【文档说明】安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一上学期数学素质拓展训练（五） Word版含解析.docx，共(16)页，776.808 KB，由小赞的店铺上传

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合肥一中2023~2024学年度第一学期高一数学素质拓展训练（五）考试用时：90分钟满分：120分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合|12Axx=−，|

13Bxx=，则AB=（）A.0,1,2B.11xx−C.|13xx−D.|11xx−或13x【答案】C【解析】【分析】根据集合间的运算，利用数轴法分析运算即可得解.【详解】

解：如上图，∵|12Axx=−，|13Bxx=，∴|13ABxx=−故选：C.2.下列选项中，使12x−成立的一个必要不充分条件是（）A.13x−B.33x−C.03xD.04x【答案】B【解析】【分析】根据充

分条件和必要条件的定义，结合数集的包含关系，对选项进行判断.【详解】不等式12x−解得13x−，根据充分条件、必要条件的定义可知：对于A，13x−是充要条件，A错误；对于B，()1,3−()3,3−，33

x−是12x−成立的一个必要不充分条件，B正确；对于C，()0,3()1,3−，03x是12x−成立的一个充分不必要条件，C错误；.对于D，()0,4与()1,3−没有包含关系，04x是既不充分也

不必要条件，D错误.故选：B.3.下列命题的否定为假命题的是（）A.Rx，210x+=B.Rx，0xx+C.)0,x+，11xx++D.Rx，2Qx【答案】C【解析】【分析】根据原命题与其否定真假性相反可得.【详解】选项A：因210x+=无实

数解，故命题Rx，210x+=为假命题，其否定为真命题，故A错误；选项B：当0x时，20xxxxx+=+=，当0x时，0xxxx+=−+=，故0xx+，即命题Rx，0xx+为假命题，其否定为真命

题，故B错误；选项C：当0x时，因为()21112120xxxxxx+−+=+−−−=−，所以()211xx++，即11xx++，故命题)0,x+，11xx++为真命题，其否定为假命题，故C正确；选项D：2xx=，因Rx，所以x不一定为有理数，

故命题Rx，2Qx为假命题，其否定为真命题，故D错误.故选：C4.已知0,1,1ababa−=，则ab+的最小值为（）A.1B.2C.3D.5【答案】C【解析】【分析】确定()11ab−=，根据均值不等式()121abab+−−得到答案.【详解】因为

1b，所以10b−．因为()11abaab−=−=，所以()1212abab+−−=，当且仅当1ab=−，即1,2ab==时，等号成立，故ab+的最小值为3．故选：C.5.已知定义域为R的偶函数()fx满足：对任意的)1212,0,,xxxx+，都有()()()12

120xxfxfx−−．若()()12fmf+，则m的取值范围是（）A.(0,1B.(3,1−C.(),31,−−+D.(),13,−+【答案】C【解析】【分析】根据条件得到()fx在)0,+上单调递增，再利用函数是偶函数，得到()fx在(),0−

上单调递减，根据单调性，得到不等式，解出即可.【详解】因为()()()12120xxfxfx−−，所以()fx在)0,+上单调递增．因为()fx为偶函数，所以()fx在(),0−上单调递减．若()(

)12fmf+，则12m+或12m+−，解得1m或3m−．故选：C.6.已知2()yfxx=+为奇函数，且(1)1f=．若()()2gxfx=+，则(1)g−=（）A.1−B.1C.3−D.3【答案】A【解析】【分析】2()yfxx=+奇函数，可求出

(1)3f−=−，进而可求.【详解】设2()()yfxxhx+==，因其为奇函数，()()hxhx−=−，则22(()())fxxxfx=−−−−+，则22((1)(1))11ff=−−−−+，得(1)3f−=−，则(1)(1)2321gf−=−+=−+=−.故选：A7.不等式20axb

xc++的解集为32xx−，则下列选项正确的为（）A.0abc++B930abc++为.C.不等式20cxaxb++的解集为1132xx−D.不等式20cxbxa++的解集为12xx

或13x−【答案】D【解析】【分析】赋值法可解AB，消去参数可解CD.【详解】记()2fxaxbxc=++，因为132xx−所以()10fabc=++，故A错误；因为332xx−所以()3930fabc=++，故B错误；由题知3−和2是方程20ax

bxc++=的两个实根，所以321ba−=−+=−，326ca=−=−且0a解得,6baca==−故()22216106102cxaxbaxxxxx++=−−−−−或13x−，C错误；()22216106102cxbxaaxxxxx++=−−−−−或

13x−，D正确；故选：D.8.我们知道，函数()yfx=的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()yfx=为奇函数，可将其推广为:函数()yfx=的图象关于点(),Pab成中心对称图形的充要条件是函数()yfxab

=+−为奇函数.则函数32()31fxxx=−++图象的对称中心为（）A.()13，B.()13−，C.()13−，D.()13−−，【答案】A【解析】【分析】根据32()31fxxx=−++，求得()yfxab=+−的解析式，利用其为奇函数，得到方程组，求解即可.【详解】

设函数32()31fxxx=−++图象的对称中心为(),ab，则函数()yfxab=+−为奇函数，即()32322323()1(33)(63)31yxaxabxaxaaxaab=−++++−=−+−+−−

++−要使函数y为奇函数，必有32330310aaab−=−++−=，解得13ab==.故选：A.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的

得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.下列说法正确的有（）A.Rx，0xx+B.“1a”是“2aa”的充分不必要条件C.“0ab”是“220ab+”的充要条件D.“ab”是“110ab”的必要不充分条

件【答案】ABD【解析】【分析】按x分类讨论去绝对值判断选项A；先求得不等式2aa的解集再判断二者间的逻辑关系进而判断选项B；先将0ab和220ab+化简再判断二者间的逻辑关系进而判断选项C；先将110ab化简再判断二者间的逻辑关系进而判断选项D.【详解】选项A：当0x时，20x

xx+=；当0x时，00xx+=，故有Rx，0xx+.判断正确；选项B：由2aa，可得1a或0a，则由1a可得2aa成立，但由2aa不能得到1a.则“1a”是“2aa”的充分不必要条件.判断正确；选项C：由0ab可得0a且0b；由220ab+可得0a或0b

；则“0ab”是“220ab+”的充分不必要条件.判断错误；选项D：由110ab可得0ab，则“ab”是“110ab”的必要不充分条件.判断正确.故选：ABD10.位于山东省中部的泰山，为五岳之一，素有“五岳之首”“天下第一山”之称.小明和小刚相约登泰山，若小明上山

的速度为1v，下山（原路返回）的速度为212()vvv，小刚上山和下山的速度都是122vv+，设上山路程为L，若两人途中休息时间忽略不计，则（）A.小刚上山和下山所用时间之和为124Lvv+B.小明上山和下山所用时间之和为1212()L

vvvv+C.小明上山和下山所用时间之和比小刚上山和下山所用时间之和少D.小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少【答案】ABD【解析】【分析】根据路程与速度的关系表示时间并结合基本不等式比较大小,逐一判断各选项即可.【详解】对于A,小刚上山和下山所用时间之

和为1212242LLvvvv=++,故A正确;对于B,小明上山和下山所用时间之和为()121212LvvLLvvvv++=,故B正确.对于C、D,因为12vv，所以𝐿(𝑣1+𝑣2)𝑣1𝑣2>2𝐿√�

�1𝑣2𝑣1𝑣2=2𝐿√𝑣1𝑣2,而1212124422LLLvvvvvv=+，所以()1212124LvvLvvvv++，小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少.故C错误，D正确.故选：ABD.11.已知关于x

不等式(1)(2)10(0)axxa−−+的解集是()()1212,xxxx，则（）A.0aB.123xx+=C.211xx−D.1212xx【答案】ABC的【解析】【分析】依题意0a

，且1x、2x是关于x的方程23210axaxa−++=的两根，即可判断A、B，利用韦达定理判断C，再结合函数与x轴的交点情况判断D.【详解】因为关于x的不等式(1)(2)10(0)axxa−−+的解集是()()1212,xxxx，所以0a，且1x、2

x是关于x的方程(1)(2)10axx−−+=即23210axaxa−++=的两根，所以123xx+=，故A、B正确，又122112axxaa+==+，所以()2221121214434211xxxxxxaa−=+−=−+=−，故C正确；又()()12yaxx=−−()

0a与x轴有两个交点()1,0，()2,0，而()()121yaxx=−−+是将函数()()12yaxx=−−向上平移一个单位得到，所以()()121yaxx=−−+与x轴的交点横坐标11x，22x，所以1212xx，故D错误；故选：ABC12.已知函数()fx的定义域

为R，且()()()fxyfxfy+=+，当0x时，()0fx，且满足()21f=，则下列说法正确的是（）A.()fx为奇函数B.()21f−=−C.不等式()()232fxfx−−−的解集为()5,−+D.()()()()()202320220202220232

023fffff−+−++++=LL【答案】AB【解析】【分析】根据奇函数的定义，并结合条件，即可判断A；根据奇函数的性质求()2f−的值，即可判断B；根据单调性的定义，判断函数的单调性，再求解不等式，判断C；根据奇函数的性质求和，判断D.【详解】对于A中，令0xy=

=，可得()()()()00020ffff=+=，所以()00f=，令yx=−，得到()()()00fxfxf−+==，即()()fxfx−=−，所以()fx为奇函数，故A正确；对于B中，因为()fx为奇函数，所以()()2

=21ff−−=−，故B正确；对于C中，设1212,,xxxxyx==，可得()()()1212fxxfxfx−=+−，所以()()()()()121212fxfxfxfxfxx−=+−=−，又因为12xx，所以120xx−，所以()120fxx−，即()()12fx

fx，所以()fx在R上单调递增，因为()21f−=−，所以()()()422222fff−=−−=−=−，由()()232fxfx−−−，可得()()()234fxfxf−+−，所以()()()2347fxfxfx−−=−，所以27xx−，得到7

x−，所以()()232fxfx−−−的解集为()7,−+，所以C错误；对于D中，因为()fx为奇函数，所以()()0fxfx−+=，所以()()()()()()2023202320222022110ffff

ff−+=−+==−+=L，又()00f=，故()()()()()202320220202220230fffff−+−++++=LL，所以D错误.故选：AB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某

班共42人，其中20人喜爱篮球运动，25人喜爱乒乓球运动，12人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为__________.【答案】5【解析】【分析】根据集合的韦恩图即可求解.【详解】设集合A表示：喜爱篮球运动的学生，集合B表示

：喜爱乒乓球运动的学生，整个班级学生为集合U,则由题可知，A的元素个数为20，B的元素个数为25，则U()ABð的元素个数为12，所以AB的元素个数为421230−=，所以AB的元素个数为20253015+−=，所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动人数为20155−=人，的故答案

为:5.14.已知0,0,235abab+=，则()()2231ab++的最大值是______.【答案】16【解析】【分析】根据()()22318ab+++=结合基本不等式即可得解.【详解】因为0,0,235abab+=，所以()()22318ab+++=，所以

()()()()22223122314162abab+++++==，当且仅当2231235abab+=++=即11ab==时，等号成立.故答案为：16.15.已知幂函数()()3*

Nmfxxm−=的图象关于y轴对称，且()fx在()0+，上是减函数，求满足(1)(32)famfam+−−−的实数a的取值范围________．【答案】()2,11,23U【解析】【分析】根据幂函数的性质确定1m=，进而利用函数的单调性和奇偶性解不等式即可求解.【

详解】因为幂函数()()3*Nmfxxm−=的图象关于y轴对称，且()fx在()0+，上是减函数，30m−，则1,2m=，当2m=时()1fxx−=是奇函数，不满足题意，1m=，时()2fxx−=是偶函数且在

()0+，上是减函数，，满足题意，根据函数()fx图象关于y轴对称，且()fx在()0+，上是减函数，可得()fx在(),0−上是增函数，由()2fxx−=可知定义域为|0xx，由(1)(32)famfam+−−−，可得()(22)fafa−，所以220aa−，即22(22)

220aaa−−，解得213a或12a，故答案为:()2,11,23U.16.设函数()29,8(3),axxafxxxa−=−−，存在最大值，则a的取值范围是____

______.【答案】0,4【解析】【分析】对a进行分类讨论，根据函数的单调性以及最大值求得a的取值范围.【详解】①当0a时，函数()fx在(),a−上单调递减，因此()fx不存在最大值；②当0a=时，()29,08(3),0xfxxx−

=−−，当0x时，()max()389fxf==−，故函数()fx存在最大值；③当03a时，故函数()fx在(),3a上单调递增，在()3,+上单调递减，故xa时，()28(3)8fxx=−−，当xa时，函数()f

x在()a−，上单调递增，此时()()29fxfaa=−，于是298a−时函数存在最大值.又03a，解得03a；④当3a时，函数在(),a+上单调递减，()()28(3)fxfaa

=−−，在(),a−上单调递增，此时()()29.fxfaa=−故当228(3)9aa−−−，解得14a−，又3a，故34a；综上，a的取值范围是04a时函数()fx存在最大值.故答案为：0,4【点睛】含参数

的函数的最值问题，往往需要结合函数的单调性以及对参数进行分类讨论来进行求解，分类标准的制定，可以根据函数解析式的结构来进行制定，分类标准要做到不重不漏.四、解答题：第17题，第18题满分10分，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合

37,122AxxBxtxt=−=+−．（1）在①ABRR痧，②ABA=，③ABB=三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答．问题：当集合,AB满足______时，求t的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．（2）若AB=，求t的取值范围

．【答案】（1）9,2−（2）()(),36,−+【解析】【分析】（1）根据集合的包含关系分B=和B两种情况求参；（2）根据交集分B和B=两种情况求参.【小问1详解】选择①②③，都有

BA．当B=时，122tt+−，解得3t．当B时，13,227,122,tttt+−−+−解得932t．综上，t的取值范围为9,2−．【小问2详解】当B=时，由122tt+−，解得3t，符合题意．当B时，223,122t

tt−−+−或17,122,ttt++−解得6t．综上，t的取值范围为()(),36,−+．18.已知函数2(),(2,)1xfxxx=+−．（1）判断函数()fx在(2,)+上的单调性，

并证明；（2）若(21)(4)fafa+−，求a的取值范围．【答案】（1）函数𝑓(𝑥)在()2,+上单调递增，证明见解析（2）(1,2)【解析】【分析】（1）利用定义法即可证明函数()fx在(2,)+上单调递增；（2）由（1），根据

(21)(4)fafa+−可得21421242aaaa+−+−，解之即可求解.【小问1详解】函数()fx在(2,)+上单调递增.证明：设122xx，则22222212122112211212121212121212(1)(1)(1)(1)()[()]()()

11(1)(1)(1)(1)(1)(1)xxxxxxxxxxxxxxxxfxfxxxxxxxxx−−−−−−−−+−=−===−−−−−−−−，由122xx，得121212120,(1)(1)0,xxxxxxxx−−−

+，所以1212121212()[()]()()0(1)(1)xxxxxxfxfxxx−−+−=−−，即12()()fxfx，所以函数()fx在(2,)+上单调递增；【小问2详解】由（1）知函数()fx在(2,)+上单调递增，又(21)(4)fafa+−，则

21421242aaaa+−+−，解得12a，即实数a的取值范围为(1,2).五、链接高考：第19和第20题每题5分，第21题10分，满分20分.19.某市一个经济开发区的公路路线图如图所示，七个公司1234567

,,,,,,AAAAAAA分布在大公路两侧，有一些小公路与大公路相连.现要在大公路上设一快递中转站，中转站到各公司（沿公路走）的距离总和越小越好，则这个中转站最好设在（）A.路口CB.路口DC.路口ED.路口F【答案】B【解析】【分析

】根据给定图形，用d表示7个公司到大公路最近的小公路距离和，1234,,,BCdCDdDEdEFd====，再求出到路口C，D，E，F的距离总和，比较大小作答.【详解】观察图形知，1234567,,,,,,AAAAAAA七个公司要到中

转站，先都必须沿小公路走到小公路与大公路的连接点，令1A到B、2A到C、3A到D、4A到D、5A到E、6A到E、7A到F的小公路距离总和为d，1234,,,BCdCDdDEdEFd====，路口C为中转站时，距离总和12232324321234()()()53CSdddd

dddddddddddd=++++++++++=++++，路口D为中转站时，距离总和12233431234()()23DSddddddddddddd=+++++++=++++，路口E为中转站时，距离总和123233341234()()24ESdddddddddddddd=++++++++=++++

，路口F为中转站时，距离总和()()()1234234344123422246FSdddddddddddddddd=++++++++++=++++，显然,CDFEDSSSSS，所以这个中转站最好设在路口D.故选：B【点睛】思路点睛：涉及

实际问题中的大小比较，根据实际意义设元，列式表示出相关量，再用不等式的相关性质比较即可.20.已知函数()fx定义域为R，满足()()()fxfyxyfxy++=+，当0x时，总有()31fxxfx=，则12f

的值是（）A.18B.38C.58D.78【答案】B【解析】【分析】在等式()()()fxfyxyfxy++=+中，分别令12xy==、1xy==可得出()2f、12f的关系式，再由()31fxxfx=，可得出()1282ff=，即可得出关于

()2f、12f的方程组，即可解得12f的值.【详解】在等式()()()fxfyxyfxy++=+中，令12xy==可得()112124ff+=，令1xy==可得()()111322112

2142422ffff=+=++=+，当0x时，总有()31fxxfx=，则()1282ff=，所以，11384222ff=+，解得132

8f=，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数求值，对自变量赋值是解题的关键，要注意所求函数值对应的自变量与所赋的自变量值之间的关系.21.已知函数()fx是定义域在R上的奇函数，当0x时，()2fxxax=−+

.（1）当1a=时，求函数()fx的解析式；（2）若函数()fx为R上的单调函数.且对任意的)1,m+，()221240tfmtmfmm−+−恒成立，求实数t的范围.【答案】（1）22,(0)(),(0)x

xxfxxxx−+=+（2）5,3−【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义和0x时()fx的解析式，即可得出0x时的解析式，进而得出答案；（2）由()fx的单调性和奇偶性解不等式，通过参变分离、换元法、构造函数求单调性，求得函数的最值，可求实数t的范围．【小问1详解

】函数()fx是定义域在R上的奇函数，1a=，当0x时，2()fxxx=−+．当0x时，有0x−，22()()()fxfxxxxx=−−=−−−=+．所以22,(0)(),(0)xxxfxxxx−+=+．【小问2详解】因奇函数在关于原点对称的区间上有相

同的单调性，由2()fxxax=−+在)0,+上单调递减，故函数()fx为单调递减函数，由()221240tfmtmfmm−+−，可得()2221124ttfmtmffmmmm−−−=−，故22124tmtmmm

−−，即221124mtmmm++，又注意到22211424mmmm+=+−，结合)1,m+，知120mm+，得：14(2)1(2)tmmmm+−+．令1()2=

+gxxx，其中)1,x+，任取121xx，故2112121212121212111()()222()()2xxgxgxxxxxxxxxxxxx−−=+−−=−+=−−，因121xx，则120xx−，

121xx，12120−xx，故12121()20xxxx−−，即12()()gxgx，所以()gx在)1,+上单调递增，得()()13gxg=．又令12mnm+=，则14(2)1(2)tmmmm+−+转化为4

tnn−，其中3n．要使式子成立，需t小于4nn−的最小值．又注意到函数yx=与函数4yx=−均在)3,+上单调递增，则函数4yxx=−在)3,+上单调递增．故445333nn−−=，得53t，则t的范围为5,3−．