【文档说明】四川省宜宾市第四中学校2023届高三二诊模拟理科数学试题 含解析.docx，共(22)页，1.391 MB，由小赞的店铺上传

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宜宾市四中高2020级高三二诊模拟考试数学（理工类）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．本试卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．第I卷选择题一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分

．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{|(3)(2)0}Axxx=+−，13Bxx=−，则AB=（）A.()1,2-B.()1,3−C.()2,3D.()0,3【答案】A【解析】【分析】

根据一元二次不等式的解法先求出集合A，再利用集合的交集运算即可求解.【详解】因为{|(3)(2)0}{|32}Axxxxx=+−=−，又因为{|13}Bxx=−，所以{|12}BxxA−=，故选：A.2.设复数z满足12i1iz+=−，则z=（）A.5B.52C.10D.10

2【答案】D【解析】【分析】由题知13i22z=−+，进而计算z即可得答案.【详解】解：因为()()()()12i1i12i13i13i1i1i1i222z+++−+====−+−−+，所以221310222z=−+=故选：D3.已知等比数列na的前n项和为nS，且55

S=，1030S=，则15S=.A.90B.125C.155D.180【答案】C【解析】【分析】由等比数列的性质，232,,nnnnnSSSSS−−成等比数列，即可求得1510SS−，再得出答案.【详解】因为等比数列na的前n项和

为nS，根据性质所以51051510,,SSSSS−−成等比数列，因为5105,30SS==，所以105151025,255125SSSS−=−==，故1512530155.S=+=故选C【点睛】本题考查了等比数列的性质，若等比数列na的前n项和为nS，

则232,,nnnnnSSSSS−−也成等比数列，这是解题的关键，属于较为基础题.4.采购经理指数（PMI），是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节，包括制造业和非制造业领域，是国际上通用

的检测宏观经济走势的先行指数之一，具有较强的预测、预警作用．制造业PMI高于50%时，反映制造业较上月扩张；低于50%，则反映制造业较上月收缩．下图为我国2021年1月—2022年6月制造业采购经理指数（P

MI）统计图．根据统计图分析，下列结论最恰当的一项为（）A.2021年第二、三季度的各月制造业在逐月收缩B.2021年第四季度各月制造业在逐月扩张C.2022年1月至4月制造业逐月收缩D.2022年6月PMI重回临界点以上，制造业景气水平呈恢复性扩张【答案】D【解析】【

分析】根据题意，将各个月的制造业指数与50%比较，即可得到答案.【详解】对于A项，由统计图可以得到，只有9月份的制造业指数低于50%，故A项错误；对于B项，由统计图可以得到，10月份的制造业指数低于50%，故B项错误；对于C项，由统计图可以得到，1、2月份的制造业指数高于50%，故C项错误

；对于D项，由统计图可以得到，从4月份的制造业指数呈现上升趋势，且在2022年6月PMI超过50%，故D项正确.故选：D.5.若5axx+的展开式中x的系数为15，则=a（）A.2B.3.C.4D.5【答案】B【解析】【分析】根据二项式展开式通项公式即可求得．【详解】5axx+

的展开式中x的项为()4455aCxaxx=，则515a=，故3a=.故选：B6.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的一条渐近线方程为52yx=−，则双曲线C的离心率为（）A.52B.32C.355D.23【答案】B【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程

，可得52ba=，再由离心率公式及,,abc的关系，计算即可得到所求值．【详解】双曲线22221xyab−=的渐近线方程为byxa=，由一条渐近线为52yx=−，可得52ba=，即52ba=，即有22225342aacabeaaa++====．故选B．【点睛】本题

考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．7.在长方体1111ABCDABCD−中，已知异面直线1AC与AD，1AC与AB所成角的大小分别为60和45，则直线1BD和平面1ABC所成的角的余弦值为（）A.33B.12C.32D.

63【答案】A【解析】【分析】设11,,ADABaAAc===，结合题意可求得1,2ca==，以D为原点，分别以1,,DADCDD所在直线为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，求出平面1ABC的法向量，结合空间向量夹角公式可得答案.【详解】设11,,ADABaAAc===，则2211ACac=

++，由于//ADBC，所以异面直线1AC与AD所成角为160ACB=，从而12AC=，由于//ABCD，所以异面直线1AC与AB所成角为145ACD=，从而12ACa=，所以1,2ca==，以D为原

点，分别以1,,DADCDD所在直线为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,1),(1,2,0),(0,2,0),(1,2,1)DABCB，11(1,2,1),(0,2,1),(1,0,0)BDABBC=−−−=−=−，设

平面1ABC法向量为(,,)nxyz=，则11200nAByznBCx=−==−=，取(0,1,2)n=所以，直线1BD和平面1ABC所成的角的正弦值为11226332nBDnBD−−==，从而直

线1BD和平面1ABC所成的角的余弦值为33．故选：A．8.某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的

分配方向共有（）A.480种B.360种C.240种D.120种【答案】B【解析】【分析】将人脸识别方向的人数分成：有2人、有1人两种情况进行分类讨论，结合捆绑计算出不同的分配方法数.【详解】当人脸识别方向有2人时，有5512

0A=种，当人脸识别方向有1人时，有2454240CA=种，∴共有360种.故选：B【点睛】本小题主要考查简单排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.9.若函数()2()fxxxa=+在1x=处有极大值，则实数a的

值为（）A.1B.1−或3−C.1−D.3−【答案】D【解析】【分析】利用函数的导数可得()10f=，解出a的值之后验证函数在1x=处取得极大值.【详解】函数()2()fxxxa=+，()2()()()(3)2fxxaxxaxaxa++==+++，函数()2()fxxxa=+

在1x=处有极大值，可得()()()1130faa=++=，解得1a=−或3a=−，的当1a=−时，()(1)(31)fxxx=−−，1,13x时()0fx，()1,x+时()0fx¢>，(

)fx1,13上单调递减，在()1,+上单调递增，()fx在1x=处有极小值，不合题意.当3a=−时，()(3)(33)fxxx−=−，(),1x−时()0fx¢>，()1,3x时()0fx，()fx在

(),1−上单调递增，在()1,3上单调递减，()fx在1x=处有极大值，符合题意.综上可得，3a=−.故选：D10.某地锰矿石原有储量为a万吨，计划每年的开采量为本年年初储量的m（01m，且m为常数）倍，那么第n（*nN）年在开采完成后剩余储量为()1nam−，并按

该计划方案使用10年时间开采到原有储量的一半．若开采到剩余储量为原有储量的70%时，则需开采约（）年．（参考数据：21.4）A.4B.5C.6D.8【答案】B【解析】【分析】根据题意得关系式1012nya=，进而根据指数与对数式的互

化即可求解.【详解】设第n年开采完后剩余储量为y，则()1nyam=−，当10n=时，12ya=，所以()10112aam=−，0a，故()11010111122mm=−−=，进而10

12nya=，设第x年时，70%ya=，故10101222271717101logloglog1.4log2=102102101072nnana====，故5n,故选：B11.某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥内

有一个半径为1的球，则该四棱锥的表面积最小值是（）在A.16B.8C.32D.24【答案】C【解析】【分析】由题意知该四棱锥是正四棱锥，如图四棱锥PABCD−，设底面正方形的边长为2a，高为h，由题意可知半径为1的球是正四棱锥PA

BCD−的内切球时，该四棱锥的表面积最小，利用等体积法求出a与h的关系，再将四棱锥的表面积表示成关于h的函数，由基本不等式即可求解.【详解】因为四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，所以该四棱锥是正四棱锥，如图正四棱

锥PABCD−，当半径为1的球是正四棱锥PABCD−的内切球时，该四棱锥的表面积最小，设正方形ABCD的边长为2a，设ACBDO=，连接PO，则PO⊥面ABCD，所以正四棱锥PABCD−的高为PO，设POh=，正四棱锥PABCD−的表面积为S，由()11141

333ABCDPABABCDVSPOSSS==+=，即为221112242221332aahaahaa=++，整理可得：()221ahah−=+，所以()22221ah

ah−=+，可得2222hahh=−，所以正四棱锥PABCD−体积2143Vah=，则322221443344322hhSVahahhhh=====−−()2h，设20th=−，可得2ht=+，所以()242444442432tSttttt+==+++=

，当且仅当4tt=即2t=，4h=时，等号成立，该四棱锥的表面积最小值是32，故选：C.为12.已知函数()fx=1ln,0,e,0.xxxxxx+则关于x的方程2()()10()efxafxaR−−=的解的个数的

所有可能值为（）A.3或4或6B.1或3C.4或6D.3【答案】D【解析】【分析】利用导数求出函数的单调区间，从而可画出函数的大致图象，令()fxt=，则方程210etat−−=必有两个不等根，设两根分别为12,tt（不妨设12tt），且121tte=−，然后分11te=−，1

1te−和110te−三种情况结合函数图象讨论即可【详解】当0x时，1ln()xfxx+=，则'221(1ln)ln()xxfxxx−+−==，当01x时，'()0fx，当1x时，'()0fx，所以()fx在(0,1)上递增，在(1,)+上递减，

且当x→+时，()0fx→，当0x时，()xfxxe=，则'()(1)xfxxe=+，当10−x时，'()0fx，当1x−时，'()0fx，所以()fx在(1,0]−上递增，在(,1)−−上递减，且当x→−时，()0fx→，所以()fx的大致图象如图所示，令()fxt=，

则方程210etat−−=必有两个不等根，设两根分别为12,tt（不妨设12tt），且121tte=−，当11te=−时，则21t=，此时2()fxt=有1个根，1()fxt=有2个根，当11te−时，则201t，此时2()fxt

=有2个根，1()fxt=有1个根，当110te−时，则21t，此时2()fxt=有0个根，1()fxt=有3个根，综上，对任意的aR，方程都有3个根，故选：D【点睛】此题考查导数的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是利用导数求

出函数的单调区间，然后画出函数图象，结合图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于中档题第2卷非选择题二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13.曲线()ln32fxxx=+−在点()()1,1f处的切线方程为_______．【答案】20xy+−=【解析】【分析】

根据求导公式求出导函数，结合导数的几何意义求出切线的斜率，进而可以求出结果.【详解】因为()ln32fxxx=+−，则()12fxx=−，所以()11211kf==−=−，又()1ln13211f=+−=，因此切线方程

为：()11yx−=−−，即20xy+−=.故答案为：20xy+−=.14.两个非零向量a，b，定义||||||sin,ababab=．若(1,0,1)a=，(0,2,2)b=，则ab=___________．【答案】23【解析】【分析】根据新定义及向量

夹角公式计算即可.【详解】因为2222112,2222ab=+==+=，2ab→→=，所以21cos,42ababab===，故213sin,1()22ab=−=，所以3222232ab==，故答案为：2315.2021年

第31届世界大学生夏季运动会将在成都举行．为营造“爱成都迎大运”全民运动和全民健身活动氛围，某社区组织甲、乙两队进行一场足球比赛，根据以往的经验知，甲队获胜的概率是25，两队打平的概率是110，则这次比赛乙队不输的概率是_______________________．【答案】35

【解析】【分析】由于甲队获胜与乙队不输为对立事件，从而可求出答案；或乙队不输包括乙队获胜和甲、乙两队打平，分别求出这两个事件的概率，再求和即可【详解】方法一设事件A为“这次比赛乙队不输”，则事件A为“这次比赛甲队获胜”，因为甲队获胜的概率()25PA=，所以

这次比赛乙队不输的概率()()231155PAPA=−=−=．方法二设事件A为“这次比赛乙队不输”，事件B为“这次比赛乙队获胜”，事件C为“这次比赛甲、乙两队打平”，所以()110PC=，()21115102PB=−−=，所以这次比赛乙队不输的概率()()()11

32105PAPBPC=+=+=．故答案为：3516.已知函数()sinsin2fxxx=，0,2πx.下列有关()fx的说法中，正确的是______(填写你认为正确的序号).①不等式()0fx的解集为π04xx或3ππ4x；②()fx在区间0,2π上有

四个零点；③()fx的图象关于直线πx=对称；④()fx的最大值为439；⑤()fx的最小值为32−；【答案】③④【解析】【分析】由()2sinsin22sincosfxxxxx==，则①()0fx，即cos0x，可判断；②()0fx=,则sin0x=

或cos0x=，可判断；③由条件可得()2fx−=()fx可判断；()()22cos1cosfxxx=−，设cos1,1xt=−，求出函数322ytt=−+的单调区间可得其最值，从而可判断④，⑤【详解】由()2sinsin22si

ncosfxxxxx==①()0fx，即cos0x，又0,2πx，则02x或322x，故①不正确.②()0fx=,则sin0x=或cos0x=，又0,2πx所以30,,,,222x

=，共有5个零点，故②不正确.③()()()()2222sin2cos22sincosfxxxxxfx−=−−==所以()2fx−=()fx，则()fx的图象关于直线πx=对称，故③正确.④()()222sincos2cos1cosf

xxxxx==−设cos1,1xt=−，则322ytt=−+，则262yt=−+由2620yt=−+解得3333t−−，由2620yt=−+解得313t−−或313t所以322y

tt=−+在313−−，上单调递减，在3333−，上单调递增，在313，上单调递减.当33t=时,439y=,当3t3=−时,439y=−,当1t=时，0y=，当1t=−时，0y=，所以当33t=时，函数322ytt=−+有最

大值439所以当3t3=−时,函数322ytt=−+有最小值439−所以④正确，⑤不正确.故答案为：③④【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的对称性、零点、最值等基础知识，解答本题的关键是将()22sincosfxxx=，由条件可得cos0x，sin0

x=或cos0x=，以及()()22cos1cosfxxx=−，得出函数322ytt=−+在1,1−上的单调性，属于中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须

答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必做题：共60分．17.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足cos2acCbb=−（1）求角B;（2）若ABC外接圆的半径为3，且AC边上的中线长为172，求ABC的面积【答案】（1）3；（2）3.【

解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式即可得解；（2）由正弦定理得3b=，利用D为中点，结合向量的加法法则得2BDBABC=+uuuruuruuur，从而得到2217caac=++，再结合余弦定理得4ac=，进而求得三角形面积.【详解】（1）由cos2a

cCbb=−，得2cos2bCac=−.利用正弦定理得：2sincos2sinsinBCAC=−，即()2sincos2sinsinBCBCC=+−，化简得sin2sincosCCB=.()0,C，0sinC，

1cos2B=.又()0,B，3B=.（2）由正弦定理得233sinbbB==.设D为AC边上的中点，则317,22ADBD==，利用向量加法法则得：2BDBABC=+uuuruuruuur两边平方得：22242BDBABCBABC=++，即2217c

aac=++由余弦定理2222cosbcaacB=+−，即229caac=+−，两式相减得82ac=，即4ac=.由三角形面积公式得：1sin32ABCSacB==.【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得

到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有sinx的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；（2）若式子含有,,abc的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有cosx的齐次式，优先

考虑余弦定理，“角化边”；（4）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（5）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到ABC++=.18.一网络公司为某贫困山区培养了100名“乡土直播员”，以帮助宣传该山区文化和销售该山区的农副

产品，从而带领山区人民早日脱贫致富．该公司将这100名“乡土直播员”中每天直播时间不少于5小时的评为“网红乡土直播员”，其余的评为“乡土直播达人”．根据实际评选结果得到了下面22列联表：网红乡土直播员乡土直播达人合计男10405

0女203050合计3070100（1）根据列联表判断是否有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系？（2）在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人，在这6人中选2人作为“乡土直播推广大使”．设被选中的2名“乡土直播推广大使”中男性人数为，求的分布列和期望．附

：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．()20PKk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6

357.87910.828【答案】（1）有95%把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系；（2）分布列见解析；期望为23．【解析】【分析】（1）利用公式求解2K的观测值k，若3.841k，则有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别

有关的系，若3.841k，则没有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系；（2）先利用分层抽样得出在这6人中男性人数与女性人数，分析在这6人中选2人作为“乡土直播推广大使”时，男性人数的所有可能取值，然后根据超几何分布列出的分布列.【详

解】解：（1）由题中22列联表，可得()22100103020404.7623.84150503070K−=．∴有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系．（2）在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人，

男性人数为106230=人；女性人数为206430=人．由题，随机变量所有可能取值为0，1，2．()022426620155CCPC====，()1124268115CCPC===，()2024261215CCPC===，∴的分布列为012P25815115∴的数学期望(

)28110201251515153E=++==．【点睛】独立性检测的一般步骤为：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++（其中nabcd=+++）计算2K的观测值k；（3）查表比较k与

临界值的大小比较，作出判断.求离散型随机变量分布列及期望的求法：（1）理解随机变量的意义，写出的所有可能值；（2）求出的每个值所对应的概率，列出分布列，并根据分布列的性质对结果进行检验；（3）格据分布列求出数学期望.19.如图，四棱锥PABCD−中，PA⊥底面ABCD，//ADB

C，2ABC=，的122ABBCAD===，且PAa=，E，F分别为PC，PB的中点.（1）若2a=，求证：PB⊥平面ADEF；（2）若四棱锥PABCD−的体积为2，求二面角APDC−−的余弦值.【答

案】（1）详见解析；（2）26.【解析】【分析】（1）依据线面垂直的判定定理，可证明PBAF⊥和PBAD⊥；（2）首先求PA的长度，再建立空间直角坐标系，求平面PAD和平面PCD的法向量，再求二面角的余弦值【详解】（1）

当2a=时，APAB=，点F是BP的中点，AFBP⊥，又AP⊥平面ABCD，ADAP⊥，且ADAB⊥，APABA=，AD⊥平面PAB，BP平面PAB，ADBP⊥，又AFAAD=，BP⊥平面ADEF；（2）()11124223

32PABCDABCDVSAPAP−==+=，解得：1AP=，如图，以A为原点，,,ABADAP，为,,xyz轴的正方向，建立空间直角坐标系，()0,0,0A，()0,0,1P，()2,2,0C，()0,4,0D，(

)2,2,1PC=−，()0,4,1PD=−，设平面PCD的法向量(),,mxyz=，则00mPCmPD==，即22040xyzyz+−=−=，令1y=，则1,4xz==，()1,1,4m=，显然AB⊥平面PAD，设平面PAD的法向量()1,0,0n=，212cos,6114

mnmnmn===++，二面角APDC−−是锐二面角，二面角APDC−−的余弦值是26.20.在平面直角坐标系xOy中，直线()10ykxk=+与抛物线C：()240xpyp=交于A，B两点，且当1k=时，8AB=.（1）求p的值；（2）设线段AB的

中点为M，抛物线C在点A处的切线与C的准线交于点N，证明：//MNy轴.【答案】（1）1；（2）见解析【解析】【分析】（1）设()11,Axy，()22,Bxy，联立直线和抛物线方程，得2440xpxp−−=，写出韦达定理，根据弦长公式，即可求出1p=；（2）

由214yx=，得12yx=，根据导数的几何意义，求出抛物线在点A点处切线方程，进而求出NMxx=，即可证出//MNy轴.【详解】解：（1）设()11,Axy，()22,Bxy，将直线l代入C中整理得：2440x

pxp−−=，∴124xxp+=，124xxp=−，∴()22121224216168ABxxxxpp=+−=+=，解得：1p=.（2）同（1）假设()11,Axy，()22,Bxy，由214yx=，得12yx=，从而抛物线在点A

点处的切线方程为()21111142yxxxx−=−，即2111124yxxx=−，令1y=−，得21142Nxxx−=，由（1）知124xx−=，从而211212122NMxxxxxxxx++===，这表明//MNy轴.【点睛】本题考查直线与抛物线的位

置关系，涉及联立方程组、韦达定理、弦长公式以及利用导数求切线方程，考查转化思想和计算能力.21.已知函数()221xfxxeaxax=++−．（1）当212ae=时，求()fx在2x=−处的切线方程；（2）当11ae−−时，讨论()fx零点

的个数．【答案】（1）22261yxee=−−−；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由导数的几何意义求()fx在2x=−处的切线方程即可；（2）讨论0a=、0a、a<0时，并利用导数研究函数的单调性、极值，结合零点存在性定理判断区间是否存在零点.【详解】由()221

xfxxeaxax=++−，得()()()()12212xxfxxeaxaxea=+++=++．（1）212ae=时，可得()222fe−=−，()2221fe−=−−，则切线方程为()222221yxee=−+−−，即22261yxee=−−−．（2）（ⅰ）当0a=时，()1x

fxxe=−，知0x，()0fx，又()1xfxxe=−为()0,+?的增函数，且()110fe=−，所以()fx仅有一个零点．（ⅱ）当0a时，20xea+，由1x−得()0fx¢<，()fx为减函数；1x−得()

0fx¢>，()fx为增函数．∴()minfx()1110efa=−=−−−，又()1310fea=+−，∴存在()11,1x−使()10fx=，故()fx在()1,−+有唯一零点．又当<2x−时，21xee，

即21xxexe，所以()22212121xxeaxaxxaxaxefx=++−++−，而()22121aaxexhx=++−图象开口向上，故存在02x−，使得()00hx，也即有()00fx，则存在()20,1

xx−使得()20fx=，故()fx在(),1−−有唯一零点，此时，()fx有两个零点．（ⅲ）当a<0时，由()0fx¢=得=1x−或()ln2xa=−，①若()ln21a−−，即102ae−，则当()ln2xa−时，()0fx¢>，()f

x单调递增；()ln21ax−−时，()0fx¢<，()fx单调递减；1x−时，()0fx¢>，()fx单调递增．而()()()()2ln2ln210faaa−=−−，()3311021feaee=+−−−，此时，()fx仅有一个零点．②若()ln21a−=−

，即12ae=−，则()0fx¢³，()fx为R上的增函数，因为()010f=−，()1310fea=+−，此时()fx仅有一个零点．③若()ln21a−−，即12ae−，则当1x−时，()0fx¢>，()fx单调递增；()1ln2xa−−

时，()0fx¢<，()fx单调递减；()ln2xa−时，()0fx¢>，()fx单调递增．因1112aee−−−，则()1110aef−=−−−，()228102efa=+−，结合()010f

=−知()fx仅有1个零点，综上，当110ae−−时，()fx有1个零点；当0a时，()fx有两个零点．【点睛】思路点睛：对于含参函数的零点问题，一般应用分类讨论的方式处理，并综合导数研究函数单调性、极值，零点存在

性定理的应用.1、讨论过程中注意保证细分区间是单调的且连续.2、求极值或端点值，亦或找到区间中特殊点函数值，并确定它们与0的大小关系.3、根据结论：对于单调的连续函数，存在12()0,()0fxfx则12(,)xx必存在零点.（二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中任选

一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy中，曲线1C是圆心在()0,2，半径为2的圆，曲线2C的参数方程为22cos22sin4xtyt==−（t为参数

且02t），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C的极坐标方程；（2）若曲线2C与坐标轴交于A、B两点，点P为线段AB上任意一点，直线OP与曲线1C交于点M（异于原点），求OMOP的最大值

．【答案】（1）4sin=；（2）21+.【解析】【分析】（1）求出曲线1C的直角坐标方程，根据直角坐标与极坐标的转换关系可得出曲线1C的极坐标方程；（2）求出点A、B的坐标，求出线段AB的极坐标

方程，设P、Q的极坐标分别为()1,P、()2,Q，求出1、2关于的表达式，利用三角恒等变换思想结合正弦函数的有界性可求得OMOP的最大值．【详解】（1）曲线1C的直角坐标方程为()2224xy+−=，即2240xyy+−=，所以曲线1C的极坐标方程为24sin=，即4s

in=；（2）曲线2C的参数方程为22cos22sin4xtyt==−，因为曲线2C与两坐标轴相交，所以曲线2C交x轴于点()2,0A、交y轴于点()0,2B，所以，线段AB的方程为()2002xyx+−=，则线段AB的极坐标方程为cossin200

2+−=，设点P、Q的极坐标分别为()1,P、()2,Q，点P在线段AB上，可得11cossin2+=，可得12sincosOP==+，点Q在曲线1C上，则24sinOM==，2sincos4sin2sin2sincossin2cos212OM

OP+==+=−+2sin214=−+，02，可得32444−−，当242−=时，即当38=时，OMOP取得最大值21+．【点睛】方法点睛：在已知直角坐标方程求曲线

的交点、距离、线段长度等几何问题时，如果不能直接用直角坐标解决，或用直角坐标解决较为麻烦，可将直角坐标方程转化为极坐标方程解决.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()22fxxx=−++.（1）求不等式()24fxx+的解集；（2

）若()fx的最小值为k，且实数,,abc，满足()abck+=，求证：22228abc++.【答案】（1）(,0]−；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用分类讨论法解绝对值不等式；（2）首先利用绝对值三角不等式求出4k=，再利用基本不等式证明.【详解】（

1）①当<2x−时，不等式即为224xx−+，解得1,2xx−−；②当22x−时，不等式即为424x+，020xx−；③当2x时，不等式即为224xx+，x.综上，不等式(

)24fxx+的解集为(,0]−.（2）由绝对值不等式的性质可得：|2||2||(2)(2)|4xxxx−++−−+=当22x−时，()fx取最小值4，即4,()4kabc=+=，即4abac+=()()22222222228abcabacabac

++=++++=当且仅当2abc===时等号成立.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com