【文档说明】河南省名校联盟2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理科）试题 含答案.docx，共(14)页，834.977 KB，由小赞的店铺上传

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1绝密★启用前姓名：_________考生号：________河南名校联盟2020—2021学年高二（下）期末考试数学（理科）考生注意：1．本试卷共8页．时间120分钟，满分150分．答题前，考生先将自己的姓名、考生号填写在试卷指定位置，并将姓名、

考场号、座位号、考生号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息、并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．作答选择題时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应題目的答案标号涂黑．如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．作答非选择题时，将答案写在答题卡

上对应的答题区域内．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将试卷和答题卡一并收回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，则()()UUMN=痧（）A．()UMNðB．MNC．MND．R2．已知i为虚数单

位，则2(1)11ii−+=+（）A．25B．5C．5D．33．已知等差数列na的前n项和为nS，若1717,33aS==，则9S=（）A．3B．4C．5D．64．已知方程2(1)0xxaa+−+=，命题甲：1x=是该方程的解；命题乙：2x=−是该方程的解，则命题甲是命题乙的（）A

．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．执行如图所示的程序框图，则输出的S为（）2A．1B．2C．3D．46．已知抛物线2yax=的焦点为(0,1)，若ba，则2bba−的最小值为（）A．0B．1C．2

D．37．已知向量,ab为单位向量且满足12ab=，若向量2cab=+，则tan,ac=（）A．33B．32C．3D．38．已知一个几何体的三视图如图所示，其外接球的表面积为29，则这个几何体的体积为（）A．20B．16C．20或12D

．16或209．已知函数()(1)xfxxe=+，则（）A．函数()fx的单调递增区间为(1,)−+B．函数()fx有两个零点C．函数()fx为奇函数D．过坐标原点有两条直线与函数()fx的图象相切310．已知函数295()3sincossin()()22fxxxkxk

=+−++Z，函数()gx与函数()fx的图象关于点10,4中心对称，则（）A．函数()gx的最小正周期为2B．函数()gx的最大值为2C．函数()gx的图象关于直线2x=−对称D．函数()gx的图象关于点5,012

中心对称11．如图，在正三棱锥ABCD−中，下列表述不正确的是（）A．ABCD⊥B．当22ABBC==时，正三棱锥ABCD−的外接球的表面积为12C．当:21:6ADBC=时，二面角ACDB−−的大小为45D．若3,20ABCAD==，点M，N分别为,ABAD上一点，则C

MN周长的最小值为312．已知222,,3,ln4ln2,4lnln2,8lnln2abcaabbcc=−==，则（）A．cbaB．acbC．bcaD．abc第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知棱台11111,3ABCDABCDAA−=

．正方形ABCD的边长为2，正方形1111ABCD的边长为4，平面//ABCD平面1111ABCD且1AA⊥平面ABCD，则棱台111,ABCDABCD−的体积为________．14．已知点(,)x

y满足不等式组12312234yxyx−−+，则34zyx=−的最大值为_______．15．()5222xx+−的展开式中，5x的系数为________．16．已知点O为坐标原点，点P为圆22:146540Axyxy+−−+

=上一动点，点Q为圆422:8120Bxyx+−+=上一动点，设||||||OQPQAQ++的最小值为m，则m的值为___________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个考题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一

）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）某公司为奖励员工实施了两种奖励方案，方案一：每卖出一件产品奖励4．5元；方案二：卖出30件以内（含30件）的部分每卖出一件产品奖励4元，超出30件的部分每卖出一件产品奖励7元，员工甲在前

10天内卖出的产品数依次为22，23，23，23，25，25，25，29，32，32，若将频率视为概率，回答以下问题．（Ⅰ）记利用方案二员工甲获得的日奖励为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）

如果仅从日平均奖励的角度考虑，请利用所学的统计学知识为员工甲选择奖励方案，并说明理由．18．（本小题满分12分）已知数列na满足121223(3),1nnnaaanaa−−=+==．（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）求数列na的前n项和nS．19．（本小题满分12

分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图所示，三棱柱ABFDCE−可分解成一个阳马BADEF−和一个鳖臑EBCD−，其中侧面ABCD是边长为3的正方形

，36DE=，M为线段AF上一点．（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面BDE；（Ⅱ）求AM的长，使得线段BD与平面BEM所成角的正弦值为31313．20．（本小题满分12分）已知点23,23−，31,2−都在椭圆C

上，点A为椭圆C的上顶点点F为椭圆C的右焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知直线l的倾斜角为30，且与椭圆C交于M，N两点，问是否存在这样的直线l使得50FAFMFN++=？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由．21

．（本小题满分12分）设函数2()xxfxe=．（Ⅰ）求()fx的最小值；（Ⅱ）函数22(2)()(1)()xxgxaxfx−=−−，若函数()gx有两个不同的零点求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、

23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为23cos,3sinxy=+=（为参数），直线l的参数方程为,1xtyt=−=+（t为参数

），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程以及直线l的普通方程；（Ⅱ）若(0,1)A，直线l与曲线C相交于不同的两点M，N，求||||AMAN+的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()|31|3|1|fxxx=−++的最小值为

m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若22abab+=+，证明：(1)(1)abm++．河南名校联盟2020—2021学年高二（下）期末考试数学（理科）答案第Ⅰ卷123456789101112ACACCBBDDDCB一、必做题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的．1．【答案】A【解析】根据公式()()()UUUMNMN=痧?直接得解，也可用韦恩图证明，故选A．2．【答案】C6【解析】22(1)11(1)|12|51iiii−+=+−=−=+，故选C．3．【答案】A【解析】依题意，()1747477277223aaa

Sa+====，则413a=，又因为113a=，所以13na=，则9193Sa==，故选A．4．【答案】C【解析】方程2(1)0xxaa+−+=，即[(1)]()0xaxa++−=，解得1xa=−−或xa=，令11a−−=可得2

a=−，同时1a=时，12a−−=−；令12a−−=−可得1a=，同时2a=−时，11a−−=，故选C．5．【答案】C【解析】由程序框图可知，一共进行4次循环，循环结束时2341222231S=++++=，所以最后输

出的值为93331S==，故选C．6．【答案】B【解析】由2yax=，得21xya=，令114a=得221,144bbabab==−−，令104tb=−，则2214bbbab==++211111421162162tttttt+=+++=，当且仅当116tt=，即14t=时取等

号．故选B．7．【答案】B【解析】根据题意知1||cos,cos,2abababab===∣，所以,60ab=，建立平面直角坐标系，设13(1,0),,22ab==，则2(2,3)cab=+=，所以(1,0)(2,3)2cos,||||177acacac

===，所以3tan,2ac=，故选B．8．【答案】D【解析】根据题意，外接球的直径为29，该几何体可看作长方体截得的一部分，如下图两种图形，该几何体外接球的直径为长方体的体对角线长，设长方体底面的宽为x，2222429x++=，∴3x=，故该几何7体的体积为112342342032

−=或1123422341632−=，故选D．9．【答案】D【解析】由()(1)xfxxe=+，得()(2)xfxxe=+，所以函数()fx在(,2)−−上单调递减，在(2,)−+上单调递増，所以A不正确；分析函数()fx的大致图象（也可另()0fx=，

得1x=−），可知B错误；设切点为()()000,1xxxe+，可得切线方程为()()()0000012xxyxexexx−+=+−，又因为过坐标原点，可得20010xx+−=，该方程有两个解，所以D正确；因为()()f

xfx−−，所以C错误．故选D．10．【答案】D【解析】依题意，21()3sincossinsin262fxxxxx=+=−+，函数1()()sin226gxfxx=−−=+，因此点5,012

是函数()gx的图象的一个对称中心，故选D．11．【答案】C【解析】易证正三棱锥的对棱垂直，所以ABCD⊥，故A正确；当22ABBC==时，正三棱锥ABCD−为正四面体，可放到边长为2的正方体内，所以正三棱锥ABCD−的外接球

的半径为3，外接球的表面积为12，故B正确；当:21:6ADBC=时，取CD的中点为M，连接,AMBM，则AMB即为所求角，令21D=，6BC=，则23,33AMBM==，所以2221cos,6022AMBMABAMBAMBAMBM+−===，故C不正确；将侧面沿AC

展开（如图），则CMN周长的最小值为3，故D正确．故选C．812．【答案】B【解析】由22ln4lnaa=−，得221lnln212aa=，由24lnln2bb=，得22lnln22bb=，由28lnln2cc=，得22lnln44cc=，令2ln()xgxx=，则312

ln()xgxx−=，所以函数()gx在(0,)e上单调递增，在(,)e+上单调递减，且(1)0g=，当1x时，()0gx，画出()gx的大致图象如图所示，分析可得acb，故选B．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】28【解

析】由棱台的体积公式可得13(441616)283V=++=，所以棱台1111ABCDABCD−的体积为28．14．【答案】6【解析】不等式组表示的可行域如图所示，由图可知：当34zyx=−经过点(0,2)A时，z取得最大值，即max6

z=．915．【答案】401【解析】()()()()()()5222222222222222222xxxxxxxxxxxx+−=+−+−+−+−+−，分析可知，展开式中5x的项为()()121233112212255554153252(2)2(2)401CxCxCCxCxCCxx−

+−+=，所以5x的系数为401．16．【答案】8【解析】如图，P为圆22:(7)(3)4Axy−+−=上一动点，Q为圆22:(4)4Bxy−+=上一动点，O为坐标原点，取(3,0)T，连接BQ，TQ，则||||1||||2TBBQBQOB

==，所以易得TBQQBO∽，所以||2||OQTQ=，又易知||||2PQAQ−，所以||||||||2||22||2||22||28OQPQAQOQAQQTAQAT+++−=+−−=．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题

为必考题，每个考题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．【解析】（Ⅰ）X的分布列为:X8892100116134P110310310110210（4分）133121048()8892100116134104.8101010101010EX=+

+++==（元）．（6分）10（Ⅱ）根据数据，可估算员工甲日平均卖出的产品件数为；1(22232323252525293232)25.910+++++++++=．（8分）员工甲根据方案一的日平均奖励为25.94.5116.55=（元），（10分）因为116.55

104.8，所以建议员工甲选择方案一．（12分）18．【解析】（Ⅰ）当3n时，1211212323,(2)3(2)2nnnnnnnnnaaaakakaakaak−−−−−−−=++=++=+++（2分）令32kk

=+，则2230kk+−=，解得3k=−或1，所以()11233nnnnaaaa−−−−=−−，()1123nnnnaaaa−−−+=+．所以11113(2)(1)(2),23(2)nnnnnnaanaan−−−−−=−−+=，从而可得1113(1)22nnn

a−=−−．（6分）（Ⅱ）()111(1)313113(1)421321(1)4nnnnnS+−−−+−−=−=−−−．（12分）（本题为分组求和法求和：每一组求和正确，得3分）19．【解析】（Ⅰ）由鳖臑的概念，可知DE⊥平面ABCD，AC平面ABCD，DEAC⊥，（2分）又

∵四边形ABCD是正方形，∴ACBD⊥，∵BDDED=，∴AC⊥平面BDE，（4分）∵AC平面ACE，∴平面ACE⊥平面BDE．（6分）（Ⅱ）∵,,DADCDE两两垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz−，（7分）设(036)AMtt=，则(0,0,0),(3,0,),(0,

0,36),(3,3,0)DMtEB，∴(0,3,),(3,0,36),(3,3,0)BMtEMtDB=−=−=，（8分）11设平面BEM的法向量为(,,)nxyz=，则00nBMnEM==，即303(36)0ytzxtz−+=+−=，

令1z=，则平面BEM的一个法向量为6,,133ttn=−．（10分）线段BD与平面BEM所成角的正弦值等于cos,DBn，∴||cos,||||DBnDBnDBn==2222363631

313326132613939tttttt−+==−++−++，（11分）所以26t=或6，故26AM=或6．（12分）20．【解析】（Ⅰ）设椭圆C的方程为221mxny+=，由已知有9144213mnmn+=+=，（2分）解

得1,413mn==所以椭圆C的标准方程为22143xy+=．（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(0,3),(1,0)AF，假设存在直线l满足题意，并设l的方程为()()11223,,,,3yxtMxyNxy=+．由2233143yxtx

y=++=，得()2213831230xtxt++−=，（6分）由()22(83)4131230tt=−−，得12393983,3313ttxx−+=−．（8分）由题意易知点F为AMN的重心，所以123AFxxxx++=，即

830313t−+=，解得1338t=−，（10分）12当1338t=−时，不满足393933t−，所以不存在直线l，使得0FAFMFN++=．（12分）21．【解析】（Ⅰ）22()xxxfxe−=，（2分）令()0fx，得02x，令()0

fx，得0x或2x，所以()fx在(,0)−和(2,)+上单调递减，在(0,2)上单调递增；故函数()fx的极小值为(0)0f=，当2x时，分析可得2()0xxfxe=，所以函数()fx的最小值

为(0)0f=．（4分）（Ⅱ）令2()(2)(1)xxexax=−−−，当0a=时，()x只有一个零点2x=，由题意知()()(1)2(1)(1)2xxxxeaxxea=−−=−−−，（6分）因为0a，所以20xea−，所以当(,1)x−时，(

)0x，函数()x为减函数；当(1,)x+时，()0x，函数()x为增函数．故当1x=时，()x存在极小值(1)0e=−；又因为313(2)0,140aae=−−+−+，所以()x在区间1(1,2),1,1a−+内各有一

个零点；当0a时，由()()(1)20xxxea=−−=，得121,ln2xxa==．当ln21a，即2ea时，随着x的变化，()x与()x的变化情况如下表：x(),1−1()1,ln2aln

2a()ln2,a+()x+0-0+()x极大值极小值所以函数()x在(,1),(ln2,)a−+上单调递增，在(1,ln2)a上单调递减．又因为(1)e0=−，22(ln2)2(ln22)(ln

21)(ln22)10aaaaaaa=−−−=−−−，0ln2xa，使得()00x，（10分）13所以函数()x在区间(ln2,)a+只有一个零点；当ln21a=，即2ea=时，因为()()(1)20xx

xea=−−（当且仅当1x=时等号成立），所以()x在R上单调递增，此时，函数()x至多一个零点；当ln21a，即2ea．时，随着x的变化，()x与()x的变化情况如下表：x(),ln2a−ln2a()ln2

,1a1()1,+()x+0-0+()x极大值极小值所以函数()x在(,ln2),(1,)a−+上单调递增，在(ln2,1)a上单调递减．又因为0a，所以当1x时，2()(2)(1)0,(1)0xxxeaxe=−−−=−

，此时，函数()x在区间(,1)−无零点，在区间(1,)+上至多一个零点；又∵(0)2a=−−，∴当2a=−时，(0)0=．∵2()(2)(1),0xgxexaxx=−−−，∴当2a−时，()

gx零点的个数与()x的零点个数相同．当2a=−时，()gx只有一个零点；综上可知，若()gx有两个不同的零点，(,2)(2,0)a−−−．（12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多

做，则按所做第一题计分．22．【解析】（Ⅰ）依题意，曲线22:(2)9Cxy−+=，故22450xyx+−−=，（1分）即曲线C的极坐标方程为24cos50−−=；（3分）由,1xtyt=−=+消去参数t可得直线l的普通方程为10xy+−=．（5分）（Ⅱ）先将直线l的方程写成标准的

参数方程为2,221,2xtyt=−=+代入22450xyx+−−=中，（7分）14化简可得23240tt+−=，设M，N所对应的参数分别为12,tt，则121232,4tttt+=−=−，

（8分）故()212121212||||434AMANtttttttt+=+=−=+−=．（10分）23．【解析】（Ⅰ）方法一：当1x−时，()133(1)264fxxxx=−+−−=−−；（2分）当11

3x−时，()133(1)4fxxx=−++=；（3分）当13x时，()313(1)624fxxxx=−++=+，所以4m=．（5分）方法二：14()|31|3|1|3|1|3433fxxxxx=−++=−++=

，当且仅当113x−时，min()4fx=，所以4m=．（5分）（Ⅱ）由a22abab+=+，得22()()()22abababab++−+=，即2()2abab++，当且仅当ab=时取等号，所以2ab+．（7分）因为22(1)(1)2(1)(

1)422ababab+++++++=，（8分）且仅当ab=时取等号，所以(1)(1)4ab++．（10分）