【文档说明】北京市第十五中学南口学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(15)页，646.766 KB，由管理员店铺上传

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十五中南口学校2023－2024学年度第一学期期中考试高一年级数学试卷2023年11月（考试时间：120分钟，满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：（每小题4分，共48分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合13,0,

1,2AxxB==∣，则AB=（）A.{2}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2}【答案】A【解析】【分析】求交集可得答案.【详解】因为集合13,0,1,2AxxB==∣，所以2AB=.故选

：A.2.命题p：“xR，210x+”，则下列表述正确的是（）A.命题p是真命题B.命题“p：xR，210x+”是真命题C.命题“p：xR，210x+”是假命题D.命题“p：xR，210x+”是真命题【答案】B【解

析】【分析】判断命题p的真假可判断A；命题的真假判断和含有一个量词的命题否定可判断B，C，D.【详解】因为211x+，所以命题p是假命题，故A不正确；命题“p：xR，210x+”是真命题，故B正确，C、D不正确.故选：B.3.下列四个图形中，不是．．

函数图象的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数定义分析判断.【详解】根据函数的定义可知：直线xa=与函数图象至多有一个交点，所以ABD选项中的图象符合，C选项不符合.故选：C.4.设0mn，则

下列不等关系中不能成立的是（）A.mnB.33mnC.11mnD.11mnm−【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质判断ABC，举反例判断D.【详解】对于A：0mn，0mn−−，即mn，A正确；对于B：0mn，33mn，B正确；对于C：0mn，0mn，mnm

nmn，即11mn，C正确；对于D：取2,1mn=−=−，满足0mn，但11112mnm=−=−−，D错误.故选：D.5.已知函数()fx为奇函数,且当0x时,()21fxxx=+,则()1f−=A.-2B.0C.1D.2【答案】A【解析】

【详解】因为()fx是奇函数，所以(1)(1)(11)2ff−=−=−+=−，故选A.6.已知aR，则“1a”是“11a”的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】根据

充分性和必要性判断即可.【详解】当1a时，11a；当11a时，a<0或1a，所以1a是11a的充分不必要条件.故选：A.7.下列四个函数中，不具有奇偶性的是（）A.()21fxx=−B.()2fxxx

=+C.()3fxxx=+D.()0fx=【答案】B【解析】【分析】对于ACD，利用函数奇偶性判断方法判断即可；对于B，举反例即可排除.【详解】易知选项ABCD中的函数的定义域为R，即它们的定义域关于原点对称，对于A，因为()21fx

x=−，所以()()()2211fxxxfx−=−−=−=，故()fx是偶函数，故A不符合要求，错误；对于B，令1x=，则2112y=+=，即()1,2是()2fxxx=+上的点，易知()1,2关于原点对称的点为()1,2−

−，显然()1,2−−不是()fx上的点，而()1,2关于y轴对称的点为()1,2-，显然()1,2-也不是()fx上的点，即()fx的图像上至少存在一点()1,2即不关于原点对称，也不关于y轴对称，所以()fx既不是奇函数，也不是偶函数，故B符合要求，正确；对

于C，因为()3fxxx=+，所以()()()()33fxxxxxfx−=−+−=−+=−，故()fx是奇函数，故C不符合要求，错误；对于D，因为()0fx=，所以()()()0fxfxfx−==−=，所以()fx既是奇函数，

也是偶函数，故D不符合要求，错误.故选：B.8.已知偶函数()fx在区间(,1−−上单调递减，则下列关系式中成立的是（）的A.()()5322fff−−B.()()5322fff−−C.()()5232fff−−D.()()5232f

ff−−【答案】D【解析】【分析】由条件可得函数在[1,)+上单调递增，所以自变量的绝对值越大函数值越大，再根据5322−−，可得5(3)()(2)2fff−−，进而得出结论.【详解】因为偶函数()fx在区间(,1−−上单调递减，所以函数在[1,)+上

单调递增，故自变量的绝对值越大，对应的函数值越大，又5322−−，所以5(3)()(2)2fff−−，故选：D.9.函数()yfx=在()0,+是减函数，且120xx，则下列选项错误的是（）A.()()12fxfxB.()()120fxfx−C.()()()12

120xxfxfx−−D.()()12120fxfxxx−−【答案】D【解析】【分析】根据函数单调性的定义依次判断各个选项即可.【详解】()yfx=在()0,+上是减函数，120xx，()()12fxfx，A正确；()()120fxf

x−，B正确；又120xx−，()()()12120xxfxfx−−，()()12120fxfxxx−−，C正确，D错误.故选：D.10.函数()()30fxxxx=−的零点所在的区间是（）A.()2,1−−B.()0,1C.()1,2D.()2

,3【答案】C【解析】【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.【详解】解：因为()3fxxx=−在()0,+上单调递增，且连续，又()120f=−，()3122022f=−=，即()()120ff，所以()()30fxxxx=−在()1,2上存在唯一零点.故选：C11

.若函数()fx是定义域为R的偶函数，在(),0−上是减函数，且()20f−=，使()0fx的x的取值范围是（）A.()2,2−B.(),2−C.()2,+D.()(),22,−−+【答案】A【解析】【分析】由题意可得出()f

x在()0+，上是增函数，且()20f=，即可求出()0fx的x的取值范围.【详解】因为函数()fx是定义域为R的偶函数，在(),0−上是减函数，且()20f−=，所以()fx在()0+，上是增函数，且()20f=，所以()0f

x的x的取值范围是()2,2−.故选：A.12.下列命题正确的是（）A.21,xxnn=+N表示所有正奇数集B.右侧韦恩图中的阴影部分，表示的集合是UMðC.函数()2xfxx=与函数()gxx=表示同一函数D.不等式12x−解集是13xx−的【答案】D【解析】

【分析】由121,xxnn=+N可知A错误；由韦恩图直接判断即可知B错误；根据两函数定义域不同可知表示的不是同一函数，知C错误；解绝对值不等式可知D正确.【详解】对于A，121,xxnn=+N，A错误；对于B，设阴影部分表示的集合为N，则UNMð

，B错误；对于C，()fx的定义域为0xx，()gx的定义域为R，()fx\与()gx不是同一函数，C错误；对于D，由12x−得：212x−−，解得：13x−，即不等式的解集为13xx−，

D正确.故选：D.第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共6道小题，每小题5分，共30分.）13.已知21,2,31Maa=−−，1,3N=，且NM，则a的值为________；【答案】1−或4【解析】【分析】根据真子集关系可得2313aa−−=，运算求解即可.【详解】因为

N是M的真子集，则2313aa−−=，解得4a=或1a=−.故答案为：1−或4.14.函数2yx=在区间[1,2]上的平均变化率为___________.【答案】3【解析】【分析】利用平均变化率的定义求解．【详解】函数2yx=在区间[1,2]上的平均变化率为

2221321−=−，故答案为：315.函数2()1xfxx+=−的定义域是________.【答案】{|2xx−…且1}x【解析】【分析】根据分明不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式求解.【详解】由题意，要使函数有意义，则1020xx−+，解得，1x

且2x−；故函数的定义域为：{|2xx−…且1}x.故答案：{|2xx−…且1}x.【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.16.设()1,02,0xxxfxx−=，则()1f=______；()()

4ff=______【答案】①.0②.12##0.5【解析】【分析】将x的取值代入对应的解析式即可求得结果.【详解】()1110f=−=，()4141f=−=−，()()()114122fff−=−==.故答案为

：0；12.17.比较大小：22xx+______3x−−（填“=、>、<、、”）【答案】【解析】【分析】利用作差法与配方法即可求解.【详解】因为()222323330234xxxxxx+−−−=+++=+，所以223xxx+−−.故答案为：.为18.已知函数5,1(

)1,1axxfxxx+=（1）若4a=−，函数()fx的值域为______（2）若()fx是R上的减函数，则a的范围是______【答案】①.()0,+②.)4,0−【解析】【分析】（1）利用一次函数与反比例函数

的单调性即可求得()fx的值域；（2）分段讨论()fx的单调性，且在间断点处有51a+，由此可得a的范围.【详解】（1）因为4a=−，当1x时，()45fxx=−+，显然()fx在(,1−上单调递

减，故()()11fxf=；当1x时，()1fxx=，显然()fx在()1,+上单调递减，且()0fx，故()()11fxf=；综上：()0fx，即()fx的值域为()0,+；（2）因为()fx是R上的减函数，

所以当1x时，()5fxax=+在(,1−上为减函数，故a<0，且()()15fxfa=+，当1x时，()1fxx=，显然()fx在()1,+上单调递减，且()()11fxf=，所以51a+，解得4a−，故40a−，即

a的范围为)4,0−.故答案为：()0,+；)4,0−.三、解答题：（共6道题，每道小题12分，共计72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.求下列不等式的解集.（1）24410xx++；（2）2112xx+−；（3）213x−【答案】19.11,,22

−−−+20.)3,2−21.(),12,−−+【解析】【分析】（1）直接配方解不等式；（2）移项，通分，然后变整式不等式求解；（3）不等式两边同时平方转化为二次不等式求解.【小问1详解】24410x

x++，即()2210x+，210x+，即12x−，不等式的解集为11,,22−−−+；【小问2详解】()()3202121311003222220xxxxxxxxxx+−+++−−−−−−，不等式的解集为)3,2−；【小

问3详解】由213x−得()2219x−整理得220xx−−，解得1x−或2x，即不等式的解集为(),12,−−+.20.已知全集U=R，2Axxa=−或xa，250Bxxx=−．（1）当1a=时，求()UABABAB,,ð；（2）若ABB=，求实数a的

取值范围．【答案】（1）15ABxx=，1ABxx=−或0x，()01UABxx=ð（2）(),07,−+【解析】【分析】（1）代入数据计算得到集合A和B，再根据的交并补运算计算得到答案.（2）确定BA，再根据集合的包

含关系计算得到答案.【小问1详解】1a=时，1Axx=−或1x，25005Bxxxxx=−=，15ABxx=，1ABxx=−或0x，11UAxx=−ð，故()01UABxx=

ð.【小问2详解】ABB=，则BA，2Axxa=−或xa，05Bxx=，则25a−或0a，解得0a或7a，即(),07,a−+.21.已知函数()()()221fxaxaxa=−++R，且()()13ff−=.（1）求函数()fx

的最值；（2）求不等式()7fx的解集；（3）设()()fxgxx=，求()gx的值域.【答案】（1）最小值()11f=−，无最大值（2）()1,3−（3）(),224224,−−−−+U【解析】【分析】（1）根据题意可求得2a=，结合二

次函数性质分析最值；（2）根据题意解一元二次不等式即可；（3）整理可得()124=+−gxxx，分0x和0x两种情况，结合基本不等式运算求解.【小问1详解】因为()()13ff−=，即()()219321aaaa+++=−++，解得2a=，则()()22241211fx

xxx=−+=−−，开口向上，对称轴为1x=，所以当且仅当1x=时，函数()fx取到最小值()11f=−，无最大值.【小问2详解】因为()24721=−+fxxx，整理得2230xx−−，解得13x−，所以不等式

()7fx的解集为()1,3−.【小问3详解】由（1）可知：()()2241124−+===+−fxxxgxxxxx，其定义域为|0xx，当0x时，()1124224224=+−−=−gxxxxx，当且仅当12xx=

，即22x=时，等号成立；当0x时，()()()1124224224gxxxxx=−−+−−−−=−−−−，当且仅当12xx−=−，即22x=−时，等号成立；综上所述：()gx的值域为(),224224

,−−−−+U.22.已知关于x的方程222(1)30xmxm−++−=有两个不等实根.（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）设方程的两个实根为12,xx，且21212()()120xxxx+−+−=，求实数m的值；（Ⅲ）请写出一个整数m的值，使得方程有两个正整数的

根.（结论不需要证明）【答案】（Ⅰ）()2,−+；（Ⅱ）1m=；（Ⅲ）6m=【解析】【分析】（Ⅰ）依题意0，解得即可；（Ⅱ）利用韦达定理得到()1221xxm+=+，再代入方程，解得即可；（Ⅲ）依题意找出合适的m即可；【详

解】解：（Ⅰ）因为方程222(1)30xmxm−++−=有两个不相等实数根，所以()222(1)430mm=−+−−，即240m+，解得2m−，即()2,m−+（Ⅱ）因为方程222(1)30x

mxm−++−=的两个实根为12,xx，所以()1221xxm+=+，2123xxm=−，又21212()()120xxxx+−+−=，所以()()22121120mm+−+−=，解得1m=或52m=−，又(

)2,m−+，所以1m=（Ⅲ）当6m=时，方程214330xx−+=，解得111x=，23x=满足条件；23.已知函数2()1xfxx=+．（1）判断函数()fx的奇偶性，并证明你的结论；（2）证明函数()fx在[1,)+上是减函数；（3）写出函数()fx在(,1]−−上的单调性（结

论不要求证明）．【答案】（1）()fx为奇函数，证明见解析（2）证明见解析（3）函数()fx在(,1]−−上的单调递减【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断与证明即可；（2）根据单调性的定义，取值、作差（变形）

、定号、下结论等步骤进行证明即可；（3）结合函数的奇偶性与单调性直接判断即可.【小问1详解】解：()fx为奇函数，理由如下：函数2()1xfxx=+，定义域为R，所以xR，Rx−则()()22()11xxfxfxxx−−==−=−+−+，所以()fx为奇函数.小问2详解】证明：任取12

,[1,)xx+，且12xx，则()()()()()()22122112121212122222221212121()()111111xxxxxxxxxxxxfxfxxxxxxx−−+−−−=−

==++++++，因为211xx，所以21120,10xxxx−−所以12())0(fxfx−，即12()()fxfx，故函数()fx在[1,)+上是减函数.【小问3详解】解：由（1）知函数()fx为

R上的奇函数，由（2）知函数()fx在[1,)+上是单调递减【所以函数()fx在(,1]−−上的单调递减.24.为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备，使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C（单位：万元）与太阳能电池板面积x（单位：平方米）之

间的函数关系为()4,0105,10mxxCxmxx−=（m为常数）．已知太阳能电池板面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元，安装这种供电设备的工本费为0.5x（单位：万元），记()Fx为该农场安装这种太阳能供电设备的工本

费与该农场10年消耗的电费之和.（1）求常数m的值；（2）写出()Fx的解析式；（3）当x为多少平方米时，()Fx取得最小值？最小值是多少万元？【答案】（1）80（2）()7.5160,0108000.5,10xxFxxxx−+=+（3）40；40【解析】【分析】（1）根据题意

可知5x=时，()12Cx=，代入即可求得m的值；（2）根据题意可知()()100.5FxCxx=+，由此化简可得；（3）分段讨论()Fx的最小值，从而得到()Fx的最小值及x的值.小问1详解】依题意得，当5x=时，()12Cx

=，因为()4,0105,10mxxCxmxx−=，所以当010x时，()45mxCx−=，所以45125m−=，解得80m=，故m的值为80.【小问2详解】【依题意可知()()100.5FxCxx=+，又由（1）得，()804,010580,10xxCxx

x−=，所以()8047.5160,010100.5,0105800800.5,10100.5,10xxxxxFxxxxxxx−−++==++.【小问3详解】当010x时，()7.51

60Fxx=−+，显然()Fx在0,10上单调递减，所以()()min1085FxF==；当10x时，()8008000.520.540Fxxxxx=+=，当且仅当8000.5xx=，即40x=时，等号成立，故()min40Fx=；综上：()min40

Fx=，此时40x=，所以当x为40平方米时，()Fx取得最小值，最小值是40万元.