【文档说明】浙江省精诚联盟2022-2023学年高一下学期3月联考数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.667 MB，由小赞的店铺上传

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2022学年第二学期浙江省精诚联盟3月联考高一年级数学学科试题选择题部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知()()1,1,,22AB

−，O是坐标原点，则ABOA+=（）A.()1,3−B.()3,1−C.()1,1−D.()2,2−【答案】D【解析】【分析】根据向量线性运算可得+=ABOAOB，由坐标可得结果.【详解】()2,2+=+==−ABOAOAA

BOB故选：D【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.2.一个扇形的面积和弧长的数值都是2，则这个扇形中心角的弧度数为（）A.4B.3C.2D.1【答案】D【解析】【分析】根据扇形面积和弧长公式计算即可得出结果.【详解】设扇形中心角的弧度数为，半径为

r，由题意可知，扇形面积2122Sr==，弧长2lr==，解得2,1r==，即扇形中心角的弧度数为1.故选：D3.已知复平面内的平行四边形ABCD，三个顶点A，B，C对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，那么点D对应的复数为（）A.1－3iB.3－iC.3＋

iD.－1＋3i【答案】C【解析】【分析】根据复数的几何意义以及向量的线性运算即可求解.【详解】根据复数的几何意义可知()()()1,2,2,1,0,0ABC−,设(),Dxy，则由()()3131ABDC,x,yx,y=?-=--?=，所以()3,1D,因此对应的复数为：3＋i故选：C4

.函数()sin1cosxfxx=+的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题可得函数为奇函数，当()0,x时，()sin1co0sxfxx=+，即可判断.【详解】∵()si

n1cosxfxx=+，2,Zxkk+，定义域关于原点对称，∴()()()()sinsin1cos1cosxxfxfxxx−−==−=−+−+，所以函数为奇函数，所以其图象关于原点成中心对称，所以选项C错误；又当()0,x时，()sin1co0sxfxx=+，所以

选项BD错误.故选：A.5.已知()2,1a=−，()2,3b=−−，则b在a上的投影向量是（）A.213313,1313−−B.21,55−C.213313,1313−D.21,55−【答

案】B【解析】【分析】根据b在a上的投影向量是2·cosaabbaaa=计算即可解决.【详解】由题知，(2,1),(2,3)ab=−=−−，所以·431,415aba=−==+=，设a与b夹角为，所以b在a上

的投影向量是()2·121cos2555aabbaaa==−=−，1，.故选：B6.冬奧会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，

书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了ABD△，测得AB

=5，BD=6，AC=4，AD=3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算cosACD的值（）A.12B.59C.146D.226【答案】D【解析】【分析】先根据三条边求出cosADB，利用平方关系得到sinADB，结合正弦定理可得sinACD，再

根据平方关系可求cosACD.【详解】由题意，在ABD△中，由余弦定理，222936255cos22369ADBDABADBADBD+−+−===；因为(0,π)ADB，所以225214s

in1cos1()99ADBADB=−=−=，在ACD中，由正弦定理,sinsinACADADBACD=所以43sin2149ACD=，解得14sin,6ACD=由题意，因ACD为锐角，所以221422cos1sin1().66ACDACD=−=−=故选：D.7.如图，在

边长为4的等边ABC中，点E为中线BD的三等分点（靠近点B），点F为BC的中点，则EFEC=（）A.103B.176C.103−D.3【答案】A【解析】【分析】分别用基底,BCBD，表示出,EFEC，利用向量运算进行求解.【详解】因为点E为中线BD的三等分点，点F为BC的中点，所

以1123EFBFBEBCBD=−=−,13ECBCBEBCBD=−=−,所以22111111233229BCBDBCBEFECDBCBDBCBD==−−−+因为ABC是边长为4的等边三

角形，BD为中线，所以4,23BCBD==，30DBC=，为所以cos3012BDBCBDBC==，所以111101612122293EFEC=−+=.故选：A.8.若π4π,33，ππ

,22−，R，且35ππcos4063−−−−=，3sin40++=，则sin()+的值为（）A.1B.12C.22D.32【答案】B【解析】【分析】先把所给两个等式转化为同一种结构形式，利用单调函数的特点，得出

5π6+=，从而可求答案.【详解】因为35ππcos4063−−−−=，所以35ππcos4063−+−+=，即35π5πsin4066−+−+=；所以与5π6

−都是方程3sin40xx++=根；因为π4π,33，所以,5ππ6π22−−；由于3yx=与sinyx=在ππ,22−上均为增函数，所以方程3sin40x

x++=在ππ,22−上只有一个根，所以5π6−=，即5π6+=；所以1sin()2+=.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的

得0分．的9.已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（）A.234iiii0+++=B.复数2i−−的虚部为i−C.若复数z为纯虚数，则22||zz=D.1212zzzz=【答案】AD【解析】【分析】根据复数的运算可得A,C,D的正误，根据复数虚部的概念可知B的正误.【

详解】因为234iiiii1i10+++=−−+=，A正确；复数2i−−的虚部为1−，B不正确；若iz=，则21z=−，2||1z=，C不正确；设12i,izabzcd=+=+，所以()12izzacbdadbc=−++，()()222222222212zzacbdadbcacb

dadbc=−++=+++222212abcdzz=++=，D正确.故选：AD.10.已知ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c下列命题正确的有（）A.若AB，则sinsinABB.若π6A=，5a=，则ABC外接圆半径为10C.若2cosabC=，则ABC为等腰三角形D.若1

b=，2c=，2π3A=，则32ABCS=【答案】ACD【解析】【分析】利用三角形性质和正弦定理可知A正确，利用正弦定理可知B,C的正误，利用三角形面积公式可知D正确.【详解】因为AB，所以ab，

由正弦定理2sinsinabRAB==，可得2sin2sinRARB，即sinsinAB，A正确；由正弦定理2sinaRA=可知210R=，所以ABC外接圆半径为5，B不正确；因为2cosabC=，所以sin2sincosABC=，即

()sin2sincosBCBC+=，整理可得sincoscossin0BCBC−=，即()sin0BC−=，因为,BC为三角形的内角，所以BC=，即ABC为等腰三角形，C正确；因为1b=，2c=，2π3A=，所以1133sin122222ABCSbcA=

==，D正确.故选：ACD.11.已知函数()sin3cosfxxx=−，0，则下列结论中正确是（）A.若2=，则将()fx图象向左平移6个单位长度后得到的图象关于原点对称B.若()()124fxfx−=，且12xx−的最小值为2，则2=C.若()fx在0,3

上单调递增，则的取值范围为(0,3]D.当3=时，()fx在[0,]有且只有3个零点【答案】ABD【解析】【分析】由()2sin3fxx=−，逐项判断.【详解】解：函数()sin3c

os2sin3fxxxx=−=−，A.若2=，()2sin23fxx=−，将()fx图象向左平移6个单位长度后得到2sin22sin263yxx=+−=，

其图象关于原点对称，故正确；B.若()()124fxfx−=，且12xx−最小值为2，则22T==，解得2=，故正确；C.当0,3x时，33,33x−−−，若()fx在0,3上单调递增，

则332−，解得502，故错误；D.当3=时，()2sin33fxx=−，令33Z,xkk=−，解得,Z39kxk=+，因为的的0,x，所以47,,999xxx===

，所以()fx在[0,]有且只有3个零点，故正确；故选：ABD12.已知平面向量0ab=，||2ab−=，则3||2||ab−的可能值为（）A.3B.4C.43D.62【答案】AB【解析】【分析】先对||2ab−=平方得到224ab+=，结合图形可得答案.【详解

】因为0ab=，||2ab−=，所以224ab+=；设3||2||abt−=，作出简图，易知()()2,0,0,2AB，由图可知，当直线3||2||abt−=经过点A时，t有最大值6；当直线3||2||ab

t−=经过点B时，t有最小值4−；所以43||2||6ab−−.故选：AB.非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13.在ABC中，15A=，45B=，AB6=

，则AC=______．【答案】2【解析】【分析】根据题意由正弦定理可得答案.【详解】1801545120C=−−=，由正弦定理得sinsinABACCB=，即6sin120sin45AC=，解得2AC=.故答案为：214.复数1z、2z

满足()214izmm=+−，()()22cos3sini,,zm=++R，若12zz=，则的取值范围是______.【答案】9,716−【解析】【分析】根据复数相等可得出关于m、、的等式，可得出

2394sin816=−−，结合1sin1−以及二次函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】因为12zz=，则22cos43sinmm=−=+，所以，2223944cos3sin4sin3sin4s

in816=−−=−=−−，1sin1−，故23994sin,781616=−−−.故答案为：9,716−.15.已知函数()3cos4sinfxxx=+，当tanx=______时，函数()fx取得最大值．【

答案】43【解析】【分析】逆用两角和的正弦公式将函数()3cos4sinfxxx=+化简为()()5sinfxx=+，当()π2π2kxk=+−Z时，函数()fx取到最大值，结合诱导公式得到cossinxx，的值，从而得到t

anx的值.【详解】43()3cos4sin5(sincos)5(sincoscossin)55fxxxxxxx=+=+=+()5sinx=+，其中3sin5=，4cos5=，当()sin=1x

+，即()π2π2xkk+=+Z时，函数()fx取到最大值.∴()π2π2kxk=+−Z，∴sincoscossinxx==，，即3cos5x=，4sin5x=，∴sin4tancos3xxx==.故答案：4316.在ABC中，

2AB=，3AC=，动点P在ABC内且满足BPBCPCBC=，则APBC的值为______．【答案】52【解析】【分析】由BPBCPCBC=得0BPBCCPBC+=,根据向量的加法法表示()()2APABBPACCP=+++，再进行

向量积运算得出结果.【详解】由BPBCPCBC=得0BPBCPCBC−=，即0BPBCCPBC+=.因为()()2APABBPACCP=+++,又2AB=，3AC=，所以()()()1122APBCABBPACCPBCABACBCBPBCCPBC=+++

=+++()()()22115222ABACACABACAB=+−=−=.故答案为：52.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知向量(2,1)a=

，(1,2)b=，(3,)c=．（1）若ca∥，求||c的值；（2）若()kaba+⊥，求k的值．【答案】（1）35||2c=（2）45k=−【解析】【分析】（1）由向量平行得出，进而由模长公式的得出||c的值；（2）根据向量垂直的坐标

表示得出k的值．【小问1详解】由ca∥得23=，∴32=，∴22335||322c=+=【小问2详解】由已知(2,1)(1,2)(21,2)kabkkk+=+=++，又()kaba+⊥，

∴(21)21(2)0kk+++=，解得45k=−18.已知复数z=m＋2i是方程26130xx++=的根（i是虚数单位，m∈R）（1）求|z|：（2）设复数20231iazz−=，（z是z的共复数），且复数1z所对应的

点在第三象限，求实数a的取值范围．【答案】（1）13z=（2）2332a−【解析】【分析】（1）将复数根代入方程中，根据复数相等即可求解，（2）根据i的周期性以及复数的除法运算法则化简得()()13223i13aaz−−+−=，结合复

数的结合意义即可列不等式求解.【小问1详解】由题知()2(2i)62i130mm++++=∴()2412i90mmm++++=即241203690mmmm+==−++=32iz=−+，22(3)213z=−+=【小问2详

解】()()()()()()1i32i3223ii32i32i32i13aaaaz+−+−−+−+===−−−−−+∴3202323032aaa−−−−19.已知在ABC中，N是边AB的中点，且4BMBC=，设AM与CN交于点P．记ABa=，ACb=．（1）用a，b表示向量AM，

CN；（2）若2||||ab=，且CPAB⊥，求,ab的余弦值．【答案】（1）3144AMab=+，12CNab=−（2）1cos,4ab=【解析】【分析】（1）根据平面向量的基底与三角形法则即可用a，b表示向

量AM，CN；（2）由CPAB⊥得CNAB⊥，代入向量数量积公式即可求得,ab的余弦值.【小问1详解】BCACABba=−=−()11314444AMABBMABBCabaab=+=+=+−=+1122CNCAANACABab=+=−+=−【小问2详解】∵,,NPC三点共线，由CPAB⊥

得CNAB⊥，0CNAB=12aba=−，即212aba=，∴221cos,2||cos,2aababaab==，∴1cos,4ab=，∴,ab的余弦值为14.20.已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点43,55P−

．将OP绕原点逆时针旋转π2后与角的终边重合．（1）求sin的值；（2）若角满足5sin()13+=，求cos值．【答案】（1）4sin5=−（2）56cos65=−或1665．【解析】【分析】（1）利用三角函数

的定义求得cos，再根据诱导公式求解即可；（2）利用()=+−及两角差的余弦公式求解即可.【小问1详解】因为角终边过点43,?55P−，所以22335sin54355==−+，

22445cos54355−==−−+，所以4sinsincos25=+==−.【小问2详解】由（1）得π3coscossin25=+=−=−，由()5sin13+=得()12cos13+=．又因

为()=+−，所以()()()coscoscoscossinsin=+−=+++当()12cos13+=时，1235456cos13513565=−+−=−；当(

)12cos13+=−时，1235416cos13513565=−−+−=所以56cos65=−或1665．21.在下列3个条件中任选一个，补充到下面问题，并给出问题的解答．①3sincos20cA

aCa−−=；②cos(cos3sin)cos0ABBC++=；③tan2tanCbaBb−−=；已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，D为AB边上的一点，______．（1）求角C；（2）若CD为角平分线，且1CD=，求ab+最小值．【答案】（1）2π3

C=（2）4【解析】【分析】（1）若选①根据条件得到π3sincos2sin26CCC−=−=，结合C取值范围即可求得2π3C=；若选②，根据三角形内角和定理以及和角公式可得πsin3cos2sin03CCC+=+=，再结合C取值范围即可求得2π3C=；若选③，先将切化

弦，然后利用两角和的正弦公式，再结合C取值范围即可求得2π3C=；（2）结合（1）的结论，利用余弦定理和角平分线的性质可得111ab+=，然后利用基本不等式中“1”的代换即可求解.【小问1详解】选①3sinsinsincos2sin0CAACA−−

=，因为(0,π)A，所以sin0A，则有π3sincos2sin26CCC−=−=πsin16C−=，∵()0,C，∴ππ62C−=，即2π3C=.选②：因为πABC++=，则π()ABC=−+，所以coscos[π()]cos()ABC

BC=−+=−+，则有()coscoscos3sincos0BCBCBC−+++=coscossinsincoscos3sincosBCBCBCBC−+++()sinsin3cos0BCC=+=πsin3cos2sin03CCC+=+=，∵()0,πC∴3ππC+=，即2π3C=

选③：sincossin2sincossinsinCBBACBB−−=sincossincos2sincosCBBCAC=−−()sinsin2sincosBCAAC+==−1cos2C=−，∵()0,πC，∴2π3C=【小问2详解】由余弦定理得

：221ADbb=+−，221BDaa=+−由角平分线定理得：22222211ADbbbBDaaa+−==+−，得abab=+则111ab+=，()1124ababababba+=++=++当且仅当2ab==时，等号成立.22.后疫情时代，很多地

方尝试开放夜市地摊经济，多个城市也放宽了对摆摊的限制．某商场经营者也顺应潮流准备在商场门前摆地摊．已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地AOB进行改造．如图所示，平行四边形OMPN区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点P在弧A

B上，点M和点N分别在线段OA和线段OB上，且90cmOA=，π3AOB=．记POB=．（1）请写出顾客的休息区域OMPN的面积S关于的函数关系式，并求当为何值时，S取得最大值；（2）记OPxOAyOB=+，若()0txy=+存在最大值，

求的取值范围．【答案】（1）π27003sin2135036S=+−，π03，π6=（2）1,22【解析】【分析】（1）在PMO△中，正弦定理可得603sinOM=，π603sin3PM=−，通过三角恒等变换可得π227003s

in2135036PMOSS==+−，π03，从而可求其最大值；（2）根据向量的运算，由OPxOAyOB=+得23sin3x=，23πsin33y=−，从而2323πsinsin333t=+−，再根据三

角函数的性质求解．小问1详解】由题可知，在PMO△中，90OP=，2π3PMO=，MPO=，π3MOP=−，则由正弦定理sinsinsinOPOMPMPMOMPOMOP==，可得90πsin3sin32OMPM==−，故可得603sinOM=，π603sin3PM

=−故13πsin603sin603sin243PMOSPMOMPMO==−2π3127003sinsin27003sincossin322=−=−31127003sin2cos2444=+−

1π127003sin2264=+−=π13503sin267536+−π03即π227003sin2135036PMOSS==+−

π03．当π6=时，πsin216+=，此时S取得最大值．【小问2详解】【由（1）知，603sinOM=，π603sin3ON=−∵OPxOAyOB=+，∴23sin3x=，23πsin33

y=−∴2323πsinsin333t=+−233π1πcossin32323=−+−−令π3=−，π0,3

∴2331cossin322t=+−当12时，t关于递减，不存在最大值当12时，2223123221(cossin)311ut−=−++−+−+

()2231sin3=−++，其中32tan12=−，π0,2∵π03，π3++要使t存在最大值，只需ππ32+，即π6∴3tan3得332132−解得1,22【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数中的最

值问题，难度较大，第一小问的关键是利用正弦定理求出OM，ON用表示，利用辅助角公式转换后再求最值；第二小问的关键是利用平面向量的运算得出x，y用表示，再通过换元π3=−，利用辅助角公式得到tan与的关系，根据的范围求解

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