【文档说明】四川省射洪中学校2022-2023学年高二强基班下学期第二次半月考文科数学试题 含解析.docx，共(21)页，1003.850 KB，由小赞的店铺上传

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射洪中学高2021级高二下期强基班第二次半月考文科数学时间：120分钟总分：150分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考号填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡上对应的虚线框内.2.回答选择题时，选出每小题答案后，

用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知双曲

线22:12xCy−=，则该双曲线的实轴长为（）A.1B.2C.2D.22【答案】B【解析】【分析】根据给定的双曲线方程直接计算即可作答.【详解】双曲线22:12xCy−=的实半轴长1a=，所以该双曲线的实轴长为2.故选：B2.若函

数()fx的导函数为()fx，则下列4个描述中，其中不正确的是（）A.若()sinfxx=，则()cosfxx=B.若()2xfx=，则()2ln2xfx=C.若ln()xfxx=，则21ln()xfxx−=D.若()ln

2lnfxx=+，则11()2fxx=+【答案】D【解析】【分析】结合函数的求导公式和求导法则，逐项判断，即可得到本题答案.【详解】因为2ln1ln1(sin)cos,(2)2ln2,(),(ln2ln)xxxxxxxxxx

−===+=，所以，A,B,C项正确，D项错误.故选：D3.抛物线22yx=的准线方程为（）A.12x=B.12y=−C.18y=−D.18x=【答案】C【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出

其准线方程.【详解】抛物线的方程可变为212xy=故128p=其准线方程为18y=−故选：C4.已知方程22123xymm+=−−表示的焦点在y轴的双曲线，则m的取值范围是（）A.()1,2B.()(),12,−+C.()2,3D.()2,+【答案

】C【解析】【分析】先化为双曲线的标准方程，再建立不等式求解即可.【详解】方程22123xymm+=−−可化为：22132yxmm−=−−，由方程表示的焦点在y轴的双曲线，得3020mm−−，

解得23m.故选：C.5.在同一个平面直角坐标系中，曲线22yx=的图象经过1213xxyy==伸缩变换后得到的图象对应的方程为（）A.249yx=B.294yx=C.29yx=D.236yx=【答案】A【解析】【分析】对曲线做伸缩变换，

即可得出对应的方程.【详解】由题意，曲线22yx=的图象经过1213xxyy==伸缩变换后，()()2322yx=，解得：249yx=，∴伸缩变换后得到的图象对应的方程为：249yx=.故选：A.6.极坐标中，已知两

点π3,6A，5π1,6B，则AB=（）A.4B.2C.13D.13【答案】C【解析】【分析】利用公式将点,AB转化为直角坐标，再利用两点距离公式，即可求得本题答案.【详解】因为cos,sinxy==，所以，π3335313,,,1,π,

622622AB====−，所以，2233331132222AB=++−=.故选：C在7.下列四个命题中，正确命题的个数有（）①若pq为假命题，则p､q均为假命题；②命题“xR，220xx−−”的

否定是“xR，220xx−−”；③“若0x为()yfx=的极值点，则()00fx=”的逆命题为真命题；④复数zC，aR，则“01a”是“i1iaz+=−在复平面内的点在第二象限”的充分不必要条件A.1B.2C.3D.

4【答案】B【解析】【分析】①pq的真假判断，一假则假；②全称命题的否定是特称命题；③举反例即可说明；④利用复数的除法运算化简变形，得到充要条件再判断即可.【详解】①若pq为假命题，可能p真q假，也可能p假q真，不一定都为假命题，故①不正确；②命

题“xR，220xx−−”的否定是“xR，220xx−−”，②正确；③“若0x为()yfx=的极值点，则()00fx=”的逆命题是“若()00fx=，则0x为()yfx=的极值点”，这是个假命题.如3()

fxx=，(0)0f=，但()fxR上单调递增，没有极值点.故③不正确；④aR,()()()()i1ii1(1)i1i1i1i2aaaaz+++−++===−−+，z在复平面内的点在第二象限的充要条件是1010aa−+，解得11a−，由01a能推出11a−

；由11a−，推不出01a，所以“01a”是“i1iaz+=−在复平面内的点在第二象限”的充分不必要条件，故④正确.故选：B.8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》

中提出的多项在式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.已知一个5次多项式为5432()2341fxxxxxx=+−+−+，用秦九韶算法求这个多项式当2x=时4v的值为（）A.5B.14C.27D.55【答案】C【解析】【分析】将n次多项式的求值转化为一次多项式的

求值，按照由内而外的顺序依次求解即可.【详解】由5432()2341fxxxxxx=+−+−+把多项式写成如下形式()((((2)3)4)1)1fxxxxxx=+−+−+，按照从内而外的顺序，依次计算一次多项式当2x=时的值：02v=，1224v=+=

，24235v=−=，352414v=+=，4142127v=−=.故选：C.9.执行如下图所示的程序框图，则输出的结果是A.1920B.2021C.2122D.2223【答案】C【解析】【详解】输出结果为求和：111111111210111223212222321222222S=++++

=−+−++−=−−=,选C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，

是求和还是求项.10.已知双曲线E：2213xy−=，若抛物线()220ypxp=的焦点到双曲线E的渐近线的距离为3，过焦点倾斜角为π4的直线与抛物线交于A，B两点，则AB的值为（）A.163B.83C

.8D.43【答案】A【解析】【分析】分别求出抛物线标准方程和直线方程，联立消y求12xx+的值，利用弦长公式12ABxxp=++，即可求得本题答案.【详解】因为抛物线()220ypxp=的焦点为(,0)2p，双曲线E：2213xy−=其中一条渐近线方程为30xy−=，所以焦点到渐近

线的距离222341(3)ppd===+−，解得43p=，所以抛物线的标准方程为283yx=，因为直线过焦点且倾斜角为π4，所以直线方程为23yx=−，所以抛物线标准方程与直线方程联立消y，得2123120xx−+=，由韦达定理得，12123xx=+，所以弦长1212343163ABxxp=++=

+=.故选：A11.已知函数()lnfxax=，其中0a，若直线e=+yxb与()fx相切，则b的最小值为（）A.e−B.2−C.2D.e【答案】A【解析】【分析】设出切点坐标，由切点处的导数值等于切线的斜率，以及切点处的函数值相等建立等量关系，可得e(ln1)btt=−，再利用

导数求函数最值即可.【详解】直线e=+yxb与()lnfxax=相切，设切点坐标(),lntat，由()afxx=，则()eaftt==，即eat=，又elntbat+=，则lneelnee(ln1)battttttt=−=−=−，令()(ln1)gttt=−，则()lngtt=

，当(0,1)t时，()0gt，()gt单调递减；当(1,)t+时，()0gt，()gt单调递增.故min()(1)1gtg==−，则b的最小值为e−.故选：A.12.过原点的直线l与双曲线E：()2222

10,0xyabab−=交于A，B两点（点A在第一象限），ACx⊥交x轴于C点，直线BC交双曲线于点D，且1ABADkk=，则双曲线的渐近线方程为（）A.2yx=B.12yx=C.2yx=D.22yx=【答案】B【解析】【分析】由题可设，000011(,),(,),(,)AxyBxy

Dxy−−，0(,0)Cx，分别表示出,,ABBCADkkk，逐步转化，即可求得本题答案.【详解】因为,AB直线过原点，所以,AB关于原点对称，设000011(,),(,),(,)AxyBxyDxy−−，因

为AC与x轴垂直，所以0(,0)Cx，设123,,ABBCADkkkkkk===，则00121001,22yykkkxx===，而222222210101012232222222101010101(1)(1)yyyyyyxxbkkbbxxxxxx

xxaaa+−−===−−−=+−−−所以，2132321222bkkkka===，所以，224,2abab==所以渐近线方程为12yx=.故选：B二､填空题（每小题5分，共计20分）1

3.双曲线2216416yx−=的焦点为1F，2F，点P在双曲线上，若14PF=，则2PF=___________.【答案】20【解析】【分析】先由双曲线方程求出a，然后根据双曲线的定义求解即可.【详解】由2216416yx−=，得2264,1

6ab==，得8,4ab==，因为12216PFPFa−==，14PF=，所以2416PF−=或2416PF−=−，解得212PF=−（舍去），或220PF=，故答案为：2014.某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x（单位：2dm）与水生植物的株数y（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型e

(0)kxycc=去拟合x与y的关系，设lnzy=，x与z的数据如表格所示：x3467z22.54.57得到x与z的线性回归方程1.2zxa=+$$，则c=___________.【答案】2e−##21e【解析】【分析】根据已知条件，求得5,4xz==，进

而代入回归方程可求得ˆ2a=−，从而得出ˆ1.22zx=−，联立lnzy=，即可求得本题答案.【详解】由已知可得，346754x+++==，22.54.5744z+++==，所以，有ˆ41.25a=+，解得ˆ2a=−，所以，ˆ1.22zx=−，由lnzy=，

得ln1.22yx=−，所以，1.2221.2eeexxy−−==，则2ec−=.故答案为：2e−15.若双曲线C：22221xyab−=（0a，0b）的一条渐近线被圆()2224xy−+=所截得的弦长为2，双曲线C的离心率为______.【答案】2【解析】【分

析】求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a，b的关系，即可得到所求离心率公式．【详解】双曲线C：22221(0,0)xyabab−=的一条渐近线方程设为0bxay−=，圆22(2)4xy−+=的圆心为(2,0)，

半径2r=，可得圆心到渐近线的距离为22|20|bdab−=+，则2224224bab=−+，化为22223abca==−，即224ac=，1cea=，解得2e=.故答案为：2.【点睛】本题考查圆与圆锥曲线的综合

，解题关键是点到直线距离公式及弦长公式建立a，b的等量关系，即可求解a、c关系，属于中等题.16.已知2x=是函数2()(3)e22xkfxxxkx=−−+的极大值点，则k的取值范围是___________.【答案】2(e,)+

【解析】【分析】根据题意，求得))(2)((exkxfx−=−，分0k、20ek、2ek=和2ek，四种情况讨论，结合函数的单调性与极值点的定义，即可求解.【详解】由函数2()(3)e22xkfxxxkx=−−+，可得))(2)((exk

xfx−=−，①若0k时，e0xk−，当2x时，()0fx，()fx单调递减；当2x时，()0fx，()fx单调递增，此时2x=时，函数()fx取得极小值，不符合题意；②若20ek时，令()0fx=，可得12ln,2xkx==，

此时12xx，当lnxk时，()0fx，()fx单调递增；当ln2kx时，()0fx，()fx单调递减；当2x时，()0fx，()fx单调递增，此时2x=时，函数()fx取得极小值，不符合题意；③若2ek=时，令()0fx，()fx单调递增，没有极值点，不符合题意；④若

2ek时，令()0fx=，可得12ln,2xkx==，此时12xx，当2x时，()0fx，()fx单调递增；当2lnxk时，()0fx，()fx单调递减；当lnxk时，()0fx，()fx单调递增，此时2x=时，函数()fx取得极大值，符合题意，综上可得，实数k的取值范

围为2(e,)+.故答案为：2(e,)+.三､解答题（17题10分，其余各题每小题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为4cos4sinxy==（为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的

单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin24+=.（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的极坐标方程；（2）直线l与y轴交于P点，且曲线C交于A，B两点，点M为AB的中点，求PM.【答案】（1）直线l的直角坐标方程为20xy+−=，曲线C的极坐标方程为4=（2）

2【解析】【分析】（1）根据同角三角的平方关系消去参数可得曲线C的普通方程，利用公式cossinxpy==可得直线l的直角坐标方程及曲线C的极坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，利用参数t的几何意义求解PM即可.【小问1详解】由直线l的极坐标方程为sin24

+=，得()222cossincossin2222+=+=，由cossinxy==代入上式整理得直线的直角坐标方程为20xy+−=.由曲线C的参数方程为4cos4si

nxy==（为参数），消参得2216xy+=，()()222cossin16,16(0)+==，故曲线C的极坐标方程为：4=.【小问2详解】直线l：20xy+−=与y轴交于P点，则(0,2)P，由题意可知点P在直线l上，则直线l的参

数方程为22222xtyt=−=+（t为参数），将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程2216xy+=，整理得222120tt+−=，()2224(12)560=−−=，设A，B对应的参数分别为12,tt，则1222tt+=，

点M为AB的中点，故1222ttPM+==.18.已知双曲线()222210,0xyabab−=的焦距为6，且虚轴长是实轴长的2倍.（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线的右焦点F且倾斜角为π4的直线l与双曲线交于A，B两点，求A

B.【答案】（1）22136xy−=（2）83【解析】【分析】（1）由题意可知得26c=，且2ba=，再结合222bca=−求出,,acb，进而可得双曲线的方程；（2）由题意可得直线l的方程为3yx=−，设1122(,),

(,)AxyBxy，然后将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去y，利用根与系数的关系，再利用弦长公式可得结果.【小问1详解】由双曲线()222210,0xyabab−=的焦距为6，且虚轴长是实轴长的2

倍.得26c=，且2ba=，又222239caba=+==，解得23,3ca==,所以222936bca=−=−=，所以双曲线方程为22136xy−=.【小问2详解】由（1）可知双曲线C的右焦点F为(3,0)，所以直线l的方程为3yx=−，设1

122(,),(,)AxyBxy，由221363xyyx−==−，得26150xx+−=，所以1212615xxxx+=−=−，所以22121211()42364(15)83ABxxxx=++−=−−=.19.已知函数()22lnfxx

axx=+−.（1）若3a=，求()fx的极值；（2）若函数()fx在区间2,4上不是单调函数，求a的取值范围.【答案】（1）极小值为72ln24+，无极大值（2）15,32−−【解析】【分析】（1）求导，确定函数的单调区间，即可求得函数的极值；（2

）等价转换，分离变量，构造新函数，求函数的单调区间和最值，确定a的取值范围.【小问1详解】当3a=时，2()32ln(0)fxxxxx=+−，则2(21)(2)()23xxfxxxx−+=+−=，当1(0,)2x时，()0fx，()fx单调递减；当1

(,)2x+时，()0fx，()fx单调递增，所以，当12x=时，函数()fx取得极小值11317()2ln2ln224224f=+−=+，无极大值，故函数()fx有极小值17()2ln224f=+，无极大值；【小问2详解】2222()2+x

axfxxaxx+−=−=因为()fx在区间2,4不是单调函数，所以()yfx=在区间(2,4)上有变号零点，即函数2220xax+−=区间(2,4)上有解，等价于22axx=−在区间(2,4)上有解，设2()2(24)gxxxx=−，因为22()20gxx=−−，所

以()gx在区间(2,4)上单调递减，且15(2)3,(4)2gg=−=−，可得a的取值范围是1532a−−.20.2020年自主招生停止的同时，36所“双一流”试点名校的“强基计划”开启，其考核内容包

括学科素质测试和体育测试.射洪中学为了解高一､高二学生对“强基计划”的了解程度，从高一､高二两个年级的学生中随机抽取了100名同学进行问卷调查，经统计，抽到的学生中高一与高二的人数之比为7:13，其中高二学生了解“强基计划”50人，高一学生有15人不了解.（1）请补充完整22

列联表，试通过计算判断是否有95%的把握认为是否了解“强基计划”与就读年级有关；了解不了解合计在高二50高一15合计100（2）按照学生对“强基计划”的了解情况采用分层抽样的方法，从被调查的高一学生中抽取了

7人，若从这7人中随机抽取2人进行“强基计划”的政策宣讲，求抽到的2人中至少有1人对“强基计划”了解的概率.附表及公式：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，nabcd=+++.()20

PKk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k20722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，有把握（2）67【解析】【分析】（1）

根据题意，分别求出对应的人数，填表，然后代入公式得到的值与3.841比较大小，即可得到本题答案；（2）用列举法，即可求得本题答案.【小问1详解】因为抽到的学生中高一与高二的人数之比为7:13，所以抽到

的高一人数：710035137=+，高二人数：1310065137=+，又因为高二学生了解“强基计划”50人，高一学生有15人不了解，所以高二学生不了解“强基计划”的有15人，高一新生了解的有20人，列表如下：了解不了解合计高二501565高一201535合计703010

0.因为()()()()()222100(50152015)4.2393.84165357030nadbcKabcdacbd−−==++++，所以，有95%的把握认为是否了解“强基计划”与就读

年级有关；【小问2详解】因为高一学生中，了解的人数与不了解的人数是4:3，从中抽取7人，则有4人了解情况，3人不了解情况，设了解情况的4人为1234,,,AAAA，不了解情况的3人为123,,BBB共有情况21种：121314232434(,),(,),(,),(,)

,(,),(,)AAAAAAAAAAAA，111213(,),(,),(,)ABABAB，212223(,),(,),(,)ABABAB，313233(,),(,),(,)ABABAB，414243(,),(,),(,)ABABAB，1

21323(),(),()BBBBBB，满足情况有18种：121314232434(,),(,),(,),(,),(,),(,)AAAAAAAAAAAA，111213(,),(,),(,)ABABAB，212223

(,),(,),(,)ABABAB，313233(,),(,),(,)ABABAB，414243(,),(,),(,)ABABAB.所以抽到的2人中至少有1人对“强基计划”了解的概率186217P==.21.已知抛物线C：24xy=，过点()0,2D的直

线l交抛物线交于A，B两点，抛物线在点A处的切线为1l，在点B处的切线为2l，直线1l与2l交于点M.（1）设直线1l，2l的斜率分别为直线1k，2k，求证：122kk=−；（2）证明：点M在定直线上；（3）设线段AB的中点为N，求MNAB的取值范围.【答案】（

1）证明见解析（2）证明见解析（3）12,22【解析】【分析】（1）利用导数，分别用点,AB的横坐标表示1k，2k，联立直线l与抛物线的方程，结合韦达定理，可得结果；（2）联立两切线方程可得交点坐标，利用韦达定理化简可得点M在定直线上；（3）由中点

坐标公式可得N点坐标，从而得到MN，再由弦长公式可得AB，再求211121MNABk=++取值范围即可.【小问1详解】由题意知，直线的l斜率存在，设直线l与抛物线C交于不同的两点()11,Axy，()22,Bx

y，设直线l的方程为2ykx=+，联立224ykxxy=+=，消去y得，2480xkx−−=，且216320k=+，则121248xxkxx+==−由214yx=，得12yx=，1111|2xxykx===，222

1|2xxyxk===，121211(8)244kkxx==−=−.【小问2详解】直线1l与2l交于点M，设(,)Mxy，抛物线在点A处的切线1l方程为()21111142yxxxx−=−，即2111124yxxx=−，同理，在点B处的切线2l方程

为2221124yxxx=−.联立21122211241124yxxxyxxx=−=−，解得()12121214xxxyxx=+=，将式代入化简得22xky==−，则点(2,2)M

k−在定直线=2y−上.【小问3详解】线段AB的中点为N，由（1）可得，21212()44(1)yykxxk+=++=+，2122(1)2yyk+=+，则()22,2(1)Nkk+.()()2221222MNkk=++=+，又()222121212114ABkxxkxxxx=+

−=++−将式代入得，()()22221(4)32412ABkkkk=++=++，则222121112121MNkABkk+==+++，由2221011,011kkk++，，则12,22MNAB.MNAB的取值范

围为12,22.22.已知曲线()exfxaxb=+在点()()1,1f处切线的斜率为2e，且()1ef=.（1）求a，b的值；（2）令()()lnfxgxmxxx=−−，当()0,x+时，()1gx恒成立，求m的取值范围.【答案】（1）1,0ab==（2）

(,e1−−【解析】【分析】（1）由导数几何意义(1)2ef=，联立已知()1ef=，解方程组可得；（2）由恒成立取特值先探求必要条件，再证明其也是充分条件，通过放缩，将问题转化为证明eeln1xxxx−+−，再分别证明ee0xx−与ln1xx−指、对两个

不等式恒成立即可.【小问1详解】由曲线()exfxaxb=+在点()()1,1f处切线的斜率为2e，则()()e1xfxax=+，且()12e2efa==，解得1a=，代入()1eefab=+=，解得0b=.故1,0ab==.【小问2详解】由（1）知()exfxx=，得

()()lneln,0xfxgxmxxmxxxx=−−=−−，由()1gx恒成立，()1e1gm=−，解得e1m−.即e1m−是()1gx恒成立的必要条件，下面证明e1m−也是()1gx恒成立的充分条件.由e1,0mx−，得()1emxx−−，则()()e

1elneelnxxgxxxxxx+−−=−+−，令()()ee,0,xhxxx=−+，则()=eexhx−，令()0hx=，得1x=，当(0,1)x时，()0hx，()hx单调递减；当()1,x+

时，()0hx，()hx单调递增.所以()(1)0hxh=，即ee0xx−①.令()()ln,0,txxxx=−+，则11()1xtxxx−=−=，令()0tx=得1x=，当(0,1)x时，()0tx，()tx单调递减；当()1,x+时，()0tx，()tx

单调递增.所以()(1)1txt=，即ln1xx−②.由①②可得，()eeln011xgxxxx−+−+=恒成立.故e1m−也是()1gx恒成立充分条件.的综上所述，当()0,x+时，()1gx恒成立，m的取值范围为(,e1−

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