【文档说明】安徽省宿州市十三所重点中学 2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题 含解析.docx，共(21)页，2.040 MB，由小赞的店铺上传

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宿州市十三所重点中学2021—2022学年度第二学期期中质量检测高一数学试题命题：砀山中学高凯杜文明审核：砀山中学李风波一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.将210°化成弧度为（）A.5π6−B.5π6C.4π3D.7π

6【答案】D【解析】【分析】根据角度与弧度的关系求解即可.【详解】7210=210=1806，故选：D.2.在ABC中，设ABa=，ACb=，D为边BC上靠近C的一个三等分点，则AD=（）A.()12ab+B.1233ab+C.4133ab−D.4133ba−【答案】B【解析】【分

析】利用平面的基本定理求解.【详解】解：如图所示：23ADABADBCBB==++，()1322123333==+−+=+ABACABABACab，故选：B3.下列各式的符号为正的是（）A.cos3B.5ππsincos36−C.sin2cos2−D.7πta

n8【答案】C【解析】【分析】由32得1cos30−可判断A；由35π223，π026−−得5πsin03，πcos06−可判断B；由22得sin20,cos20可判断C；由7π28得7πtan08可判断D【详解】

因为32，所以1cos30−，故A错误；因为35π223，π026−−，所以5πsin03，πcos06−，所以5ππsincos036−，故B错误；因为22，所以sin20,cos2

0，所以sin2cos20−，故C正确；因为7π28，所以7πtan08，故D错误.故选：C.4.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且222bacac=++，则B=（）A.π6B.3π4C.5π6D.2π3【答案】D【解析】【分析】直接

利用余弦定理计算可得；【详解】解：由余弦定理2222cosbacacB=+−，又222bacac=++所以2cosacBac−=，所以1cos2B=−，因为()0,πB，所以2π3B=故选：D5.菱

形ABCD的边长为2，且60DAB=，ABBC=（）A.3B.2−C.2D.3−【答案】C【解析】【分析】根据向量数量积计算公式可得.【详解】菱形ABCD的边长为2，且60DAB=，ABBC、的夹角为6

0，cos602ABBCABBC==.故选：C.6.砀山被誉为“酥梨之乡”，每逢四月，万树梨花开，游客八方来．如图1，梨花广场的标志性建筑就是根据梨花的形状进行设计的，建筑的五个“花瓣”中的每一个都可以近似看作由两个对称的弓形组成，图2为其中的一个“花瓣”平面图，设弓形

的圆弧所在圆的半径为R，弦长为2R，则一个“花瓣”的面积为（）A.2π12R−B.2π22R−C.2π14R−D.()2π1R−【答案】B【解析】【分析】利用扇形面积公式和三角形面积公式求弓形面积，由此可得结果.【详解】因为弓形的圆弧所在圆的半径为R，弦长为2R，所以弓形的圆弧所对的圆

心角的大小为2，所以弓形面积221142SRR=−，所以一个“花瓣”的面积为2π22R−，故选：B.的7.函数()sin1cosxfxx=+的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题可得函数

奇函数，当()0,x时，()sin1co0sxfxx=+，即可判断.【详解】∵()sin1cosxfxx=+，2,Zxkk+，定义域关于原点对称，∴()()()()sinsin1cos1cosxxfxfxxx−−==−=−+−+，所以函数为奇函数，所以其图象关于原点成中心对称，

所以选项C错误；又当()0,x时，()sin1co0sxfxx=+，所以选项BD错误.故选：A.8.公元263，魏晋时期的数学家刘徽借助圆内接正多边形计算圆的面积，其“割圆术”思想为：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，

则与圆周合体．某数学兴趣小组，分别计算单位圆内接正n边形和外切正n边形（各边都和圆相切）的面积，将它们的平均数作为圆的面积，则用此法求得圆面积为（）A.180180180sincostannnnn+B.1180180180sincostan2nnn

n+C.360360360sincostannnnn+D.1360360360sincostan2nnnn+【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用三角形面积公式，分别求出单位圆内接正n边形的面积和单位圆外切正n

边形为的的面积，然后求它们的平均数即可.【详解】取单位圆，即半径1r=，所以，单位圆内接正n边形，可以分解成n个三角形，且每个三角形面积为1360136011sinsin22nn=，所以，单位圆内接正n边形的面积为360sin2nn.单位圆外切正n边形可以同样分解成

n个三角形，且每个三角形面积为11801tan22n，所以，单位圆外切正n边形的面积为180tannn.故它们的平均数为1360180sintan22nnnn+1180180180sincostan2nnnn=+

.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.终边相同的角的同一三角函数值一定相同B.π0,2，则1tant

an+的最小值为22C.已知2a=，1b=，,135ab=，则a在b上的投影数量为2−D.非零向量a，b，c，若abbc=rrrr，则ac=【答案】AC【解析】【分析】对于A，写出所有终边相同角，再利用诱导公式即可判断；对于B，利用基本不等式可判断；对于C，根据投影数量的定义代入公式求解

判断；对于D，举一个反例说明a与c不相等的即可.【详解】对于A，与角终边相同的角：2π,kkZ=+，根据诱导公式一即可得出三角函数值一定相同，A正确；对于B，π0,2，tan011tan2tan2tantan+=

当且仅当1tantan=即π4=时，等号成立，此时最小值为2，B错误；对于C，a在b上的投影数量为,2cos13co2s5aab==−，C正确；对于D，因为()()·0abbcbcabca=−

=⊥−，所以D错误.故选：AC.10.要得到如图所示图象，可由()sinfxx=图象经过怎样的变换得到（）A.每个点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再将横坐标向右平移11π12个单位，纵坐标不变B.每个点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再将横坐标向右平移π12个单位，纵坐标不变

C.横坐标向右平移π6个单位，纵坐标不变，再将每个点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变D.横坐标向左平移23π6个单位，纵坐标不变，再将每个点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变【答案】BCD【解析】【分析】先由图象求出()sin26fxx=−，再对四

个选项按照图像变换一一验证即可.【详解】由图像可知：A=1.354312T=−−，解得：T=，所以2=，解得：2=.所以()()sin2fxx=+.又由sin2133f=+=，解得：6=−，所以()sin26f

xx=−.对于A：把()sinfxx=图象每个点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变得到sin2yx=的图象，再将横坐标向右平移11π12个单位，纵坐标不变得到11πsin2,12yx=−

即为11πsin26yx=−的图象.故A错误；对于B：把()sinfxx=图象每个点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变得到sin2yx=的图象，再将横坐标向右平移π12个单位，纵坐标不变得到πsin2,12yx=−即为π

sin26yx=−的图象.故B正确；对于C：把()sinfxx=图象横坐标向右平移π6个单位，纵坐标不变得到πsin6yx=−的图象，再将每个点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变得到πsin26yx=−的图象.故C正确；对于D：把()sinfxx=图象横

坐标向左平移23π6个单位，纵坐标不变s23πsinin4sππ6i6n6yxxx==+=+−−,即为πsin6yx=−的图象，再将每个点横坐标缩短为原来的

12，纵坐标不变，得到πsin26yx=−的图象.故D正确.故选：BCD.11.已知函数()sinfxx=（0）在ππ,66−上单调，则的可能值为（）A.2B.3C.4D.5

【答案】AB【解析】【分析】先计算x的取值范围，代入正弦函数的增区间，求得的范围，再根据0进行选择.【详解】因为xππ,66−，0故可得6,6x−，又sinyx=的单调增区间为2,2,22kkkZ−+，故2,22626

kk−−+，解得123k−+且123,kkZ+又0，故0k=，3.故选：AB.12.定义在R上的函数()yfx=满足在(0,1上单调递增，()()33fxfx+=−，且图象关于点()4,0对称，则下列选项正确的是（）A.()00f=

B.()()()202020212022fffC.()yfx=在1,3上单调D.函数()fx在0,2022上可能有2023个零点【答案】AC【解析】【分析】由()()33fxfx+=−，且图象关于点()4

,0对称，得到()yfx=的周期为4，结合()yfx=满足在(0,1上单调递增，结合周期性与对称性得到()yfx=在1,3单调递减，分别判定选项即可.【详解】()()33fxfx+=−所以()y

fx=的对称轴为3x=，且()()6fxfx+=−，又()yfx=图象关于点()4,0对称，则()()44fxfx+=−−，所以()()8fxfx+=−−，()()86fxfx+=−+，所以()()2fxfx+=−，所以()()4fxfx+=，所以()yfx=的

周期为4，所以()0,0为()yfx=的对称中心，所以()yfx=奇函数，且定义域为R，所以()00f=，所以A正确；根据周期性()()()()()()20200,20211,20222ffffff===，且()()400ff==,又()yfx=对称轴为3x=，所

以()()240ff==，且函数()yfx=满足在(0,1上单调递增，所以()()()021fff=，所以()()()202020222021fff=，所以B错误；函数()yfx=满足在(0,1上单调递增，且周期为4，所以函数()yfx=满足在(4,5上

单调递增，又()yfx=图象关于点()4,0对称，所以()yfx=在(3,4单调递增，又()yfx=对称轴为3x=，所以()yfx=在(2,3单调递减，且()yfx=在(1,2单调递减，且()20

f=，所以()yfx=在1,3单调递减，所以C正确；对于D，()yfx=在)0,4上有且仅有2个零点，且周期为4，()yfx=在)0,2020上有且仅有1010个零点，在2020,2022上有且仅有2个零点，函数()fx在0,2022上可能有1012个

零点，所以D错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.向量()2,3a=r，(),5bx=，且ab∥，则x=______．【答案】103【解析】【分析】利用向量共线求解即可

.【详解】因为向量()2,3a=r，(),5bx=，且ab∥，所以253=x，解得103x=，故答案为：103.14.函数22tan3tan1yxx=−+−，ππ,44x−的值域为______．【答案】16,8−【解析】

【分析】由x的范围求出tanx的范围，再根据二次函数的性质即可得出答案.【详解】因为,44x−，所以tan1,1x−，22312tan3tan12tan48yxxx=−+−=−−+，则当3tan4x=时，()max18fx=，当tan1x=−时，()min

6fx=−，所以函数()fx值域为16,8−.故答案为：16,8−.15.已知π3cos64+=−，则5ππcossin63−+−=______．【答案】32##1.5的【

解析】【分析】利用诱导公式结合已知条件求解即可【详解】因为π3cos64+=−，所以5ππcossin63−+−5ππcossin63=−−−c

ossin626=−+−−+coscos66=−+−+332cos2642=−+=−=

，故答案为：3216.某同学为测量数学楼的高度，先在地面选择一点C，测量出对教学楼AB的仰角ACB=，再分别执行如下四种测量方案，则利用测量数据可表示出教学楼高度的方案编号为______．方案（1）：从点C向教学楼前进a

米到达点D，测量出角ADB=；方案（2）：在地面上另选点D，测量出角ACD=，ADC=，CDa=米；方案（3）：在地面上另选点D，测量出角BDC=，CDa=米；方案（4）：从过点C的直线上（不过点B）另选点D、E，测量

出2CDDEa==米，ADB=，AEB=．【答案】（1）（2）（4）【解析】【分析】利用正弦定理可判断方案（1）（2）；根据在BCD△中已知CDa=米，BDC=，无法解BCD△可判断方案（3）；设ABx=米，根据coscos0BDCBDE+=结合余弦定理可得出关于

x的方程可判断方案（4）.【详解】对于方案（1），ACB=，CADADBACB=−=−，在ACD△中，由正弦定理可得()sinsinADa=−，所以，()sinsinaAD=−米，

在RtABD△中，()sinsinsinsinaABAD==−米，方案（1）满足条件；对于方案（2），在ACD△中，由正弦定理()sinsinaAC=−−，所以()sinsinaAC=+米，在RtABD△中，()si

nsinsinsinaABAC==+米，方案（2）满足条件；对于方案（3），在BCD△中，已知CDa=米，BDC=，无法求出BC的长，从而无法求出AB的长，方案（3）不满足条件；对于方案（4），设ABx=米，则tanxBC=米，tanxBD

=米，tanxBE=米，因为()coscoscosBDCBDEBDE=−=−，则2222224coscos02aBDBEaBDBCBDCBDEaBDaBD+−+−+=+=，可得出关于x的方程，即可解得x的值，方案（4）满足条件.故

答案为：（1）（2）（4）.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知角终边上一点()4,m−，0m，且4cos5=−．（1）求m的值；（2）求()()()πtanπ

sinπsin2cosπ−−−+的值．【答案】（1）3（2）920−【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义可得答案；（2）先利用诱导公式进行化简，再代入三角函数值可得答案.【小问1详解】∵4cos5=−，且终边过点()4,m−，∴244cos516

m−=−=+，解得3m=或3m=−（舍）．所以3m=．【小问2详解】()()()()2πtanπsinπsintansincossin2cosπcoscosf−−−−===+

−又2229sin1625mm==+，4cos5=−，所以()99254205f==−−.18.已知2a→=，3b→=，向量a→与b→的夹角为150°．（1）计算2ab→→+；（2）若3abab→→→→+⊥+

，求实数的值．【答案】（1）2；（2）23=.【解析】【分析】（1）直接利用向量的模的公式求解；（2）由题得30abab→→→→++=，化简即得解.【小问1详解】解：2a→=，3b→=，向量a→与b→的夹角为150°，∴3cos15

02332abab→→→→==−=−，∴()222244443434abaabb→→→→→→+=++=+−+=；∴2222abab→→→→+=+=.【小问2详解】解：∵3abab→→→→+⊥+

，∴30abab→→→→++=，即222430aabb→→→→++=，即241290−+=，解得23=．19.已知函数()π2sin23fxx=−．（1）用“五点（画图）法”作出()fx在0,πx的简图；（2）求函

数()fx的单调递减区间．【答案】（1）作图见解析（2）5π11ππ,π1212kk++，kZ【解析】【分析】（1）令x为0、π6、5π12、2π3、11π12、π可得相应的y的值，然后列表、描点、连线可得

答案；（2）令ππ3π2π22π232kxk+−+，kZ，求出x可得答案.【小问1详解】列表如下：x0π65π122π311π12ππ23x−π3−0π2π3π25π3y3−0202−3−对应的图象如图：【小问2详解】令ππ3π2π22π232kxk+−+，k

Z，得5π11πππ1212kxk++，kZ．所以函数的单调递减区间为5π11ππ,π1212kk++，kZ．20.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3sincosaC

cA=，3a=．（1）求A大小；（2）若BC边上的中线长为212，求ABC的面积．【答案】（1）π6A=（2）32【解析】【分析】(1)由正弦定理化边为角，化简求解；(2)由余弦定理列方程求bc，再由三

角形面积公式求面积.【小问1详解】已知3sincosaCcA=，由正弦定理，得3sinsinsincosACCA=，因为sin0C，所以3tan3A=，()0,πA，所以π6A=，【小问2详解】设BC边上的中线为AD，在ABC中，由余弦定理得：22

22cosabcbcA=+−，即2293bcbc=+−①．在ADC和ADB△中，coscos0ADCADB+=，所以222222022ADCDbADBDcADCDADBD+−+−+=，即()22222=

ADCDbc++化简2215bc+=，代入①式得23bc=，所以ABC的面积1113sin232222SbcA===21.已知ABC中，60A=，1AB=，4AC=，AEAC=uuuruuur（01）．（1）求BE的取值范围；（2）若线段B

E上一点D满足ABACADABAC=+，求1+的最小值．【答案】（1）3,132（2）2【解析】【分析】（1）根据题意BEAEAB=−，两边平方可得关于的二次函数，进而求出BE的取值范围；（2）根据B、E、D三点共

线，可得1114=+，利用基本不等式可求1+的最小值．【小问1详解】根据题意，()()2222222BEAEABACABACACABAB=−=−=−+231641,134=−+

，所以BE取值范围为3,132；【小问2详解】由题可得：44ADABACABAE=+=+，因为B、E、D三点共线，所以14+=故1114=+，所以11124+=++当且仅当12

=时等号成立，所以1+最小值为2．22.已知函数()()2sinfxx=+（0，π），其图象一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差π4，______；从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．①函数()fx向左平移π6个单位得到的图象关于y轴对称且()00f．②函数()fx的

一条对称轴为π3x=−且()π16ff；（1）求函数()fx的解析式；（2）若π17π,212x，方程()()()2430fxafxa+−+−=存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围．【答案】

（1）()5π2sin26fxx=−（2）()()1,22,34,5【解析】【分析】（1）由最小正周期先求出．选①：利用函数()fx向左平移π6个单位得到的图象关于y轴对称求得的可能取值为5π6−、π6，再由()00f验

证出π6=得到()5π2sin26fxx=−；选②：由函数()fx的一条对称轴π3x=−，求出的可能取值为5π6−、π6．再由()00f验证出π6=得到()5π2sin26fxx=−；（2）令()tfx=，由π17π,212x

得，3π5π22π26x−时()fx为增函数，π5π3π2262x−时()fx为减函数，并且2,2t−．由()2430tata+−+−=得：11t=−，23ta=−，研究方程()()()2430fxafxa+−+−=存在4个不相等的实数根，列不等式，求出a的取值

范围.【小问1详解】由题意可知，函数()fx的最小正周期为π4π4T==，∴2π2T==．选①，将函数()fx向左平移π6个单位，所得函数为ππ2sin22sin263yxx=++=++.由于函数π2sin

23yx=++的图象关于y轴对称，可得πππ32k+=+（kZ），解得ππ6k=+（kZ）.∵π，所以，的可能取值为5π6−、π6．若5π6=−，则()5π2sin26fxx=−，()5π

02sin16f=−=−，符合题意；若π6=，则()π2sin26fxx=+，()π02sin16f==，不符合题意．所以，()5π2sin26fxx=−；选②：因为函数()fx的

一条对称轴π3x=−，则ππ2π32k−+=+（kZ），解得7ππ6k=+（kZ）.∵π，所以，的可能取值为5π6−、π6．若5π6=−，则()5π2sin26fxx=−，则()π

π2sin2162ff=−=−，符合题意；若π6=，则()π2sin26fxx=+，则()ππ2sin2162ff==，不符合题意．所以，()5π2sin26fxx=−；【小问2详解】令()tfx=，由π17π,212x

得，π5π22π66x−，所以()5π2sin22,26tfxx==−−．其中x满足π5ππ2662x−，3π5π22π26x−时()fx为增函数，满足π5π3π2262x−时()fx为减函数解

方程()2430tata+−+−=得：11t=−，23ta=−要使方程()()()2430fxafxa+−+−=存在4个不相等的实数根，当11t=−，即5π2sin216x−=−在π17π,212

上存在两解，故23ta=−取值范围应在)1,2或在()2,1−−或(1,0−．即132a−或231a−−−或130a−−解得：45a或12a或23a故所求的a的取值范围是()()1,22,34,5【点睛】（1）已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)

(A＞0，ω＞0)的性质求其解析式时，A比较容易，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：①由ω＝2T即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.②代入点的坐

标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.（2）“结构不良问题”是2020年高考出现的新题型：题目所给的几个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，

都可解答题目，而且，在选择的这几个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分.的