《精准解析》安徽省蚌埠市2023届高三下学期第二次教学质量检查数学试题(解析版)

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【文档说明】《精准解析》安徽省蚌埠市2023届高三下学期第二次教学质量检查数学试题(解析版).docx,共(23)页,1.187 MB,由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明:

蚌埠市2023届高三年级第二次教学质量检查考试数学一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{0,1,2}A=,32Bxx=−,则AB=()A.22xx−B.02xxC.0,1,2D.{

0,1}【答案】C【解析】【分析】根据交集的知识求得正确答案.【详解】依题意,AB=0,1,2.故选:C2.已知复数z满足(1i)3iz−=+,则z=()A.12i+B.12i−+C.12i−D.12i−−【答案】A【解析】【详解

】由(1i)3iz−=+得,3i(3i)(1i)12i1i(1i)(1i)z+++===+−−+.故选:A.考点:复数的运算.3.已知双曲线C:2218yx−=,其一条渐近线被圆()2233xy−+=截得弦长为()A.33B.1C.233D.2【答案】C

【解析】【分析】先求出渐近线的方程和圆心到渐近线的距离,再利用圆的弦长公式求解.【详解】双曲线C:2218yx−=的一条渐近线方程为22yx=,即220xy−=.圆()2233xy−+=的圆心为(3,0)

,半径为3,所以圆心到渐近线的距离为22|223|263(22)(1)=+−.所以渐近线被圆()2233xy−+=截得弦长为()2222236333−=.故选:C4.已知随机变量X服从正态分布()22,N,且1(3

)6PX=,则(1)PX=()A.16B.13C.23D.56【答案】D【解析】【分析】根据题意,由正态分布密度曲线的对称性,代入计算,即可得到结果.【详解】根据题意可得,()()1316PXPX==,则()15(1)11166PXPX=−

=−=.故选:D5.设,是两个不同的平面,a,b是两条不同的直线,下列说法正确的是()A.若a⊥,b⊥,ab⊥,则⊥B.若a⊥,b,ab⊥,则⊥C.若a⊥,b⊥,ab,则⊥D.若a⊥,ab⊥,b=,则⊥

【答案】A【解析】【分析】根据题意,由空间中直线与平面的位置关系对选项逐一判断,即可得到结果.【详解】对于A,若a⊥,b⊥,ab⊥,则⊥,故正确;对于B,若a⊥,b,ab⊥,则与相交或者∥,故错误;对于C,若a⊥,b⊥,ab,则∥,故错误;对于

D,若a⊥,ab⊥,b=,则与相交,不一定垂直,故错误.故选:A6.某校对高三男生进行体能抽测,每人测试三个项日,1000米为必测项目,再从“引体向上,仰卧起坐,立定跳远”中随机抽取两项进行测试,则某班参加测试的5位男生测试项

目恰好相同的概率为()A.B.181C.127D.19【答案】B【解析】【分析】计算抽取方式的种数,得到其中一种抽取方式的概率,计算5人都抽取这一结果的概率,再把所有类型的结果相加即可.【详解】从“引体向上,仰卧起坐,立定跳远”中随机抽取两项进行测试,有23C3

=种结果,其中抽得“引体向上,仰卧起坐”这两项的概率为13,5位男生都抽到这两项概率为513,同理,5位男生都抽到“引体向上,立定跳远”这两项和5位男生都抽到“仰卧起坐,立定跳远”这两项的概率都是513,所以5位男生测试项目恰好相

同的概率为555111133381++=.故选:B7.已知函数()fx的图象如图所示,则该函数的解析式可能是()A.()|sin||cos|2sin2fxxxx=+−B.()|sin||cos|2sin2fxxxx=−+C.()|sin||cos|2c

os2fxxxx=−+D.()|sin||cos|2cos2fxxxx=++【答案】A【解析】【分析】在各选项的函数中取特殊值计算,并与已知图像比较,采用排除法即可做出判定.【详解】由题可知,图像过点()0

,1,取0x=,对于A:(0)sin0cos02sin00101f=+−=+−=;.对于B:(0)sin0cos02sin00101f=−+=−+=−;对于C:(0)sin0cos02cos00121f=−+=−+=

;对于D:(0)sin0cos02cos03f=++=;故可排除B、D,又由图像可知,当2x=时,()0fx,取2x=,对于A:sincos2sin2?100102222f=+−=+−=;对于C:sincos2cos2?102102222f=−+=−−

=−;可排除C,故答案选:A.8.已知15log2x=,22ln0xx+=,3233logxx−=,则()A.123xxxB.213xxxC.132xxxD.231xxx【答案】A【解析】【分析】证明11x2,设

()lnfxxx=+,证明2112x,设()21log3xhxx=−,证明312x,即得解.【详解】1551log2log52x==,设()lnfxxx=+,因为函数()fx在()0,+上递增(增+增=增),11111e

lnlnelnlneln0222224f=+=+==,()11f=,即()1102ff,由零点存在定理可知2112x;设函数()21log3xhxx=−,易

知()hx在()0,+上递减(减+减=减),()113h=,()12109h=−,即()()210hh,由零点存在定理可知312x.即123112xxx.故选:A.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有

多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.关于平面向量,,abc,下列说法不正确的是()A.若acbc=,则ab=B.()+=+abcacbcC.若22ab=,则acbc=

D.()()abcbca=【答案】ACD【解析】【分析】由数量积性质可判断A,由分配律可判断B,由相反向量可判断C,由向量垂直可以判断D.【详解】对于A,若0c=,则不一定有ab=,A错误;对于B,根据分配律即可得到,B正确;

对于C,若22ab=,则可能ab=−,那么acbc,C错误;对于D,若ab⊥,则有0ab=,那么就不一定有()()abcbca=,D错误.故选:ACD10.作为世界经济增长的重要引擎,中国经济充满韧性活力

,备受世界瞩日.当前,新冠疫情延宕反复,全球通胀攀升,美联储激进加息冲击全球,世界经济下行压力明显增大.在此背景下,中国经济稳住了自身发展势头,不断向世界经济输送宝贵增长动能,续写世界经济发展史上的中国奇迹.中共二十大报告为中国的未来擘

画了发展蓝图,让全球经济界人士继续看好中国经济光明前景.根据世界银行最新公布的数据,下列说法正确的是()世界主要国家经济增长率和对世界经济增长的贡献率(单位:%)国家经济增长率对世界经济增长的贡献率①2013年2021年2013-2021年平均增速2013年20

21年2013-2021年年均贡献率中国7.88.16.635.724.938.6美国1.85.72.016.123.018.6日本2.01.60.44.41.50.9德国0.42.91.00.72.

11.8英国1.97.41.42.74.52.1印度6.48.95.45.64.75.8法国0.67.00.90.73.51.1意大利1.8−6.60.01.8−2.40.0加拿大2.34.61.51.81.5

1.2韩国3.24.02.62.21.42.0注:①根据2015年为基期的国内生产总值计算.资料来源:世界银行WDI数据库.A.2013-2021年,我国经济平均增速6.6%,居世界主要经济体前列B.2013-2021年,我国

对世界经济增长的年均贡献率达到38.6%,超过表中其他国家年均贡献率的总和,是推动世界经济增长的第一动力C.2021年,我国的经济增长率位居世界第一D.表中“2021年世界主要国家经济增长率”这组数据的75

百分位数是7.4【答案】ABD【解析】【分析】A.B.C.根据表中数据判断;D.利用百分位数的定义判断.【详解】A.由表知:2013-2021年,我国经济平均增速6.6%,居世界主要经济体前列,故正确;B.由表知:2013-2021年,我国对世界经济增长的年均贡献率达到38.6%,超过

表中其他国家年均贡献率的总和,是推动世界经济增长的第一动力,故正确;C.由表知:2021年,我国的经济增长率位居世界第二,故错误;D.表中“2021年世界主要国家经济增长率”这组数据为1.6,2.9,4.0,4.6,5.7,6.6,7,7.4,8.1,8.9,则1075

i==,所以这组数据的75百分位数是7.4,故正确;故选:ABD11.已知函数ππ()cos()0,22fxx=+−,将()yfx=的图像上所有点向右平移π3个单位长度

,然后横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数()ygx=的图像.若()gx为奇函数,且最小正周期为π,则下列说法正确的是()A.函数()fx的图像关于点π,06中心对称B.函数()fx在区间π0,4上单调递减C.不等式1()2gx的解

集为5πππ,π()1212kkk−−ZD.方程()2xfgx=在(0,π)上有2个解【答案】ACD【解析】【分析】根据图像变换求出函数()fx与()gx的解析式,利用三角函数的对称,单调性分别进行判断即可.【详解】根据题意可得,()cos23πgxx=

+−,又因为()gx最小正周期为π,则2ππ2=,且0,则4ω=,即()4cos2π3gxx=+−,又因为()gx为奇函数,则4ππ=π,32kk−+Z解得11π+π,6kk=Z,

且ππ22−,所以当2k=−时,π6=−,所以()π4cos2πsin263gxxx=−−=−,则π()cos(4)6fxx=−,对于A,当π6x=时,oππcs40666πf=−=,所以点π,06是()fx的对称中心,故正确;

对于B,令π2π4π2π6kxk−+,解得ππ7ππ,242242kkxk++Z,所以π0,4不是ππ7ππ,,242242kkk++Z的子集,故错误;对于C,因为1()2gx,即11sin2sin222xx−

−,所以5ππ+2π22π66kxk−−+,解得5ππππ,1212kxkk−−Z,故正确;对于D,分别画出12xyf=与()2ygx=在(0,π)的图像,通过图像即可得到共有两个交点,故正确.故选:ACD12.球冠是指球面被平面所截得的一部

分曲面,截得的圆叫做球冠的底,垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.小明撑伞站在太阳下,撑开的伞面可以近似看作一个球冠.已知该球冠的底半径为60cm,高为20cm.假设地面是平面,太阳光线是平行光束,下列说法正

确的是()A.若伞柄垂直于地面,太阳光线与地面所成角为π4,则伞在地面的影子是圆B.若伞柄垂直于地面,太阳光线与地面所成角为π6,则伞在地面的影子是椭圆C.若伞柄与太阳光线平行,太阳光线与地面所成角π3,则伞在地面的影子为椭圆,且该椭圆离心率为12D.若太阳光线与地面所成角为π6,则小明调整伞柄位

置,伞在地面的影子可以形成椭圆,且椭圆长轴长的最大值为240cm【答案】ACD【解析】【分析】先由已知条件求出圆面的半径,结合已知条件分别画出太阳光线与伞还原的球状,根据所成的不同角度,逐一判断伞在地

面的影子形状,作出判断即可.【详解】图一,在RtADO△中,由于222,60,20,,AOrADcmCDcmDOrCDDOADAO====−+=,解得100rcm=;选项A,太阳光线与地面所成角为π4时,如图二将伞还原成完整的球状,光线将打在半球上,球冠被完整照射,于是投影形成

完整的圆,正确;选项B,太阳光线与地面所成角为π6时,如图三球冠只有部分被照射,故不能形成完整的圆,错误;选项C,太阳光线与地面所成角π3,且伞柄沿着光线方向时,球冠被完整照射,如图四,而由于AB与地面成一定

角度,AB投影被拉长,故形成影子为椭圆,短轴长度不变,长轴被拉长为原来的23倍,则32ba=,离心率为12,正确;选项D,太阳光线与地面所成角为π6时,如图五,当AB垂直于地面,AB与地面所成角最大,可最大程度

拉长影长,而且球冠被完整照射,故投影成椭圆,此时长轴长为12240πsin6ABABcm==,正确;故选:ACD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.62xx−的展开式中2x的系数为______.【答案】60【解析】【分析】先

求出二项式展开式的通项()6261612C,0,1,2,...,6kkkkkTxk−−+=−=,再给k取值即得解.【详解】62xx−的展开式的通项为:()()66261662C12C,0,1,2,...,6kkkkkkkkTxxkx−−−+=−=−=,令4k=,则

()222445612C60Txx=−=,∴62xx−的展开式中2x的系数为60.故答案为:60.14.已知数列na中:12a=,11,,22,,nnnanaan+−=+为奇数为偶数则na的前8项和为______.【答案】

56【解析】【分析】根据题意,依次得到2a到8a,然后相加,即可得到结果.【详解】根据题意可得,211211aa=−=−=3222224aa=+=+=,431413aa=−=−=,5422628aa=+=+=,651817aa=−=−=,76221421

6aa=+=+=,87116115aa=−=−=则na的前8项和为214387161556+++++++=故答案:5615.如图是我国古代测量粮食的容器“升”,其形状是正四棱台,“升”装满后用手指或筷子沿

升口刮平,这叫“平升”,若该“升”内粮食的高度为“平升”的一半时,粮食的体积约为“平升”时体积的14,则该“升”升口边长与升底边长的比值为______.【答案】16+【解析】为【分析】利用设边长方法,结合题中所给条件列方程求解.【详解】设升底边长为a,升口边长为ka

,则“升”内粮食的高度为“平升”的一半时,上表面边长为2aka+,设“升”的高度为h,“升”内粮食的高度为“平升”的一半时,粮食的体积约为“平升”时体积的14,则有()()2222222211433222hakaakahakaakaaa++

++=++,化简得2250kk−−=,由0k,解得16k=+,即升口边长与升底边长的比值为16+.故答案为:16+.16.若函数()fx的定义域为(0,)+

,且()()()fxfyfxy+=,()()nfanfn=+,则1niiafi==______.【答案】(1)2nn+【解析】【分析】由函数的定义域为(0,)+,且()()()fxfyfxy+=,取1xy==,解得(1)0

f=,再把12112niniaaaaffffin==+++拆分成()()()1211112nfaffaffafn++++++

再由()()nfanfn=+,整理出()1112(1)(1)(2)()2nfffffnfn++++++++++,结合等差数列前n项和公式及(1)0f=,即可求解.【详解】函数()fx的定义域为(

0,)+,且()()()fxfyfxy+=,取1xy==,有(1)(1)(11)fff+=,解得(1)0f=,又因为()()nfanfn=+,结合()()()fxfyfxy+=,则:的()()()()()()121121212

1111211112nininnaaaaffffinfaffaffafnfafafafffn==+++=++++++=++++++

+()()()()()()()()()()()11112212111121212(1)1112(1)2ffnfnfffnnfffffnfnnnfffnn=++++

++++++=+++++++++++=+++++=故答案为:(1)2nn+.四、解答题:本题共6个小题,共70分.解

答应写出说明文字、演算式、证明步骤.17.正项数列na的前n项和nS满足2632nnnSaa=++,且11a.(1)求数列na的通项公式;(2)设数列nb满足()313nbna−=,nT为数列nb的前n项和,求1003T.【答

案】(1)31nan=−;(2)1003151T=.【解析】【分析】(1)2632nnnSaa=++,2111632(2)nnnSaan−−−=++,两式相减得到数列na是首项为2,公差为3的等差数列,即得解;(2)求出13lognnnaba+=,131lognnaTa+=,即得解.【

小问1详解】∵2632nnnSaa=++①∴2111632(2)nnnSaan−−−=++②①-②得:()()2211163nnnnnnSSaaaa−−−−=−+−,即()()111633(2)nnnnnnnaaaaaaan−−−=−++−()()11133(2)nnn

nnnaaaaaan−−−+=−+,因为正项数列na,∴110,3(2)nnnnaaaan−−+−=又2111632aaa=++,211320aa−+=,∵11a,∴12a=∴数列na是首项为2,公差为3的等差数列,∴23

(1)31nann=+−=−,即na的通项公式为31nan=−.【小问2详解】∵()313nbna−=,∴1333332log1loglog31nnnnnabana++=+==−∴23123112333312121

loglogloglognnnnnnnnaaaaaaaTbbbaaaaaaa++−=+++=+++=131lognaa+=.∴1011003331302logloglog

1512aTa===,∴1003151T=.18.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,3b=,ac,且ππ1sincos364AA−+=.(1)求A的大小;(2)若sin

sin43sinaAcCB+=,求ABC的面积.【答案】(1)π6A=(2)334【解析】【分析】(1)已知等式利用诱导公式和倍角公式化简,可求A的大小;(2)条件中的等式,利用正弦定理角化边,再用余弦

定理求得c边,用面积公式计算面积.【小问1详解】πππππ2sincoscoscos3636AAAA−+=−−+2πcos21π13cos624AA++

=+==,∴π31cos22A+=−,因为0πA,得ππ7π2333A+,所以π2π233A+=或4323ππA+=,解得π6A=或π2A=,因为ac,得π2A,∴π6A=.【小问2详解】由(1)知,6A=,sinsin43sinaAcCB+

=,由正弦定理,得224312acb+==,由余弦定理,得2222cosabcbcA=+−,即223123232ccc−=+−,整理,得22390cc−−=,由0c得3c=,所以11133sin332224ABCSbcA===

△.19.如图,正方体1111ABCDABCD−的棱长为1,E,F是线段11BD上的两个动点.(1)若//BF平面ACE,求EF的长度;(2)若11114DEDB=,求直线BE与平面ACE所成角的正弦值.【答案】(1)22(2)43451【解析】【分析】(1)连

接BD交AC于点O,连接OE,由线面平行证线线平行,证得EFBO=即可求值;(2)建立空间直角坐标系,利用法向量解决线面角问题.【小问1详解】正方体1111ABCDABCD−,连接BD交AC于点O,连接OE,如图所示,∴//BF平面ACE,平面BEFI平面ACEOE=,BF平面BEF,

∴//BFOE,又//EFBO,∴BOEF为平行四边形,则22EFBO==.小问2详解】以点C为坐标原点,CD,CB,1CC方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系,如图所示,则1(1,0,1)D,1(0,1,1)B,(1,1,0)A,(0,1,0)B,11(1,1

,0)DB=−,111111,,0444DEDB==−,1131,,144CECDDE=+=,33,,144BECECB=−=−,设平面ACE的法向量为(,,)mxyz=,则0,310,44CAmxyCE

mxyz=+==++=,取1z=−,解得(2,2,1)m=−−,【设直线BE与平面ACE所成角为,则||434sin51||||BEmBEm==,即直线BE与平面ACE所成角的正弦值为43451.20.有研究显示,人体内某部位的直径约10mm的结节约有0.2%的可

能性会在1年内发展为恶性肿瘤.某医院引进一台检测设备,可以通过无创的血液检测,估计患者体内直径约10mm的结节是否会在1年内发展为恶性肿瘤,若检测结果为阳性,则提示该结节会在1年内发展为恶性肿瘤,若检测结果为阴性,则

提示该结节不会在1年内发展为恶性肿瘤.这种检测的准确率为85%,即一个会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性被检出阳性,一个不会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性被检出阴性.患者甲被检查出体内长了一个直径约10mm的结节,他做

了该项无创血液检测.(1)求患者甲检查结果为阴性的概率;(2)若患者甲的检查结果为阴性,求他的这个结节在1年内发展为恶性肿瘤的概率(结果保留5位小数);(3)医院为每位参加该项检查的患者缴纳200元保险费,对于检测结果为阴性,但在1年内发展为恶性肿瘤的患者,保险公司赔付该患者20万元,若每年

参加该项检查的患者有1000人,请估计保险公司每年在这个项目上的收益.【答案】(1)0.8486;(2)0.00035;(3)13万元.【解析】【分析】(1)记事件A:直径约10mm的结节在1年内发展为恶性肿瘤,事件B:该项无创血液检测的检查结果为阴性,利用()()PBPBABA=+求解;(2)

先求出()15%0.2%PAB=,再利用()(|)()PABPABPB=得解;(3)设获得20万元赔付的有X人,利用二项分布求出EX,记保险公司每年在这个项目上的收益为Y元,求出EY即得解.【小问1详解】记事件A:直径约10mm的结节在1年内发展为恶性肿瘤,事件B:该项

无创血液检测的检查结果为阴性,由题,()0.2%PA=,()99.8%PA=,(|)15%PBA=,(|)85%PBA=,(|)85%PBA=,(|)15%PBA=,则()()()()(|)()(|)()

PBPBABAPBAPBAPBAPAPBAPA=+=+=+15%0.2%85%99.8%0.8486=+=所以患者甲检查结果为阴性的概率为0.8486.【小问2详解】()(|)()15%0.2%PABPBAPA==

,()15%0.2%(|)0.00035()15%0.2%85%99.8%PABPABPB==+.所以患者甲的检查结果为阴性,他的这个结节在1年内发展为恶性肿瘤的概率为0.00035.【小问3详解】记参加该项检查的1000位患者中,获得20万元赔付的

有X人,(1000,0.00035)XB,则10000.000350.35EX==,记保险公司每年在这个项目上的收益为Y元,52001000210XY=−,则5520010002101.310EYEX=−=,

所以保险公司每年在这个项目上的收益估计为13万元.21.已知抛物线2:2Cypx=,点(1,2)A在C上,A关于动点(,0)(3)Ttt的对称点记为M,过M的直线l与C交于()11,Pxy,()22,Qxy,M为P,Q的中点.(1)

当直线l过坐标原点O时,求APQ△外接圆的标准方程;(2)求APQ△面积的最大值.【答案】(1)227125222xy−++=(2)3239【解析】【分析】(1)由题意解得抛物线方程,设直线方程,代入抛物线方程,利用M为P,Q

的中点解出P,Q的坐标,利用圆上三点求圆的方程;(2)把APQ△面积表示为t的函数,利用导数研究单调性求最大值.【小问1详解】由点(1,2)A在C上,代入2:2Cypx=,解得2p=,即2:4Cyx=.因为M

为A关于动点(,0)Tt的对称点,所以(21,2)Mt−−.设直线:(2)21lxnyt=++−,联立2(2)21,4,xnytyx=++−=整理得248840ynynt−−−+=,则()22Δ(4)4(884)16221nntnnt=−−−−+=++−

,124yyn+=,12884yynt=−−+,由M为P,Q的中点,得1222yy+=−,故1n=−,由Δ0,解得13t,由直线l过坐标原点O,得12nt=−,则32t=,解得10y=,24y=−,即(0,0)P,(4,4)Q−,设APQ△外接圆的一般方程220xyDxEyF+

+++=,代入(1,2)A,(0,0)P,(4,4)Q−,0,520,32440,FDEFDEF=+++=+−+=解得7D=−,1E=,0F=,即2270xyxy+−+=,即APQ△外接圆的标准方程为227125222xy−++=

.【小问2详解】由(1)可知,||81PQt=−,A到直线:320lxyt++−=的距离为|1232|2(3)2tdt++−==−,则APQ△面积1||42(3)12SPQdtt==−−,22(53

)1tSt−=−,由0S=,解得53t=,当513t,0S,S单调递增;当533t,0S,S单调递减;故53t=,APQ△面积的最大值3239S=.【点睛】思路点睛:解答直线与抛物线的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去x(或y)建立一元二次方

程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系;最值问题经常转化成函数问题处理.22.已知函数1()ln(1)fxaxxa=+−−,()exgxx=−.(1)若不等式1()2fxa−恒成立,求a的取值范围;(2)若1a=时,存4个不同实数1x,2

x,3x,4x,满足()()()()1234fxfxgxgx===,证明:2143xxxx−=−.【答案】(1)(0,1](2)证明见解析【解析】【分析】(1)该问题为恒成立问题,只需max1()2fxa−,所以我们分情况讨

论计算1()ln(1)fxaxxa=+−−的最大值,然后满足max1()2fxa−计算出a的取值范围即可;(2)因为1a=,得()()ln(1)1fxxx=+−+,利用指对同构找到1x,2x,3x,4x之间的关系计算即可.【小问1详解】由题易知0a,1()111aaaxfxaxax−−=−

=++,①当a<0,函数()fx定义域为1,a−−,在11(0)02faa=−−,不合题意,舍去;②当0a,函数()fx定义域为1,a−+,由()0fx=,解得11xa=−,当111xaa−−

,()0fx,即()fx在区间11,1aa−−单调递增,当11xa−,()0fx,即()fx在区间11,a−+单调递减,max11ln1ffaa−=−=,即1ln12aa−−,设函数1()ln1haaa=−+,0a,211()0haaa=+,

即()ha在(0,)+单调递增,又因为(1)0h=,故01a时,()0ha成立,即1ln12aa−−成立,故a的取值范围是(0,1].【小问2详解】当1a=,()ln(1)1fxxx=+−−,设函数()lnFxxx=−,0x,1()1Fxx=−,易知(0,1

)x,()0Fx,()Fx单调递增,(1,)x+,()0Fx,()Fx单调递减,不妨令()()()()1234fxfxgxgxm====,由()()12fxfxm==,即()()1211FxFxm

+=+=,又因为()elneexxxgxx=−=−,()()34gxgxm==,故3344lneelneexxxxm−=−=,即()()34eexxFFm==,由函数()Fx单调性可知,方程()Fxm=至多有两解,故不妨令311exx+=,421exx+=,两式相

减得3421eexxxx−=−,由()()34gxgxm==,得3434e,exxxmxm=−=−,故()()34214343eexxxxxmxmxx−=−=−−−=−,问题得证.【点睛】函数()()ln(1

)1fxxx=+−+与函数()exgxx=−都可以构造为同一函数()lnFxxx=−,其中()()1fxFx=+,()()xgxFe=,或者构造为()xGxxe=−,其中()()()ln1fxGx=+,()()gxGx=;该题同构为()lnFx

xx=−计算较为方便.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com

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