【文档说明】北京市延庆区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(16)页，860.357 KB，由小赞的店铺上传

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延庆区2023—2024学年高二数学本试卷共4页，150分，考试时长120分钟．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知直线:340lxy−−=，则直线l的倾斜角为（）A.6

B.3C.23D.56【答案】B【解析】【分析】根据方程得到斜率，然后可得其倾斜角.【详解】因为直线:340lxy−−=斜率为3，所以直线l的倾斜角为3故选：B2.复数()i12iz=−，则z=（）A2i−B.2i+C.12i−D.12i+【答案】

A【解析】【分析】根据复数的乘法求出z，即可求出z.【详解】因为()ii122iz=−=+，所以2iz=−，故选：A3.平行线230xy−+=与220xy−−=之间的距离为（）A.5B.55C.52D.5【答

案】A【解析】【分析】根据平行线间距离公式计算．的.【详解】由已知所求距离为222351(2)d−−==+−.故选：A．4.在空间直角坐标系中，点()1,2,3P−关于坐标平面xOy的对称点为（）A.()1,2,3−−B.()1,2,3−−C.()1,2,3−−D.()1,

2,3【答案】D【解析】【分析】点(,,)abc关于坐标平面xOy的对称点为(,,)abc−.【详解】空间中一点关于坐标平面xOy的对称点，横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以点()1,2,3P−关于坐标平面xOy的对称点为()1,2,3.故选：D.5.已知()

1,2,2a=−，()3,6,6b=−−，()2,4,4c=，则（）A.ac∥B.ac⊥C.ab∥D.ab⊥【答案】C【解析】【分析】由空间向量平行、垂直的坐标表示判断．【详解】由于122366−==−−，122244−=，因此//ab，a与c不平行，又28820ac=+

−=，因此a与c不垂直，故选：C．6.若平面⊥，平面的法向量为()2,1,4n=−，则平面的一个法向量可以是（）A.()2,1,4−−B.()2,0,1C.()1,2,1−D.11,,22−【答案】B【解析】【分析】由垂直的两个平面

的法向量也垂直判断．【详解】(2,1,4)(2,1,4)4116210−−−=−−−=−，(2,1,4)(2,0,1)4040−=+−=，(2,1,4)(1,2,1)22480−−=++=，1121(2,1,4)(1,,2)280222−−=++=，只有选项B中

向量与n垂直，故选：B．7.已知向量()1,0,1a=，()2,2,1b=−，()3,4,cz=，若a，b，c共面，则z等于（）A.9−B.5−C.5D.9【答案】D【解析】【分析】根据,,abc列方程，根据空间向量坐标的线性运算求解出z的值

.【详解】由于,,abc共面，所以存在,，使得abc=+，即()()()()1,0,12,2,3,4,23,24,zz=−+=−+++，所以1230241z=−+=+=+，解得：12,9,77z===−，所以9z=.故选：D.8.设a

R，则“a＝1”是“直线1l：ax＋2y－1＝0与直线2l：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】∵当a=1时，直线1l：x+2y﹣1=0与直线

2l：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是12−，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到21114aa−=+，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必

要条件．故选A．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．9.在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E为PA中点，2PAADAB==，则直线BE与PD所成角的大小为（）

A.12B.6C.3D.712【答案】C【解析】【分析】取AD的中点为F，连接EF，然后可得BEF或其补角即为所求，然后设22PAADAB===，即可求出答案.【详解】取AD的中点为F，连接EF，因为E为PA中点，所以//EFPD，所以BEF或其补角即为所求，设22PAADAB

===，所以2,2,2BEBFEF===，所以BEF△为等边三角形，所以3BEF=，故选：C10.已知正三棱锥SABC−的底面ABC的边长为2，P是空间中任意一点，则()PAPBPC+的最小值为（

）A.32−B.32−C.12−D.14−【答案】A【解析】【分析】利用转化法求向量数量积的最值即可.【详解】设BC中点为D，连接AD，设AD中点为H，连接,,PDPHPA，则2211321222HAAD==−=，()

()()()22PAPBPCPAPDPHHAPHHD+==++()()()22232224PHHAPHHAPHHAPH=+−=−=−，当P与H重合时，2PH取最小值0，此时()PAPB

PC+有最小值32−.故选：A.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知复数2i1z=−，则z的虚部为_________．【答案】2【解析】【分析】根据复数的概念可求解;【详解】因为复数2i1z=−，所以z的虚部为2.故答案为：2.12.已知(

)1,01a=−,，()2,1,1b=，则3ab+=_________．【答案】()5,1,2−【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算法则，计算即可.【详解】因为()1,01a=−,，()2,1,1b=，所以33(1,0,1)(2

,1,1)(5,1,2)ba+=−+=−.故答案为：(5,1,2)−.13.已知直线210axy+−=与直线210xy−+=垂直，则a的值为_________．【答案】1【解析】【分析】根据两直线垂直的等价条件即可得到结果.【详解】因为直线210axy+−=与直线210xy−+=垂直，所

以22(1)0a+−=，解得1a=.故答案为：1.14.已知复数z满足1izz+=−，则iz+的最小值为______．【答案】22##122【解析】【分析】设izxy=+（,xyR），代入已知式化简得,xy满足关系，然后计算iz+，转化为结合

二次函数性质求得最小值．【详解】设izxy=+（,xyR），代入1izz+=−得2222(1)(1)xyxy++=+−，化简得yx=−，2222i(1)i(1)(1)zxyxyxx+=++=++=+

−+22112212()22xxx=−+=−+，所以12x=时，iz+取得最小值22，故答案为：22．15.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，E为CD的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足平面1

AAP⊥平面1BBE．给出下列四个结论：①1AAP的面积的最大值为5；②满足使1AAP的面积为2的点P有且只有4个；③点P可以是1CC的中点；④线段AP的最大值为3．其中所有正确结论的序号是________

_．【答案】①④【解析】【分析】先找出P的运动轨迹，再结合图像逐项分析，即可得解.【详解】取11,BCBC的中点为,HG，连接1,,AHGAGH，因为E为CD的中点，所以BHCE=，ABHECB=

，ABBC=，所以ABHBCE，所以EBCHAB=，又90AHBHAB+=，所以90AHBEBC+=，所以AHEB⊥，又1AA⊥平面ABCD，又EB平面ABCD，所以1AABE⊥，又1AAAHA=，1,AAAH平面1AAGH，所

以BE⊥平面1AAGH，BE平面1BBE，所以平面1AAGH⊥平面1BBE，又平面1AAP⊥平面1BBE，所以P的轨迹为线段1,,AHHGAG，对于①，由图可知，当P在GH上时，此时三角形1AAP面积最

大，因为2222215AHABBH=+=+=，所以面积的最大值为11125522AAAH==，故①正确；对于②，由图可知，当1AP=或11AP=时，1AAP的面积为2，所以满足使1AAP的面积为2的点P有且只有2个，故②错误；对于③，由图易知，点P不可能在线段1CC上，所以点P不可能是

1CC的中点，故③错误；对于④,由图易知，当P与G重合时，此时AP长度最大，最大值为2222(5)23APAHHG=+=+=，故④正确.故答案为：①④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤.16.根据下列条件，分别求出直线的一般式方程：（1）经过点()2,4A，平行于直线:310lxy−+=；（2）倾斜角是135，截距是4；（3）经过点()2,4A，点()1,1B−；（4）经过点()2,

0A，且在两坐标轴上截距的和为5．【答案】（1）320xy−−=（2）40xy+−=（3）20xy−+=（4）3260xy+−=【解析】【分析】（1）由直线平行可知斜率相等，结合点坐标写出直线点斜式方程，化为一般式；（2）截距为4分为在x轴上截距为4和在y轴上的截距为4，根据条件

写出直线方程；（3）写出直线的两点式方程，化为一般式；（4）分析直线在x轴、y轴上的截距，写出直线的截距式方程，化为一般式.【小问1详解】由题可知，所求直线斜率为3，故方程为43(2)yx−=−，整理得320xy−−=.【小问2详解】由直线倾

斜角135得直线斜率为1−，当直线在x上截距是4，即过点(4,0)时，直线方程为(4)yx=−−，整理得40xy+−=，当直线在y上截距是4时，直线方程为4yx=−+，整理得40xy+−=，综上得，直线方程为40xy+−=.

【小问3详解】是由条件得直线的两点式方程为：421412yx--=---，整理得20xy−+=.【小问4详解】由题意得，直线在x轴上的截距为2，故在y轴上的截距为3，所以直线的截距式方程为123xy+=，整理得3260xy+−=.17.如图，在ABCV中，2π

3A=，2AC=，CD平分ACB交AB于点D，3CD=．（1）求ADC的值；（2）求ABCV的面积．【答案】（1）π4ADC=（2）32【解析】【分析】（1）在ADC△中，利用正弦定理计算即可求得结果；（2）由

（1）可知ABCV为等腰三角形，利用三角形面积公式计算可得结果.【小问1详解】在ADC△中，由正弦定理可得sinsinACCDADCA=，所以2π2sinsin23sin23ACAADCCD===；易知π3ADC

，所以π4ADC=；【小问2详解】由（1）可得2ππππ3412ACDBCD==−−=，由题设可知6πACBB==，即ABCV为等腰三角形，所以2ABAC==，因此ABCV的面积为12π133sin2223222SABAC==

=.18.已知点()2,2A−、()6,6B、()0,6C．（1）若直线l通过点A与B，求直线l的一个方向向量，并求直线l的方程；（2）求线段AB的垂直平分线的方程；（3）若点C关于直线AB对称点为D，求点D到直线AB的距离．【答案】（1）一个

方向向量为()4,8AB=，直线l的方程为260xy−−=（2）280xy+−=（3）1255【解析】【分析】（1）利用直线方向向量的定义可求得直线l的一个方向向量，求出直线l的斜率，利用点斜式可得出直线l的方程；（2）求出线段AB的垂直平分线

的斜率，以及线段AB的中点，利用点斜式可得出线段AB的垂直平分线的方程；（3）分析可知，点D到直线AB的距离等于点C到直线AB的距离，利用点到直线的距离公式求出点C到直线AB的距离即可.【小问1详解】解：由题意可知，直线l的一个方向向量为()4,8A

B=，直线l的斜率为62262ABk+==−，所以，直线l的方程为()626yx−=−，即260xy−−=.【小问2详解】解：线段AB的中点为()4,2M，线段AB的中垂线的斜率为112ABkk=−=−，所以，线段AB的垂直平分线的方程为()1242yx−=−

−，即280xy+−=.【小问3详解】解：由题意可知，点D到直线AB的距离等于点C到直线AB的距离，的因此，点D到直线AB的距离为()22066125521−−=+−.19.如图，在多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，DE⊥平面AB

CD，//CFDE，22DEDCCF===.（1）求证：//BFADE平面；（2）求直线𝐵𝐷与平面AEF所成角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）π4【解析】【分析】（1）设G为DE的中点，连接FG，AG，可证ABFG为平行四边形，由线面平行的判定

定理可证明结论；（2）以D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可.【小问1详解】设G为DE的中点，连接FG，AG，由已知//CFDE，且CFDG=，所以四边形CFGD是平行四边形，又ABCD为正方形

，所以ABFG为平行四边形，所以//BFAG，又AG平面ADE，BF平面ADE，所以//BFADE平面.【小问2详解】因为ABCD为正方形，DE⊥平面ABCD，以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系，

所以()()2,0,0,0,0,2AE，()()0,2,1,2,2,0FB，()2,2,0DB=，()2,0,2AE=−，()2,2,1AF=−，设平面AEF的一个法向量为(),,nxyz=，则00nAEnAF==，，即220220.xzxyz−+=

−++=，令2z=，得2,1xy==.于是()2,1,2n=.设直线𝐵𝐷与平面AEF所成角为，则sincos,nDBnDBnDB==，即()()2,1,22,2,02sin2322==，所以直线𝐵𝐷与平面AEF所成的角为π4.20.如图，正方体1111ABCDA

BCD−的棱长为2，点E为1BB的中点．（1）求二面角1DADE−−的余弦值；（2）求点1C到平面1ADE的距离．【答案】（1）13−（2）23【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得平面1ADE的一个法向

量，平面1ADD的一个法向量，利用空间向量的夹角公式求解即可.（2）利用点到平面的距离公式可求解.【小问1详解】以A为坐标原点，1,,ADABAA所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则11(0,0,0)

,(0,2,0),(2,0,2),(2,2,2),(0,2,1)ABDCE，所以1(2,0,2),(0,2,1)ADAE==，设平面1ADE的一个法向量为(,,)nxyz=，则1·220·20nADxznAEyz=+==+=，取1

x=，得11,2zy=−=，所以平面1ADE的一个法向量为1(1,,1)2n=−，又(0,2,0)AB=是平面1ADD的一个法向量，所以·11cos,31·1124nABnABnAB===++，又二面角1DADE−−为钝二面角，所以二面角1DADE−−的余弦值为13

−；【小问2详解】由（1）可得11(0,2,0)DC=uuuur，平面1ADE的一个法向量为1(1,,1)2n=−，所以点1C到平面1ADE的距离11||123||1114DCndn===++．21.已知集合A为非空数集，定义：,,SxxababA==

+，,,TxxababA==−（1）若集合1,3A=，直接写出集合S，T.（2）若集合1234,,,Axxxx=，1234xxxx，且TA=，求证：1423xxxx+=+（3）若集合02020,AxxxN，S，ST=，记A为集合A中元素的个数，求A的最

大值.【答案】（1）2,4,6S=，0,2T=；（2）证明见解析；（3）1347【解析】【分析】（1）根据题目定义，直接计算集合S及T；（2）根据两集合相等即可找到1x，2x，3x，4x的关系；.（3）通过假设A集合{m，1m+，2m+，，2020}，2020m„，mN，求

出相应的S及T，通过ST=建立不等关系求出相应的值．【详解】（1）根据题意，由1,3A=，则2,4,6S=，0,2T=；（2）由于集合1234,,,Axxxx=，1234xxxx，且TA=，所以T中也

只包含四个元素，即2131410,,,Txxxxxx=−−−，剩下的324321xxxxxx−=−=−，所以1423xxxx+=+；（3）设12,,kAaaa=满足题意，其中12kaaa，则11213223122kkkkkkaaaaaaaaaaaaaa−++

++++，21Sk−，1121311kaaaaaaaa−−−−，Tk，ST=，31STSTk=+−，ST中最小的元素为0，最大的元素为2ka，21kSTa+，()*31214041

kkakN−+，1347k，实际上当674,675,676,,2020A=时满足题意，证明如下：设,1,2,,2020Ammm=++，mN，则2,21,22,,4040Smmm=++，0,1,2

,,2020Tm=−，依题意有20202mm−，即16733m，故m的最小值为674，于是当674m=时，A中元素最多，即674,675,676,,2020A=时满足题意，综上所述，集

合A中元素的个数的最大值是1347.【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分

析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.