【文档说明】天津市南开区2022-2023学年高二上学期1月阶段性质量监测数学试题含解析.docx，共(14)页，839.676 KB，由小赞的店铺上传

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2022—2023学年度第一学期阶段性质量监测高二年级数学学科2023.01本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共100分，考试时间100分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的．1.如图，直线1l，2l，3l斜率分别为1k，2k，3k，则（）A.132kkkB.312kkkC.123kkkD.321kkk【答案】A【解析】【分析】先根据图象得倾斜角范围以及大小关系，再根据斜

率与倾斜角关系确定斜率大小.【详解】令直线1l，2l，3l的倾斜角分别为1，2，3，由图像可得321090180，所以132tan0tantan<，即1320kkk．所以132kkk故选：A.2.na是首项和公比均为3的等比数列，如果20233

na=，则n等于（）．A2020B.2021C.2022D.2023【答案】D【解析】【分析】根据题意求出na通项公式即可得出答案.的.【详解】根据题意可知na的通项公式为3nna=，当20233na=时，2023n=故选：D3.椭圆22194xy+=的离心率

是（）A.59B.53C.49D.23【答案】B【解析】【分析】求出a、c的值，可得出椭圆的离心率的值.【详解】在椭圆22194xy+=中，3a=，2b=，则225cab=−=，因此，椭圆22194xy+=的离心率

为53cea==.故选：B.4.在等差数列na中，376aa+=，则28aa+=（）．A.3B.4C.6D.8【答案】C【解析】【分析】应用等差数列项数相同且下标和相等的性质即可确定答案.【详解】由等差数列的性质知：28aa+=376aa+=.故选：C.5.已知点()20A，，

()33B，，则直线AB的倾斜角为（）A.30B.60C.120D.150【答案】B【解析】【分析】求出直线AB的斜率即得解.【详解】解：由题得直线AB的斜率30332k−==−，设直线的倾斜角为tan3,[0,180)

=，，所以=60.故选：B6.双曲线221169xy−=的渐近线方程是（）．A.916yx=B.169yx=C.34yx=?D.43yx=【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的标准方程可直接得出该双曲线的渐近线方程.【详解】在双曲线221

169xy−=中，4a=，3b=，因此，该双曲线的渐近线方程为34==byxxa.故选：C.7.在数列{}na中，112a=，111nnaa−=−（2n，Nn+），则2023a=（）A.12B.1C.1−D.2【答案】A

【解析】【分析】利用数列的递推公式求出数列{}na的前4项，推导出{}na为周期数列，从而得到2023a的值【详解】2111121aa=−=−=−，3211112aa=−=+=，431111122aa=−=−=，可得数列{}na是以3为周期的周期数列，202336741112aaa+

===，故选：A8.已知抛物线24xy=上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】【详解】试题分析：抛物线24xy=焦点在y轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1)，准线方程为1y=−，因为点A的纵坐标为

4，所以点A到抛物线准线的距离为415+=，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A与抛物线焦点的距离为5.考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.点评：抛物线上的点到焦点的距

离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算.9.如图，在三棱锥−PABC中，点N为棱AP的中点，点M在棱BC上，且满足2CMBM=，设,,PAaPBbPCc===，则MN=（）A.121233abc−+−B.12123

3abc−−C.121233abc+−D.121233abc−−+【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】因为点N为棱AP的中点，且2CMBM=，所以2132=++=−+MNMCCPPNBCPCPA

221121332332=−−+=−−+PCPBPCPAPCPBPA121233=−−abc.故选：B.10.已知1F，2F是双曲线22221xyab−=（0a，0b）的左、右焦点，点1F关于渐近线的对称点恰好落在以2F为圆心，2OF为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（）A.2B.3C.

2D.31+【答案】C【解析】【分析】先求解F1到渐近线的距离，结合OA∥F2M，可得∠F1MF2为直角，结合勾股定理可得解【详解】由题意,F1(−c,0),F2(c,0)，设一条渐近线方程为y=bax,则F1到渐近线的距离为22bbcab=+.

设F1关于渐近线的对称点为M,F1M与渐近线交于A,∴|MF1|=2b,A为F1M的中点，又O是F1F2的中点,∴OA∥F2M,∴∠F1MF2直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4(c2−a2),∴c2=4a2，

∴c=2a，∴e=2.故选：C第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上．11.已知直线1:210lxmy++=与2:310lxy−−=平行，则m的值为__________.【答案】23−【解析】【分析】根据给定

条件利用两直线平行性质列式计算即可.【详解】因为直线1:210lxmy++=与2:310lxy−−=平行，所以当0m=时，两条直线不平行，不符合题意；当0m时，23m−=，解得23m=−.故答案为：23−.12.已知圆222450xyxy++−−=与2221

0xyx++−=相交于A，B两点，则直线AB的方程是__________．【答案】10y+=【解析】【分析】根据两相交圆与公共弦关系，两相交圆方程相减所得方程即是公共弦方程．【详解】两圆方程相减()2

222212450xyxxyxy++−−++−−=，得10y+=故答案为：10y+=为是13.数列{}na的前n项和2,*nSnnnN=+，则na=_____.【答案】2n【解析】【分析】根据11,1,2nnnSnaSSn−==−来求得数列na的通项公式.【详

解】当1n=时，112aS==，当2n时，()()221112nnnaSSnnnnn−=−=+−−+−=.当1n=时上式也符合，所以2nan=.故答案为：2n14.等比数列na是递减数列，前n项的积为nT，若1394TT=，则815aa=________．【答案】2【解析】【分析】

由题意可得01q，且0na，由条件可得12131294aaaaaa=，化简得101112134aaaa=，再由81510131112aaaaaa==，求得815aa的值．【详解】解：等比数列{}na是递减数列，

其前n项的积为*(N)nTn，若1394TT=，设公比为q，则由题意可得01q，且0na．12131294aaaaaa=，101112134aaaa=．又由等比数列的性质可得81510131112aaaa

aa==，8152aa=．故答案为：2．15.已知,AB分别是221:(1)(3)1Cxy−+−=，222:(5)(1)4Cxy++−=上的两个动点，点M是直线0xy−=上的一个动点，则||||MAMB+的最小值为_____________.【答案】5【解析】【分析】

运用数形结合思想，画图确定最值位置，再求解最小值即可.【详解】如图，圆3C是圆1C关于直线0xy−=的对称圆，所以圆3C的方程为()()22311xy−+−=，圆心为()33,1C，且由图知，1MAMBMAMB+=+213,,,,CBMAC五点共线时，1MAMB+有

最小值，此时，()223128035minMAMBCC+=−−=+−=所以MAMB+的最小值为5.故答案为：5.三、解答题：（本大题共5个小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.已知等差数列na满足59a=，其前11项和11121S=；数

列nb是单调递增的等比数列，且满足149bb+=，238bb=.（1）求数列na和nb通项公式．（2）求数列nb的前n项和nT．【答案】（1）()21nann=−N，()12nnbn−

=N（2）21nnT=−【解析】【分析】（1）设数列na的公差为d，由已知条件可得出关于1a、d的方程组，解出这两个量的值，可得出等差数列na的通项公式，根据等比数列的单调性与基本性质可求得1b、4b的值，可求得等

比数列nb的公比，进而可得出数列nb的通项公式；（2）利用等比数列的求和公式可求得nT.【小问1详解】的解：设数列na的公差为d，由已知可得51111491110111212aaddSa=+==+=，解得112ad==，

所以，()()1121naandnn=+−=−N．因为数列nb是单调递增的等比数列，由已知可得1423141498bbbbbbbb+===，解得1418bb==，所以，数列nb的公比为4312bqb==，所以()

1112nnnbbqn−−==N．【小问2详解】解：()111221112nnnnbqTq−−===−−−.17.已知圆22:240Cxyy+−−=，直线()10lmxymm−+−R：＝．（1）写出圆C的圆心坐标和半径，并判断直线l与圆C的位置关系；（2）设直线l与圆

C交于A、B两点，若直线l的倾斜角为120°，求弦AB的长．【答案】（1）圆心()0,1，半径5，l与圆相交；（2）17﹒【解析】【分析】（1）将圆的方程化为标准方程即可求其圆心C和半径r，求出直线l经过的定点，判断定

点与圆的位置关系即可判断l与圆的位置关系；（2）求出圆心到直线的距离d，根据222ABrd=−即可求弦长．【小问1详解】由题设知圆C：()2215xy+−=，∴圆C的圆心坐标为C()0,1，半径为r＝5．又直线l可变形为：()11ymx−

=−，则直线恒过定点()1,1M，∵()2211115+−=，∴点M在圆C内，故直线l必定与圆相交．【小问2详解】由题意知0m，∴直线l的斜率km=tan1203==−，∴圆心C()0,1到直线l：3310xy+−−=的距离22|3|32(

3)1d−==+，∴223||225174ABrd=−=−=．18.已如数列na的前n项和为nS，112a=，当2n时，11nnnnSSSS−−=−．（1）证明数列1nS为等差数列，并求nS；（2）求

数列2nnS的前n项和为nT．【答案】（1）证明见解析，11nSn=+（2）12nnTn+=【解析】【分析】（1）由11nnnnSSSS−−=−可得1111nnSS−−=，即可证明数列1nS是以2为首项，1为公差

的等差数列，从而求出nS；（2）由（1）知2(1)2nnnnS=+，利用错位相减法计算可得.【小问1详解】解：当2n时，由11nnnnSSSS−−=−，得1111nnSS−−=，所以数列1nS是以11112Sa==为首项，1为公差的等差数列．所以11nnS=+，即11nSn=

+．【小问2详解】解：由（1）知2(1)2nnnnS=+，所以2122322(1)2nnnTnn−=+++++，①所以231222322(1)2nnnTnn+=+++++，②①−②得()2314222(1)2nnnTn+−=++++−+()

111424(1)22nnnnn+++=+−−+=−，所以12nnTn+=．19.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，ACBC⊥，1BEEB=，122ABCCBC===．（1）证明：1ACCE⊥；（2）求直线1BB与平面1AEC所成角的正弦值；（3）求平面1AEC与

平面ABE的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3010（3）104【解析】【分析】（1）以C为坐标原点，1,,CACBCC的方向分别为xyz，，轴的正方向建立空间直角坐标系Cxyz−，利用坐标法证明即可；（

2）根据空间向量坐标法求解即可；（3）根据空间向量坐标法求解即可；【小问1详解】解：依题意，以C为坐标原点，1,,CACBCC的方向分别为xyz，，轴的正方向建立空间直角坐标系Cxyz−，如图，则111(3

,0,0),(3,0,2),(0,1,0),(0,1,2),(0,0,2),(0,1,1)AABBCE．1(3,0,0),(0,1,1)CACE==−，因为10CACE=，所以1ACCE⊥．【小问2详解】解：结合（1）得11(3,0,2

),(3,1,1),(0,0,2)ACAEBB=−=−=，设平面1AEC的法向量为()111,,mxyz=，则11111132030mACxzmAExyz=−+==−++=令12x=，得(2,3,3)m=．设直

线1BB与平面1AEC所成角为，则11130sincos,10||BBmBBmBBm===，所以直线1BB与平面1AEC所成角的正弦值为3010．【小问3详解】解：结合（1）(0,0,1)BE=，设平面ABE的法向量为()222,,xny

z=，则22220,30,nBEznAExyz===−++=令21x=，则(1,3,0)n=，由（2）知平面1AEC的法向量为(2,3,3)m=设平面AEF和平面EFC的夹角为，则||231

0cos|cos,|4102mnmnmn+====．所以，平面AEF与平面EFC的夹角余弦值为104.20.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=上任意一点到两个焦点1(3,0)F−，2(3,0)F的距离的和为4．经过点(1,0)D且不经过点(1,

1)M的直线与椭圆C交于P，Q两点，直线MQ与直线4x=交于点E，直线PE与直线MD交于点N．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：EMN的面积为定值．【答案】（1）2214xy+=（2）证明见解析【

解析】【分析】（1）根据焦点坐标得出3c=，根据椭圆的定义得出24a=，根据abc、、的关系得出b，即可得出椭圆方程；（2）直线PQ方程为1(0)xtyt=+，点()11,Pxy，()22,Qxy，联立方程根据韦达定理得出12yy+，12yy，设直线MQ的方程为2211(1)

1yyxx−−=−−，得出点E的坐标，即可得出直线PE的方程，得出点N的纵坐标，即可得出||MN，即可得出答案.【小问1详解】由焦点坐标可知3c=，因为任意一点到两个焦点12(3,0),(3,0)FF

−的距离的和为4，所以24a=，可得24a=，又222abc=+，可得21b=，所以椭圆C的标准方程为2214xy+=．【小问2详解】由题意知直线PQ斜率一定存在，设直线PQ方程为1(0)xtyt=+，点()11,Pxy，()22,Qxy，联立方程22144xtyxy=+

+=，消去x得()224230tyty++−=，则12224tyyt+=−+，12224yyt=−+，设直线MQ的方程为2211(1)1yyxx−−=−−，则222341Eyxyx+−=−，即222344,1yxEx+−−，所以直线PE的方程为()2212111

3414yxyxyyxxx+−−−−=−−，可得()222211112212111122343313313433Nyxytyxytyyxtytyyyyxtytyyy+−+−−−−−−===−−−，222222

222323334441333344tttyytttttyytt−−−−++++===−−−−−++．所以1||332EMNSMN==△．