1,BDBB平面11BDDB,所以1AC⊥平面11BDDB,故C正确;连接1AD,BD,1AB,过点1A作
1AO⊥平面ABCD于点O,由题意得111ABADAAABBDAD=====,则三棱锥1AABD−为正四面体,所以点1A到平面ABD的距离1AO即为正四面体1AABD−的高,即平行六面体的高,1233233AO==,221136193AOAAAO=−=−=,所以平行六面体的高为63,故D正确
.故选:ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知事件M与事件N互斥,若()0.2PM=,()0.6PN=,那么()PMN=________.【答案】0.8【解析】【分析】根据概率的基本性质计算.【详解】()()()0.8PMNPMPN=+=.故答案为:0.8.14
.在一次生活常识竞答活动中,共有20道常识题,两位同学独立竞答,其中一位同学答对了12道题,另一位同学答对了8道题,假设答对每道题都是等可能的.任选一道常识题,至少有一人答对的概率________.【答案】19
25##0.76【解析】分析】根据相互独立事件概率乘法公式计算.【详解】设任选一道常识题,至少有一人答对为事件A,则()1212881281920202020202025PA=++=.故答案为:1925.15.已知点A,B,C在圆224xy+=上
运动,且B,C的中点为()1,0D,若点P的坐标为()5,0,则PAPBPC++的最大值为________.【答案】15【解析】【【分析】根据向量的加法结合模的意义,得其几何意义为,圆上的点到点(13,0)的距离即可求解.【详解】设(,)Axy,因为B,C的中点为()1
,0D,则(,)PBPCPD+==−280,则(13,)2PAPBPCPAPxyD++=−+=,则PAPBPC++()xy=−+2213,其几何意义为,圆上的点到点(13,0)的距离,则其最大值为13215+=.故答案为:1516.在三棱锥ASBC−中,23AB=,SAAC⊥,SBBC⊥,且S
AAC=,SBBC=,若该三棱锥的体积为433,则三棱锥SABC−外接球的体积为________.【答案】32π3##32π3【解析】【分析】取SC的中点O,连接OA、OB,由SAC、SBC△均为等腰直角三角形,可得出点O为三棱锥SABC−的外接球球心,设球O的半径为r,AOB=,推导出SC
⊥平面AOB,可得出三棱锥SABC−的体积为3143sin33SABCVr−==,再由余弦定理得出226cosrr−=,结合22sincos1+=可求得r的值,进而利用球体的体积公式可求得结果.【详解】取SC的中点O,连接OA、OB,如下图所
示:SAAC=,SBBC=,且SAAC⊥,SBBC⊥,所以,SAC、SBC△均为等腰直角三角形,且π2SACSBC==,所以,12OAOBSCOCOS====,所以,SC为三棱锥SABC−的外接球直径,设2SCr=,可得OAOB
r==,设AOB=,SAAC=,O为SC的中点,则OASC⊥,同理可得OBSC⊥,,,OAOBOOAOB=平面OAB,SC⊥平面OAB,所以,111333SABCSOABCOABOABOABOABVVVSO
SOCSSCS−−−=+=+=△△△23111432sinsin3233rrr===,343sinr=,在OAB中,由余弦定理可得2222cosABOAOBOAOB=+−,即2222cos12rr−=,可得226cosrr−=,由22sincos1+=,可得226
24861rrr−+=,化简可得42340rr−−=,即()()22140rr+−=,0r,解得2r=,因此,三棱锥SABC−外接球的体积为334432πππ2333Vr===.故答案为:32π3.四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.17.已知圆()()221:111Cxy−+−=,圆222:8270Cxyxy+−−+=.(1)若直线l经过圆1C与圆2C的公共点,求直线l的方程;(2)若圆3C过两圆的交点且圆心3C在直线yx=上,求圆3C的方程.【答案】(1)1
x=(2)()()22111xy−+−=【解析】【分析】(1)由两圆的方程作差可得到公共弦所在的直线方程,即得到直线l的方程.(2)先联立方程组求出圆1C和圆2C的两个交点坐标,写出弦AB的垂直平分线方程;再根据题意
求出圆3C的圆心坐标和半径;最后写出圆3C的标准方程即可.【小问1详解】联立方程组()()22221118270xyxyxy−+−=+−−+=,作差可得:1x=即两圆的交点所在直线方程为:1
x=故直线l的方程为1x=.【小问2详解】联立方程组()()22221118270xyxyxy−+−=+−−+=,解得10xy==或12xy==,即两圆的交点坐标为()1,0A和()1,2B.弦AB的垂直平分线方程为1y=圆3C过两圆的交点且圆心3C在直
线yx=上圆3C的圆心既在弦AB的垂直平分线又在直线yx=上.联立方程组1yyx==,解得11xy==,即得圆3C的圆心坐标为()31,1C.圆3C的半径()()22311011rAC==−+−=圆3C的方程为()()22111xy−+−=18.本着健康、低碳的生活理念,
租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设
甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14,12,超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为12,14,两人租车时间都不会超过四小时.(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;(2)设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和,求P(ξ=4)和P(ξ=6)的值.【答案】(1
)516(2)516,316【解析】【分析】(1)先求得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率,甲、乙两人所付的租车费用相同,则则分甲乙都不超过2小时,甲乙都超过2小时不超过3小时,甲乙都超过3小时甲不超过4小时,利用互斥事件和独立事件的概率求解;(2)若ξ=4
,则分甲不超过2小时乙超过3小时不超过4小时,或乙不超过2小时甲超过3小时不超过4小时,或甲乙都超过2小时不超过3小时,利用互斥事件和独立事件的概率求解;若ξ=6,则分甲超过2小时乙超过3小时不超过4小时,或乙超过2小时甲超过3小时不超过4小
时,利用互斥事件和独立事件的概率求解;【小问1详解】解:因为甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14,12,超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为12,14,所以甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为14,14,记甲、乙两人
所付租车费用相同为事件A,则P(A)=111111542244416++=,所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为516.【小问2详解】若ξ=4,则甲不超过2小时乙超过3小时不超过4小时,或乙不超过2小时甲超过3小时不超过4
小时,或甲乙都的超过2小时不超过3小时,所以P(ξ=4)=111111544242416++=,若ξ=6,则甲超过2小时乙超过3小时不超过4小时,或乙超过2小时甲超过3小时不超过4小时,所以P(ξ=6)=11113442416+=19.已知ABC的顶点(1,1)A,
高CD所在直线方程为3120xy+−=,角B的平分线BE所在直线方程为240xy−+=.求:(1)B点的坐标;(2)BC边所在直线方程.【答案】(1)(8,2)−−;(2)913460xy−+=.【解析】【分析】(1)先求出直线AB的斜率11133C
Dkk=−=−=−,从而求出直线AB的方程,由此能求出B点坐标.(2)由13ABk=,12BEk=,角B的平分线BE所在直线方程为240xy−+=,得1?1?ABBEBCBEABBEBCBEkkkkkkkk−−=++,求出913BCk=,由此能求出直线BC的方
程.【小问1详解】解:∵ABC的顶点(1,1)A,高CD所在直线方程为3120xy+−=,角B的平分线BE所在直线方程为240xy−+=,∴直线AB的斜率11133CDkk=−=−=−,∴直线AB的方程为:11(1
)3yx−=−,即320xy−+=,联立320240xyxy−+=−+=,得82xy=−=−,∴B点坐标为(8,2)−−;.【小问2详解】解:∵13ABk=,12BEk=,角B的平分线BE所在直线方程为240x
y−+=,∴11ABBEBCBEABBEBCBEkkkkkkkk−−=++,∴11132211111322BCBCkk−−=++,解得913BCk=或13BCk=(舍),∴直线BC的方程为:92(8)13yx+=+
,即913460xy−+=.20.在如图所示的试验装置中,两个正方形框ABCD、ABEF的边长都是1,且平面ABCD⊥平面ABEF,活动弹子M、N、G分别在正方形对角线AC和BF、AB上移动,记CMBN=,//AF平面MNG,记()01BGaa=.(1)证明:MG⊥平面
ABEF;(2)当MN的长最小时,求二面角AMNB−−的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)13−【解析】【分析】(1)利用面面平行的性质推导出//AFNG,证明出//MGBC,可得出MGAB⊥,再利用面面垂直
的性质定理可证得结论成立;(2)根据已知条件求出线段BG的长,以点B为坐标原点,BA、BE、BC所在直线分别为x、y、z轴,利用空间向量法可求得二面角AMNB−−的余弦值.【小问1详解】证明:因为//AF平面MNG,且AF平面ABE
F,平面ABEF平面MNGNG=,则//AFNG,因为()01BGaa=,所以,2CMBNa==,则1AGa=−,()21AMa=−,即1AMAGaCMBGa−==,所以,//MGBC,因为ABBC⊥,所以,MGAB⊥,因为平面
ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD平面ABEFAB=,MG平面ABCD,所以,MG⊥平面ABEF.【小问2详解】解:由(1)知,MG⊥平面ABEF,因为NG平面ABEF,所以,MGNG⊥,所以,(
)22222211212212222MNNGMGaaaaa=+=+−=−+=−+,当且仅当12a=时,等号成立,以点B为坐标原点,BA、BE、BC所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,则()1,0,0A、()0,0,0B、11,0,22M
、11,,022N,则11,0,22AM=−,110,,22=−MN,11,0,22BM=,设平面AMN的法向量为(),,mxyz=,则1102211022
mAMxzmMNyz=−+==−=,取1z=,可得()1,1,1m=,设平面BMN的法向量为(),,ntbc=,则1102211022nBMtcnMNbc=+==−=,取1c=,
可得()1,1,1n=−,所以,11cos,333mnmnmn===,由图可知,二面角AMNB−−为钝角,故二面角AMNB−−的余弦值为13−.21.如图所示,几何体ABCDPQ中,APD△,BCQ△均为正三角形,四边形ABCD为正方形,PQAB∥,222PQAB==,M,
N分别为线段PQ与线段BC的中点,AC、BD相交于点O.(1)求证://MN平面ADP;(2)求证:平面MON⊥平面ABCD;(3)求直线AP与平面BCQ所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)证明见
解析(3)63【解析】【分析】(1)根据正方形和平行四边形的性质得到∥MNPE,然后根据线面平行的判定定理证明即可;(2)根据等腰三角形的性质得到ADPE⊥,即可得到BCMN⊥,根据正方形的性质得到BCON
⊥,然后根据线面垂直和面面垂直的判定定理证明即可;(3)利用空间向量的方法求线面角即可.【小问1详解】取AD中点点E,连接PE,EN,因为PQAB∥,222PQAB==,M为线段PQ的中点,所以PMA
B∥,PMAB=,又因为AD中点为E,N为BC中点,所以ENAB∥,ENAB=,所以PM∥EN,PMEN=,即四边形PMEN为平行四边形,所以∥MNPE,因为PE平面PAD,MN平面PAD,所以MN∥平面PAD.【小问2详解】在正三角形PAD中有ADPE⊥,
易知BCPE⊥,由(1)知BCMN⊥,在正方形ABCD中有BCON⊥,因为ONMNN=,,ONMN平面MON,所以BC⊥平面MON,因为BC平面ABCD,所以平面MON⊥平面ABCD.【小问3详解】以过点O作AB的垂线为x轴,ON所在的直线为y轴,OM所在的直线为
z轴建立空间直角坐标系Oxyz−,()0,0,0O,22,,022B,()0,0,1M,22,,022−,因为PQAB∥,AB平面ABCD,PQ平面ABCD,所以PQ∥平
面ABCD,易知()0,2,1Q,则22,,122APMB==−−uuuruuur,()2,0,0CB=,22,,122BQ=−uuur,设平面BCQ的法向量为(),,nxyz=,则2022022nCBxnBQxyz==
=−++=,令2y=,则0x=,1z=−,所以()0,2,1n=−,6cos,3nAPnAPnAP==ruuurruuurruuur所以直线AP与平面BCQ所成角的正弦值为63.22.已知动点P
到两定点()22,0A−,()22,0B的距离和为6,记动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)直线:10lxmy−−=与曲线C交于M,N两点,在x轴是否存在点T(若记直线MT、NT的斜率分别为MTk,NTk)使得MTNTkk为
定值,若存在,请求出点T坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)2219xy+=(2)存在定点()3,0T,使得直线MTNTkk为定值.【解析】【分析】(1)由椭圆定义可得动点P的轨迹为以点,AB为焦点的椭圆,求
出椭圆方程;(2)联立:10lxmy−−=与2219xy+=,设()()1122,,,MxyNxy,得到两根之和,两根之积,设(),0Tt,则()()2229918MTNTktkmt−=+−−,从而得到3t=时,Rm,29MTNTkk=−,3t=−时,Rm,118MTNTkk
=−,得到答案.【小问1详解】由题意得642PAPBAB+==,故动点P的轨迹为以点()22,0A−,()22,0B为焦点的椭圆,其中3,22ac==,则222981bac=−=−=,故曲线C的方程为2
219xy+=;【小问2详解】联立:10lxmy−−=与2219xy+=得()229280mymy++−=,设()()1122,,,MxyNxy,则12122228,99myyyymm−+=−=++,则()
21212222182299mxxmyymm+=++=−=++,()()()222121212122282111199mmxxmymymyymyymm−=++=+++=−+++22999mm−=+,设(),0Tt,则()121221212122222289991899MTNTyyyykxmmktx
txxtxxtttmm=−+−−==−−++++−+()()22222229918988991mtmttmtt−−=−=−−+++−,当3t=时,Rm,()2829931MTNTkk−==−−,当3t=−时,Rm,(
)28118931MTNTkk−==−−−,所以存在定点()3,0T,使得直线MTNTkk为定值.【点睛】处理定点问题的思路:(1)确定题目中的核心变量(此处设为k),(2)利用条件找到k与过定点的曲线(),0Fxy=的联系,得到有关k与,xy的等式,(3)所谓定点,是指存在一个特殊的
点()00,xy,使得无论k的值如何变化,等式恒成立,此时要将关于k与,xy的等式进行变形,直至找到()00,xy,①若等式的形式为整式,则考虑将含k的式子归为一组,变形为“()k”的形式,让括号中式子等于0,求出定点;②若
等式的形式是分式,一方面可考虑让分子等于0,一方面考虑分子和分母为倍数关系,可消去k变为常数.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com