【文档说明】北京市第十四中学2024-2025学年高二上学期期中检测数学试卷 Word版含解析.docx，共(19)页，1.224 MB，由小赞的店铺上传

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北京十四中2024-2025学年度第一学期期中检测高二数学测试卷2024.11第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线10xy++=的

倾斜角为（）A.30oB.45C.135D.150【答案】C【解析】【分析】根据直线斜率定义以及斜率和倾斜角的关系即可求出答案.【详解】由直线10xy++=，可得直线的斜率为1k=−，设直线10xy++=的倾斜角为

，则tan1=−，又因为0180，则135=.故选：C．2.已知圆的一条直径的端点分别是()1,0A−，()3,4B−，则该圆的方程为（）A.()()22128xy++−=B.()()22128xy−++=C.()()221232xy++−=D.()()221232

xy−++=【答案】B【解析】【分析】利用中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出半径，即可得到圆的方程．【详解】解：由题意可知，()1,0A−，()3,4B−的中点为()1,2−，又圆的半径为2211(13)(04)2222rAB==−−++=，故圆的方程为()()22128xy

−++=．故选：B．3.椭圆223412xy+=的焦点坐标为（）A.()1,0−，()1,0B.()7,0−，()7,0C.()0,1−，()0,1D.()0,7−，()0,7【答案】A【解析】【分析】把椭圆方程化成标准方

程，确定,ab的值，求出c的值，可得焦点坐标.【详解】由223412xy+=22143xy+=，所以2a=，3b=，且焦点在x轴上.所以22431cab=−=−=.所以焦点坐标为()1,0−，()1,0.故

选：A4.已知三点A（−1，0，1），B（2，4，3），C（5，8，5），则A.三点构成等腰三角形B.三点构成直角三角形C.三点构成等腰直角三角形D.三点构不成三角形【答案】D【解析】【详解】222(12)(04)(13)29AB=−−+−+−=，222

(15)(08)(15)229AC=−−+−+−=，222(25)(48)(35)29BC=−+−+−=，所以22ACABBC==，则这三点无法构成三角形，故选D5.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，M为

1CC的中点，2CNNA=.记ABa=，ADb=，1AAc=，则NM等于（）A.221332abc−−−B.221332abc++C.221332abc−−+D.221332abc+−【答案】B【解析】【分析】运用空间向量的基底表示，结合向量的线性运算即可求解【详解】()

1121213232NMNCCMACCCABBCCC=+=+=++，11221221332332ABBCCCABADAA=++=++，即1221332NMABADAA=++，故221332NMabc=++.故选：B6.已知圆221xy+=与圆()()22425xyb++−=相切，则

b=（）A.25B.25−C.25D.25或0【答案】D【解析】【分析】根据两圆内切、外切时，圆心距与两圆半径之间的关系可构造方程求得结果.【详解】由题意知：圆221xy+=的圆心为()0,0，半径11r=；圆()()22425xyb++−=的圆心

为()4,b−，半径25r=；则两圆圆心距()()22204016dbb=++−=+；若两圆内切，则514d=−=，即2164b+=，解得：0b=；若两圆外切，则516d=+=，即2166b+=，解得：25b=；综上所述：25b=或0.故选：D.7.“1

a=−”是“直线20axy+−=与直线30xay++=平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先确定两直线平行的充要条件，再判断“1a=−”与两直线平行的关系.【详解】因为“直线20axy+−=与直线30xay+

+=平行”的充要条件为：210320aa−=+1a=−或1a=.所以“1a=−”是“直线20axy+−=与直线30xay++=平行”的充分不必要条件.故选：A8.在正四面体PABC−中，棱长为1，且D为棱AB的中点，则PCPD的值为（

）A.14−B.14C.12−D.12【答案】D【解析】【分析】结合题意画出正四面体，由中点性质可得()12PDPAPB=+，则PCPD可代换为()12APCPPB+，由向量数量积公式即可求解【详解】如图，因为D为棱AB的中点，所以()12PDPAPB=+，()()1122PCPDPCPC

CPAPBPABPP==++，因为几何体为正四面体，故𝑃𝐴⃑⃑⃑⃑⃑与PC夹角为60°，同理𝑃𝐵⃑⃑⃑⃑⃑与PC夹角为60°，111cos602PPAPBCPC===，故21211122PCPD=+=

，故选：D9.已知圆C：224xy+=，直线L：ykxm=+，则当k的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，则m的取值为（）A.2B.2C.3D.3【答案】C【解析】【分析】由直线L过定点(0,)Mm，结合圆的对称

性以及勾股定理得出m的取值.【详解】直线L：ykxm=+恒过点(0,)Mm，由于直线被圆C所截的弦长的最小值为2，即当直线L与直线OM垂直时（O为原点），弦长取得最小值，于是2222122||12OMm=+=+，解得3m=.故选：C10.材料一:已知三角

形三边长分别为a，b，c，则三角形的面积为()()()Sppapbpc=−−−，其中2abcp++=，这个公式被称为海伦-秦九韶公式；材料二:阿波罗尼奥斯()Apollonius在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义:我们把

平面内与两个定点1F，2F的距离的和等于常数（大于12FF）的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答:已知ABC中，4BC=，8ABAC+=，则ABC面积的最大值为（）A.23B.3C.43D.6【答案】C【解析】【分析】根据海伦-秦九韶公式化简得()()1266Sbc=−−，再利用基本不

等式求最值.【详解】用材料一：根据海伦-秦九韶公式，()()()Sppapbpc=−−−，其中2abcp++=，由题意，可知4a=，8+=bc，4862p+==，且64pa−=−，故()()()()()26666466126612432bcSbcbc−+−=−−−=−−

=；当且仅当66bc−=−，即4bc==时取等号.用材料二：以BC的中点为原点，由椭圆的定义易知，椭圆方程为2211612xy+=，1||2ASBCy=（||Ay为A到BC的距离），11||423432

2ASBCy==，当且仅当ABAC=时取等号.故选：C.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错

误．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分.11.两条平行直线1:210lxy−+=与2:4270lxy−+=之间的距离为_____.【答案】52##152【解析】【分析】利用平行线之间的距离公式求解.【详解】因为1l：210xy−+=即4220xy−

+=.所以平行直线1l与2l之间的距离为：22275242−=+.故答案为：52.12.过点()0,2A−的直线与圆22410xyx+−−=相切，切点为B，则AB=_____.【答案】3【解析】【分析】明确圆心和半径，利用切线长定理求切线段的长度.【详解】由22410xyx+−−=

()2225xy−+=，所以圆心为()2,0C，半径为5r=.所以过点()0,2A−向圆作切线，切线段的长度为：22ABACr=−853=−=.故答案为：313.已知()1,2,2a=−，1b=，则2ab−的

最大值是________．【答案】5【解析】【分析】利用向量数量积和模的公式，即可求得2ab−的最大值.【详解】因为()1,2,2a=−，所以()2221223a=++−=，设,ab的夹角为，()22222

44abababab−=−=+−94431cos1312cos=+−=−，当cos1=−时，2ab−的最大值是5.故答案为：514.如图，已知1111ABCDABCD−是正方体，E，F分别是棱AB，1CC的中点，则直线EF与1BD所成角的余弦值为_____.【答案】23#

#123【解析】【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量求异面直线所成角余弦.【详解】如图，建立空间直角坐标系，不妨设2AB=，则()2,2,0B，()10,0,2D，()2,1,0E，()0,2,1F.所以()12,

2,2BD=−−，()2,1,1EF=−.所以11142cos,3236BDEFBDEFBDEF===，即直线EF与1BD所成角的余弦值为23.故答案为：2315.如图，正方体1111ABCDABCD−，则下列四个结论中:的①点P在直线1BC上运动时，直线AP与直线AD所

成角的大小不变;②点P在直线1BC上运动时，直线AP与平面1ACD所成角的大小不变;③点P在直线1BC上运动时，二面角1PADC−−的大小不变;④点P在直线1BC上运动时，三棱锥1ADPC−的体积不变.所有正确结论的序号是_____.【答案】③④【解析】【分析】建立空

间直角坐标系，利用空间向量的方法对各项内容逐一验证即可.【详解】如图，以D为原点，建立如图空间直角坐标系.不妨设2AB=.则()0,0,0D,𝐴(2,0,0)，()2,2,0B，()0,2,0C，()10,2,2C，(

)10,0,2D.所以()2,0,0AD=−，()2,2,0AC=−，()12,0,2AD=−因点P在直线1BC上运动，那么1BBCP=，则()22,2,2P−.则()2,2,2AP=−对①

：因为cos,ADAPADAPADAP=224222121==++不定值，故①错误；是对②：易知()12,2,2DB=为平面1ACD的法向量，111cos,DBAPDBAPDBAP=224123221321==++不是定值，故②错误；对③：设平面1PA

D的法向量为：(),,nxyz=.则1nADnAP⊥⊥100nADnAP==()()()(),,2,0,20,,2,2,20xyzxyz−=−=00xzxyz

−+=−++=，令1x=，则()1,0,1n=.又平面1ACD的法向量为()12,2,2DB=，所以二面角1PADC−−的大小不随P点在1BC上的运动而改变，故③正确；对④：因为11ADPCPADCVV−−=，因为1ADC的面积为定值，又11//BCAD，1BC平面1ACD，1AD

平面1ACD，所以1//BC平面1ACD.所以当点P在直线1BC上运动时，点P到平面1ACD的距离，即三棱锥1PACD−的高不变，所以三棱锥1ADPC−的体积不变，故④正确.故答案为：③④【点睛】方法点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量分析角、距离，应该是最容易想到的方法.三

、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知ABC的顶点为()1,2A、()3,4B、()5,0C.（1）求AB边所在直线的方程；（2）求AB边上高线所在直线的方程；（3）求ABC的面积.【答案】（1）10xy−+=（2）50xy+−=（3）6

【解析】【分析】（1）先求直线AB的斜率，用点斜式写出直线AB的方程并化简.（2）根据两直线垂直，确定AB边上高的斜率，再根据点斜式写出AB边上的高的方程并化简.的（3）利用“割补法”求三角形的面积.【小问1详解】因为42131ABk

−==−.所以直线AB的方程为：21yx−=−即10xy−+=.【小问2详解】因为1ABk=，所以AB边上的高的斜率为：1−.所以边AB上的高所在的直线为：()05yx−=−−即50xy+−=.【小问3详解】如图：作AEx⊥轴于点E，

BFx⊥轴于点F，则()1,0E，()3,0F.所以ABCBFCAECAEFBSSSS=+−梯形()1112424224222=++−6=.17.如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，1ABDE

==，2ADPA==，点F在棱PA上.（1）求证：//BF平面CDE；（2）求二面角CPEA−−的余弦值；（3）若点F到平面PCE距离为13，求线段AF的长.【答案】（1）证明见解析（2）23的（3）32【解析】【分析】（1）证明平面//PAB平面CDE，利用面面平行

的性质可证得//BF平面CDE；（2）以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Axyz−，利用空间向量法可求得二面角CPEA−−的余弦值；（3）设AFt=，则()0,0,Ft，0,2t，利用空间向量法可

得出关于t的方程，结合t的范围可求得t的值.【小问1详解】证明：在矩形ABCD中，//ABCD.因为AB平面CDE，CD平面CDE，所以//AB平面CDE.因为PA⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以//PADE，因为PA平面CDE

，DE平面CDE，所以//PA平面CDE.又因为PA平面PAB，AB平面PAB，PAABA=，所以平面//PAB平面CDE.因为BF平面PAB，所以//BF平面CDE.【小问2详解】解：因为PA⊥平面ABCD，AD平面A

BCD，AB平面ABCD，所以PAAD⊥，PAAB⊥，又因为ABCD是矩形，ADAB⊥，所以AD、AB、AP两两垂直，以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Axyz−，则()1,2,0C、(

)002P,,、()0,2,1E，所以()1,0,1CE=−，()0,2,1PE=−.设平面PEC的一个法向量为(),,nxyz=，则020nCExznPEyz=−+==−=，取2x=，可得()2,1,2n=，取平面PEA的一个法向量为()1,0,0m=，则2c

os,3mnmnmn==，由图可知二面角CPEA−−为锐角，所以二面角CPEA−−的余弦值是23.【小问3详解】解：设AFt=，则()0,0,Ft，0,2t，所以()1,2,CFt=−−，因为点F到平面PCE的距离222241333CFnttdn

−−+−====.因为0,2t，解得32t=，故32AF=.18.已知椭圆G的离心率为53，长轴端点分别为()6,0A−，()6,0B，.（1）求椭圆G的标准方程；（2）1F，2F为椭圆G的焦点，P为椭圆G上一点，且12π

2FPF=.求P点的坐标；（3）Q为椭圆G上任意一点（不与A、B重合），设直线QA的斜率为1k，直线QB的斜率为2k，判断12kk是否为常数，并说明理由.【答案】（1）2213616xy+=（2）6585,55，或6585,55−，

或6585,55−−，或6585,55−（3）12kk为常数，理由见详解【解析】【分析】（1）椭圆G的标准方程为()222210xyabab+=，由已知可得6a=，25c=，进而得到4b=，即可求得椭

圆G的标准方程；（2）设𝑃(𝑥,𝑦)，由12π2FPF=，在12RtFPF△中，由勾股定理，再可得22200xy−=+，与椭圆G的方程联立，即可求出P点的坐标；（3）设()00,Qxy，由0106ykx=+，0206ykx=−，可得1249kk=−，即

12kk为常数.【小问1详解】设椭圆G的标准方程为()222210xyabab+=，因为长轴端点分别为()6,0A−，()6,0B，所以6a=，因为椭圆G的离心率为53，所以53ca=，则25c

=，所以224bac=−=，则椭圆G的标准方程为2213616xy+=.【小问2详解】设𝑃(𝑥,𝑦)，因为1F，2F为椭圆G的焦点，P为椭圆G上一点，且12π2FPF=，所以2221212PFPFFF+=，由

（1）知椭圆G为2213616xy+=，()()1225,0,25,0FF−，所以()()()22222252545xyxy−++++=，整理得22200xy−=+，与2213616xy+=联立，解得6585,55xy==，所以P点的坐标为65

85,55，或6585,55−，或6585,55−−，或6585,55−.【小问3详解】设()00,Qxy，又()6,0A−，()6,0B，则010

6ykx=+，0206ykx=−，所以20001220006636yyykkxxx==−+−，又220013616xy+=，所以()20204369xy−=，则()20201222004364936369xykkxx−===−−−

，即12kk为常数.19.如图所示，在三棱锥SABC−中，SASC⊥，2SASC==，ACBC⊥，ACBC=，23SB=.（1）求证：平面SAC⊥平面ABC；（2）若15DSBS=，求直线CD与平面SAB所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）539【解析】【分析】（1）

取AC中点O，利用等腰三角形三线合一和勾股定理可证得,SOACSOOB⊥⊥，由线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论；（2）取AB中点E，以O为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】取AC中点O，连接SO，OB，2SASC=

=，SASC⊥，SOAC⊥，22AC=，122SOOCAC===，ACBC=，ACBC⊥，2210OBOCBC=+=，又23SB=，222SOOBSB+=，SOOB⊥，OBACO=QI，,OBAC平面ABC，SO⊥平面ABC，又SO平面SAC，

平面SAC⊥平面ABC.【小问2详解】取AB中点E，连接OE，,OE分别为,ACAB中点，//OEBC，又ACBC⊥，OEAC⊥，由（1）知：SO⊥平面ABC，则以O为坐标原点，,,OAOEOS正方向为,,xyz轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,2S，()2,0,0A

，()2,0,0C−，()2,22,0B−，()2,22,2BS=−，()2,0,2SA=−，()2,0,2SC=−−，12222,,5555DSBS==−，()422242,,555CDDSSC=−+=

，设平面SAB的法向量(),,nxyz=r，22220220BSnxyzSAnxz=−+==−=，令1x=，解得：1y=，1z=，()1,1,1n=，2253cos,9328323252525CDnCDnCDn===++

，即直线CD与平面SAB所成角的正弦值为539.20.已知圆C：22120xyDxEy+++−=关于直线20xy+−=对称，且圆心在x轴上．（1）求圆C的标准方程；（2）若动点M在直线10x=上，过点M

引圆C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值；②求证：直线AB恒过定点．【答案】（1）22(2)16xy−+=（2）①163，②证明见解析.【解析】【分析】()1根据圆的对称性及圆心在x轴上列方程分别求得D、E，进一步求得圆的标准方程；()2①根

据圆的切线性质及面积计算得到2416MACBSMC=−四边形，进一步当M在x轴上时MC取得最小值时四边形的面积最小，求得结果；②根据切线性质得到四点ACBM共圆，AB是两圆的公共弦，通过求得以MC为直径的圆的方程进一步求得直线AB的方程，最后根据无

论m为何值直线8320xmy+−=恒过()40，证得结果．【小问1详解】圆C的方程的圆心坐标为22DE−−，，半径22124DEr+=+，由圆心在x轴上，圆关于直线20xy+−=对称得到，0E=，2022DE−−−=，0E=，4D=−，所

求圆C的标准方程为22(2)16xy−+=．【小问2详解】①如下图所示，过点M引圆C两条切线MA、MB，切点分别为A、B，CAMA⊥，CBMB⊥，216MAMBMC==−，的21224162ACMMACBSSCAMAMC===−四边形，当MC最小时，四边形的面

积最小，当点M在x轴上时min8MC=，此时S的最小值为24816163−=．②设点()10Mm，，四点MBCA共圆，即点A、B在以CM为直径的圆上，该圆的圆心为62m，，半径为()221022m−+，22228(6)()24mmxy+−+−=，即22

12200xxymy−+−+=，AB是圆C与以MC为直径的圆的公共弦，直线AB的方程为两圆公共弦方程，两圆方程联立消去二次项，得到8320xmy+−=，0y=时，4x=，无论m取何值直线8320xmy+−=恒过点()40，．21.中国结

是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱.它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双纽线.在xOy平面上，我们把与定点()1,0Fa−，()()2,00Faa距离之积等于2a的动点的轨迹称为伯努利双纽

线，1F，2F为该曲线的两个焦点.数学家雅各布•伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究.已知曲线()()22222:9Cxyxy+=−是一条伯努利双纽线.（1）求曲线C的焦点1F，2F的坐标；（2）试判断曲线C上是否存在两

个不同的点A，B（异于坐标原点O），使得以AB为直径的圆过坐标原点O.如果存在，求出A，B坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）132,02F−，232,02F（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）焦点()

1,0Fa−，()()2,00Faa，由题意可得()()21233PFPFaaa=+−=，求出a即可；（2）假设曲线C上存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过坐标原点O，即OAOB⊥，设直线OA的方程为1ykx=，直线OB的方程为2yk

x=，求出12,kk的范围，再根据121kk=−即可得出结论.【小问1详解】方法一：设焦点()1,0Fa−，()()2,00Faa，曲线()()22222:9Cxyxy+=−与x轴正半轴交于点()3,0P，由题意知()()2212339PFPFaaaa=+−=−=，于是292a=，

322a=，因此132,02F−，232,02F；方法二：设焦点()1,0Fa−，()()2,00Faa，由题意知()()22224xayxaya++−+=，即()()222222422xayaxxayaxa+++

++−=，整理得()()2222222xyaxy+=−，于是292a=，322a=.因此，132,02F−，232,02F；【小问2详解】假设曲线C上存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过坐标原点O，即OAOB⊥，由题意知直线OA，OB斜率均存在，不妨

设直线OA的方程为1ykx=，直线OB的方程为2ykx=，将直线OA的方程与曲线C联立，得()()2242211191kxxk+=−，即()()2122219101kxk−=+.解得111k−，同理211k−，因此121k

k=−不可能成立，于是假设不成立，即曲线C上不存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过坐标原点O.