【文档说明】江西省抚州市2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题【精准解析】.doc，共(19)页，1.541 MB，由管理员店铺上传

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抚州市2019－2020学年度上学期学生学业发展水平测试高二年级数学试题卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.从编号为001，002，…，460的460个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个

编号分别为007，030，则样本中第5个产品的编号应该为（）A.099B.122C.145D.168【答案】A【解析】【分析】系统抽样所有样本编号成等差数列.【详解】由系统抽样所有样本编号成等差数列，可以理解为127,30aa==求5a的值.由127,3023

aad===，514742399aad=+=+=所以编号为099选择A.【点睛】考查系统抽样特点：所有样本编号成等差数列，从而转化为数列题，属于简单题.2.高三学生甲和乙近五次月考数学成绩（单位:分）的茎叶

图如下图，则下列说法错误的是A.甲的得分的中位数为101B.乙的得分的众数为105C.甲的数学成绩更稳定D.乙得分的极差为21【答案】C【解析】【分析】由茎叶图，根据数据的中位数、众数和极差的概念，逐项判定，

即可求解.【详解】由茎叶图易知，甲的中位数为101，所以A是正确的；乙的众数为105，所以B是正确；乙得分的极差为1149321−=，所以D是正确的，又由甲得分比较分散，乙得分比较集中，故乙的数学成绩更稳定，C错误，故选C.【点睛】本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中熟记茎

叶图的中位数、众数，以及极差的求得方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3.函数()sinxfxaex=−在0x=处有极值,则a的值为()A.1−B.0C.1D.e【答案】C【解析】【分析】根据导数与极值的关系可知()00f=，解方程求得结果.

【详解】由题意得：()cosxfxaex=−()fx在0x=处有极值()0cos010faa=−=−=，解得：1a=经检验满足题意，本题正确选项：C【点睛】本题考查导数与极值之间的关系，属于基础题.4.执行如

图所示的程序框图，如果输入的为0.01，则输出s的值等于（）A.4122−B.5122−C.6122−D.7122−【答案】C【解析】【分析】根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果.【详解】输入的为0.01，1.01,0.50.01?xSx==+=不满足条件

；1101,0.01?24Sx=++=不满足条件；611101,0.00781250.01?22128Sx=++++==满足条件输出676111112122222S=+++=−=−，故选C．【点睛】解答本题关键是利用循环运算，根据计算精确度确定数据分析

．5.已知数据1210,,,xxx，2的平均值为2，方差为1，则数据1210,,,xxx相对于原数据()A.一样稳定B.变得比较稳定C.变得比较不稳定D.稳定性不可以判断【答案】C【解析】【分析】根据均值定义列式计算可得1210,,,xxx的和，从而得它们的均值，再由方差公式可

得()()()2221210222xxx−+−+−，从而得方差．然后判断．【详解】由题可得：12101210222011xxxxxx+++=++=平均值为2，由()()()22221210222(22)111x

xx−+−+−+−=，()()()22212102221.1110xxx−+−+−=，所以变得不稳定.故选：C.【点睛】本题考查均值与方差的计算公式，考查方差的含义．属于基础题．6.已知条件p：12x+，条

件q：xa，p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围（）A.1aB.3a−C.1aD.3a−【答案】D【解析】【分析】求出条件p、q所对应的的x的取值范围，并用集合表示，由p是q的充分不必要条件，可知两集合关系，进而可求实数a的取值范围。【详解】由12x+得3

1x−，所以条件p：31x−，所以集合{|31}Axx=−。因为条件q：xa，所以q：xa，所以集合{|}Bxxa=。因为p是q的充分不必要条件，所以AB，所以3a−。故选D。【点睛】本题考查充分条件、必要条件，考查运算能力、转化能力等能力，属于基础题。由充

分条件、必要条件求字母的取值范围，应先求出各条件的等价命题，再结合集合间的关系求解。7.设集合1,2,3,4,5,6AB==，分别从集合A和B中随机抽取数x和y，确定平面上的一个点(),Pxy=，记“

点(),Pxy=满足条件2216xy+”为事件C，则()PC=（）A.29B.112C.16D.12【答案】A【解析】【分析】求出从集合A和B中随机各取一个数x，y的基本事件总数，和满足点P（x，y）满足条

件x2+y2≤16的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【详解】∵集合A＝B＝{1，2，3，4，5，6}，分别从集合A和B中随机各取一个数x，y，确定平面上的一个点P（x，y），共有6×6＝36种不同情况，其中P（x，y）满足条件x2+y2≤16的有：（1，1），

（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），共8个，∴C的概率P（C）82369==，故选A．【点睛】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，考查了列举法计算基本事件的个数，其中熟练掌握利用古典

概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．8.已知双曲线22221xyab−=（0a，0b）的渐线方程为23yx=，则此双曲线的离心率为（）A.134B.132C.133D.134【答案】C【解析】【分析】先根据渐近

线方程可知23ba=，代入21()cbeaa==+即可求得结果。【详解】因为双曲线22221xyab−=（0a，0b）的渐线方程为23yx=，所以23ba=，所以双曲线的离心率222131()1()33cbeaa==+=+=。故选C。【点睛】本题

考查双曲线的离心率，属于基础题。求圆锥曲线的离心率一般有三种类型：（1）直接求cea=；（2）构造关于ac、的齐次式求解；（3）构造关于e的不等式，求e的取值范围。9.在等差数列na中，设*,,,klprN，则klpr++是klpraaaa++的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分非必要条件【答案】D【解析】【分析】举出特殊数列的例子，即可排除选项．【详解】若等差数列为123455,4,3,2,1..aaaaa=====则当1,5,2,3klpr====时，klpr++成立，但klpraaaa++

不成立，所以非充分条件当1,2,3,4klpr====时，klpraaaa++成立，但klpr++不成立，所以非必要条件综上可知，klpr++是klpraaaa++的既非充分非必要条件所以选D.【点睛

】本题考查了等差数列的定义，充分必要条件的判定，注意特殊值法在选择题中的应用，属于基础题．10.已知抛物线C：28yx=的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4FPFQ=，则

||QF=（）A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】【分析】过点Q作准线的垂线QQ，由抛物线的定义和三角形相似、4FPFQ=可知，:||:||PQPFQQFM=，进而可求得结果。【详解】如图所示：过点Q作QQl⊥交l于点Q，利用抛物线定义得到QFQQ=.设准线l交x轴于

点M，因为4FPFQ=，所以||:||QQFM=:3:4PQPF=，又焦点F到准线l的距离为4，所以||3QQ=，所以3QFQQ==.故选B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义，考查转化能力，属于基础题。解决圆锥曲线有关的问题，注意初中平面几何中

结论的运用。11.已知点P为椭圆221916xy+=上的任意一点，点12,FF分别为该椭圆的上下焦点，设1221,PFFPFF==，则sinsin+的最大值为（）A.377B.477C.98D.32【答案】D【解

析】【分析】先由正弦定理得到()74sinsinsin+=+，再利用椭圆定义及余弦定理，基本不等式推导出P为短轴端点时，cos21FPF最小，21FPF最大，可得()21sinsinFAF+，从

而得到结果.【详解】设|1PF|＝m，|2PF|＝n，|12FF|＝2c，A，B为短轴两个端点，由正弦定理可得()2mncsinsinsin==+，即有()2mncsinsinsin+=++，由椭圆定义可得e()2724sincasinsin+===+

,∴()4sinsin7sin+=+．在三角形21FPF中，由m+n=2a,cos222222221242444122224mncmnmncbbFPFmnmnmnmn+−+−−===−+（）（）-1=22

412ba−，当且仅当m=n时，即P为短轴端点时，cos21FPF最小，21FPF最大，∴()21sinsinFAF+=378,∴4373sinsin827+=，故选D．【点睛】本题考查了考查了椭圆的定义及几何性质的应用，考查了正

、余弦定理的应用，当P为短轴端点时，21FPF最大是解题的关键，属于中档题．12.已知定义域为R的函数()fx，对任意的xR都有'()4fxx，且1122f=.当[0,2]时，不等式(s

in)cos210f+−的解集为（）A.711,66B.45,33C.2,33D.5,66【答案】D【解析】【分析】设2()()2=−gxfxx，求导可得()gx在R上单调递增，求

(sin)cos210f+−的解集，等价于求1(sin)()2gg的解集，接着利用()gx在R上单调递增，可得到答案.【详解】设2()()2=−gxfxx，则111()()=0222=−gf，)()40(=−gxfxx，()gx在R上单调递增，又2(sin)(sin)2

sin(sin)cos21=−=+−gff，求(sin)cos210f+−的解集，等价于求1(sin)()2gg的解集，()gx在R上单调递增，1sin2，且[0,2]，5,66，故选

D.【点睛】本题主要考查利用导函数解不等式，构造一个新函数是解决本题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“,xRsin1x”的否定是“”．【答案】xR，sin1x【解析】【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“,xRsin1x”的否定是x

R，sin1x14.曲线y＝x2+lnx在点（1，1）处的切线方程为_____．【答案】320xy−−=【解析】【分析】首先求1x=处的导数，再根据切线公式()()000yyfxxx−=−求切线方程.【详解】解析：12yxx=+，在点（1，1）处的切线斜率为

3，所以切线方程为320xy−−=.【点睛】本题考查了导数的几何意义求切线方程，属于简单题型.15.在古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形（

如图阴影部分）．若直角三角形中较小的锐角为a．现向大正方形区城内随机投掷一枚飞镖，要使飞镖落在小正方形内的概率为14，则cos=_____________．【答案】714+【解析】【分析】设正方形边长

为1，可得出每个直角三角形的面积为1sin24，由几何概型可得出四个直角三角形的面积之和为34，可求出3sin24=，由04得出cos20并得出cos2的值，再利用降幂公式21cos2cos2+=可求出cos的值.【详解】设正方形边长为1，则直角三

角形的两条直角边分别为sin和cos，则每个直角三角形的面积为11sincossin224=，由题意知，阴影部分正方形的面积为14，所以，四个直角三角形的面积和为114sin2144=−，即

3sin24=，由于是较小的锐角，则04，022，所以，27cos21sin24=−=，因此，711cos2827714cos22164++++====，故答案为714+.【点睛】本题考查余弦值的计算，考

查几何概型概率的应用，解题的关键就是求出sin2和cos2的值，并通过二倍角升幂公式求出cos的值，考查计算能力，属于中等题．16.已知12,FF是椭圆:C22221(0)xyabab+=的左、右焦点，过左焦点1F的直线与椭圆C交于,A

B两点，且11||2||AFBF=，2||||ABBF=，则椭圆C的离心率为________【答案】33【解析】【分析】连接2AF,设1BFk=,利用椭圆性质12122BFBFAFAFa+=+=,得到2AF长度,分别在△2ABF和12F

AF中利用余弦定理,得到c的长度，根据离心率的定义计算得到答案.【详解】设1BFk=，则12AFk=，23BFk=，由12122BFBFAFAFa+=+=，得24ak=，22AFk=，在△2ABF中，21cos3BAF=，又在12FAF中，22212(2)(2)(2

)1cos2322kkcFAFkk+−==，得423ck=故离心率33cea==【点睛】本题考察了离心率的计算,涉及到椭圆的性质,正余弦定理,综合性强,属于难题.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出

文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知命题:p方程22113xymm+=+−表示焦点在y轴上的椭圆，命题:q关于x的方程22230xmxm+++=无实根．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“pq”为假命

题，“pq”为真命题，求实数m的取值范围．【答案】(1)11m−(2)[1,3)【解析】试题分析：（1）若命题p为真命题，根据椭圆的定义和方程建立不等式关系，即可求实数m的取值范围；（2）根据复合命题的关系得到p，q为一个真命题，一个假命题，然后求解即可．试

题解析：（1）因为方程22113xymm+=+−表示焦点在y轴上的椭圆，所以310mm−+，解得11m−．（2）若q为真命题，则()244230mm=−+，解得13m−，因为“pq”为假命题

，“pq”为真命题，等价于,pq恰有一真一假，当p真q假时，1113mmm或−−，则m，当p假q真时，1313mmm−−或，则13m，综上所述，实数m的取值范围是)1,3．点睛：（1）焦点在y轴上的椭

圆，包含两层意思：31mm−+，10m+，其中10m+容易被同学们所忽视；（2）命题“pq”：一假俱假，命题“pq”：一真俱真.18.智能手机的出现，改变了我们的生活,同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从500名

手机使用者中随机抽取100名，得到每天使用手机时间(单位：分钟)的频率分布直方图(如图所示),其分组是:(0,20,20,40，(40,60,(60,80,(80,100.（1）根据频率分

布直方图，估计这500名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟?(精确到整数)（2）估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟?(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)（3）在抽取的100名手机使用者中在(20,40和(40,60中按比例分别抽取2人和3人组成研究小组，然

后再从研究小组中选出2名组长.求这2名组长分别选自(20,40和(40,60的概率是多少？【答案】(1)57分钟.(2)58分钟；(3)35【解析】【分析】（1）根据中位数将频率二等分可直接求得结果；（2）每组数据中间值与对应小矩形的面积乘积的总和即为平均数；（3）采用列

举法分别列出所有基本事件和符合题意的基本事件，根据古典概型概率公式求得结果.【详解】（1）设中位数为x，则()0.0023200.01200.015400.5x++−=解得：170573x=（分钟）这500名手机使用者中使用时间的中位

数是57分钟（2）平均每天使用手机时间为：0.05100.230+0.350+0.270+0.259058+=（分钟）即手机使用者平均每天使用手机时间为58分钟（3）设在(20,40内抽取的两人分别为,ab，在(40,60内抽取的三人分别为,

,xyz，则从五人中选出两人共有以下10种情况：()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,abaxayazbxbybzxyxzyz两名组长分别选自(20,40和(40,60的共有以下6种情

况：()()()()()(),,,,,,,,,,,axayazbxbybz所求概率63105p==【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算平均数和中位数、古典概型概率问题的求解；关键是能够明确平均数和中位数的估算原理，从而计算得到结果；解决古典概型的常用方法为列举法，属于常考题型.19.已知函

数3()32fxxax=−+，曲线()yfx=在1x=处的切线方程为30xym++=.（Ⅰ）求实数a，m的值；（Ⅱ）求()fx在区间[1,2]上的最值.【答案】（Ⅰ）最大值为2−，最小值为242−.（Ⅱ）最大值为2−，

最小值为242−.【解析】【分析】（Ⅰ）切点(1,)y在函数3()32fxxax=−+上，也在切线方程为30xym++=上，得到一个式子，切线的斜率等于曲线()yfx=在1x=的导数，得到另外一个式子，联立可求实数a，m的值

；（Ⅱ）函数()fx在闭区间的最值在极值点或者端点处取得，通过比较大小可得最大值和最小值.【详解】解：（Ⅰ）2()33fxxa=−，∵曲线3()32fxxax=−+在1x=处的切线方程为30xym++=，∴(1)333(1)333fafam=−=−=−=−−解得

2a=，0m=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，3()62fxxx=−+，则2()36fxx=−，令()0fx=，解得2x=，∴()fx在[1,2)上单调递减，在(2,2]上单调递增，又(1)1623f=−+=−，3(2)26222f=−+=−，()()322622242f=−

+=−，∴()fx在区间[1,2]上的最大值为2−，最小值为242−.【点睛】本题主要考查导函数与切线方程的关系以及利用导函数求最值的问题.20.随着西部大开发的深入，西南地区的大学越来越受到广大考生的青睐,下表是西南地区某大学近五年的录取平均分高于省一本线分值对比表：年份2015

2016201720182019年份代码t12345录取平均分高于省一本线分值y2834414750（1）根据上表数据可知，y与t之间存在线性相关关系，求y关于t的线性回归方程；（2）假设2020年该省一本线为520分，利用（1）中求出的回归方程预测2020年该大学录取平均分.参考

公式：()()()121ˆniiiniittyybtt==−−=−，ˆˆaybt=−【答案】（1）ˆ5.722.9yt=+；（2）577.1【解析】【分析】（1）根据表中的数据及参考公式可求得ˆb和ˆa，进而可得线性回归方程；（2）将2020年的年份代码6代入回归方程，可得2020年录取平

均分高于省一本线的分值y，再加520即为所求结果。【详解】（1）由题知：()11234535t=++++=，()12834414750405y=++++=，所以得：()()()121575ˆ.710niiiniittyybtt==−−===−，

ˆˆ4035.722.9aybt=−=−=，故所求回归方程为：ˆ5.722.9yt=+（2）由（1）知：当6t=时，ˆ57.1y=，故预测该大学2020年的录取平均分为52057.1577.1+=.【点睛】本题考查线性回归分析，主要考查

运算、转化素养，属于基础题。有关线性回归分析的题目，运算量较大，将实际问题转化为数学问题，运算要认真、仔细。21.已知函数()()sincosfxaxxx=−−.⑴当2a=时，证明:()fx在()0,上有唯一零点；(2)若()2fx对

()0,x恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2),22−+【解析】【分析】（1）通过导数可得()fx单调性，利用零点存在性定理依次验证()fx在各个单调区间内是否有零点，结合单调性可知每段单调区间内零点具有唯一性，从而可证得结论；（

2）采用分离变量的方式将问题转化为2cossinxaxx++对()0,x恒成立，令()2cossinxgxxx+=+，利用导数得到()gx在()0,内的最小值，从而得到结果.【详解】（1）当2a=

时，()()2sincosfxxxx=−−()()()sin2cossin2cosfxxxxxxx=−+−+=−当0,2x和()2,时，()0fx；当,22x时，()0fx()fx在0,2，()2,上单

调递增；在,22上单调递减()010f=−，2022f=−()fx在0,2有一个零点()2cos20f=−()fx在,22上没有零点()

10f=()fx在()2,上没有零点综上所述：()fx在()0,上有唯一零点（2）当()0,x时，()2fx恒成立等价于2cossinxaxx++对()0,x恒成立令()2cossinxgxxx+=+，()0

,x则()()()222sin2coscoscos2cos1sinsinxxxxxgxxx−−++=+=−当0,2x时，()0gx；当,2x时，()0gx()gx在0,2上单调递减

，在,2ππ上单调递增()min222gxg==+22a+即a的取值范围为：,22−+【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数和零点存在性定理研究函数的零点

个数、恒成立问题的求解；解决恒成立问题的常用方法是通过分离变量的方式将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系问题，从而利用导数求得函数的最值，得到所求范围.22.已知椭圆()2222:10xyabab+=经过点()2,2，的四个顶点围成的四边形的面积为82.（

1）求的方程；（2）过的左焦点F作直线l与交于M、N两点，线段MN的中点为C，直线OC（O为坐标原点）与直线4x=−相交于点D，是否存在直线l使得MDF为等腰直角三角形，若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）22184xy+=；（2）存在，直线l

的方程为20xy−+=或20xy++=.【解析】【分析】（1）由题中条件得出关于a、b的方程组，解出a与b的值，可得出椭圆的方程；（2）设直线l的方程为2xmy=−，设点()11,Mxy，()22,Nxy，将直线l

的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段MN的中点C的坐标，得出直线OC的方程，可求出点D的坐标，利用斜率关系得知DFl⊥，由此得出MFDF=，利用距离公式可求出m的值，即可对问题进行解答.【详解】（

1）依题意，得22421ab+=，282ab=，将42ab=代入22421ab+=，整理得428160bb−+=，解得224,8ba==，所以的方程为22184xy+=；（2）由题意知，直线l的斜率不为0，设:2lxmy=−，()11,Mxy，()22,Nxy.联立方程组22

2184xmyxy=−+=，消去x，整理得()222440mymy+−−=，由韦达定理，得12242myym+=+，12242yym−=+.所以122222yymm+=+，()1212242222myyxxm++−=−=+，即2242,22mCmm−++，

所以直线OC的方程为2myx=−，令4x=−，得2ym=，即()4,2Dm−，所以直线DF的斜率为2042mm−=−−+，所以直线DF与l恒保持垂直关系，故若MDF为等腰直角三角形，只需MFDF=，即()()

222221114421mxymy+=++=+，解得12y=，又2211184xy+=，所以10x=，所以1m=，从而直线l的方程为20xy−+=或20xy++=.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及直线与椭圆的存在性问题，对于这类问题的求解

，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求思想求解，同时要将题中的一些条件进行等价转化，考查化归与转化思想以及方程思想的应用，属于难题.