【文档说明】《精准解析》安徽省蚌埠市2023届高三下学期第二次教学质量检查数学试题（解析版）.docx，共(23)页，1.187 MB，由小赞的店铺上传

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蚌埠市2023届高三年级第二次教学质量检查考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{0,1,2}A=，32Bxx=−，则AB=（）A.22xx−B.

02xxC.0,1,2D.{0,1}【答案】C【解析】【分析】根据交集的知识求得正确答案.【详解】依题意，AB=0,1,2.故选：C2.已知复数z满足(1i)3iz−=+，则z=（）A.12i+B.12i−+C.12i−D.12i−

−【答案】A【解析】【详解】由(1i)3iz−=+得，3i(3i)(1i)12i1i(1i)(1i)z+++===+−−+.故选:A.考点：复数的运算.3.已知双曲线C：2218yx−=，其一条渐近线被圆()2233xy−+=截得弦长为（）A.33B.1C.23

3D.2【答案】C【解析】【分析】先求出渐近线的方程和圆心到渐近线的距离，再利用圆的弦长公式求解.【详解】双曲线C：2218yx−=的一条渐近线方程为22yx=，即220xy−=.圆()2233xy−+=的圆心为(3,0)，半径为3，所以圆心到渐

近线的距离为22|223|263(22)(1)=+−.所以渐近线被圆()2233xy−+=截得弦长为()2222236333−=.故选：C4.已知随机变量X服从正态分布()22,N，且1(3)6PX=，则(1)PX=（）A

.16B.13C.23D.56【答案】D【解析】【分析】根据题意，由正态分布密度曲线的对称性，代入计算，即可得到结果.【详解】根据题意可得，()()1316PXPX==，则()15(1)11166PX

PX=−=−=.故选:D5.设，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列说法正确的是（）A.若a⊥，b⊥，ab⊥，则⊥B.若a⊥，b，ab⊥，则⊥C.若a⊥，b⊥，ab，则⊥D.若a⊥，ab⊥，b=，则⊥【答案】A【解析】【分析】根据题意，由空

间中直线与平面的位置关系对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A，若a⊥，b⊥，ab⊥，则⊥，故正确；对于B，若a⊥，b，ab⊥，则与相交或者∥，故错误；对于C，若a⊥，b⊥，ab，则∥，故错误；对于D，若a⊥，ab⊥，b=，则与相交，

不一定垂直，故错误.故选:A6.某校对高三男生进行体能抽测，每人测试三个项日，1000米为必测项目，再从“引体向上，仰卧起坐，立定跳远”中随机抽取两项进行测试，则某班参加测试的5位男生测试项目恰好相同的概率为（）A.B.181C.127D.19【答案】B【解析】【分析】计算抽

取方式的种数，得到其中一种抽取方式的概率，计算5人都抽取这一结果的概率，再把所有类型的结果相加即可.【详解】从“引体向上，仰卧起坐，立定跳远”中随机抽取两项进行测试，有23C3=种结果，其中抽得“引体向上，仰卧起坐”这两项

的概率为13，5位男生都抽到这两项概率为513，同理，5位男生都抽到“引体向上，立定跳远”这两项和5位男生都抽到“仰卧起坐，立定跳远”这两项的概率都是513，所以5位男生测试项目恰好相同的概率为555111133381++=.故选：

B7.已知函数()fx的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）A.()|sin||cos|2sin2fxxxx=+−B.()|sin||cos|2sin2fxxxx=−+C.()|sin||cos|2cos2fxxxx=−+D.(

)|sin||cos|2cos2fxxxx=++【答案】A【解析】【分析】在各选项的函数中取特殊值计算，并与已知图像比较，采用排除法即可做出判定.【详解】由题可知，图像过点()0,1，取0x=，对于A：(0)sin0cos02sin00101f=+−=+−=；.对于B：(0)s

in0cos02sin00101f=−+=−+=−；对于C：(0)sin0cos02cos00121f=−+=−+=；对于D：(0)sin0cos02cos03f=++=；故可排除B、D，又由图像可知，当2x=时，()0

fx，取2x=，对于A：sincos2sin2?100102222f=+−=+−=；对于C：sincos2cos2?102102222f=−+=−−=−；可排除C，故答案选：A.8.已知15log2x=，22ln0xx+=，3233logxx−

=，则（）A.123xxxB.213xxxC.132xxxD.231xxx【答案】A【解析】【分析】证明11x2，设()lnfxxx=+，证明2112x，设()21log3xhxx=−

，证明312x，即得解.【详解】1551log2log52x==，设()lnfxxx=+，因为函数()fx在()0,+上递增（增+增=增），11111elnlnelnlneln0222224f=+=+==

，()11f=，即()1102ff，由零点存在定理可知2112x；设函数()21log3xhxx=−，易知()hx在()0,+上递减（减+减=减），()113h=，()12109h=−，即()()210hh，由零点存在定理可知312

x.即123112xxx.故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.关于平面向量,,

abc，下列说法不正确的是（）A.若acbc=，则ab=B.()+=+abcacbcC.若22ab=，则acbc=D.()()abcbca=【答案】ACD【解析】【分析】由数量积性质可判断A，由分配律可判断B，由相反向量

可判断C，由向量垂直可以判断D.【详解】对于A，若0c=，则不一定有ab=，A错误；对于B，根据分配律即可得到，B正确；对于C，若22ab=，则可能ab=−，那么acbc，C错误；对于D，若ab⊥，则有0ab=，那么就不一定有()()abcbca=，D错误.故选：ACD10.作为世

界经济增长的重要引擎，中国经济充满韧性活力，备受世界瞩日．当前，新冠疫情延宕反复，全球通胀攀升，美联储激进加息冲击全球，世界经济下行压力明显增大．在此背景下，中国经济稳住了自身发展势头，不断向世界经济输送宝贵增长动能，续写世界经济发

展史上的中国奇迹．中共二十大报告为中国的未来擘画了发展蓝图，让全球经济界人士继续看好中国经济光明前景．根据世界银行最新公布的数据，下列说法正确的是（）世界主要国家经济增长率和对世界经济增长的贡献率（单位：%）国家经济增长率对世界经济增长的贡献率

①2013年2021年2013-2021年平均增速2013年2021年2013-2021年年均贡献率中国7.88.16.635.724.938.6美国1.85.72.016.123.018.6日本2.01.60.44.41.50.9德国0.42.

91.00.72.11.8英国1.97.41.42.74.52.1印度6.48.95.45.64.75.8法国0.67.00.90.73.51.1意大利1.8−6.60.01.8−2.40.0加拿大2.34.61.51.81.51.

2韩国3.24.02.62.21.42.0注：①根据2015年为基期的国内生产总值计算．资料来源：世界银行WDI数据库．A.2013-2021年，我国经济平均增速6.6%，居世界主要经济体前列B.2013-2021年

，我国对世界经济增长的年均贡献率达到38.6%，超过表中其他国家年均贡献率的总和，是推动世界经济增长的第一动力C.2021年，我国的经济增长率位居世界第一D.表中“2021年世界主要国家经济增长率”这组数据的75百分位数是7.4【答案】ABD【解析】【分析】A.B.C.根据表中

数据判断；D.利用百分位数的定义判断.【详解】A.由表知：2013-2021年，我国经济平均增速6.6%，居世界主要经济体前列，故正确；B.由表知：2013-2021年，我国对世界经济增长的年均贡献率达到38.6%，超过表中其他国家年均贡献率的总和，是推动世界经济增长的第

一动力，故正确；C.由表知：2021年，我国的经济增长率位居世界第二，故错误；D.表中“2021年世界主要国家经济增长率”这组数据为1.6，2.9，4.0，4.6，5.7，6.6，7，7.4，8.1，8.9，则1075i==，所以

这组数据的75百分位数是7.4，故正确；故选：ABD11.已知函数ππ()cos()0,22fxx=+−，将()yfx=的图像上所有点向右平移π3个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()ygx=的

图像．若()gx为奇函数，且最小正周期为π，则下列说法正确的是（）A.函数()fx的图像关于点π,06中心对称B.函数()fx在区间π0,4上单调递减C.不等式1()2gx的解集为5πππ,π()1212kkk

−−ZD.方程()2xfgx=在(0,π)上有2个解【答案】ACD【解析】【分析】根据图像变换求出函数()fx与()gx的解析式，利用三角函数的对称，单调性分别进行判断即可.【详解】根据题意可得，()c

os23πgxx=+−，又因为()gx最小正周期为π，则2ππ2=，且0，则4ω=，即()4cos2π3gxx=+−，又因为()gx为奇函数，则4ππ=π,32kk−+Z解得11π+π,6kk=Z，且ππ2

2−，所以当2k=−时，π6=−，所以()π4cos2πsin263gxxx=−−=−，则π()cos(4)6fxx=−，对于A，当π6x=时，oππcs40666πf=−=，所以点π,06是()fx的对称中心，故正确；对

于B，令π2π4π2π6kxk−+，解得ππ7ππ,242242kkxk++Z，所以π0,4不是ππ7ππ,,242242kkk++Z的子集，故错误；对于C，因为1()

2gx，即11sin2sin222xx−−，所以5ππ+2π22π66kxk−−+，解得5ππππ,1212kxkk−−Z，故正确；对于D，分别画出12xyf=与()2ygx=在(0,π)的图像，通过图像即可

得到共有两个交点，故正确.故选:ACD12.球冠是指球面被平面所截得的一部分曲面，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．小明撑伞站在太阳下，撑开的伞面可以近似看作一个球冠．已知该球冠的底半径为60cm，高为20cm．假设地面是平面，太阳光线是平

行光束，下列说法正确的是（）A.若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面所成角为π4，则伞在地面的影子是圆B.若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面所成角为π6，则伞在地面的影子是椭圆C.若伞柄与太阳光线平行，太阳光线与地面所成角π3，则伞在地面的影子为椭圆，且该椭圆离心率为12D.若太

阳光线与地面所成角为π6，则小明调整伞柄位置，伞在地面的影子可以形成椭圆，且椭圆长轴长的最大值为240cm【答案】ACD【解析】【分析】先由已知条件求出圆面的半径，结合已知条件分别画出太阳光线与伞还原的球状，根据所成的不同角度，逐一

判断伞在地面的影子形状，作出判断即可．【详解】图一，在RtADO△中，由于222,60,20,,AOrADcmCDcmDOrCDDOADAO====−+=，解得100rcm=；选项A，太阳光线与地面所成角为π4时，如图

二将伞还原成完整的球状，光线将打在半球上，球冠被完整照射，于是投影形成完整的圆，正确；选项B，太阳光线与地面所成角为π6时，如图三球冠只有部分被照射，故不能形成完整的圆，错误；选项C，太阳光线与地面所成角π3，且伞柄沿着光线方

向时，球冠被完整照射，如图四，而由于AB与地面成一定角度，AB投影被拉长，故形成影子为椭圆，短轴长度不变，长轴被拉长为原来的23倍，则32ba=，离心率为12，正确；选项D，太阳光线与地面所成角为π6时，如图五，当AB垂直于地面，AB与地面所成角最大，可最大程度拉长影长，而且球冠被完整照射，故投

影成椭圆，此时长轴长为12240πsin6ABABcm==，正确；故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.62xx−的展开式中2x的系数为______．【答案】

60【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项()6261612C,0,1,2,...,6kkkkkTxk−−+=−=，再给k取值即得解.【详解】62xx−的展开式的通项为：()()66261662C12C,0,1,2,...,6kkkkkkkkTxxkx−−−+=−

=−=，令4k=，则()222445612C60Txx=−=，∴62xx−的展开式中2x的系数为60.故答案为：60.14.已知数列na中：12a=，11,,22,,nnnanaa

n+−=+为奇数为偶数则na的前8项和为______．【答案】56【解析】【分析】根据题意，依次得到2a到8a，然后相加，即可得到结果.【详解】根据题意可得，211211aa=−=−=3222224aa=+=+=，431413aa=−=−=，5422628a

a=+=+=，651817aa=−=−=，762214216aa=+=+=，87116115aa=−=−=则na的前8项和为214387161556+++++++=故答案:5615.如图是我国古代测量粮食的容器“升”，其形

状是正四棱台，“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”，若该“升”内粮食的高度为“平升”的一半时，粮食的体积约为“平升”时体积的14，则该“升”升口边长与升底边长的比值为______．【答案】16+【解析】为【分析】利用设边长方法，结合题中所给条

件列方程求解.【详解】设升底边长为a，升口边长为ka，则“升”内粮食的高度为“平升”的一半时，上表面边长为2aka+，设“升”的高度为h，“升”内粮食的高度为“平升”的一半时，粮食的体积约为“平升”时体积的14，则有()()2222222

211433222hakaakahakaakaaa++++=++，化简得2250kk−−=，由0k，解得16k=+，即升口边长与升底边长的比值为16+.故答案为：16+.16.若函数()fx

的定义域为(0,)+，且()()()fxfyfxy+=，()()nfanfn=+，则1niiafi==______．【答案】(1)2nn+【解析】【分析】由函数的定义域为(0,)+，且()()()fxfyfxy+=，取1

xy==，解得(1)0f=，再把12112niniaaaaffffin==+++拆分成()()()1211112nfaffaffafn++++++

再由()()nfanfn=+，整理出()1112(1)(1)(2)()2nfffffnfn++++++++++，结合等差数列前n项和公式及(1)0f=，即可求解.【详解】函数

()fx的定义域为(0,)+，且()()()fxfyfxy+=，取1xy==，有(1)(1)(11)fff+=，解得(1)0f=，又因为()()nfanfn=+，结合()()()fxfyfxy+=，则：的()()()()()()1211212121111211112nininna

aaaffffinfaffaffafnfafafafffn==+++=++++++

=+++++++()()()()()()()()()()()11112212111121212(1)1112(1)2ffnfnfffnnfffffnfnnnfffnn

=++++++++++=+++++++++++=+++++=故答案为：(1)2nn+.四、解答题：本题共6个小题

，共70分．解答应写出说明文字、演算式、证明步骤．17.正项数列na的前n项和nS满足2632nnnSaa=++，且11a．（1）求数列na的通项公式；（2）设数列nb满足()313nbna−=，nT为数列nb的前n项和，求1003T．【答案】（1）31nan=−；（2）1003

151T=.【解析】【分析】（1）2632nnnSaa=++，2111632(2)nnnSaan−−−=++，两式相减得到数列na是首项为2，公差为3的等差数列，即得解；（2）求出13lognnnaba+=，131lognnaTa+=，即得解.【小问1详解】

∵2632nnnSaa=++①∴2111632(2)nnnSaan−−−=++②①－②得：()()2211163nnnnnnSSaaaa−−−−=−+−，即()()111633(2)nnnnnnnaaaaaaan−−−=−++−()()1113

3(2)nnnnnnaaaaaan−−−+=−+，因为正项数列na，∴110,3(2)nnnnaaaan−−+−=又2111632aaa=++，211320aa−+=，∵11a，∴12a=∴数列na是首项为2，公差为3的等差数列，∴23(1)31

nann=+−=−，即na的通项公式为31nan=−．【小问2详解】∵()313nbna−=，∴1333332log1loglog31nnnnnabana++=+==−∴23123112333312121lo

glogloglognnnnnnnnaaaaaaaTbbbaaaaaaa++−=+++=+++=131lognaa+=．∴1011003331302loglogl

og1512aTa===，∴1003151T=．18.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，3b=，ac，且ππ1sincos364AA−+=．（1）求A的大小；（2）若sinsin43sinaAcCB+=，求ABC的面

积．【答案】（1）π6A=（2）334【解析】【分析】（1）已知等式利用诱导公式和倍角公式化简，可求A的大小；（2）条件中的等式，利用正弦定理角化边，再用余弦定理求得c边，用面积公式计算面积.【小问1详解】πππππ2sincoscoscos3636AAAA−+

=−−+2πcos21π13cos624AA++=+==，∴π31cos22A+=−，因为0πA，得ππ7π2333A+，所以π2π23

3A+=或4323ππA+=，解得π6A=或π2A=，因为ac，得π2A，∴π6A=．【小问2详解】由（1）知，6A=，sinsin43sinaAcCB+=，由正弦定理，得224312acb+==，由余弦定理，得2222cosab

cbcA=+−，即223123232ccc−=+−，整理，得22390cc−−=，由0c得3c=，所以11133sin332224ABCSbcA===△．19.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，E，F是线段11BD上的两个动点．（1）

若//BF平面ACE，求EF的长度；（2）若11114DEDB=，求直线BE与平面ACE所成角的正弦值．【答案】（1）22（2）43451【解析】【分析】（1）连接BD交AC于点O，连接OE，由线面平行证线线平行，

证得EFBO=即可求值；（2）建立空间直角坐标系，利用法向量解决线面角问题.【小问1详解】正方体1111ABCDABCD−，连接BD交AC于点O，连接OE，如图所示，∴//BF平面ACE，平面BEFI平面ACEOE=，BF平面BEF，∴//BFOE，又//EFB

O，∴BOEF为平行四边形，则22EFBO==.小问2详解】以点C为坐标原点，CD，CB，1CC方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则1(1,0,1)D，1(0,1,1)B，(1,1,0)A，(0,1,0)B，11(

1,1,0)DB=−，111111,,0444DEDB==−，1131,,144CECDDE=+=，33,,144BECECB=−=−，设平面ACE的法向量为(,,)mxyz=，则0

,310,44CAmxyCEmxyz=+==++=，取1z=−，解得(2,2,1)m=−−，【设直线BE与平面ACE所成角为，则||434sin51||||BEmBEm==，即直线BE与平面ACE所成角的正弦值为43451．20.有研究显示，人体内某部位的直径约10mm的结节

约有0.2%的可能性会在1年内发展为恶性肿瘤．某医院引进一台检测设备，可以通过无创的血液检测，估计患者体内直径约10mm的结节是否会在1年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阳性，则提示该结节会在1年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阴性，则提示

该结节不会在1年内发展为恶性肿瘤．这种检测的准确率为85%，即一个会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性被检出阳性，一个不会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性被检出阴性．患者甲被检查出体内长了一个直径约10mm的结节，他做了该项无创血液检测．（1）求患者甲检查结果为阴性的概率；（

2）若患者甲的检查结果为阴性，求他的这个结节在1年内发展为恶性肿瘤的概率（结果保留5位小数）；（3）医院为每位参加该项检查的患者缴纳200元保险费，对于检测结果为阴性，但在1年内发展为恶性肿瘤的患者，保险公司赔付该患者20万元，若每年参加该项检查的患者

有1000人，请估计保险公司每年在这个项目上的收益．【答案】（1）0.8486；（2）0.00035；（3）13万元.【解析】【分析】（1）记事件A：直径约10mm的结节在1年内发展为恶性肿瘤，事件B：该项无创血液检测的检查结果为阴性，利用()()P

BPBABA=+求解；（2）先求出()15%0.2%PAB=，再利用()(|)()PABPABPB=得解；（3）设获得20万元赔付的有X人，利用二项分布求出EX，记保险公司每年在这个项目上的收益为Y元，求出

EY即得解.【小问1详解】记事件A：直径约10mm的结节在1年内发展为恶性肿瘤，事件B：该项无创血液检测的检查结果为阴性，由题，()0.2%PA=，()99.8%PA=，(|)15%PBA=，(|)85%PBA

=，(|)85%PBA=，(|)15%PBA=，则()()()()(|)()(|)()PBPBABAPBAPBAPBAPAPBAPA=+=+=+15%0.2%85%99.8%0.8486=+=所以患者甲检查结果为阴性的概率为0.8486

．【小问2详解】()(|)()15%0.2%PABPBAPA==，()15%0.2%(|)0.00035()15%0.2%85%99.8%PABPABPB==+．所以患者甲的检查结果为阴性，他的这个结节在1年内发展为恶性肿瘤的概率为0

.00035．【小问3详解】记参加该项检查的1000位患者中，获得20万元赔付的有X人，(1000,0.00035)XB，则10000.000350.35EX==，记保险公司每年在这个项目上的收益为Y元，52001000210XY=−，则552001

0002101.310EYEX=−=，所以保险公司每年在这个项目上的收益估计为13万元．21.已知抛物线2:2Cypx=，点(1,2)A在C上，A关于动点(,0)(3)Ttt的对称点记为M，过M的直线l与C交于(

)11,Pxy，()22,Qxy，M为P，Q的中点．（1）当直线l过坐标原点O时，求APQ△外接圆的标准方程；（2）求APQ△面积的最大值．【答案】（1）227125222xy−++=（2）323

9【解析】【分析】（1）由题意解得抛物线方程，设直线方程，代入抛物线方程，利用M为P，Q的中点解出P，Q的坐标，利用圆上三点求圆的方程；（2）把APQ△面积表示为t的函数，利用导数研究单调性求最大值.【小

问1详解】由点(1,2)A在C上，代入2:2Cypx=，解得2p=，即2:4Cyx=．因为M为A关于动点(,0)Tt的对称点，所以(21,2)Mt−−．设直线:(2)21lxnyt=++−，联立2(2)21,4,xnytyx=++−=整理得248840y

nynt−−−+=，则()22Δ(4)4(884)16221nntnnt=−−−−+=++−，124yyn+=，12884yynt=−−+，由M为P，Q的中点，得1222yy+=−，故1n=−，由Δ0，解得13t，由直线l过坐标原点O，得12nt=−，

则32t=，解得10y=，24y=−，即(0,0)P，(4,4)Q−，设APQ△外接圆的一般方程220xyDxEyF++++=，代入(1,2)A，(0,0)P，(4,4)Q−，0,520,32440,FDEFDEF=+++=+−+=解得7

D=−，1E=，0F=，即2270xyxy+−+=，即APQ△外接圆的标准方程为227125222xy−++=．【小问2详解】由（1）可知，||81PQt=−，A到直线:320lxyt++−=的距离为|1

232|2(3)2tdt++−==−，则APQ△面积1||42(3)12SPQdtt==−−，22(53)1tSt−=−，由0S=，解得53t=，当513t，0S，S单调递增；当533t，0S，S单调递减；故53t=，APQ△面积的最大值3239S=．【点睛】思路点睛：解

答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；最值问题经常转化成函数问题处理.22.已知函数1()ln(1)fxaxxa=+−−，()exgxx=−．（1）若不等式1()2fxa−恒成立

，求a的取值范围；（2）若1a=时，存4个不同实数1x，2x，3x，4x，满足()()()()1234fxfxgxgx===，证明：2143xxxx−=−．【答案】（1）(0,1]（2）证明见解析【解析】【分析】（

1）该问题为恒成立问题，只需max1()2fxa−，所以我们分情况讨论计算1()ln(1)fxaxxa=+−−的最大值，然后满足max1()2fxa−计算出a的取值范围即可;(2)因为1a=，得()()ln(1)1fxxx=+−+，利用指对同构找到1x，

2x，3x，4x之间的关系计算即可.【小问1详解】由题易知0a，1()111aaaxfxaxax−−=−=++，①当a<0，函数()fx定义域为1,a−−，在11(0)02faa=−−，不合题意，舍去；②当0a，函数()fx定义域为1,a−+，由()0fx

=，解得11xa=−，当111xaa−−，()0fx，即()fx在区间11,1aa−−单调递增，当11xa−，()0fx，即()fx在区间11,a−+单调递减，max11ln1ffaa−=−

=，即1ln12aa−−，设函数1()ln1haaa=−+，0a，211()0haaa=+，即()ha在(0,)+单调递增，又因为(1)0h=，故01a时，()0ha成立，即1ln12aa−−成立，故a的

取值范围是(0,1]．【小问2详解】当1a=，()ln(1)1fxxx=+−−，设函数()lnFxxx=−，0x，1()1Fxx=−，易知(0,1)x，()0Fx，()Fx单调递增，(1,)x+，()0Fx，()Fx单调递

减，不妨令()()()()1234fxfxgxgxm====，由()()12fxfxm==，即()()1211FxFxm+=+=，又因为()elneexxxgxx=−=−，()()34gxgxm==，故3344lneelneexxxxm−=−=，即()()34eexxFFm==，由

函数()Fx单调性可知，方程()Fxm=至多有两解，故不妨令311exx+=，421exx+=，两式相减得3421eexxxx−=−，由()()34gxgxm==，得3434e,exxxmxm=−=−，故()()

34214343eexxxxxmxmxx−=−=−−−=−，问题得证．【点睛】函数()()ln(1)1fxxx=+−+与函数()exgxx=−都可以构造为同一函数()lnFxxx=−，其中()()1fxFx=+，()(

)xgxFe=，或者构造为()xGxxe=−，其中()()()ln1fxGx=+，()()gxGx=；该题同构为()lnFxxx=−计算较为方便.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com