【文档说明】湖南省长沙市六校2025届高三上学期八月开学联合检测数学试题（解析版）.docx，共(19)页，972.478 KB，由管理员店铺上传

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湖南省长沙市2025届高三八月开学六校联合检测数学试题（含答案）满分150分，考试用时120分钟注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔

把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试

卷和答题卡一并上交．一、单选题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合2,1,0,1,2M=−−，202xNxx+=−，MN=（）A.2,1,0,1−−B.0

,1,2C.2−D2,2−【答案】C【解析】【分析】解分式不等式化简集合N，再利用交集的定义求解即得.【详解】解不等式202+−xx，得(2)(2)0(2)0xxx+−−，解得2x−或2x，则{|2Nxx=−或2}x，而2,1,0,1,2M=−−，所以2MN=

−.故选：C2.若复数z满足1iiz−=，则z=（）.A.1B.2C.2D.5【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算化简，即可由模长公式求解.【详解】由1iiz−=得()()()1ii1i1iiiiz−−−=

==−−−，所以2z=，故选：B3.已知()()()1,1,2,1,3,abcx===，若()3//abc−，则x等于（）A.6B.5C.4D.3【答案】A【解析】【分析】由向量线性运算坐标表示以及向量共线可列方程求解.【详解】因为(

)()()1,1,2,1,3,abcx===，所以()31,2ab−=，又因为()3//abc−，所以60x−=，解得6x=.故选：A.4.已知π3π44，π4sin45−=，co

s=（）A.210B.210−C.7210D.7210−【答案】B【解析】【分析】根据已知角的范围，利用同角三角函数的基本关系求出2ππ3cos1sin445−=−−=，再利用和角的余弦公式进行求解.

【详解】因为π3π44，所以ππ042−，又π4sin45−=，所以2ππ3cos1sin445−=−−=，所以ππππππ2342coscoscoscossinsin4

4444425510=−+=−−−=−=−，故A，C，D错误.故选：B.的5.已知圆锥的母线为5，侧面展开所成扇形的圆心角为25π5，则此圆锥体积为（）A.π3B.2π3

C.πD.4π3【答案】B【解析】【分析】先依次求出圆锥的半径、高，然后结合圆锥的体积公式求解即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为r，则252πππ552r==，解得1r=，圆锥的高为512−=，则此圆锥体积为212ππ1233V==.故选：B.6.已知函数(3)3,1,()l

og,1aaxxfxxx−−=在R上单调递增，则实数a的取值范围为（）A.13aB.36aC.36aD.01a【答案】C【解析】【详解】由于函数在R上递增，故需满足()301313log1aaaa−−

−，解得36a.【点睛】本题主要考查函数的单调性，考查分段函数在R上单调问题的处理方法.要一个分段函数在R上单调递增，则首先需要它在每一段上面是单调递增的，其次需要它在两段之间过度的位置也要是单调递增的.如本题中1x=时，第一段函

数值要不大于第二段函数值.7.将函数()π2sin212gxx=+的图象向左平移π12个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()hx的图象，若()fx与()hx的图象关于x轴对称，则()fx的一个单调递增区

间为（）A.π3π,44−B.3ππ,44−C.π5π,44D.3π7π,44【答案】C【解析】【分析】根据函数图象的平移和伸缩变换可得()π2sin4hxx=+，进而可得()fx，利用整体法求解单调性即可求解.【详解】由题意可得()ππ

π2sin2sin6124hxxx=++=+，由于()fx与()hx的图象关于x轴对称，所以()()π2sin4fxhxx=−=−+，令ππ3π2π2π,Z242kxkk+++，解得π5π2π2π,Z44kxkk++，取0k=，则π5π4

4x，故选：C8.已知函数()fx的定义域为R，且满足()()()22,(1)2fxfyfxyxyf+=+−+=，则下列结论正确的是（）A.(4)12f=B.方程()fxx=有解C.12fx+是偶函数D.1

2fx−是偶函数【答案】C【解析】【分析】由已知利用赋值法与等差数列的求和公式，结合函数的奇偶性及方程解的存在条件检验各选项即可判断.【详解】对于A，因为函数()fx的定义域为R，且满足()()(

)22,(1)2fxfyfxyxyf+=+−+=，取1xy==，得(1)(1)(2)22fff+=−+，则(2)4f=，取2xy==，得(2)(2)(4)82fff+=−+，则(4)14f=，故A错误；对于B，取1y=，得()(1)(1)22fxffxx+=+−+，则(1

)()2fxfxx+−=，所以()(1)2(1),(1)(2)fxfxxfxfx−−=−−−−=2(2),,(2)(1)2xff−−=，以上各式相加得22(1)2(1)()(1)2xxfxfxx−+−−==−，所以()()22Zfxx

xx=−+，令2()2fxxxx=−+=，得2220xx+=−，此方程无解，故B错误.对于CD，由B知2()2fxxx=−+，所以22111722224fxxxx+=+−++=+是偶函数，21112222fx

xx−=−−−+=21124xx−+不是偶函数，故C正确，D错误.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用赋值法得到(1)()2fxfxx+−=，再利用等差数列数列的求和公式得到

2()2fxxx=−+，从而得解.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若随机变量X服从标准正态分布，()0

.3PXa=，则（）A.0aB.0aC.()0.6PXa=D.()0.6PXa=【答案】AD【解析】【分析】由正态分布的对称性即可得出答案.【详解】对于A，B,因为()()0.300.5PXaPX==，所以0a，A正确，B错误对于C,D由对称性有()()2

0.6PXaPXa==，所以()10.60.4PXa=−=，C错误，D正确,,故选：AD.10.已知函数3()1fxxx=++，则（）A.()fx有两个极值点B.()fx有一个零点C.点(0,1)

是曲线()yfx=的对称中心D.直线2yx=是曲线()yfx=的切线【答案】BC【解析】【分析】利用导数y与零点存在性定理求解三次函数的极值点，零点，对称中心，切线问题.【详解】选项A：2()31,fxx=+则()0fx恒

成立，故()fx单调递增，故()fx不存在两个极值点，故选项A错误.选项B:(1)10,(1)30,ff−=−=又()fx单调递增，故()fx有一个零点，故选项B正确，选项C：()()2,fxfx−+=(0)1,f=故点(0,1)是曲线(

)yfx=的对称中心，故选项C正确，选项D：令312xxx++=，即310xx−+=，令()()321,31gxxxgxx=−+=−，则令()2312fxx+==，则3,3x=当3,3x=343()

1,39f=+则当切线斜率为2切点为343(,1)39+则切线方程为：43312(),93yx−+=−与2yx=不相等，当33x=−时同样切线方程不为2yx=，故选项D错误.故选：BC

.11.“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C．半圆1C的方程为()2290xyy+=，半椭圆2C的方程为221(0)916xyy+=．则下列说法正确的是（）A.点A在半圆1

C上，点B在半椭圆2C上，O为坐标原点，OA⊥OB，则△OAB面积的最大值为6B.曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7C.若()()0,7,0,7AB−，P是半椭圆2C上的一个动点，则cos∠APB的最小值为19D.画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发

现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆2C扩充为整个椭圆C：()22144916xyy+=−后，椭圆C的蒙日圆方程为2225xy+=【答案】ABD

【解析】【分析】选项A，易得3OA=，4OB，从而判断；选项B根据椭圆的性质解决椭圆中两点间距离问题；选项C由椭圆定义可得到|PA|、|PB|之和为定值，由基本不等式可以得到PA、|PB|乘积的最大值，结合余弦定理即可求出cos∠A

PB的最小值；选项D中分析蒙日圆的关键信息，圆心是原点，找两条特殊的切线，切线交点在圆上，求得圆半径得圆方程．【详解】解：对于A，因为点A在半圆1C上，点B在半椭圆2C上，O为坐标原点，OA⊥OB，则3OA=，4OB，则13

622AOBSOAOBOB==，当B位于椭圆的下顶点时取等号，所以△OAB面积的最大值为6，故A正确；对于B，半圆1C上的点到O点的距离都是3，半椭圆2C上的点到O点的距离的最小值为3，最大值为4，所以曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7，故

B正确；对于C，()()0,7,0,7AB−是椭圆221916xy+=的两个焦点，在△PAB中，27AB=，由余弦定理知：22222||||()2cos22PAPBABPAPBABPAPBAPBPAPBPAPB+−+−−==()2282821818111284PAPBP

APBPAPBPAPB−−==−−=+，当且仅当PAPB=时取等号，所以cos∠APB的最小值为18，故C错误；对于D，由题意知：蒙日圆的圆心O坐标为原点(0，0)，在椭圆C：221(44)916xyy+=−

中取两条切线：3x=和4y=，它们交点为()3,4，该点在蒙日圆上，半径为22345+=此时蒙日圆方程为：2225xy+=，故D正确．故选：ABD．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.双曲线()222210,0xyab

ab−=的渐近线方程为2yx=，则双曲线的离心率为________．【答案】3【解析】【分析】根据根据渐近线方程求出ba，再根据离心率公式即可得解.【详解】因为双曲线()222210,0xyabab−=的渐近线方程为2yx=，所以2ba=，所以双曲线的离心率2213bea=+=

.故答案为：3.13.函数()2lnfxx=+与函数()exgx=公切线的斜率为__________.【答案】1或e【解析】【分析】设出两曲线的切点坐标，利用导数的几何意义以及利用两点间的斜率公式构造方程即可求得斜率.【详解】不妨设公切线与

函数()2lnfxx=+的切点为()11,xy，与函数()exgx=的切点为()22,xy；易知()1fxx=，()exgx=，因此公切线斜率为211exx=，因此21e1xx=，可得()21lne0xx=，即12ln0xx+=又易知221121211eln2

1xyyxxxxxx−−−==−−，整理可得2111121eln2xxxxxxx−−=−，即11111lnlnxxxx−−=−，即()()111ln10xx+−=，解得11ex=或11x=；因此可得斜率为11

1x=或11ex=.故答案为：1或e14.已知三个正整数和为8，用X表示这三个数中最小的数，则X的期望EX=__________.【答案】97【解析】【分析】利用组合的知识与隔板法，分类讨论求得1X=与2X=对应的概率，从

而利用数学期望的计算公式即可求解.【详解】设这三个正整数分别为,,xyz，则题意可得()*8,,xyzxyz++=N，所以随机变量X可能取值为1和2，用隔板法可求得：事件总情况为27C种，当1X=时，分两种情况：①三个数中只有一个1，

有1134CC种；②三个数中有两个1，有23C种，所以1X=时，112343127CCC5C7P+==；当2X=时，也分两种情况：①三个数中只有一个2，有13C种；②三个数中有两个2，有23C种，所以2X=

时，1233227CC2C7P+==，所以52912777EX=+=.故答案为：97的【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于利用隔板法求得事件总情况为27C种，再分类讨论1X=与2X=对应的概率，从而得解.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出

必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知△ABC中，,,abc分别为内角,,ABC的对边，且()()2sin2sin2sinaAbcBcbC=+++.（1）求角A的大小；（2）设点D为BC上一点，AD是ABC的角平分线，且2AD=，3b=，求A

BC的面积.【答案】（1）2π3（2）932【解析】【分析】（1）由正弦定理实行角化边，然后利用余弦定理即可得到答案（2）先利用三角形的面积关系ABCABDCADSSS=+解出c，再根据三角形面积公式计算答案即可【

小问1详解】在△ABC中，由正弦定理及()()2sin2sin2sinaAbcBcbC=+++得：222abbcc−−=，..由余弦定理得2221cos22bcaAbc+−==−，又0πA，所以2π3A=【小问2详解】AD是ABC的角平分线，π3BA

DDAC==，由ABCABDCADSSS=+可得12π1π1πsinsinsin232323bccADbAD=+因为3b=，2AD=，即有326cc=+，6c=，故11393sin362222ABCSbcA===16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形

，PA⊥底面ABCD，2PAAB==，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．（1）证明：平面AEF⊥平面PBC；（2）若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为255，求点P到平面AEF的距离．【答案】（1）证明见解析（2）63．【解析】【分析】

(1)利用面面垂直的判定定理或利用平面的法向量数量积等于零证明；(2)利用坐标运算求点到平面的距离，或者用等体积法的思想求解.【小问1详解】方法一：因为PA⊥底面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC⊥．因为ABCD为正方形，所以ABBC⊥，又因为PAABA=，PA平面PAB

，AB平面PAB，所以BC⊥平面PAB．因为AE平面PAB，所以AEBC⊥．因为PAAB=，E为线段PB的中点，所以AEPB⊥，又因为PBBCB=，PB平面PBC，BC平面PBC，所以⊥AE平面PBC．又因为AE平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC．方法二：因为PA⊥底面AB

CD，PA平面PAB，所以平面PAB⊥底面ABCD又平面PAB底面ABCDAB=，BCAB⊥，BC平面ABCD，所以BC⊥平面PAB．因为AE平面PAB，所以AEBC⊥．因为PAAB=，E为线段PB的中点，所以AEP

B⊥．因为PBBCB=，PB平面PBC，BC平面PBC，所以⊥AE平面PBC，又因为AE平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC解法三：因为PA⊥底面ABCD，ABAD⊥，以A为坐标原点，以,,ABADAP的方向分别为x轴，y轴，z轴

的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2,1,0,1ABCDPE，设([0,2])BFtt=，则()2,,0Ft，所以(1,0,1)AE=，(2,,0)AFt=，(2,0,2)PB=−，(0,2

,0)BC=，设()111,,nxyz=为平面AEF的法向量，则0,0,nAEnAF==所以11110,20,xzxty+=+=取12y=，则1xt=−，1zt=，则(,2,)ntt=−，设

()222,,mxyz=为平面PBC的法向量，则0,0,mPBmBC==所以222220,20,xzy−==取21x=，则20y=，21z=，则(1,0,1)m=因为00nmtt=−++=，所以nm

⊥,所以平面AEF⊥平面PBC.【小问2详解】（基于（1）解法一、二）因为PA⊥底面ABCD，ABAD⊥，以A为坐标原点，以,,ABADAP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则()()()()0,

0,0,2,0,0,0,0,2,1,0,1ABPE，易知(0,1,0)u=是平面PAB的法向量设([0,2])BFtt=，则()2,,0Ft，所以(1,0,1)AE=，(2,,0)AFt=，所以2||25|cos,|15||||

AFuAFuAFu==−即2554tt=+，得1t=，所以(2,1,0)AF=，设()111,,nxyz=为平面AEF的法向量，则0,0,nAEnAF==所以平面AEF的法向量(1,2,1)n=−，又因为(0,0,2)AP=所以点P到平面AE

F的距离为||||APndn=，2636==所以点P到平面AEF的距离为63．（另解）由（1）可知，BAF是直线AF与平面PAB所成的角，所以2225cos5ABABBAFAFABBF===+解得1122BFABBC==，故F是BC中点．所以225AFABBF=+

=，122AEPB==，223EFAFAE=−=AEF△的面积为1622AEFSAEEF==因为2PAAB==，PAE△的面积为11124PAEPABSSPAAB===设点P到平面AEF的距离为h，则有16

113633PAEFAEFFPAEPAEVShhVSBF−−=====解得63h=所以点P到平面AEF的距离为63．（基于（1）解法三）易知(0,1,0)u=是平面PAB的法向量所以2||25|cos,|15|||

|AFuAFuAFu==−，的即2554tt=+，解得1t=所以(1,2,1)n=−，又因为(0,0,2)AP=所以点P到平面AEF的距离为||||APndn=，2636==所以点P到平面AEF的距离为63

．17.已知1l，2l是过点()0,2的两条互相垂直的直线，且1l与椭圆22:14xy+=相交于A，B两点，2l与椭圆相交于C，D两点．（1）求直线1l的斜率k的取值范围；（2）若线段AB，CD的中点分别为M，N，证

明直线MN经过一个定点，并求出此定点的坐标．【答案】（1）23323,,33223−−；（2）证明见解析；定点20,5.【解析】【分析】（1）根据直线1l，2l均与椭圆相交，联立方程利用求解；（2）利用韦达定理分别求M，N的坐标，进而求出

直线MN的方程判断定点．【小问1详解】根据题意直线1l，2l的斜率均存在且不为0直线1l，2l分别为2ykx=+，12yxk=−+，联立22214ykxxy=++=得()224116120kxkx+++=，由()()2216412410kk=−+得243k，则32k−或3

2k，同理2143k−，则223333k−，所以k的取值范围为23323,,33223−−．【小问2详解】设()11,Axy，()22,Bxy，由（1）得()224116120kkx+++=，所以1221641kxxk+=−+，则1

228241Mxxkxk+==−+，所以22282224141MMkykxkk=+=−+=++，则2282,4141kMkk−++，同理22282,44kkNkk++，则直线MN的方程为22222222228441884141441kkkkyxkkkkkk−

++−=++++++，化简整理得21255kyxk−=+因此直线MN经过一个定点20,5．18.已知函数()21e12xfxaxx=−−−.（1）讨论()fx的导函数()fx的单调性；（2）若对任意()0,0xfx恒成立，求

a的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）(,1−【解析】【分析】（1）先求出()fx的导函数()fx，然后利用导数分类讨论分析函数()fx的单调性即可；（2）对任意()0,0xfx恒成立，求参数的取值范围问题，转化为利用导数分类讨论求解函数()fx的.最小值，判断最小值是否大

于零即可.【小问1详解】由题可知()e1xfxax=−−.设()()gxfx=，则()exgxa=−.①当0a时，()e0xgxa=−在R上恒成立，所以()()gxfx=在(),−+上单调递增.②当0a时，令()0gx，得lnxa，令()0gx，得lnxa

，所以()()gxfx=在(),lna−上单调递减，在()ln,a+上单调递增.综上所述，当0a时，()yfx=是(),−+上的增函数，当0a时，()yfx=在(),lna−上是减函数，在()ln,a+上是增函数.【小问2详解】①当0a时，()

fx在()0,+上单调递增，()00f=，则()()0,fxfx在()0,+上单调递增，故()()00fxf=成立；②当01a时，ln0a，所以()fx在()0,+上单调递增，()00

f=，则()()0,fxfx单调递增，故()()00fxf=成立；③当1a时，当0lnxa时，()()e0,xgxafx=−在()0,lna上单调递减，又()00f=，所以()()0,fxfx在()0,lna上单调递减，则()()00fxf=不成立

.综上，a的取值范围为(,1−.19.某企业的设备控制系统由()*21Nkk−个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为()01pp，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为kp（例如：2p

表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；3p表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．（1）若2k=，且每个元件正常工作的概率23p=．①求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和期望；②在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作

的概率．（2）请用kp表示1kp+，并探究：在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，能否通过增加控制系统中元件的个数来提高设备正常运行的概率．【答案】（1）①分布列见解析，()2EX=；②2.5（2）详见解析.【解析】【分析】（1）①由题意可知23,3XB，利用二项分布可得

分布列进而可求得期望，②根据条件概率的公式求解在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率；（2）分类讨论求出1kp+与kp的关系，做差比较大小即可得出结论.【小问1详解】①因为2k=，所以控制系统中正常工作的元件个数X的可能取值为0，1，2，3；因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率

均为23p=，所以23,3XB，所以()03032110C3327PX===，()12132121C339PX===()21232142C339PX===，

()30332183C3327PX===，所以控制系统中正常工作的元件个数X的分布列为X0123P1272949827控制系统中正常工作的元件个数X的数学期望为()2323EX==，②设“设备正常运行”为事件,A“所有元件都正常工作”为事件,B则在设备正常

运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率为(|)PBA，8()227()=.48()5+927PABPBAPA==【小问2详解】因控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，则设备正常运行有三种情况，第一类：原系统中至少有1k+个元件正常工作，其概率为()()

1211C1kkkkkpppp−−=−−；第二类：原系统中恰好有k个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，其概率为()()()()()121121212C111C12kkkkkkkkppppppp−−+−−=−−−=

−−；第三类：原系统中有1k−个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，其概率为()()()1121121213C1C1kkkkkkkkpppppp−−−+−−=−=−；所以()()()()111111212121C1C12C1kkkkkkkkkk

kkkkppppppppp−−+−++−−−=−−+−−+−()()21C121kkkkkpppp−=+−−，即()()121C121kkkkkkppppp+−=+−−；则()()121C121kkkkkkppppp+−−=−−，所以，当12p时，10kkpp

+−，即增加元件个数能提高设备正常工作的概率，为