【文档说明】北京市西城区北京师范大学第二附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(17)页，895.882 KB，由小赞的店铺上传

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北师大二附中2025届高二第二学期期中数学试题一、单选题1.在等差数列na中，若45615aaa++=，则28aa+=（）A.6B.10C.7D.5【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质可得：462852aaaaa+=+=，代入可得55a=，而要求的值为52a，代入可得．【详解】

由等差数列的性质可得：462852aaaaa+=+=所以45615aaa++=，即5315a=，55a=，故28522510aaa+===，故选：B．2.已知数列na的通项公式为na＝n2－n－50，则－8是该数列的()A.第5项B.第6

项C.第7项D.非任何一项【答案】C【解析】【分析】令8na=−，解出正整数n即为数列的第几项.【详解】由题意，令8na=−，解得7n=或6−（舍），即为数列的第7项.故选C.【点睛】本题考查数列通项公式的

应用，熟练掌握数列的基本性质，n为数列的项数.3.《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织420尺

布，则第2天织的布的尺数为A.16329B.16129C.8115D.8015【答案】A【解析】【详解】设公差为d,由题意可得：前30项和30S=420=30×5+30292d,解得d=1829.∴第2天织的布的尺数=5+d=1632

9.故选A.4.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于()A.-1B.1C.-2D.2【答案】A【解析】【分析】根据平均变化率的概念求解.【详解】易知()13f=，()31f=，因此()()31131ff−=−−，故选A【点睛

】求平均变化率的一般步骤：①求自变量的增量△x=x2-x1，②求函数值的增量△y=f（x2）-f（x1），③求函数的平均变化率()()2121fx-fxy=xx-x.5.已知等比数列na的各项均为正数，其前n项和为n

S，若22a=，5646aaa+=，则5(a=)A.4B.10C.16D.32【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，建立方程关系求出公比即可．【详解】由6546aaa+=得260qq+−=，解得2q=，从而352216aa==．故选C．【点睛】本

题主要考查等比数列通项公式的应用，建立方程关系求出公比是解决本题的关键．6.李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次．已知5月1日李明分别去了这四家超市配送，那么整

个5月他不用去配送的天数是（）A.12B.13C.14D.15【答案】B【解析】【分析】由题意将剩余天数编号，转化条件得李明每逢编号为3、4、6、7的倍数时要去配送，利用分类加法即可得解.【详解】将5月剩余的30天依次编号为1

，2，330，因为甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次，且5月1日李明分别去了这四家超市配送，所以李明每逢编号为3的倍数的那天要去甲超市配送，每逢编号为4的倍数的那

天要去乙超市配送，每逢编号为6的倍数的那天要去丙超市配送，每逢编号为7的倍数的那天要去丁超市配送，则李明去甲超市的天数编号为：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30，共10天；李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为：

4、8、16、20、28，共5天；李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在，共0天；李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为：7、14，共2天；所以李明需要配送的天数为1050217+++=，所以整个5月李明不用去配送的天数是301713−=.故选：B.【点睛】本题考查了计数原

理的应用，考查了逻辑推理能力、转化化归思想与分类讨论思想，关键是对于题目条件的转化与合理分类，属于中档题.7.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一

个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A.32fB.322fC.1252fD.1272f【答案】D【解析】【详解】分析：根据等比数列

的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为122，所以1212(2,)nnaannN−+=，又1af=，则127771281(2)2aaqff===故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音

成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1nnaqa+=（*0,qnN）或1nnaqa−=（*0,2,qnnN），数列{}na是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{

}na中，0na且212nnnaaa−−=（*3,nnN），则数列{}na是等比数列.8.已知等比数列na公比为q，其前n项和为nS，若3S、9S、6S成等差数列，则3q等于（）A.1B.12−C.12−或1D.1−或12【答案】B【

解析】【分析】因为3S、9S、6S成等差数列，所以9632SSS+=，显然1q，代由等比数列的前n项和公式化简即得所求【详解】因为3S、9S、6S成等差数列，所以9632SSS+=，显然1q，由等比数列的前n项和公式有()()()9631112111111aqaqa

qqqq−−−=+−−−，化简得9632qqq=+，又0q，所以6321qq=+解得312q=−或31q=（舍），故312q=−，故选：B.9.等比数列{}na中，12a=，84a=，函数128()()()()fxxxaxaxa=−−−，则(0)f=A.62B.92C.12

2D.152【答案】C【解析】【分析】将函数看做x与()()()128xaxaxa−−−的乘积，利用乘法运算的求导法则，代入0x=可求得()1280faaa=；根据等比数列性质可求得结果.【详解】()()()()128fxxaxxaxa−−=−

()()()()()()128128xaxaxaxaxaxaxx=+−−−−−−()()()()()()128128xxaxaxaxaxaxa−−−−−=+−()128

0faaa=又18273645aaaaaaaa===()()441218082faa===本题正确选项：C【点睛】本题考查导数运算中的乘法运算法则的应用，涉及到等比数列性质应用的问题，关键是能够将函数拆解为合适的两

个部分，从而求解导数值时直接构造出数列各项之间的关系.10.设()fx是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数,xyR，都有()()()fxfyfxy=+，若112a=，()()nafnnN+=，则数列na的前n项和nS的取值范围是()A.1,12

B.1,22C.1[,2]2D.1[,1]2【答案】A【解析】【分析】根据f（x）•f（y）＝f（x+y），令x＝n，y＝1，可得数列{an}是以12为首项，以12为等比的等比数列，进而可以求得Sn，进而Sn的取值

范围．【详解】∵对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）＝f（x+y），∴令x＝n，y＝1，得f（n）•f（1）＝f（n+1），即()()11nnfnaafn++==f（1）12=，∴数列{an}是以12为首项，

以12为等比的等比数列，∴an＝f（n）＝（12）n，∴Sn11122112n−==−1﹣（12）n∈[12，1）．故选A．【点睛】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）＝f（x+y）得到数列{an}是等比数列，属中档题．二、填

空题（共5小题；共10分）11.已知na是等差数列，若171,13aa==，则4a=_______.【答案】7【解析】【分析】根据等差数列的性质，直接计算结果.【详解】1742aaa+=，所以17472aaa+==.故答案为：712.已知函数2()42fxxx=−+，且0()2fx

=，那么0x的值为_____．【答案】3【解析】【分析】求导得()24fxx=−，进而由0()2fx=可得结果.【详解】由2()42fxxx=−+得()24fxx=−，则00()242fxx=−=，解得03x=.故答案为：3.13.nS是正项

等比数列na的前n和，318a=，326S=，则1a=______．公比q=______．【答案】①.2②.3【解析】【分析】讨论公比q的取值，联立方程组即可解出答案.【详解】当1q=时，333Sa，不满足题意，故1q；当1q时，有()2131181261aqaq

q=−=−，解之得：123aq==.故答案：2；3.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，属于基础题.熟练掌握等比数列的通项公式与前n项和公式是解本题的基础.14.将一个边长为6的正方形铁片的四角截去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖方盒.

当方盒的容积V取得最大值时，x的值为_________.【答案】1【解析】【分析】由题可得该方盒的容积()32424+36Vxxxx=−，03x，利用导数判断其单调性可求出最值.【详解】由题可得03x，可知该方盒的底面是一个边长为6

2x−，则该方盒的容积()()23262424+36Vxxxxxx=−=−，03x，()()()21248+361213Vxxxxx=−=−−，则当()0,1x时，()0Vx，()Vx单调递增，当()1,3x时，()0Vx，()Vx单调递减，当1x=时，()(

)max116VxV==，故当方盒的容积V取得最大值时，x的值为1.故答案为：1.为15.小明用数列{an}记录某地区2019年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记ak＝1，当第k天没下过雨时，记ak＝﹣1（1≤k≤31）；他用数列{bn}记录该地区该月每天气象台预报

是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记bk＝1，当预报第k天没有雨时，记bk＝﹣1（1≤k≤31）；记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+…+a31b31＝25，那么该月气象台预报准确的的总天数为_

____；若a1b1+a2b2+…+akbk＝m，则气象台预报准确的天数为_____（用m，k表示）.【答案】①.28②.2mk+【解析】【分析】根据题意得到akbk＝1表示第k天预报正确，akbk＝﹣1表示第k天预报错误，从而得到2mkx+=，根据25m=得到该月气象台预报准确的的总天数.【详

解】依题意，若1kkab=（131k），则表示第k天预报正确，若1kkab=−（131k），则表示第k天预报错误，若1122kkabababm+++=，假设其中有x天预报正确，即等式的左边有x个1，()k

x−个1−，则()xkxm−−=，解得2mkx+=，即气象台预报准确的天数为2mk+；于是若1122313125ababab++=+，则气象台预报准确的天数为3125282+=.故答案为：28，2mk+.【点睛】本题考查数列的实际应用，考查化归与转化的能力

，属于中档题.三、解答题16.已知等差数列na的前n项和为nS，且35a=−，424S=−．（1）求数列na的通项公式；（2）求nS的最小值．【答案】（1）211nan=−（2）25−【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式和前n项和公式列方程组求解可得；（2）利用通项公式确定

数列的负数项，可得5S最小，然后由求和公式可得.【小问1详解】设等差数列na的公差为d，则由条件得11254624adad+=−+=−，解得192ad=−=，所以()921211nann=−+−=−．【小问2详解】由（1）知211nan=−，

令2110nan=−，得5.5n，所以数列na的前5项和5S是nS的最小值，即()()51min5105921025nSSad==+=−+=−．17.已知在直三棱柱111ABCABC-中，19

01BACABBB===，，直线1BC与平面ABC成30的角．（1）求三棱锥11CABC−的体积；（2）求二面角1BBCA−−的余弦值．【答案】（1）26（2）33【解析】【分析】（1）根据侧棱与底面垂直可得130BCB=，由此求得底面三角形各边长；根据线面垂直

的判定可证得AB⊥平面1ACC，得到三棱锥11BACC−的高为11AB；利用等体积法1111CABCBACCVV−−=，根据三棱锥体积公式求得结果；（2）以A为原点建立空间直角坐标系，根据二面角的空间向量求法可求得结果.【详解】（1）三棱柱直三棱柱1BB⊥平面ABC，1AA⊥底面ABC1

BC与底面ABC所成角为1BCB130BCB=11ABBB==3BC=222ACBCAB=−=1AA⊥底面ABC，AB平面ABC1ABAA⊥又90BAC=，即ABAC⊥，1,AAAC平面1ACC，1AAACA=AB⊥平面1ACC，

又11//ABAB11AB⊥平面1ACC111111111122113326CABCBACCACCVVSAB−−====（2）以A为原点，可建立如图所示空间直角坐标系则()0,1,0B，()10,1,1B，()2,0

,0C，()0,0,0A()2,1,0BC=−，()10,0,1BB=，()10,1,1AB=，()2,0,0AC=设平面1BBC的法向量()1111,,nxyz=111111200BCnxyBBnz=−===，令11

x=，则12y=，10z=()11,2,0n=设平面1ABC的法向量()2222,,nxyz=122222020ABnyzACnx=+===，令21y=，则21z=−，20x=()20,1,1n=−为12121223cos,332nnnnnn===二面角1BBCA−−

为锐角二面角1BBCA−−的余弦值为33【点睛】本题考查立体几何中三棱锥体积的求解、空间向量法求解二面角的问题；求解三棱锥体积的常用方法为等体积法，将所求三棱锥转化为高易求的三棱锥，结合三棱锥体积公式求得结果.18.已知函数()3fxxaxb=++的图

象是曲线C，直线1ykx=+与曲线C相切于点()1,3．（1）求函数()fx的解析式；（2）求函数()fx的递增区间；（3）求函数()()23Fxfxx=−−在区间0,2上的最大值和最小值．【答案】（1）()33fxxx=−+；（2

）3,3−−，33,+；（3）()Fx的最大值为2，最小值为2−【解析】【分析】（1）将切点坐标代入切线方程可得k，根据切点处的导数等于切线斜率可得a，再将切点坐标代入曲线方程即可求得曲线方程；（2）求导，解不等式()0

fx即可；（3）求导，解方程()0Fx=，然后列表求极值，比较极值和端点函数值大小即可得解.【小问1详解】因为切点为()1,3，所以13k+=，得2k=．因为()23fxxa=+，所以()132fa=+=，得1a=−．则()3fxxxb=−+．由()13f=得3b=．所以()

33fxxx=−+．【小问2详解】由()33fxxx=−+得()231fxx=−．令()2310fxx−=，解得33x−或33x．所以函数()fx的递增区间为3,3−−，3,3+．【小问3详解】()()323,33FxxxFxx=−=−，令()

2330Fxx−==，得1211xx=−=，．列表：x0()0,11()1,22()Fx-0+()Fx0递减极小值递增2因为()()()12,00,22FFF=−==，所以当0,2x时，()Fx的最大值为2，最小值

为2−．19.已知函数()lnfxxxa=−−．（1）若()0fx，求a的取值范围；（2）证明：若()fx有两个零点1x，2x，则121xx．【答案】（1）(,1−；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求导，分别解不等式()

0fx，()0fx即可；（2）设12xx，结合（1）可知1201xx，构造函数()()1gxfxfx=−，利用导数判断单调性即可得()()1221fxfxfx=，结合()fx在()0,1上单调递减即

可得证.【小问1详解】由题意知函数()fx的定义域为()0,+，解()10xfxx−=得1x，解()10xfxx−=得01x，所以函数()fx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，所以()()min11

fxfa==−，又()0fx，所以10a−，解得1a，所以a的取值范围为(,1−．【小问2详解】不妨设12xx，则由（1）知1201xx，2101x，构造函数()()112lngxfxfxxxx=−=−−，则()()22211210

xgxxxx−=+−=，所以函数()gx()0,+上单调递增，所以当1x时，()()10gxg=，即当1x时，()1fxfx，所以()()1221fxfxfx=，又()fx在()0,1上单调递减，所以12101xx，

即121xx．20.已知椭圆2222:1(0)xyabab+=过点(2,0)A−，且2ab=.（1）求椭圆的方程；在（2）设O为原点，过点(1,0)C的直线l与椭圆交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别与y轴交于M，N两点.求证：||||OMON为定值.【答案

】（1）2214xy+=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题可得2a=，进而得出1b=，即可得出椭圆方程；（2）先考虑直线斜率不存在时，可得1||||=3OMON，当斜率存在时，设出直线方程，联

立直线与椭圆，得出韦达定理，得出直线AP的方程，可表示出M坐标，同理表示出N的坐标，进而利用韦达定理可求出||||OMON.【详解】解：（1）因椭圆过点(2,0)A−，所以2a=.因为2ab=，所以1b=.所以椭圆的方程为2214xy+=.（2）当直线l斜率不存在时，直线l的方程

为1x=.不妨设此时3(1,)2P，3(1,)2Q−，所以直线AP的方程为3(2)6yx=+，即3(0,)3M.直线AQ的方程为3(2)6yx=−+，即3(0,)3N−.所以1||||=3OMON.当直线l斜率存在时，

设直线l的方程为(1)ykx=−，由22(1)14ykxxy=−+=，得2222(41)8440kxkxk+−+−=.依题意，0.设11(,)Pxy，22(,)Qxy，则2122841kxxk+=+，21224441kxxk−=+.为又直线AP的方

程为11(2)2yyxx=++，令0x=，得点M的纵坐标为1122Myyx=+，即112(0,)2yMx+.同理，得222(0,)2yNx+.所以||||=OMON12124(2)(2)yyxx++212124(1)(1)(2)(2)kx

xxx−−=++2121212124[()1]2()4kxxxxxxxx−++=+++2222222224484(1)41414416+44141kkkkkkkkk−−+++=−+++22222224(44841)44+16164kkkkkkk−−++=−++221236kk=13=.综上，|||

|OMON为定值，定值为13.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11Axy，，()22Bxy，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为12

12,xxxx+形式；（5）代入韦达定理求解21.约数，又称因数.它的定义如下：若整数a除以整数()0mm得到的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数．设正整数a共有k个正约数，即为1a，2a，L，1ka−，()12kkaaaa．（1）

当4k=时，若正整数a的k个正约数构成等比数列，请写出一个a的值；（2）当4k时，若21aa−，32aa−，L，1kkaa−−构成等比数列，求正整数a的所有可能值；（3）记12231kkAaaaaa

a−=+++，求证：2Aa．【答案】（1）8a=（答案不唯一）；.（2）12kaa−=，中2a为质数；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据定义得11a=，然后取公比为2即可得8a=；（2）根据约数定义分析其规律，然后化简3212112kkkkaaaaaaaa−−−−−=−

−可得232321aaaaa−=−，由2a是整数a的最小质因数可得232aa=，进而可得公比，然后可求a；（3）利用()11ikiaaaik+−=变形得22212112kkkkaaaAaaaaaa−−−=+++，然后利用裂项相消法结合放缩放即可得证.【小问1详解】

由题意可知，11a=，当4k=时,正整数a的4个正约数构成等比数列，取公比为2得：1，2，4，8为8的所有正约数，即8a=．【小问2详解】根据约数定义可知，数列na中，首尾对称的两项之积等于a，即()11ikiaaaik+−=，所以11a=，kaa=，12kaa

a−=，23kaaa−=，因为4k，依题意可知3212112kkkkaaaaaaaa−−−−−=−−，所以3222123aaaaaaaaaaa−−=−−，化简可得()()2232231aaaa−=−，所以232321aaaaa−=−

，因为3aN，所以3221aaaa−−N，因此可知3a是完全平方数．由于2a是整数a的最小质因数，3a是a的因子，且32aa，所以232aa=，所以，数列21aa−，32aa−，L，1kkaa−−的公比为2322222121aaaaaaaa−−==−−，所

以2132aaaa−−，，L，1kkaa−−为21a−，222aa−，L，1222kkaa−−−，所以()124kaak−=，其中2a为质数．【小问3详解】由题意知1ikiaaa+−=（1ik），所以22212112kkkkaaaAaaaaaa−−−=+++，因为21121212111

aaaaaaaa−=−，L，1111111kkkkkkkkaaaaaaaa−−−−−=−，所以22212112kkkkaaaAaaaaaa−−−=+++212112111kkkkaaaaaaa−−−=+++2212231111111111kkk

aaaaaaaaaa−−+−++−=−因为11a=，kaa=，所以1111kaa−，所以22111kAaaaa−，即2Aa．【点睛】关键点睛：本题关键在于根据约数

定义分析其性质，抓住11,kaak==，()11ikiaaaik+−=，以及2a为质数即可求解.