【文档说明】河北省石家庄二中2020-2021学年高二上学期考试（二）数学试题【精准解析】.doc，共(20)页，1.723 MB，由小赞的店铺上传

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石家庄二中2020-2021学年高二上学期考试（二）数学一、单选题（每小题5分）1.若,,abcR，且ab，则下列不等式一定成立的是（）A.acbc+−B.acbcC.2()0abc−D.20cab−【答案】C【解析】【分析】结合不

等式的基本性质，合理利用作差比较法，逐项判定，即可求解.【详解】由,,abcR，且ab，则0ab−，对于A中，由()()2acbcabc+−−=−+，其中()2abc−+不一定大于0，所以不一定成立；对于B中，由()acbcabc−=−，当0c时，可得()0abc−，此时ac

bc，所以B不一定成立；对于C中，因为20,0abc−，可得2()0abc−，所以C一定成立；对于D中，当2c=0时，可得20cab=−，所以D不一定成立.故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质的应用，其中

解答中熟记不等式的基本性质，合理利用作差比较法求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2.已知正数,xy满足811xy+=，则2xy+的最小值是（）A.18B.16C.8D.10【答案】A【解析】【分析】()8122xyxyxy+=

++然后运用基本不等式求出最小值【详解】811xy+=()811616221010218yxyxxyxyxyxyxy+=++=+++=当且仅当16yxxy=，即12x=，3y=时，2xy+取得最小值18故选A【点睛】本题主要考查

了基本不等式在最值问题中的应用，本题运用了均值不等式，属于基础题3.已知等比数列na中，31174aaa=，数列nb是等差数列，且77ba=，则311bb+=（）A3B.6C.7D.8【答案】D【解析】【分析】由等比数列的性质求得74a=，再由等差数列的性质可得结果.【详

解】因为na等比数列，且31174,aaa=27740aa=，解得74a=，数列nb是等差数列，则31177228bbba+===，故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列与等差数列的下标性质，属于基

础题.解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2pqmnraaaaa+=+=（2pqmnr+=+=）.4.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为（）A.EB.FC.GD.H

【答案】A【解析】【分析】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得M点在侧视图中对应的点.【详解】根据三视图，画出多面体立体图形，14DD上的点在正视图中都对应点M,直线34BC上的点在俯视图中对应的点为N,

∴在正视图中对应M,在俯视图中对应N的点是4D,线段34DD,上的所有点在侧试图中都对应E,∴点4D在侧视图中对应的点为E.故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法，考查

了分析能力和空间想象，属于基础题.5.已知⊙M：222220xyxy+−−−=，直线l：220xy++=，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线,PAPB，切点为,AB，当||||PMAB最小时，直线A

B的方程为（）A.210xy−−=B.210xy+−=C.210xy−+=D.210xy++=【答案】D【解析】【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,APBM共圆，且ABMP⊥，根据44PAMPMABSPA==可知，当直线MPl⊥时，PMAB最小，求出

以MP为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB的方程．【详解】圆的方程可化为()()22114xy−+−=，点M到直线l的距离为2221125221d++==+，所以直线l与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,APBM四点共圆，且

ABMP⊥，所以14442PAMPMABSPAAMPA===，而24PAMP=−，当直线MPl⊥时，min5MP=，min1PA=，此时PMAB最小．∴()1:112MPyx−=−即1122yx=+，由1122220yxxy=+++=解得，10xy=−=．所以以MP为直径

的圆的方程为()()()1110xxyy−++−=，即2210xyy+−−=，两圆的方程相减可得：210xy++=，即为直线AB的方程．故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的

转化能力和数学运算能力，属于中档题．6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为,,abc，若°26,60cbC==，则B=A.45°B.45°或135°C.30°D.30°或150°【答案】A【解析】【

分析】根据边长确定BC，的大小，由正弦定理得到结果.【详解】∵bc，∴BC，又°60C=，∴°B60，由正弦定理可得sinsinbCBc==2sin60226=∴B=45°.故选A【点睛】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题

的关键，学生求B度数时注意先求出B的范围．7.长方体1111ABCDABCD−中，11,2,ABADAAE===为棱1AA的中点，则直线1CE与平面11CBD所成角的余弦值为（）A.69B.539C.53D.23【答案

】A【解析】【分析】根据题意建立空间直角坐标系，用向量法进行处理.【详解】根据题意，建立如图所示直角坐标系：则：1CE(1,1,1)=−−设平面11BDC的法向量为n(,,)xyz=则100nBDnBC==可得：020xyxz−−=−−=取n(2,2,1)=

−−则1,cosnCE=11nCEnCE553933==设直线1CE与平面11BDC的夹角为则539sin=，261sin9cos=−=.故选：A.【点睛】本题考查线面角的求解，属基础题.8.方程()2132y

x−=−−所表示的曲线的长度是（）A.6B.23C.2343+D.612+【答案】B【解析】【分析】根据题意,求得函数的值域,分析出曲线为两个半圆,根据半径即可求得曲线的长度.【详解】因为方程()2132yx−=−−所以10y−,所以1y或1y−将原式变形可得()()22213xy

−+−=所以曲线为两个半圆,半径为3所以曲线的长度为2323C==故选:B【点睛】本题考查了曲线与方程的关系,根据方程判断曲线的形状,注意函数值域,属于基础题.9.已知△ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离

为（）A.3B.32C.1D.32【答案】C【解析】【分析】根据球O的表面积和ABC的面积可求得球O的半径R和ABC外接圆半径r，由球的性质可知所求距离22dRr=−.【详解】设球O的半径为R，则2416R=

，解得：2R=.设ABC外接圆半径为r，边长为a，ABC是面积为934的等边三角形，21393224a=，解得：3a=，22229933434ara=−=−=，球心O到平面ABC的距离22431dRr=−=−=.故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表

面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.10.数列{}na中，12a=，mnmnaaa+=，若155121022kkkaaa++++++=−，则k=

（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】取1m=，可得出数列na是等比数列，求得数列na的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k的等式，由kN可求得k的值.【详解】在等式mnmnaa

a+=中，令1m=，可得112nnnaaaa+==，12nnaa+=，所以，数列na是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222nnna−==，()()()()1011011105101210122122212211212kkkkkkaaaa++++

++−−+++===−=−−−，1522k+=，则15k+=，解得4k=.故选：C.【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.11.在三棱锥ASBC−中，10AB=，4ASCBSC==，ACAS=，BC

BS=，若该三棱锥的体积为153，则三棱锥SABC−外接球的体积为（）A.B.43C.5πD.3【答案】B【解析】【分析】设SC的中点为O，AB的中点为D，连接OA，OB，OD．根据已知条件可以推出O为棱锥SABC−外接球的球心，

再根据13ASBCSOABSCOBOABVVVSCS−−−=+=计算可得.【详解】如图，设SC的中点为O，AB的中点为D，连接OA，OB，OD．因为4ASCBSC==，ACAS=，BCBS=，所以90SA

CSBC==，所以OAOBOCOS===．所以O为棱锥SABC−外接球的球心，设半径为R，又⊥ODAB，且10AB=，所以102ADDB==，252ODR=−，则211102522OABSABODR==−．又由SCOA

⊥，SCOB⊥且OAOBO=可证SC⊥平面OAB，所以2111510252323ASBCVRR−=−=，解得3R=．所以外接球的体积()343433V==．故选：B．【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了三棱锥的体积公式，考查了球的体积公式，解题关键是找到球心，属于基础题

.12.已知椭圆C的焦点为1(1,0)F−，2(1,0)F，过点2F的直线与椭圆C交于A，B两点．若222AFFB=，1ABBF=，则C的方程为（）A.2212xy+=B.22132xy+=C.22143xy+=D.22154xy+=【答案】B【

解析】【分析】先根据椭圆定义，得到2RtAFO和12BFF中的各个线段长度，再利用余弦定理和2cosAFO+21cos0BFF=即得3a=，从而得到椭圆方程.【详解】∵222AFFB=，∴23ABBF=，又1ABBF=，∴123BFBF=，又122BF

BFa+=，∴2BF2a=，∴2AFa=，132aBF=，∵122AFAFa+=，∴12AFAFa==，∴A在y轴上．在2RtAFO中，21cosAFOa=，在12BFF中，由余弦定理可得21cosBFF2234()()22222aaa+−=，根据2cosAFO+2

1cos0BFF=，可得21422aaa−+=0，解得23a=，∴3a=．222312bac=−=−=．椭圆C的方程为：2232xy+=1.故选：B．【点睛】本题考查了利用椭圆的定义、三角形中几何关系及余弦定理求解椭圆的方程，属于基础题.二、填空题（每小题5分

）13.若x，y满足约束条件220,10,10,xyxyy+−−−+则z=x+7y的最大值为______________.【答案】1【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其

最大值.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数7zxy=+即：1177yxz=−+，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值

，联立直线方程：22010xyxy+−=−−=，可得点A的坐标为：()1,0A，据此可知目标函数的最大值为：max1701z=+=.故答案为：1．【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，

z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.14.在ABC中，60A=，3a=，则sinsinsinabcABC++=++________【答案】23【解析】【分析】由题意结合正弦定

理可得323sinsinsinsin60bcaBCA====，即可得解.【详解】60A=，3a=，323sinsinsinsin60bcaBCA====，()23si2nsinsinsinsinsinsinsinsi3nABCabcABCABC++++

==++++.故答案为：23.【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.15.已知椭圆()222:1024xyCbb+=的左、右焦点分别为1F、2F，P为椭圆上一点，13PF=，123FPF=，则b=______．

【答案】32【解析】【分析】作出图形，利用椭圆的定义可求得2PF，利用余弦定理可求得c的值，进而可求得b的值.【详解】根据椭圆的定义：2231PFa=−=，在焦点12PFF△中，由余弦定理可得：222212121242cos73cFFPFPFPFPF==+−=，2

74c=，则22279444bac=−=−=，所以，32b=.故答案为：32.【点睛】本题考查利用椭圆的定义和余弦定理求椭圆方程中的参数，考查计算能力，属于中等题.16.如图，在四棱锥PABCD−中，四边形ABCD为菱形，且2

,60,ABDABPAD==是等边三角形，6,PBQ=点是侧面PBC内的一个动点，且满足DQAC⊥，则Q点所形成的轨迹长度是_______.【答案】273【解析】【分析】根据题意，Q点在一个过BD，且与直线AC垂直的平面内，且Q点的轨迹是该平面内与平面PBC的

交线段的长度.据此进行求解.【详解】根据题意，连接AC，BD，记其交点为O，取PC上一点为M，连接MB，MD，作图如下：若满足题意DQAC⊥，又ACBD⊥，故AC⊥平面DBQ，则点Q只要在平面DBQ与平面PBC的交线上即可.

假设如图所示：平面DBM与平面DBQ是同一个平面，则Q点的轨迹就是线段BM.根据假设，此时直线AC⊥平面DBM，则ACMO⊥.故三角形MOC为直角三角形.因为三角形PAD是等边三角形，三角形BAD也是等边三角形，故ADPB⊥，又因为BC//AD，故BC⊥PB，故三角

形PBC为直角三角形，故2210PCPBBC=+=故在三角形PAC中，2,23,10PAACPC===由余弦定理可得：101243302021023cosPCA+−==故在直角三角形MOC中，2103

OCMCcosPCA==在直角三角形PBC中，BCcosPCBPC==210510=在三角形BCM中：2222829BMBCCMBCCMcosPCB=+−=故可得：273BM=.故答案为273.【点睛】本题综合考查立体几何知识，其中的难点在于如何找到动点的轨迹；本题中利用作直

线的垂面找到了动点的轨迹，这是常考的知识点.本题属立体几何综合性难题.三、解答题17.已知等差数列{an}的前n项的和记为Sn．如果4-12a=，8-4a=．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求Sn的最小值及其相应的n的值；【答案】

(1)an=2n-20;(2)n=9或n=10时，Sn取得最小值-90.【解析】【分析】（1）可设等差数列{an}的公差为d，由a4=-12，a8=-4，可解得其首项与公差，从而可求得数列{an}的通项公式；（2）由（1）可得数列{an}的通项

公式an=2n-20，可得：数列{an}的前9项均为负值，第10项为0，从第11项开始全为正数，即可求得答案.【详解】（1）设公差为d，由题意可得11312{74adad+=−+=−，解得118{2a

d=−=，故可得an=a1+（n-1）d=2n-20（2）由（1）可知数列{an}的通项公式an=2n-20，令an=2n-20≥0，解得n≥10，故数列{an}的前9项均为负值，第10项为0，从第11项开始

全为正数，故当n=9或n=10时，Sn取得最小值，故S9=S10=10a1+1092d=-180+90=-90.18.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知4a=，ABC的面积为23.（1）若3A=，求ABC的周长；（2）求sinsinBC的最大值.【答案】（

1）4210+；（2）34.【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式求出bc的值，然后利用余弦定理求出bc+的值，由此可得出ABC的周长；（2）由正弦定理得出22sinsinsinbcABCa=，再利用三角形的面积公式结合4a=得出3sinsinsin4ABC=，进而可求得s

insinBC的最大值.【详解】（1）因为13sin2324ABCSbcAbc===△，所以8bc=，由余弦定理得222222cosabcbcAbcbc=+−=+−，所以()223bcabc+=+，又4a=，8bc=

，所以()240bc+=，即210bc+=，故ABC的周长为4210+；（2）由正弦定理得sinsinsinabcABC==，所以22sinsinsinbcABCa=，又1sin232ABCSbcA==，4a=，所以3sin3sinsin44ABC=.当sin1A=时，2A=，此时2

2216bca+==，43bc=，即23b=，2c=；或2b=，23c=.故2A=时，sinsinBC取得最大值34.【点睛】本题考查三角形周长的计算，同时也考查了正弦值之积最值的计算，涉及正弦定理、余弦定理

与三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.19.如图，在三棱锥PABC−中，PB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，2PBBC==．（1）证明：AC⊥平面PBC；（2）若二面角BPAC−−的余弦值为1010，线段PA的长．

【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法得出5AB=，再由勾股定理得出线段PA的长．【详解】（1）PB⊥平面

ABC，AC平面ABCPBAC⊥取PC的中点为D，连接BD,PBBCBDPC=⊥又平面PAC⊥平面PBC，平面PAC平面PBCPC=，BD平面PBCBD⊥平面PAC又AC平面PACBDAC⊥PBBDB=，,PBBD平面PBC

AC⊥平面PBC（2）设ACa=，由（1）知，AC⊥平面PBC，BC平面PBC，ACBC⊥如图，分别以,CACB所在直线为x轴，y轴，过点C作z轴，且平行于PB建立空间直角坐标系易得(0,0,0),(

,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,1,1)CAaBPD平面PAC的法向量为(0,1,1)DB=−设平面PAB的法向量为(,,),(0,0,2),(,2,0)mxyzBPBAa===−0,202,1,020,0mBPzmaxyamBA==

=−==2110cos,10421DBma==+解得21a=，即1a=从而得出5AB=，在RtPBA中，223PAPBBA=+=线段PA的长为3【点睛】本题主要考查了证明线面垂直以及由面面角求其他量，属于中档题.20.已知点()()1,0,1,0MN−

，设TMN的面积为S，内切圆半径为r，且3.Sr=（1）求点T的轨迹W的方程；（2）已知()()2,0,2,0BC−，点P是直线4x=上的动点，直线PB与曲线W的一个交点为E.直线PC与曲线W的一个交点为F，并且,,PEF都不在

坐标轴上.求证：直线EF经过定点.【答案】（1）22143xy+=；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）根据3Sr=可以推得T点的约束条件，满足椭圆方程的定义，即可求解.（2）设出直线PB和PC的方程，求得E、F两点的坐标，得到EF的直线方程，从而可以证明直线恒过的定

点.【详解】（1）设TMN的周长为l，则由3Sr=，得132lrr=，即6l=所以4TMTN+=，即T在以,MN为焦点，以4为长轴长的椭圆上.设该椭圆方程为()222210xyabab+=则222,13aba==−=.所以点T的

轨迹W的方程为22143xy+=.（2）证明：设()()()11224,,,,,PtExyFxy则直线PB的方程为()26tyx=+()()2222221432744108026xytxtxttyx+=+++−==+，

221122410854222727ttxxtt−−−==++()211225421822662727ttttyxtt−=+=+=++，即22254218,2727ttEtt−++直线PC的方程为()22tyx=−(

)()22222214334412022xytxtxttyx+=+−+−==−，22222241226233ttxxtt−−==++()22222266222233ttttyxtt−−

=−=−=++，即222266,33ttFtt−−++设直线EF与x轴交点为(),0Km，则,KEKF共线.又KE=22254218,2727ttmtt−−++222266,33tKFmtt−=−−++则22

222261835427272623ttmttttttm−−=+−−−+++化简得1.m=所以直线EF经过定点()1,0【点睛】本题考查用定义法求椭圆方程，以及证明直线横过定点

的问题，属椭圆中的中档题.