【文档说明】重庆市铜梁一中2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，914.979 KB，由小赞的店铺上传

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高三10月月考数学试题第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2{1,2,3,4,},60ABxxx==−−∣，则AB=（）A.{2}B

.{1,2}C.{2,3}D.{1,2,3}【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式得集合B，再由交集定义求解．【详解】260{23}Bxxxxx=−−=−∣∣，∴{1,2}AB=．故选：B．【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握一元二次不等式的解法是解题

关键．本题属于基础题．2.若为第二象限角，则（）A.sin20B.cos20C.sincos0−D.sincos0+【答案】C【解析】【分析】根据角的范围可取特殊值验证选项ABD错误，再由第二象限正弦、余弦值的符号可得C正确.【详解】若为第二象限角，当7π8=时，可得7

π24=在第四象限，此时sin20，cos20，即A错误，B错误；当3π4=时，可得22sincos022+=+−=，即D错误；由为第二象限角可得sin0,cos0，所以sincos0

−，即C正确.故选：C3.下列命题为真命题的是（）A.命题“21,230xxx++=”的否定是“21,230xxx++”B.若ab，则22acbcC.()1fxx=的单调减区间为()(),00−+D.220xx+−是1x的必要不充分条件【答案】D【解析】【

分析】利用存在量词命题的否定判断A；举例说明判断B；求出函数的单调区间判断C；利用充分条件、必要条件的定义判断D.【详解】对于A，命题“21,230xxx++=”的否定是“21,230xxx++”，A错误；对于B，ab，当0c=时，22acbc=，B错误；对于C，函数

1()fxx=的单调减区间为(,0),(0)−+，C错误；对于D，220xx+−2x−或1x，因此220xx+−是1x的必要不充分条件，D正确.故选：D4.英国著名数学家布鲁克·泰勒（TaylorBrook）以微积分学中将函数

展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：357sin3!5!7!xxxxx=−+−+，其中!123nn=．根据该展开式可知，与35722223!5!7!−+−+的值最接近的是（）A.sin2B.s

in24.6C.cos24.6D.cos65.4【答案】C【解析】【分析】观察题目将其转化为三角函数值，再将弧度制与角度制互化，结合诱导公式判断即可.【详解】原式()()sin2sin257.3sin9024.6cos24.6==+=，故选：C.5

.已知函数()()lnafxxax=+R的最小值为1，则a=（）A.1eB.eC.12D.1【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，分类讨论，从而求出()fx的单调区间，即可求解函数的最值求解.【详解】函数()fx的定义域为(0,)+，221()axafxxxx−=−=，当0a时

，()0fx在(0,)+内恒成立，所以函数()fx在(0,)+内为增函数,此时()fx无最小值，当0a时，由()0fx，得xa，由()0fx得0xa函数()fx在(0,)a内为减函数，在(,)a+内为增函数，故当

xa=时，()fx取最小值，即()()minln11fxfaa==+=，故1a=，故选：D6.已知函数()sin()0,0,22fxAxA=+−的部分图像如图所示，若1()3f=，则523f+=（）A

.29−B.29C.79−D.79【答案】D【解析】【分析】先由图像以及题意求出()fx的解析式，从而得()1πsin23f=+，5π1ππ2sin23232f+=++

，进而依据它们的角的关系结合三角恒等变换公式即可求解.【详解】由图可知()31,0sin2Af===，由ππ22−可知π3=，故()sin()3fxx=+，又由图4sin()033+=，故由图42,Z33kk+=+，31,Z2

2kk=+①，由图4π032T−<，2π8π343T=><②，又0，结合①②可得12=，故1()sin()23fxx=+，所以()1π1sin233f=+=.故5π1ππ1π2sin2cos2323223f+=++=+

21π2712sin12399=−+=−=.故选：D.7.已知函数()yfx=和()ygx=的定义域及值域均为,aa−()0a，它们的图像如图所示，则函数()()yfgx=的零点的个数为（）A.2B.3C.5D.6【答

案】D【解析】【分析】根据函数的零点，再结合图形即可求解.【详解】由题意，知函数()()yfgx=的零点，即方程()()0fgx=根.令()gxt=，,taa−，则()()()0fgxft==.当,0ta−时，满足方程()0ft=的t有2个，此时()gxt=有4个不同的实数根；当(

0,ta时，满足方程()0ft=的t有1个，此时()gxt=有2个不同的实数根.综上可知方程()()0fgx=共有6个实数根，即函数()()yfgx=共有6个零点.故选：D8.已知函数cos()xfxx=，若A，B是锐角ABCV的两

个内角，则下列结论一定正确的是（）A.(sin)(sin)fAfBB.(cos)(cos)fAfBC.(sin)(cos)fAfBD.(cos)(sin)fAfB【答案】D【解析】【分析】由已知可得ππ022AB−，根据余弦函数的单调性，得出cossi

nAB，由()fx的单调性即可判断选项.【详解】因为cos()xfxx=，所以2sincos()xxxfxx−−=，当π0,2x时，sin0,cos0xx，所以2sincos0xxxx−−，即(

)0fx，所以()fx在π0,2上单调递减.因为A，B是锐角ABCV的两个内角，所以π2AB+，则ππ022AB−，因为cosyx=在π0,2上单调递减，所以ππ0coscossin122AB

B−=，故(cos)(sin)fAfB，故D正确.同理可得(cos)(sin)fBfA，C错误；而,AB的大小不确定，故sinA与sinB，cosA与cosB的大小关系均不确定，所以(sin)fA与(sin

)fB，(cos)fA与(cos)fB的大小关系也均不确定，AB不能判断.故选：D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.若0ab，则下列各式中，一定成立的是

（）A.()lglglgabab=+B.lglglgaabb=C.21lglg2aabb=D.()()261lglg3abab=【答案】CD【解析】【分析】根据对数的运算性质可一一判断各项.【详解】对于A：当0a，0b时，

等式右边无意义，A错；对于B：当0a，0b时，等式右边无意义，B错；对于C：0ab，21lglg2aabb=，C正确；对于D：0ab，()()()12631lglglg3ababab==，D正确.故选：CD．10.对

于函数()fx定义域中任意的()1212,xxxx，有如下结论，①()()()()12120xxfxfx−−，②()()11220fxfx−+−=，③()()121222fxfxxxf++，④()()112220fxfx++=.下列函数能同时满足

以上两个结论的有（）A.𝑓(𝑥)=ln𝑥B.()πsin2fxx=C.()exfx=D.()3fxx=【答案】BCD【解析】【分析】先对四个结论进行解读，得出函数的单调性，奇偶性，周期

性和凹凸性，对选项一一判断，即得结果.【详解】由①()()()()12120xxfxfx−−可得，函数()fx在定义域内增函数；由②()()11220fxfx−+−=可得，()()0fxfx+−=，即函数()fx为奇函数；由③()()121222fxfxxxf++

可得，函数()fx的图象向下凸.；由④()()112220fxfx++=可得，(2)()fxfx+=−，为即(4)(2)()fxfxfx+=−+=，说明函数()fx的周期为4.对于A，函数()lnfxx=不是奇函数，图象向上凸，也没有周期，故排除；对于

B,函数()πsin2fxx=是奇函数，且周期为2π4π2T==,故符合要求；对于C，函数()exfx=在R上单调递增，且其图象向下凸，故符合要求；对于D，()3fxx=是奇函数，且在R上单调递增，故符合要求.故选：BCD.11.已知函数π()sin33fxx

=+，下列说法正确的是（）A.()fx的最小正周期为2π3B.点π,06为()fx图象一个对称中心C.若()(R)fxaa=在ππ,189x−上有两个实数根，则312aD.若()fx的导函数为(

)fx，则函数()()yfxfx=+的最大值为10【答案】ACD【解析】【分析】对于A，直接由周期公式即可判断；对于B，直接代入检验即可；对于C，画出图形，通过数形结合即可判断；对于D，求得后结合辅助角公式即可得解.【详解】由题意可得2π3T=，故A正确；π5π1sin0

662f==，所以π,06不是()fx图象的一个对称中心，故B错误；令π33tx=+，由ππ189x−得π2π63t，根据题意可转化为直线ya=与曲线π()sin33fxx=+

，ππ,189x−有两个交点，的数形结合可得312a，故C正确；设𝑓′(𝑥)为()fx的导函数，则()()πππsin33cos310sin310333fxfxxxx+=+++=++，其中tan3=，当且仅当ππ32π,

Z32xkk++=+，即当且仅当π2π,Z3183kxk=−++时等号成立，故D正确，故选：ACD．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线()()1exfxx=+在点()()0

,0f处的切线方程为______.【答案】21yx=+【解析】【分析】直接计算得到()01f=，()02f=，然后使用切线的定义即可.【详解】由()()1exfxx=+，知()()()e1e2exxx

fxxx=++=+.所以()01f=，()02f=，故所求切线是经过点()0,1且斜率为2的直线，即21yx=+.故答案为：21yx=+.13.已知角的终边经过点(2,3)P−，则sin(π)cos(π)ππsin(

)cos()22−+−=++−________．【答案】5【解析】【分析】利用任意角三角函数的定义可得3tan2=−，再结合诱导公式及商数关系即可求解.【详解】由角终边经过点(2,3)P−可知：3tan2=−，的则sin(π)cos(π)sinc

ostan15ππcossin1tansin()cos()22−+−−−===++++−.故答案为：5.14.设函数21()eelg(2)xxfxx−=+−+，则使得不等式(21)(2)fxfx+−成立的x的取值范围是__________．【答案】13,

3−【解析】【分析】根据函数解析式，判断函数单调性以及奇偶性，利用函数性质再解不等式即可.【详解】令ee,0xxyx−=+，则yeexx−=−，当𝑥>0时，e1x，e1x−，故ee0xx−−，即0

y，故eexxy−=+在)0,+上单调递增；又()2lg2yx=+在)0,+上单调递增且函数值恒正，所以()21lg2yx=−+在)0,+上单调递增，故𝑦=𝑓(𝑥)在)0,+上单调递增；又()fx的定义域为R，且()fx−=()2211eeeelg2

lg2xxxxxx−−+−=+−+−+()fx=，故()fx为偶函数，故()()()()212212fxfxfxfx+−+−212xx+−，也即()()22212xx+−，整理可得：23830xx+−，即()()3130xx−+，解得13,3x−.故

答案为：13,3−.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.某公司生产甲、乙两种产品，在该公司的仓库中有甲产品7万件、乙产品3万件，按甲、乙产品的数量比例，用分层随机抽样的方法从这10万件产品中抽取一个容量为

10的样本，对样本中的每件产品进行质量检测，测得样本中甲产品的优质品率为47，乙产品的优质品率为23．（1）若从样本中再随机抽取3件进行深度测试，求至少抽到2件乙产品的概率；（2）若从样本中的甲产品和乙产品中各随机抽取2件，将抽到的这4件

产品中优质品的件数记为X，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）1160（2）()5221EX=，分布列见解析【解析】【分析】(1)根据分层抽样方法可知，甲产品具有7件，乙产品具有3件，从这个容量为10的样本中再随机抽

取3件，可得抽取的方法种类为310C，至少抽到2件乙产品的不同抽取方法种数为123733CCC+，求出概率；(2)由题意知在这个容量为10的样本中，甲产品中有4件优质品，有3件不是优质品，乙产品中有2件优质品，有1

件不是优质品，则X的所有可能取值为1,2,3,4,求出概率，写出分布列，计算期望.小问1详解】由分层随机抽样方法知，抽取的容量为10的样本中，甲产品有710710=件，乙产品有310310=件，从这个容量为10的样本中再随机抽取3件，不同抽取方法的种数为310C，其中至少抽到2件乙产品的不

同抽取方法种数为123733CCC+，至少抽到2件乙产品的概率为123733310CCC11C60+=．【小问2详解】由题意知在这个容量为10的样本中，甲产品中有7447=件优质品，有743−=件不是优质品，乙产品中有2323=件优质品，有321−=件不是优质

品，则X的所有可能取值为1，2，3，4．()2113122273CCC21CC21PX===，()2211113243122273CCCCCC32CC7PX+===，()1122114324122273CCCCCC83CC21PX+===，()22422273CC24CC21PX===，【X的分

布列为X1234P22137821221()2382521234217212121EX=+++=．16.设ABCV的内角ABC､､的对边分别为,,abc，已知()2sin23sin2CAB+=.（1）求角C的大小；（2）若3c=，且ABCV的面积为()223416ba+，求A

BCV的周长.【答案】（1）π3（2）33+【解析】【分析】（1）由二倍角的正弦公式和弦切互化结合特殊角的三角函数值化简可得；（2）由三角形的面积公式结合余弦定理计算可得.【小问1详解】由()2sinsin2

3sin2CABC+==，22sincos23sin222CCC=，又π0π,0,sin0222CCC，3πtan,2326CC==，得π3C=.【小问2详解】由已知可得，()2213sin4216SabCba==

+，可得222440,(2)0,2baabbaab+−=−==.又由余弦定理可得222π32cos3cbaab==+−，化简得，223baab+−=，联立解得1,2ba==，所以ABCV的周长为33+.17.如图，在四

棱锥PABCD−中，ADBC∥，ABAD⊥，2ABAD==，1BC=，PD⊥平面PAB．（1）求证：AB⊥平面PAD；（2）求PC的长；（3）若1PD=，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）5（3）41919【解析】【分析】（1）

根据PD⊥平面PAB，AB平面PAB，通过线面垂直的性质定理得到PDAB⊥，结合ABAD⊥，利用线面垂直的判定定理得到AB⊥平面PAD.（2）取AD中点O，连接PO，CO，在三角形PCO中利用勾股定理求解

.（3）以O为坐标原点，OC，OD为x，y轴的正方向，以过O且与平面ABCD垂直向上为z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出直线PA的方向向量PA和平面PCD的法向量n，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.【小问1详解】

由PD⊥平面PAB，AB平面PAB，得PDAB⊥，又ABAD⊥，且PD平面APD，AD平面APD，=PDADD，所以AB⊥平面APD.【小问2详解】取AD中点O，连接PO，CO，由∥BCAO，

且BCAO=，所以四边形ABCO为平行四边形，所以OCAB∥，由（1）AB⊥平面APD得OC⊥平面APD，由OP平面APD，所以OCPO⊥，由PD⊥平面PAB，AP平面PAB，得PDAP⊥，所以112OPAD==，又2==OCAB，所以225PCOPOC=+

=.【小问3详解】以O为坐标原点，OC，OD为x，y轴的正方向，以过O且与平面ABCD垂直向上为z轴的正方向建立空间直角坐标系．由1PD=，得POD为正三角形，所以130,,22P，又(

)0,1,0A−，()2,0,0C，()0,1,0D，所以()2,1,0CD=−，310,,22PD=−，设平面PCD的法向量(),,nxyz=，则00nCDnPD==，即2013022xyyz−+=−=，取2z=，得到平面PCD的一个法向量()3,23,2n=

．又330,,22PA=−−，设直线PA与平面PCD所成角的大小为，则43419sincos,19319nPAnPAnPA====，所以直线PA与平面PCD所成角的正弦值为41919．

18.已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为53，对称轴为坐标轴，且经过点222,3.（1）求椭圆E的方程；（2）若过()0,1P的直线交椭圆E于CD､两点，求CPDP的取值范围.【答案】（1）22194xy+=（2）1,33【

解析】【分析】（1）利用椭圆的性质，离心率定义，以及点在曲线上，建立方程求得,,abc，即可得解；（2）分斜率存在与不存在两类进行直线方程的处理，将CPDP转化为CD､两点的横坐标的比：1122CPxxDPxx==−，利用()2121212212xxxxxxxx+=++，结合韦达定理，求出12

xx的范围，从而得解.【小问1详解】依题意，可设椭圆E的方程为22221(0)xyabab+=.由53ca=得355ac=，又因为222abc=+，所以255bc=，则222219455xycc+=，因为椭圆经过点222,3，代入上述方程解

得25c=，则229,4ab==，所以椭圆E的方程为22194xy+=.【小问2详解】由（1）可知：()()0,2,0,2AB−，当斜率不存在时，若点C与A重合，D与B重合.此时13CPAPDPBP==.若点D与

A重合，B与C重合，则3CPBPDPAP==.当直线斜率存在时，设直线()()1122:1,,,,CDykxCxyDxy=+，联立得221,1,94ykxxy=++=消去y可得()224918270kxkx++−=，显然Δ0，则1212221827,4949kxxxxkk+=−=−++

，可得()2222122122181249274949kxxkkxxkk−++==−+−+，整理可得212222112442149349xxkxxkk++=−=−−++，因为2494k+，可得24441,03493k−−−+，令

12(0)xttx=，则41203tt−++，解得133t−−，即1213,3xx−−，所以11221,33CPxxDPxx==−.综上，CPDP的取值范围为1,3

3.19.已知函数()()()lnfxaxxaa=−+R．（1）当2a=时，求()fx的单调区间；（2）若()1fxaa−恒成立，求a的取值范围；（3）若数列na满足21121,1nnnaana+==+，记nS为数列

na的前n项和．证明：221nSn−．【答案】（1）()fx的单调递减区间为32,2−−，单调递增区间为3,2−+．（2）(0,1．（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负即可求解，（2）根据题意可得

()min1fxaa−，即可由导数结合分类讨论求解最值，进一步将问题转化为211ln0aaaa−+−+，构造函数()211lngaaaaa=−+−+，求导即可求解最值求解，（3）根据（2）的求解可得不等式ln1xx−和1ln1tt−，即可根据2111lnlnnnaan+=+，

得1212nnaan++−，由累加法以及裂项求和即可求证.【小问1详解】当2a=时，()()()2ln22fxxxx=−+−，()123222xfxxx+=−=++故当()()32,,0,2xfxfx−−单调递减；当

()()3,,0,2xfxfx−+单调递增．综上，()fx的单调递减区间为32,2−−，单调递增区间为3,2−+．【小问2详解】由题意，0a．()()211axafxaxaxaxa+−=−=−++．①当a<0时，()fx在(),a−+单

调递减，由(),xfx→+→−，不合题意；②当0a时，()fx在1,aaa−−单调递减，1,aa−+单调递增．由()1fxaa−恒成立，得()min1fxaa−．()2

2min1111ln1lnfxfaaaaaaaaaa=−=−−−+=−+−．即211ln0aaaa−+−+．令()211lngaaaaa=−+−+，()()3232222211121210aaaaaagaaaaaa−−−+−+−−=−+−−==

恒成立，所以()ga()0,+单调递减，且()10g=．故当(()0,1,0aga，符合题意，当()()1,,0aga+，不合题意．综上，a的取值范围为(0,1．【小问3详解】由21121,1nnnaana+==+，得212a=，且0na．由（2）可知

，令1a=，有()ln1xx+可得ln1xx−，令1xt=可得11ln1tt−即1ln1tt−．由2121nnnana+=+得1211nnaan+=+即2111nnaan+=+．两边取对数得2111ln

lnnnaan+=+，由上述不等式得122111111ln11,ln1,1nnnnnaaaanna+++−=−++−于是12111nnaan+−+−，所以1212nnaan++−．在当1n=时，212312112

Saa=+==−，不等式成立；当2n时，21234212nnnSaaaaaa−=++++++()222311122223521n+−+−++−−()()22231112123521nn=+−−+++−()()11112213352321nnn−−+++

−−111111121223352321nnn=−−−+−++−−−()12121221nnn=−+−−．即当2n时，不等式成立．综上，221nSn−得证．【点睛】方法点睛：利用导数证明

或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构

造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.